（沪教版2021必修三）上海高二数学专题训练-专题20用样本估计总体综合问题难点专练（教师版）.pdf

专题20用样本估计总体综合问题难点专练(教师版)学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知士,多,0匕，思是互不相等的自然数，且d+*+考+器+工；=2 65,标准差为2,则该样本数据的极差为()A.4 B.6 C.7 D.8【答案】B【分析】不妨设平均数为无，方差为s ，根据条件可得元=7,%+%2+X3 +玉+%=3 5,畸 火“，然后分毛=9、%=1 0、%=1 1三种情况讨论求解即可.【详解】不妨设王 X2 X3 X4 2 0,此时，方差大于 4,不合题意.故样本中最大的数为1 0,最小的数为4,极差为6.故选：B2.四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6 的 是().A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2C.平均数为2,方差为2.4 D.中位数为3,方差为2.8【答案】c【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项.【详解】解：对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误；对于8,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故8错误；对于C,若平均数为2,且出现6点，则方差(6-2)2=3.2 2.4,平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故C正确；对于。，当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,平均数为：x=g(1+2+3+3+6)3方差为仔=*(1 -3)2+(2-3)2+(3 -3)2+(3-3)2+(6-3)2=2.8,可以出现点数6,故。错误.故选：C.3.在 区域鼠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇、，依次计算得到结果如下：平均数5 4 3；平均数 4 3,且标准差s 4 2；平均数F 4 3,且极差团4 2；众数等于1,且 极 差 其 中 符 合 疫 情 被 控 制 的 指标的预报簇为()A.B.C.D.【答案】C【分析】通过举反例说明命题不符合题意，或通过根据平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项即可.【详解】错，举反倒：0,0,0,0,2,6,6；其平均数元=2 4 3,不符合题意；错，举反倒：0 3 3,3,3,3,6；其平均数元4 3且S =4 2,不符合题意；对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即后6,则极差大于6一元6-5 2 3,故假设不成立，故一定符合上述指标；对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即应6,则极差不小于6-1=5,与极差小于或等于4相矛盾，故假设不成立，故一定符合上述指标.故选：C4.张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的4、3 两酒店中的一个人住.两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图.记4、8 两酒店的宗合评分数据的均值为亏，耳,方差为V，若以此为依据，下述判断较合理的是（）A26 7 92 4B8 65 4789A.因为5/5/,应选择4 酒 店 B.因为匕%,S：S；,应选择A 酒店C.因为原耳，S：S/，应选择8 酒 店 D.因为当耳，应选择B 酒店【答案】B【分析】先根据茎叶图得到A,8酒店的评分数值，再根据平均数和方差公式求解.【详解】由茎叶图可知A 酒店的评分分别为:72,86,87,89,92,94,8酒店的评分分别为：73,74,86,88,94,95,所以果=86.67,又B=85,S；=50.56,=76,即 XA XB，S；S；,故选：B.5.为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图.有下列结论：甲 乙9 8 5 2 8 92 13 0 1 2甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；【详解】甲的得分为25,28,29,31,32：乙的得分为28,29,30,31,32；因为，（25+28+29+31+32）=29,-（28+29+30+31+32）=30 （25 29）2+（28_2灯+（29_2灯+（31-29）2+（32 29）=6 （28 30）2 +（29-30）2 +（30-30）2+（31-30）2+（32-30）1 =2故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为6、2;故正确的有；故选：A6.袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农,50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了 100株水稻统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（）B.这 1 0 0 株水稻的稻穗数平均值在区间 2 80,30 0）中C.这 1 0 0 株水稻的稻穗数的众数是2 50D.这 1 0 0 株水稻的稻穗数的中位数在区间 2 40,2 60）中【答案】B【分析】由频率和为1可计算出。，利用各区间中点值估计出均值，众数在频率最大的区间中，由频率0.5对应的数值为中位数，这样可判断各选项得结论.【详解】根据频率分布直方图知：组距为20,所以。=5-0.0 1 7 5-0.0 0 7 5 x 2 -0.0 0 5-0.0 0 2 5=0.0 1 ,故A选项正确；这 1 0 0 株水稻的稻穗数平均值；=2 0 x （0.0 0 5x 2 1 0 +0.0 0 7 5 x 2 3 0 +0.0 1 7 5 x2 50 +0.0 1 x 2 7 0 +0.0 0 7 5 x 2 9 0 +0.0 0 2 5 x 3 1 0）=2 56 ,可知这1 0 0株水稻的稻穗数平均值在区间 2 4 0,2 6 0）中，故B选项错误；由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这1 0 0株水稻的稻穗数的众数是2 5 0,故C选项正确；前两个矩形的面积是0.2 5 0.5,所以中位数在第三组数据中，即 这1 0 0株水稻的稻穗数的中位数在区间1 2 4 0,2 6 0）中，故选项D正确，故选：B.7 .下列命题是真命题的是（）A.有甲、乙.丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为3 0B .若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,1 0,5,则这两组数据中较稳定的是甲C.数据1,2,3,4,4,5的平均数、众数、中位数相同D.某单位A、B、C三个部门平均年龄为3 8岁.2 4岁和4 2岁，又A,8两部门人员平均年龄为3 0岁，8、C 两部门人员平均年龄为3 4岁，则该单位全体人员的平均年龄为3 5岁【答案】D【分析】对于选项A 根据分层抽样的定义可判断正误，对于选项8求出乙组数据的方程，与甲组数据的方差比较，可判断正误，对于选项C求出数据的平均数、众数、中位数即可判断正误，对于选项。设A,8,C三个部门的人数为。C,根据题意可得当，。=乎，4 4从而求出该单位全体人员的平均年龄.【详解】解：对于选项A：如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为3-I*,故选项A 是假命题，6对于选项5：乙组数据的平均数为5+6 +；+1 +5=7,方差为11 Q-(5-7)2+(6-7)2+(10-7)2+(5-7)2=y,因为乙组数据的方程比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项B 是假命题，对于选项C：数 据 1,2,3,4,4,5 的平均数为一1 9 、众数为4、中位数为7:，故选项C6 2是假命题，对于选项。：设A,B,C三个部门的人数为。，b,c,则有：3 8。+2 4 ,|.Aa-z e 3b-;=3 0,化筒得“=下，a+b 4产 =3 4,化简得c力，史0+2 4 6 +拦 出所以该单位全体人员的平均年龄为3 8。+2)+4 2 c=_=噤=3 5岁，a+b+c 女+力+竺 3b故选项。是真命题，故选：D.8.若个样本If、1-、1-W、1-%的平均数是-5,方差为3,则对于样本1 +2 为、1 +2/、1 +2 w、L、l +2 x”的平均数与方差分别是()A.1 0、6 B.1 0 -6 C.1 3、6 D.1 3、1 2【答案】D【分析】设占、X X3、L、X.的平均数为1方差为S2,求出输、S2 的值，利用平均数和方差公式可求得样本1 +2 为、1 +2%、1 +2 三、L、1 +2 天的平均数与方差.【详解】设占、%、与、L、乙的平均数为1 方差为52,则-=%+N+X,+%,2 _ 寸+值 一,一+(+.+X-X由题意可得 _ 5=。-%)+。7 2)+(-工)+.-+。-/)_ _%+当+玉+X”n nnn所以，样本1 +2%、1 +2、1 +2电、L、1 +2%的平均数为,=(1 +2 )+(1 +2/)+(1 +2 1 3)+(1 +2/)=+2(.+工2+工3 +Z)n n=1+2x=13，方差为,2 (1 +2 x J -(1 +2%)+(1 +2%2)-。+2川 +(1 +2%3)-(1 +2川 +(1 +2%)-(l+2 x)s nn故选：D.9.某大学为了解该校学生的体重情况，从中抽取了若干个样本进行研究，将数据整理后得到如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右前四组的频率之比为1:3:5:5,其中第二组的频数为6 0,则下列说法错误的是（）B.样本中体重在 6 5,7 0）的频率为0.25C.若该大学共有学生36000人，则体重超过8 0 k g的估计有600人D.