高考数学重点难点复习36：函数与方程思想.pdf

函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不 等 式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.难点磁场1.()关于x 的不等式2 3 2 x-3 x+a2 -a-3 0,当 O W x W l 时恒成立，则实数a 的取值范围为2.()对于函数f(x),若存在xO G R,使 f(xO)=xO 成立，则称x O 为 f(x)的不动点.己知函数 f(x)=ax2+(b+l)x+(b -l)(aW O)(1)若 a=l,b=-2 时，求 f(x)的不动点；(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，若 y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且 A、1B关于直线y=kx+2/+1 对称，求 b的最小值.案例探究x-3 例 1 已知函数f(x)=logm x+3(1)若 f(x)的定义域为 a,B,(Pa 0),糊f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；当 0Vm a 0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“a 3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.x 一 3 八-0。解(1)x+3 x V-3 或 x 3.：f(x)定义域为 a,6 a 3X -3 x2-3 _ 6(x,-x2)o设 Bx l x 2 e a,有 芯+3 x2+3(x,+3)(x2+3)当 0m l 时，f(x)为增函数.(2)若 f(x)在 a,0 上的值域为 logmmfP -l),logmm(a-1).0 mV l,f(x)为减函数./(/?)=log,J-|=log,?(4一 1)a 3/()=log,”-=log”,?(a T)a+3m2+(2W-l)/7-3(/n-l)=O a 3即ma 4-(2/n-l)6Z-3(/?-l)=0即 a,B为方程mx2+(2m-l)x-3(m-1)=0的大于3 的两个根0 m 032m 2-V3 i 时J 0.八0 m 一42-石故当0 m 00tan A tan 8=？+40又 A、B 锐角为三角形内两内角兀：.2 A+B nAtan(A+B)0,B P/人 c、tan A 4-tan B 6+1 八tan(A+B)=-=-0m+1 0 0业0 机+3 .，.m?5(2)证明：Vf(x)=(x -l)(x -m)又-IWco s aWl,lW2+co s a W 3,恒有 f(2+co s a)W0即 1WXW3 时，恒有 f(x)W0 即(x -l)(x -m)W0m x 但 x max=3,.,.mx max=3/.nz +1.2(m+1)2(s in a-)+m-(3)解：；f(s in a)=s in2 a-(m+l)s in a+m=2 4m+1且 22 2,.当s ina=-1 时，f(s ina)有最大值8.即 l+(m+l)+m=8,m=3锦 囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：(1)深刻理解一般函数y=f(x)、y=f-l(x)的 性 质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换)，熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.(2)密切注意三个“二次”的相关问题，三 个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.歼灭难点训练一、选择题_1.()已知函数f(x)=lo g a G-(2 a)2 对任意x W 2,+8 都有意义，则实数 a 的取值范围是()2 _A.(0,4 J B.(0,4)C.4,)D,(4,2)2.()函数f(x)的定义域为R,且 x W l,诙 1 f(x+l)为奇函数，当 x l 时，f(x)的递减区间是()5 5 7 7A.4 ,+8)B.(l,4】C.4 什8)D.(l,4 二、填空题3.()关于x的方程lg(ax -1)-lg(x -3)=1 有解，则 a 的取值范围是.4.()如果y=l-s in2 x -mco s x 的最小值为-4,则 m 的值为.三、解答题5.()设集合 A=x I 4 x -2 x+2+a=0,x G R).(1)若 A中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B；(2)若对于任意a B,不等式x 2 -6 x a(x -2)恒成立，求 x的取值范围.6.()已知二次函数 f(x)=ax 2+bx(a,b 为常数，且 aWO)满足条件:f(x -l)=f(3 -x)且方程f(x)=2 x 有等根.(1)求 f(x)的解析式；(2)是否存在实数m,n(m n=,使 f(x)定义域和值域分别为m,n和 4 m,4 n,如 薪在，求出m、n 的值；如果不存在，说明理由.7.()已知函数 f(x)=6 x -6 x 2,第|数 g l(x)=f(x),g 2(x)=f g 1 (x),g 3(x)=f g 2(x),g n(x)=f g n-l(x)(1)求证：如果存在一个实数x O,满足g l(x O)=x O,那么对一切nWN,g n(x O)=x O都成立；(2)若实数x O满足g n(x O)=x O,则称x O为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；(3)设区间 A=(-8。)