高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练23(含解析).pdf

高中数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质解答题提高训练(2 3)题号一总分得分一、解答题(本大题共3 0 小题，共 3 60.0 分)1 .在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 1：?+?=1 的左、右焦点分别为Fi，F2,点 A在椭圆E上且在第一象限内，AF2 1&F2，直 线 与 椭 圆 E相交于另一点B.(1)求 4&尸 2 的周长；(2)在 x 轴上任取一点P,直线A P与椭圆E的右准线相交于点Q,求 前.诞 的最小值;(3)设点M在椭圆E上，记A O A B 与AMAB的面积分别为S i，S 2，若S 2 =3 S 求点M2 .已知函数/(X)=X2-(c+l)x+c(c e R).(1)解关于X 的不等式f(x)a/-5在(0,2)上恒成立，求实数a 的取值范围.3.已知函数/(%)=|lnx|,g(x)=k(x l)(k G/f).(1)若两个实数a,b满足0 a b,且/(a)=/(b),求4 a-b的取值范围；(2)证明：当k 1,使得对任意的x e(l,x(j),恒有/(x)g(x)；4.在函数定义域内，若存在区间旧,闰，使得函数值域为g +k,7l+k ,则称此函数为“火 档类正方形函数，已知函数/(久)=log32fc-9X-(fc-1)3X+k+2.(1)若函数y=/(%)的最大值是1,求实数k的值；(2)当x 0时，是否存在k 6(0,1),使得函数/(X)为1档类正方形函数”？若存在，求出实数%的取值范围，若不存在，请说明理由.5.对于函数f。)，若在定义域内存在实数x,满足/(一%)=-“%),则称/(%)为“局部奇函数”.(1)已知二次函数%)=Q%2 +2%4 a(a E R),试判断/(%)是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若/。)=2%+6 是定义在区间 一1,1 上 的“局部奇函数”，求实数机的取值范围；(3)若/。)=4一山 21+巾2-3 为定义在/?上的“局部奇函数”，求实数2 的取值范围.6.对于函数y=g(x),y=九(%),如果存在实数a,b,使得函数f(x)=ag(%)+6九(%),那么我们称y=f(%)为函数y=g(%),y=九(%)的“”C函数”.(1)已知g(x)=%-3,h(x)=-2x+1,试判断f(x)=5%-5能否为为函数y=g(%),y=九(x)的“”C函数”,若是，请求出实数Q,b的值；若不是，请说明理由；(2)己知g Q)=2x,/i(x)=2 一“，/(%)为函数y=g(%),y=九(%)的“H C 函数且a=l,b=2,解不等式/(x)3；(3)已知g(x)=匕九。)=%/(%)为函数y=g(%),y=九(%)的“”C函数”(其中a 0,b 0),y=/(%)的定义域为(。，+8),当且仅当=2 时y=/(%)取得最小值4.若 对 任 意 正 实 数 且%1 +%2=2不等式/(%i)+/(%2)小恒成立，求实数机的最大值.7 .已知a e R,函数/(x)=x aln x,g(x)=|x2 ax.(1)讨论/(x)的单调性；(2)记函数h(x)=g(x)-/(x),求/i(x)在七,1 上的最小值.8 .已知函数f(x)=loga(l+x)-loga(l-x)(a 且a 丰 1)(1)求使/(x)0的x的取值范围；(2)若。(吟=log a(1_刁；1h 0)=f(x)-9(x)，是否存在实数m,使得九(X)=。有三个不同的实根，若存在，求出，的取值范围；若不存在，请说明理由.9 .已知f(x)为偶函数,当x 2 0时，f(x)=2lg(x+1),(1)求/(x)解析式;(2)若对于任意的x (-8,0),关于X的不等式lg(kx)V/(%)恒成立，求女的取值范围.10.已知函数/(%)的定义域为%|%e R,且工工0,对定义域内的任意%1、2,都有f(%i 2)=/(xi)+/(%2)且当X 1 时，/(%)0.(1)求证：%)是偶函数；(2)求证：f(%)在(0,+8)上是增函数.11.荆州市政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税.