估计抽取的学生体重的中位数约为66【答案】C【分析】根据后四组的频率值可得前四组的频率之和，从而可求出第二组的频率，从而可求出抽取的样本量，故可判断选项A；根据前四组的频率之和及前四组的频率之比为1:3:5:5,可计算出体重在 6 5,7 0）的频率,故可判断选项B；通过样本中体重超过8 0 k g的频率可估计大学共有学生36 0 0 0 人时，体重超过8 0 k g的人数，从而可判断选项C；利用频率分布直方图估计中位数的方法可计算出中位数，故可判断选项D.【详解】由后四组的频率值可得前四组的频率之和为1-0.0 0 5 x 5 x 2 0.0 1 x 5 0.0 4 x 5 =0.7,3 3 3所以第二组的频率为0.7 x =茄，所以抽取的样本量为6 0+元=4 0 0,故 A正确；体重在 6 5,7 0）的频率为0.7、5=0.2 5,B正确；若该大学共有学生36 0 0 0 人，则体重超过8 0 k g的估计有0.0 0 5 x 2 x 5 x 36 0 0 0 =1 8 0 0 人，C错误；设抽取学生体重的中位数为1，则0.0 1 x 5+0.0 3x 5+0.0 5 x 5+0.0 5 x（x 6 5）=0.5,解得x =6 6,D 正确.故选：C.1 0.下表记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为()甲组56656574X乙组596167y78A.70,65 B.75,65 C.73,67 D.75,67【答案】A【分析】对甲、乙两组数进行从小到大排列，同时注意甲组数据中位数的特点，再逐步求出X,y 的值.【详解】甲组数据的中位数为65,由甲，乙两组数据的中位数相等，得y=6 5又甲、乙两组数据的平均值相等，所以 gx(56 +6 5+6 5+74+x)=x(59+6 1+6 7+6 5+78),解得x=70.故选：A二、填空题1 1.已知样本数据演，x2,，0 2。的平均数与方差分别是机和“，若 y,=F+2 a=1,2,2020),且样本数据的乂，丫2，必必平均数与方差分别是和，贝！JX；+石+-*-2 0 2 0 =_ _ _-【答案】4040【分析】由样本数据的平均数、方差的性质列方程组求出机=1,n=,从而2020Kxi-l)2+(Xj-I)2-+在2 0 2 0 -1)2 =1 ,由此能求出 d +X；+K 1 2 0 的值.【详解】-07+2=n由题意得：，m=n解得加=1,n=,(-y i -1)+(x,-1)+(x,0 2 a-1)-=1,2 0 2 0 x；+芍 +x jg)+2 0 2 0 2(X 1 +x +-+2)=2 0 2 0 ,x：+石 +.+,go =2(演 +x +,+%2()o)=2 x 2 0 2 0 =4 0 4 0 .故答案为：4 0 4 0.1 2 .在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生2 4人，其平均数和方差分别为1 70.5和 1 2.96,抽取了女生2 6人，其平均数和方差分别为1 60.5和 36.96,则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为.【答案】5 0.4【分析】分别计算男生平均身高、女生平均身高、5 0人平均身高，结合方差公式即可求解.【详解】设2 4名男生的身高分别为,，马，0，平均数为12 6名女生的身高分别为九为，必6,平均数为？，样本中5 0人的身高平均为11 24 24于=一 Z x,=1 7 0.5 ,可得 Z&=2 4 x 1 7 0.5 =4 0 9 22 4 ,=|1 26 26j=E x-=1 6 0.5 ,可得y*=26y=2 6 x 1 6 0.5 =4 1 7 32 6汽 M，,.)=*(2 4 x +26y)=+(4 0 9 2 +4 1 7 3)=1 6 5.324f2-J2=1 2.9 6,可得：Z%2=2 4(S；+J)i=-F=36.9 6,可 得 x2=2 6(s；+y2)1=126-x-z +y-i=_+玉vfz150=150-z=1-2 41-2 6-=了yX-y-若X/(X!z以.IL22 42 6=%z/=l50=2引zf4-5OZ/=150=A 2 4(s；+(x-z)2)+2 6(s；+(歹一刃2)=*2 4(1 2.9 6 +(1 7 0.5-1 6 5.3)2)+2 6(36.9 6 +(1 6 0.5-1 6 5.3)2)=/2 4(1 2.9 6 +2 7.0 4)+2 6(36.9 6 +2 3.0 4)=(2 4 x 4 0 +2 6 x 6 0)=x 2 5 2 0 =5 0.45 0v 5 0故答案为：5 0.4.1 3.抽样调查某地区1 2 0名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区35岁以 下 具 有 研 究 生 学 历 的 教 师 人 数 为.本科学历的构成人数 35岁以下人员学历构成比例【答案】3 0【分析】根据图中的数据，分别求得本科学历和研究生学历的教师人数，再根据3 5 岁以下的本科人数所占比例求解即可得答案.【详解】解：由图可知本科学历的教师共有50 +2 0+1 0 =80 人，故研究生学历的有1 2 0-80 =4 0 人.3 5岁以下的本科人数有50 人，3 5岁以下教师的比例为62.5%,所以3 5 岁以下的本科和研究生学历人数和为50+62.5%=80 人，所以3 5 岁以下的研究生学历人数有80-50 =3 0 人.