，对于任意 xGA,有 g l(x)=f(x)=a 0,g 2(x)=f g l(x)=f(0)0,且 n22时，g n(x)0.试问是否存在区间B(A CB/0),对于区间内任意实数x,只 要 nN2,都有 g n(x)0,x 0).(1 )求证:f(X)在(0,+8)上是增函数；(2)若 f(x)W 2 x 在(0,+8)上恒成立，求 a的取值范围；(3)若 f(x)在 m,n 上的值域是L m,n (mW n),求 a的取值范围.参 考 答 案 难点磁场1 .解析：设 t=3x,则 tw 1,3,原不等式可化为a 2-a-3-2 t2+t,tG 1,3析等价于a 2 -a -3 大于f(t)=-2 t2+t在 1,3 上的最大值.答案：(-8,-)U(2,+8)2 .解(1)当 a=l,b=-2 时，f(x)=x 2-x-3,由题意可知 x=x 2 -x -3,得 x l=-l,x 2=3.故当a=l,b=-2 时，f(x)的两个不动点为-1,3.(2).f(x)=a x 2+(b+l)x+(b-l)(a W O)恒有两个不动点，x=a x 2+(b+1 )x+(b-1),即 a x 2+bx+(b-1)=0 恒有两相异实根A=b2 -4a b+4a 0(b W R)恒成立.于是 A=(4a)2-1 6 a V 0 解得 0 a l故当bG R,f(x)恒有两个相异的不动点时，0 V a L(3)由题意A、B 两点应在直线y=x 上，设 A(x l,x l),B(x 2,x 2)1又,:A、B 关于 y=k x+2。-+1 对称.，k=-1.设 AB 的中点为 M(x ,y)V x l,x 2 是方程a x 2+bx+(b-1)=0 的两个根.x,+x.,b 1-=-y=-x H-z.X =y =2 2a,又点M 在直线 2 a 一+1 上有1 M.Z a+a 22痣 当 且仅当2 a=。即 a=2 e(0 )时取等号,V 2故 b 2-2 五 ,得 b 的 最 小 值-4.歼灭难点训练一、1.解析：考查函数y l =和 y 2=(2 a)x 的图象，显然有0 2 a l,2-x 3,原方程可化为x-3故有(10-a)x=29,必有 1 0-a 0 得 a3 可得 a .答案：3 a102/、2 tny=(cosx-)-4.解析：原式化为 2 4.m当 2 m=-5.2m-m当-1W 2 Wl,ymin=4=-4 n m=4 不符.m当 2 1,ymin=l-m=-4=m=5.答案：5二、5.解：(1)令 2x=t(t 0),设 f(t)=t2-4t+a.由 f(t)=O在(0,+8)有且仅有一根或两相等实根，则有f(t)=O 有两等根时，=0=16-4a=0=a=4验证：t2-4t+4=0=t=2G(0,+oo),这时 x=l(2)f(t)=0 有一正根和一负根时,f(0)VO=a VO若f(0)=0,则 a=0,此时4 x-4 2x=0=2x=0(舍去),或 2x=4,；.x=2,即 A 中只有一个元素综上所述，aWO或 a=4,即 B=a I aWO或 a=4(2)要使原不等式对任意a(-8,o u 4恒成立.即g(a)=(x-2)a-(x2-6x)0恒成立.只须x-2 0 x2 r 5-V17g(4)0 x 10%+8 0/vo6.解(1);方程 ax2+bx=2x 有等根，工 =(b-2)2=0,得 b=2.h由f(x-l)=f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为X=-2a=1得 a=-1,故 f(x)=-x2+2x.f(x)=-(x-1)2+1W1,；.4 n W l,即 nW4而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=l.n w W 时，f(x)在 m,n 上为增函数.fQ n)=4m若满足题设条件的m,n存在，则 以)=4-m2+2in=4?m=0 或根=-2i-+2=4 =0 或=2又 mVn近 4,.m=-2,n=0,这时定义域为-2,0 ,值 域 为-8,0.由以上知满足条件的m、n 存在，m=-2,n=0.7.(1)证明：当 n=l时，gl(x0)=x0显然成立；设 n=k 时，有 gk(x0)=x0(keN)成立，贝 ij gk+l(x0)=f Lgk(xO)=f(xO)=gl(xO)=xO即 n=k+l时，命题成立.二对一切 nGN,若 gl(xO)=xO,贝 ij gn(xO)=xO.(2)解：由(1)知，稳定不动点x0只需满足f(xO)=xO5由 f(xO)=xO,得 6x0-6x02=x0,/.x0=0 或 x0=65,稳定不动点为0 和7.(3)解：V f(x)0,得 6x-6x2 l.gn(x)V 0=f gn-l(x)V0=gn-l(x)l要使一切 nGN,n2,都有 gn(x)0,必须有 gl(x)l.由 gl(x)()O 6x-6 x2 0=x 13-V 3 3+V3-x()O 6x-6x2 1 O 6 63-6 3+百故对于区间(6 6)和(1,+8)内的任意实数*,只要!?2,116?4,都有gn(x)x20,f(xl)-f(x2)=a X a x?x2 x,再V xlx20,.xlx20,xl-x20,/.f(x l)-f(x2)0,即 f(xl)f(x2),故 f(x)在(0,+8)上是增函数._L_L(2)解：%W2x在(0,+8)上恒成立，且 a0,!g(x)=2x+2xH；.a 2 在(0,+8)上恒成立，令._(当且仅当2x=xV2即*=2时取等号)，要使a 212x+x 在(0,+8)上恒成立,则 a 2 4.故a 的取值范V2围 是 44 8).(3)解：由(1)f(x)在定义域上是增函数._m=f(m),n=f(n),即 m2-a m+l=0 n2-a n+l=0故方程x2-x+l=0有两个不相等的正根m,n,注意到m n=l,故只需要A=(4)2-420,由于 a 0,则 0 a 2.