某外资厂第一个月A 型产品出厂价为每件10元，月销售量为6 万件，第二个月，荆州市政府开始对该商品征收税率为p%(0 9 1 0 0,即销售1元要征收急元)的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件既元,预计月销售量将减少P 万件.(1)将第二个月政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域：(2)要使第二个月该厂的税收不少于1万元，则p 的范围是多少？(3)在第(2)问的前提下，要让厂家本月获得最大销售金额，则p 应为多少？12.心理学研究表明，学生在课堂上个时间段的接受能力不同,上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设课上开始x 分钟时，学生的接受能力为/(x)(f(x)值越大，表示接受能力越强)，f(x)与 x 的函数关系为：/(%)=-O.lx2+2.6x+44,(0 x 10)60,(10 x 15)3x+105,(15 x 25)30,(25%0,函数g(x)=弓 蓼?若 对 任 意J-i -y-，都存在实数不，使得9(/)=/。2)成立，求。的取值范围.1 4 .已知a0,函数/(x)=|x|+a|1 -(1)当a =2时，求函数f(x)的最小值；(2)若存在b 0且b K 1,使方程/(x)=/(b x)的所有实数根之和为0,求a的取值范围.1 5 .已知函数/(x)=e L gx=ax2+x +l(a 0).(1)设F(x)=嘿，讨论函数F(x)的单调性；J(2)若a =：,证明：/Q)g(x)在(0,+8)上恒成立.v21 6 .已知p：函数y =a x是增函数,g：方程京+y 2 -i(a 0)表示焦点在x轴上的椭圆，若p A (q)是真命题，求实数a的取值范围.1 7 .设二次函数/(x)=ax2+bx+c(a,b,c e R)满足下列条件：/1)=1：当X R时，其最小值为0,且/。-1)=/(一工一1)成立.(1)求/(x)的解析式；(2)求最大的实数7 n(7 n 1),使得存在t 6 R,只要当x 6 时，就有/(x +t)W x成立.1 8 .定义在R上的函数/(x)满足以下两个性质：/(x)+“x)=0,f(l +x)=/(2 x),则称函数/(X)具有性质P.(1)判别函数f l(x)=eH I-eH./2(x)=C O S管+9是否具有性质尸？请说明理由.(2)若函数g(x)具有性质P,且函数g(x)在(-1 0,1 0)有 八个零点，求 的最小值.1 9 .对于定义域为Q 的函数y =/(久)，若有常数M,使得对任意的X iCO,存在唯一的6。满足等式%)产=，则称M 为函数y =f(X)的“均值”.(1)判 断 1 是否为函数 X)=2 x +1(-1 W x 4 1)的“均值”，请说明理由；(2)若函数f (x)=a x2-2 x(1 x x +k 在 区 间 上 恒 成 立，试求左的取值范围.2 1.定义在(一1,1)上的函数/(x),对任意x,y e(-1,1)都有：/。)+y)=4鬻且当x 6(-1,0)时，f(x)0.回答下列问题:(1)判断/(x)在(-1,1)上的奇偶性，并说明理由：(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由;(3)若 麋)/试求/()f(目 的值.2 2.已知函数f(x)=1 一春的图象关于原点对称.(1)求实数a的值；(2)若关于x 的不等式f (k 军 二)4-/(簧)0恒成立，求实数的取值范围.2 3 .对于函数/1(%),%(%),如果存在实数m b,使得函数F C O n a/i C O +b/z Q),那么我们称F Q)为方/(%)的“S Z 函数”.(1)己知方(二)=2X,/(%)=4X,尸(一为丁(%),%(%)的“S Z 函数”且Q=2,b=1,若关于x的方程F(%)=mf2(x)+1 有解，求实数m的取值范围；(2)已知方(x)=x,/2(x)=p F(x)为/1G:),/2(x)的“S Z 函数”，其中a 0,b 0,F(x)的定义域为(0,+8),当且仅当=2 时/(x)取得最小值4,若对任意正实数与.2 且%1 +%2 =2,不等式?(X1)+尸(%2)之九恒成立，求实数的最大值.2 4 .已知定义在A上的函数/(%),对任意实数%i，&都有f(/+%2)=1 +/(%i)+/(%2)，且/(1)=L(1)若对任意正整数，有 即=/候)+1,求 即 的通项公式;(2)若匕=3 n +1,求数列 万 前n项和Sn.2 5.已知二次函数y =/(x)的图象经过原点，函数f(x +l)是偶函数，方程f(x)+1 =0有两相等实根.