故答案为：3 01 4.某校高二(4)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且将全班2 5人的成绩记为4(i =1,2,.,2 5)由右边的程序运行后，输出=1 0.据此解答如下问题：注：图中y 表示“是，N表示“否”利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的中位数是 分.【答案】73.5.【分析】由茎叶图及频率分布直方图可得分数在 50,6 0）之间，6 0,70）之间，90,100 之间的频数，再根据程序框图可得分数在 70,80）之间的频数，从而可得分数在 80,90）之间的频数，从而可得分数在各个区间的频率，再根据中位数的定义即可求得中位数.【详解】解：由频率分布直方图知，分数在 50,6 0）之间的频率为0.008x10=0.08,故分数在 50,6 0）之间的频数为0.08x25=2,由茎叶图可知，分数在 90,100 之间的频数为2,分数 6 0,70）之间的频数为7,由程序框图及输出=10可知，分数在 70,80）之间的频数为10,所以分数在 80,90）之间的频数为2 5-2-7-1 0-2 =4,所以分数在 6 0,70）之间的频率 为 点=0.28,分数在 70,80）之间的频率为2=0.4,分数在 80,90）之间的频率为2=0.16,分数在 90,100 之间的频率 为 石=0.08,因为 0.08+0.28=0.36 0.5,所以中位数在 70,80）之间，设中位数为x,则 0.08+0.28+0.04（x 70）=0.5,解得 x=73.5,所以中位数为73.5分.故答案为：73.5.i s.某种细胞的存活率y（%）与存放温度x（）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：7 7计算得i =5,7=35,%为=-175,Z H=8 7 5,并求得回归方程为=-2X+45,i=l；=1存放温度X/20151050-5-10存活率）7%6142633436063但实验人员发现表中数据Q=-5 的对应值y=6 0录入有误，更正为y=53.则更正后的回归方程为.【答案】y=-l-9x+43.5【分析】77根据更正前的数据计算更正后的1 从而求更正后的回归方程.i=l r=l【详解】由题意知，更正后嚏=5，&=g(35x7-6 0+53)=34,7 7 x.y.=-175+5X6 0-5X53=-140,X,2=875,i=i=l_*-B=5-=-1.9,&=亍一菽=34一(一 1.9)x5=43.5,-L o /D-/X ZDLx1 -n xi=i更正后的回归方程为y=-1.9x+43.5.故答案为：y=-1.9%+43.5.1 6.某中学共有学生5()0()名，其中男生350 0 名，女 生 1 50()名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关,现用分层随机抽样的方法从中收集30 0 名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位：h),其频率分布直方图如下：，频率丽0.150.1-0.125.0.100-I0.075.0.025.0 2 4 6 8 10 12 时间/h已知在样本数据中，有 60 名女生的每周平均体育锻炼时间不少于4h,根据独立性检验原理，我们有 的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.【答案】95%【分析】根据频率分布直方图可得男女同学每周锻炼时间少于4 小时和不少于4 小时的2x2列联表，计算/，根据临界值作出结论即可.【详解】由题意，得从5000名学生中抽取一个容量为300的样本，其中男生、女生各抽取的人数为3 0 0 x =210,300 x=9 0,由频率分布直方图，可知每周平均体育锻炼时5000 5000间不少于4 h 的人数的频率为0.7 5,所以在300名学生中每周平均体育锻炼时间不少于4h的人数为300 x0.75=2 2 5,又在每周平均体育锻炼时间不少于4h 的学生中，女生有6 0名,所以男生有225-6 0=16 5（名）,可得如下2x2列联表：由列联表可得心。落设黑。）；7 6 2,因为3 8 4 y.76 26.6 35,性别体育锻炼情况男女总计每周平均体育锻炼时间少于4h453075每周平均体育锻炼时间不少于4h16 56 0225总计21090300所以有95%的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.故答案为：95%1 7.为了解某次测验成绩，在全年级随机地抽查了 100名学生的成绩，得到频率分布直方 图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5 组的学生人数成等比数列，【答案】0.32【分析】由题可知后五组的人数为6 2 人，利用等比数列求和公式可求第四组的频数，即解.【详解】由抽查了 100名学生的成绩，9 0分以下人数为3 8,则9 0分以上人数为1003 8=6 2人，为后五组的累积频数，由于后5组的学生人数成等比数列，设第四组的频数为m公比为g 则Ss=6 2 =a(q&+q3+q2+q+l)q由各组人数均为整数，故d)4 4 a 6 2,q故 g =g ,a =3 2 .