高考试题——数学理(宁夏卷).pdf

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏）本试卷分第I 卷（选择题）和 第 H卷（非选择题）两 部 分.第 n卷第22题为选考题,其他题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.2.选择题答案使用2 B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并 用 2 B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.参考公式：样本数据占，,乙的标准差轲F+(力锥体体积公式V-S h3其中最为样本平均数柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高其中S为底面面积、h为高球的表面积、体积公式，4,S=4nR2,丫=一兀火33其中R为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题P：VXER,s i n x W l,则（）A.-n p:G R,s i n x N 1 B.:V x G R,s i n x N 1C.-n p:G R,s i n x 1 D.p:V x G R,s i n x 11 32.已知平面向量Q =(1,1),f t =(L 1),则向量一Qb=()2 2A.(2,1)B.(2,1)C.(-1,0)D.(1,2)3.函数 y=sin 2 x-g在 区 间 上JT,2兀 的简图是（）2yo6A.B.n3 3-1兀2yx兀60Hi2yD.兀3c.4.已知 4 是等差数列,Go=10,其前 10 项和 Si0=70,其公差d=(A.-B.3)3c ID-15.如果执行右面的程序框图，那么输出的S)A.2450C.2550B.2500D.26526.已知抛物线y2=2px（p 0）的焦点为方，点(即/),P2(x2,y2),吕（工3,）在抛物线上，且2=玉+退，则 有（)则A,闷+|%=阀|B.附+照叫2C.2上 =|咐|+忻图D 阀=阀|阳7.已知x 0,y 0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则（“+：的最小值是（）A.0 B.1C.2 D.48.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的 尺 寸（单位：c m）,可得这个几何体的体积是A.B.)4000 3-c m38000 3-c m3C.2000c m3D.4000c m3值 为（）则 c o s a+s i n t z 的2不1T10.曲线y =e?”在点（4 e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（)A.-e2 B.4e2 C.2e2 D.e2211.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表4,甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数466452,S3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则 有（）A.*M V2 B.s2 S S3C.S s2 S3 D.S2 S 3 S 12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为九，为，“，则4：饱：打=（）A.存1:1 B.73:2:2 C.73:2:V 2 D.0:2:百第I I卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题一第2 1 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为.1 4.设函数X）=（+1）（+）为奇函数,则。=.X1 5.i 是虚数单位，-5 +1 0 e R）3+4z -1 6.某校安排5 个班到4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种.（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1 7.（本小题满分1 2分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点C与。.现测得N8CO=a,Z B D C =/3,C D =s,并在点C测得塔顶A的仰角为氏 求塔高1 8 .（本小题满分1 2分）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面S4 8与侧面S4 c均为等边三角形，NB4 c=9 0 ,。为 BC中点.（I ）证明：SO_ L 平面ABC；（I I）求二面角ASC3 的余弦值.1 9 .（本小题满分1 2分）B在 平 面 直 角 坐 标 系 中,经过点（0.V 2）且斜率为k的直线/与椭圆三+丁=1 有两个不同的交点P和。.（I）求 Z的取值范围；（I I）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A B,是否存在常数%,使得向量O P +OQ与AB共线？如果存在，求 女值；如果不存在，请说明理由.20.(本小题满分1 2分)如图，面积为S的正方形A 8 C D中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形A B C D中随机投掷个点，若个点中有机个点落入M中，则M的面积的估计值为S,假设正方形A 6C 的边长为2,M的面积为1,并向正方形A 8 C O中随机投n掷1 0 0 0 0个点，以X表示落入M中的点的数目.D(I)求X的均值E X ；(I I)求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.0 3,0.0 3)内的概率.附表：P G t Q X a o o o o x O W x c n s i w(=o A21.(本小题满分1 2分)k2424242525742575P(k)0.0 40 30.0 4230.9 5700.9 59 0设函数/(X)=l n(x +c z)+x2(I)若当x =1时，/(x)取得极值，求a的值，并讨论/(幻 的单调性;e(H)若/(x)存在极值，求。的取值范围，并证明所有极值之和大于I n .22.请考生在A,B,C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.A (本小题满分10分)选 修4一 1：几何证明选讲如图，已知AP是。