(1)求y =f(x)的解析式；(2)若对任意x 6 g 8,2/(l o g 2 X)+m 2 0恒成立，求实数，的 取值范围;2 6.在平面直角坐标内，若一动圆与圆。rx2+y2+2x=0外切，同时与圆。2：/+y 2 -2%-8 =0内切，记动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程：(2)设C的 标 准 方 程 的 左 右 焦 点 为 过 尸2的直线/与曲线C交于不同的两点A,B,则Z F i A B的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线/的方程；若不存在，请说明理由.2 7.已知函数f(x)=s i n x +co s x,f (x)是/(x)的导函数.(1)求函数尸(x)=f M f M+(f(x)2的最大值和最小正周期;(2)若f(6)=2 1(6),求l+sin20cos20-sin0cos0的值.2 8 .设 a,b&R,函数/(x)=a/+b x 3,g(x)=x-a,x&R.(1)若/(x)为偶函数，求b的值；(2)当 匕=一 婀，若f(x),g(x)在区间口,+8)上均单调递增，求a的取值范围；(3)设a 6 口,3 ,若对任意x e 1,3 ,都有/(无)+g(x)W 0,求a 2 +6 b的最大值.2 9.已知函数y =V a x2+2ax+1的定义域为R.(1)求。的取值范围.(2)若该函数的最小值为当，解关于x的不等式/一 x 一 a?-a -4,2 1 t当t =2 时，(OP QP)m i n=-4.(3)若S 2 =3 S i，设 O 到直线A B 距离心，M到直线A 8 距离d z，贝限x|48|x d2=xAB x四 x 3,即 d 2 =3 d1,4(1,|),F i(-l,0),可得直线 AB 方程为y =+1),即3%-4 y +3 =0,所以d i=|,d2=由题意得，M点应为与直线A B 平行且距离为g 的直线与椭圆的交点,设平行于A B的直线/为3 x -4 y +m=0,与直线A B的距离为一所 以 瞿=：,即r n =6 或 1 2,V9+16 5当m=6 时，直线/为3%4y 6 =0,即y =(x 2),联立可得(-2)(7 x +2)=0,即RM 二或-7(州一|yM=-7所以 M(2,0)或(一,一).当m=1 2 时，直线/为3 x -4y +1 2 =0,即y =；(x +4),联立AXy可得全工2 +1 8 x +2 4=0,A=9 X(3 6-5 6)0,所以无解,综上所述，加点坐标为(2,0)或解析：【试题解析】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于较难题.(1)由椭圆标准方程可知m b,c 的值，根据椭圆的定义可得AAFIF2的周长=2 a +2 c,代入计算即可；(2)由椭圆方程得4(1,|)，设P(t,0),进而由点斜式写出直线AP方程,再结合椭圆的右准线为:=4,得点Q 为(4,7 2)，再由向量数量积计算最小值即可；在计算ACMB与M4B的面积时，AB可以最为同底，所以若S?=3S 则 O 到直线AB距离心与M 到直线AB距离d 2,之间的关系为d2=3d，根据点到直线距离公式可得由=I，d2=|,所以题意可以转化为M 点应为与直线4 8 平行且距离为、的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线/为3 x-4 y +m=0,与直线AB的距离为 根据两平行直线距离公式可得，m=6或 1 2,然后在分两种情况算出点的坐标即可.2.答案：解：(1),/(%)0,.,%2 (c+l)x+c=(x 1)(%c)0.当C 1时，可得C X 1;当C =1时，可得(-1)2 1 时，可得1 c x e c.综上，当c V I时，原不等式的解集为%|cv%V I ,当c=l 时，原不等式的解集为。，当C 1 时,原不等式的解集为%|1 x ax-5 可化为/+x-2 a x-5.v ax%2 4-%+3在(0,2)上恒成立，/+4+3、a V()min-设 g(X)=g 2,则 9 0)=胃2=+：+1 2 1+2 M，当且仅当x =3 即 乂 =b (0,2)时，等号成立.1 g(0m i n =1 +2 代,a 1 +2 V 3，即实数”的取值范围为(一 8,1 +2 b).解析：本题考查解不等式，考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.