则 b=0.3 2.100故答案为：0.3 2.1 8.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是.平均数543；标准差SM2；平均数1 4 3且标准差5 Y 2；平均数于 4 3且极差小于或等于2；众数等于1且极差小于或等于4.【答案】(4)(5)【详解】错，举反例：0,0,0,0,0,0,7；其平均数543,但不符合上述指标；错，举反例：7,7,7,7,7,7,7；其标准差S =0 2,但不符合上述指标；错，举反例：。,3,3,3,3,3,6；其平均数彳3且标准差S42,但不符合上述指标；对，若极差小于2,符合上述指标；若极差小于或等于2,有可能0,1,2：1,2,3；2,3,4；3,4,5；(5)4,5,6,在平均数了43的条件下，只有成立，符合上述指标；对，在众数等于1且极差小于或等于1，则最大数不超过5,符合指标，所以选.19.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22C.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：(记录数据都是正整数)甲地5个数据的中位数为2 4,众数为22；乙地5个数据的中位数为2 7,总体均值为24；丙地5个数据中有一个数据是3 2,总体均值为2 6,总体方差为10.8.则 肯 定 进 入 夏 季 的 地 区 有.【答案】【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5 天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案.【详解】甲地：5 个数据的中位数为2 4,众数为2 2,根据数据得出：甲地连续5 天的日平均温度的记录数据可能为：2 2、2 2、2 4、2 5、2 6,其连续5 天的日平均气温均不低于2 2；乙地：5 个数据的中位数为2 7,总体均值为2 4,当5 个数据为19、2 0、2 7、2 7、2 7,可知其连续5 天的H平均温度有低于2 2 ,故不确定；内地：5 个数据中有 个数据是3 2,总体均值为2 6,若有低于2 2,假设取2 1，此时方差就超出了 10.8,可知其连续5 天的日平均温度均不低于2 2,如2 2、2 5、2 5、2 6、3 2,这组数据的平均值为2 6,方差为10.8,但是进一步扩大方差就会超过10.8,故对.则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为.【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可.2 0.已知一组数据王，x2,鼻，x”的平均数为3方差为S?.若3%+1,3 +1,3 事+1,，3 i+1 的平均数比方差大4,则 相-不 的 最 大 值 为.【答案】【分析】设新数据的平均数为捻，方差为摩，可得,=3 +1，Sl1=9S2,由新数据的平均数比1 _ 1方差大4可得寂+1 =9 5 2+4,可得S 2=x-,代 入 可 得 其 最 大 值.【详解】解：设新数据M+1,3+1,+1.3%+1 的平均数为捷，方差为可得：=3%+1，5,2=9 52,由新数据平均数比方差大4,_ .1-1可得版+1=9 2+4，可得S ,I由9 二丁一 之。，可得x N l，可得当7=1 时，可得S 2-P 的最大值为：-(J J)?工=一1，6 36故答案为：-1.【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.三、解答题2 1.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业.某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售.为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重(单位：克)，其重量分布在区间 100,400 内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图.0.00400.00360.00320.00240.0020100 150 200 250 300 350 400 重量(g)图1修】9格V蛇。格V第21格第7格第8格第9格10格A第11格买苹果送福袋V*22 WV第23格V第”格图2（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了 5 个苹果，求这5个苹果中重量至少有一个在一个在（300,4 00 内的概率.（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏.该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1 或 2,且这两种结果的概率相同；从出发格（第 0 格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2 所示的路径向前行进一次，若掷出1 点，即从当前位置向前行进一格（从第A 格到第攵+1格，*GN）,若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k格到第+2 格，A c N ）,行进至第31格（获得福袋）或第32 格（谢谢惠顾），游戏结束.设买家行进至第i 格的概率为P =0，2,32）,p=l.（i）求 P i、Pi.（i i）说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家.1 3【答案】（1）1-0.7 25;（2）（Z）/?,=-,0=，（）小张网店推出的此款游戏活动是更有利于买家.【分析】（1）由频率分布直方图可知个苹果重量在（3 0 0,4 0 0 内的概率为0.2 8,由对立事件的概率及独立重复试验可求解；（2）（i）由当前格在第0格，且第一次抛掷骰子，结果为1,可求得口=g；由当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2,和当前格在第1 格，第二次抛掷骰子，结果为31,这两个互斥事件的和事件的概率公式可求得。2 =%；分两种情况可求得P,：当前格在第 2格，抛掷一次骰子，结果为2,当前格在第 1格，掷一次骰子，结果为1.(ii)根 据(i)的递推关系p,=g p j+g p,一2 =0，1，2,3 1)可求得P i=l 0 =0,1,2,-,3 1),由此可得用1,根据夕3 2=3外。可求得P 3 2,再比较大小可得答案.【详解】(1)由频率分布直方图可知苹果重量在(3 0 0,4 0 0 内的概率为0.2 8,所以不在(3 0 0,4 0 0 的概率为0.7 2 ,购买5个所得重量相当于5次独立重复试验，故这5个苹果中重量至少有一个在(3 0 0,4 0 0 内的概率为1-0.7 25(2)(i)买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1,行进至第一格，其 概 率 为 则P i=g;买家要行进至第2格的情况有以下两种：当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2,行进至第2格，其概率为g；当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1,行进至第2格，其 概 率 为=所以“=%(ii)买家要行进至第i格(i=0,1,2,.,3 1)的情况有以下两种:当前格在第i-2格，抛掷一次骰子，结果为2,行进至第，格，其概率为g p y；当前格在第i-1格，抛掷一次骰子，结果为1,行进至第i格，其概率 为:P-；所以P,=gp,T +；p”2(i=0,l,2,3 1).(P,一 )=一g(PT-Pi-2),即 上 生 心-=0,2,3 1),又 P i-P o=g-l =-gw ，所以数列 乩一加0 =0,1 2,3 1)是首项为p/p=-公比为-5 的等比数列.所以 P i 一 =1 g)(Z=0,1,2,3 1),所以 R=S -PT）+（/V 1 一 月 一 2）+（月-00）+例即历=1-6）=。，1,2,31）.所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推出的此款游戏活动是更有利于买家.【点睛】本题解决次独立重复试验问题，根据题意，含有至少这样问题的概率，可利用对立事件求解，比较简洁，本题购买一个苹果落在要求范围内的概率为0.28,则不落在该范围的概率为0,7 2,利用对立事件转化为1-0.72$.2 2.太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：日照情况日均气温不低于15C日均气温低于15C日照充足耗电0 千瓦时耗电5 千瓦时日照不足耗 电 5 千瓦时耗 电 10千瓦时日照严重不足耗 电 15千瓦时耗电20千瓦时根据调查，当地每天日照充足的概率_ 为：2 ，日照不足的概-率 为：2，日照严重不足的概率为g.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为 5,1 0),1 0,1 5),1 5,2 0),2 0,2 5),2 5,3 0),3 0,3 5 .频率/组距(1)求图中的值，并求一年中日均气温不低于1 5 c 的频率；(2)用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？(一年以365天计算)3【答案】(1)a=0.0 5,-；(2)5 0 1 8.7 5 千瓦时.4【分析】(1)根据频率分布直方图中频率和为1 求出区间 2 5,3 0)的频率，再除以组距求得。的值，再利用长方形面积等于频率，求出不低于1 5 的频率；(2)由(I)知一年中日均气温不低于1 5 的概率的估计值为1，低 于 1 5 的概率的估计值为!，分析题意可知，使用电辅式太阳能热水器日均耗电量X的可能取值为0,5,1 0,1 5,2 0,分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，得到使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量，进而得到一年可以节省的电量.