的切线，P为切点，AC是0的割线，与 0 交于B,C两点，圆心。在N B 4 C的内部，点M是BC的中点.(I )证明A P,O,四 点 共 圆；(I I )求 NQ 4 A/+N A P M 的大小.C22.B (本小题满分10分)选 修4一4：坐标系与参数方程。和 O2的极坐标方程分别为p =4 c os6,/?=-4 sin9.(i)把a和Q的极坐标方程化为直角坐标方程;(H)求经过 0厂 O2交点的直线的直角坐标方程.22.C (本小题满分10分)选 修4-5；不等式选讲设函数/(x)=|2 x+l k|x-4|.(I)解不等式，(x)2；(I I)求函数y =/(x)的最小值.2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案（宁夏）一、选择题1.c7.D2.8.3.A9.C4.D10.D5.C11.B6.C12.B13.三、填空题3解答题14.15.l+2i16.24017.解：在6 8中,Z.CBD=n a-/3.由正弦定理得CDsin ZBDC sin ZCBDDB叱“CD sin ZBDC sin B所以EC=sin Z.CBD sin(a+/3)在 中，AB=BC tan ZACB=5，ta ns m .sin(a+/7)18.证明：(I)由题设 AB=AOSB=SC=1s4,连结。4,ABC/y为等腰直角三角形，所 以0A=08=0C=,且2AOI.B C,又SBC为等腰三角形，故S O L 3 C,且6SO S A,从而aV+S O-S A t2所以SOA为直角三角形，SO1AO.又 AO BO=O.所以SO，平面ABC.（II）解法一：取S C中点 M,连 结AM O.,由（I）知S O Q C=S A,得O Ml.S,C ALM.NOM4为二面角A SC 3的平面角.由 4OLBC,AOSO,SO 3。=0得40_1_平面58。.所以A O L O M,又4加=迫 4,2故sinZAMO=也=年=AM 6 3所以二面角A-S C-B的余弦值为也.3解法二：以。为坐标原点，射线0 8 0 4分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O-x y z.设 8(1,0,0),则。(一1,。0),4(0,1,0),5(0,0,1).：.M O S C =0,MASC=0.故 M O SC,M A ISC,等于 二 面 角ASC-B的平面角.皿 M O-M A Gc os=-n-1 =，3所以二面角AS C 3的余弦值为Y二.319.解：（I ）由已知条件，直线/的方程为旷=日+血,2代入椭圆方程得二+（区+/）2=1.2整理得2+2&区+i=o 直线/与椭圆有两个不同的交点P和。等价于=8公一4（；+%2）=4公一20,初/旦,近旬1 垃解得左一-或 人.即人的取值范围为一8,_2 2(n)设P(X ,y),Q(X2,%)，则O P+O Q =(玉+毛，X+%)，由方程，%+无2 =限叵k1 +2公又,+%=k(%+X2)+25/2.而 A(0,O),3(0,1),AB=(-V2,l).所以。尸+OQ与AB共线等价于 +与=一&(y+%)，将代入上式，解 得 左=也2由(I)知k一 旦 或k)旦,故没有符合题意的常数人.2 22 0.解:每个点落入M中的概率均为p=；.依 题 意 知 乂 8(10000,；).(I)EX=10000 x-=2500.4(II)依 题 意 所 求 概 率 为-0.03一工一x 4-l 0.03I 10000)P-0.03 x 4-1 0.03|=P(2425 X 2575)I 10000 J2574=E Gooo。X 0.25xO i0000-1=24262574 2425E Goooo xO.25 X 0.7 5 ,-X G oooo x0.25,x0.75m xM/=2426/=0=0.9570-0.0423=0.9147.2 1.解：(I)f(x)=-+2x,x+a3依题意有(一1)=0,故。=；.2x2+3x+1 (2x+l)(x+l)从而f x)=3X H 23x+-2/(X)的 定 义 域 为,l，+83,当5 x 0；当 l x-一 时，fx),时，f x)0.从而，/(X)分别在区间(3，-1 1(一；，+8)单调增加，在区间(一1，；)单调减少.(I I)y(x)的 定 义 域 为+8),r(x)2x2+2o x +lx+a方程2/+2以+1 =0的判别式 =4/一8 .(i)若A0,即 一 起 当 X -yfi,-2I 2,无极值.3 8)时，/(x)0,所以/(幻若。=一 及，x e(0,+8),r(x)=(1二)0，/(X)也无极值.x-j2(i i i )若 (),即。血 或。-夜，则2x?+2a x+1 =I有 两 个 不 同 的 实 根-a-yja1-2-a+y/a2-2x.=-.x,=-.1 2 2当。一 行 时，x -a,x2血 时，玉 一。，一。，/(尤)在/(处的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知/(%)在x =*x =取得极值.综上，.f(x)存在极值时，。的取值范围为(+8)./(幻 的极值之和为971 7 e/(X j)+/(x2)=l n(X j+。)+玉 +l n(x2+a)+x2=I n +a-1 l-l n 2=I n .22.A(I)证明：连结。P,OM.因为A P 与。相切于点P,所以O P L A P.因为M 是。的弦8 C 的中点，所以。0，8 c.于是 NQP4+NOM4=180.由圆心。在 NQ4 c 的内部，可知四边形A P Q M 的对角互补，所以A P,O,M 四点共圆.(I I)解：由(I)得 A P,O,M 四点共圆，所以NQ4M=NOPM.由(I)得 O P L A P.由圆心。在 N B 4C 的内部，可知NOPM+ZA P M=90.所以 NQ4M +ZAPM=90.22.B解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.(I)x-pcos,y-psin0,由/?=4cos6得P？=4pcos。.所以/+y 2 =4 x.即V +/一 =0 为 O1的直角坐标方程.同理了2+/+今=0 为。2的直角坐标方程(II)由 X2+/-4X=0,解得x+y +4y=0无 0,%2 =2j=Q ly2=-2即。，。2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.22.(IC解：)令 y=|2%+1|_k一4|,则3x 3,x+5,V 1光弓，21 4 x 2 的解集为(一怎 一 7)|,+A-J.(I I)由函数y=|2x+l|卜一4|的图像可知，当工=一一时，y=|2x+l|k 4|取得最小值 T2