【详解】(1)依题意得a=g(l-0.0 2 x 5-0.0 3 x 5-0.0 3 x 5-0.0 4 x 5-0.0 3 x 5)=0.0 5.3一年中|均气温不低于 1 5 的频率为0.0 3 x 5 +0.0 4 x 5 +0.0 5 x 5 +0.0 3 x 5 =0.7 5 =2.3（2）这一年中日均气温不低于1 5 c的概率的估计值为一年中日均气温低于1 5 c的4概率的估计值为9，4设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为X,X 的所有可能取值为0,5,10,15,20p（x=o）=2 d=9=3,唳=5）=占2/J 7 5 4 20 10 1 7 5 4 5 4 2025P（X=10）=x =-=,P（X=15）=x =,P（X=20）=x=-!7 5 4 20 10 7 5 4 20,7 5 4 20所以X 的分布列为X05101520P3io251io3201203 2 1 3 1 25所以 X 的数学期望 E（X）=0X，+5X-+10X +15X，+20X =6.25V 7 10 5 10 20 20 4所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为20-6.25=13.75（千瓦时）所以使用电辅式太阳能热水器年节省的电量为13.75x36 5=5018.75（千瓦时）【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.2 3.为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在 75,100）内，再以5 为组距画分数的频率分布直方图（设“翳=丫 ”）时，发现丫满足：组距7=-,/?=15,15019Y=-yn=6,n eN 5 n X 5（n+1）.（1）试确定 的所有取值，并求生（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在 95,100）内的同学评为一等奖；分数在 90,95）内的同学评为二等奖，但通过附加赛有、的概率提升为一等奖；分数在185,90）内的同学评为三等奖，但通过附加赛有g 的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和 8均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；已知学生A和 8都获奖，记 A,B两位同学最终获得一等奖的人数为求g的分布列和数学期望.【答案】（1）=15.16.17.18.19；%=才；（2）；分布列见教师，【分析】（1）根据分数及组距可得”的可能值，由频率和为1 可求得酸（2）视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符 号&（或鸟）表示学生A （或8）在 第 一 轮获奖等级为i,通过附加赛最终获奖等级为其中/V i（i,/=1,2,3）,记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W,则P（W）=P（B,+%+%）,由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；先分别求出A8获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖.A最终获一等奖概率易知为巴=,而 3最终获一等奖，需要在第一轮5获奖的条件下才可能实现.因此人而篝西+而端0 X、4的可能取值为0 ,2,分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望.【详解】（1）根据题意，X在1 7 5,1 0 0）内，按 5为组距可分成5个小区间，分别是 7 5,8 0）,8 0,8 5）,8 5,9 0）,9 0,9 5）,9 5,1 0 0）,因为7 5 W X 1 0 0,由5 X =-6 0 6 0 11 6 0 11 11 6 0 7 11 220,学生A 最终获得一等奖的概率 是?=,2 11学生8 最终获得一等奖的概率是七=%+%*=蛾+/=/，6 0 6 0wo)=(T)H啜，噂=1)4.崎)+P=2)=.,11 9 99所以J 的分布列为：旦 几(ad bc)1-,/.参考公式：%=.、/八)、(其中-a+b+c+d 为样本容量)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(/)0.500.400.250.150.1000.0500.025k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表答案见教师，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于6 0有关;（2）（i）0.9；（ii）当接种人数为=99 时,E（X）=89.1；当=100 时,（X）=90.【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据P（X=90）最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出