(1)/(%)V 0,可 化 为(C +l)x +c =(%-1)(%-C)Q%-5在(0,2)上恒成立，等价于/+%-2 a r -5在(0,2)上恒成立，即/+%+3在(0,2)上恒成立，分离参数，求最值，即可求实数。的取值范围.3.答案：解：(1)由0 l),故有 4Q bb,6 1易知函数y =g -b 在(1,+8)上单调递减，而b =1时y =3；所以4a -b 的取值范围是(-00,3)；(2)证明：令G(x)=I n x k(x -1),x G (1,+00),则有C(x)=i-f c =野,x e (1,+00),当k4 0 时，G Qx)0,故G(x)在*C(l,+8)上单调递增,G(x)G(l)=0,故任意正实数X。1均满足题意，当0 c z e 1 时，令G l,取%o =p 对任意x e (L x。)，有G (x)0,从而G(x)在(1,a)上单调递增，所以G(x)G(l)=0,即f(x)g(x),综上，当k 1,使得对任意的x e (1,a)，恒有/(x)g(x).解析：本题考查了导数的综合运用，运用导数研究函数的单调性和最值，导数中的恒成立问题以及不等式证明，考查了分析和运用能力，属于较难题.根据/(a)=/(b)可得a =：(b 1),即得到4a -b=b,b 1,根据函数y =7 一 b 在(1,+8)上单调递减即可得到取值范围；(2)令。0)=1 11%-/0。-1),x e(l,+o o),求导，利用导数和函数的单调性和最值的关系即可求出.4.答案：解：(1)由题意，设t =3”,t 0,则/(t)=l o g 32k-t 2-(k-i)t +k +2,若则函数9)=2人/一 一 1 +/+2无最大值，即t)无最大值，不合题意；若k 0时取到，且/(*)=1 2k(*)2-(k -1)黑 +k +2=3,解得k =l,或 =巳.由 k0,可得k =(2)由题意，因为0 k 1).设真数为g(t)=2k-t2-(k-l)t+k+2.此时对称轴t =，;当t 1时，g(t)为增函数，且g(t)g(l)=2k +3 0,即/(%)在(1,+8)上为增函数.f(x)m i n =/(瓶)=M +1，/(x)m a x =/(n)=n +1，即方程k g 312k /-(/-1)3X+k+2=x+1在(0,+8)上有两个不同实根,即2k -9X-(f c -1)3X+k+2=3X+1,设t =3x(t 1).:.2/c -t2-(/c -l)t +f c +2=3t.即方程2k 2 一(k +2)t +k +2=。有两个大于1的不等实根，回=(f c +2)2-8k(k+2)0半 1,4k2k,t2 (k +2)l +/c +2 0解得 2 k：,由0 kl,得0 k：,即存在w,，使得函数f(x)为“1档类正方形函数”，且0 k 0,t 1,g(t)在(1,+8)上单调递增，由新定义知f(x)m i n =/(m)=m+l，/(x)m a x =/(n)=n +l,即方程2k ,户一 (k +2)t +k +2=0有两个大于1的不等实根，列不等式组求得结果.5.答案：解：/(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程/0)+/(-刈=0有解.(1)当/(久)=ax2+2%4a(a G R)时，方程/(%)+/(%)=0,即2a(/-4)=0有解不=2,所以/(%)为“局部奇函数”.(2)当/(%)=2*+T H时，/(%)+/(-%)=0可化为2欠 +2 r +2 m=0.因为f(%)的定义域为-1,1,所以方程2%+2 T +2 m =0在 一 1,1 上有解.令1=2%则1 6 ,2 ,则-2 m =t +1设g(t)=t +3 则/(t)=1-专=詈.当t 6(0,1)时，g (t)0,故g()在(1,+8)上为单调增函数.因为“I T，g(2)=|，g =2,所以 W假乂 时，g(t)6 2,2.所以即(3)当/(%)=4X-m-2x+1+m2 3时，/(%)+/(%)=0 可化为 4+4 r 2m(2x+2-x)+2 m2 6=0.设t =2%+2 T,则tE 2,+8),则4%+4 r =/一 2,从而产-2mt+2 m2-8=0在 2,+8)上有解即可保证/(%)为“局部奇函数”.令 F(t)=t2-2mt+2 m2-8.当户(2)S 0时，t2-2mt+2m2-8=0在 2,+8)上有解,由 F(2)4 0,即 2m2 _ 4 m-4 S O,解得1 一遮 W m W 1+H；当尸(2)0时，t2-2mt+2m2-8=0在2,+8)上有解等价于解得 1+V 3 m 0,m 2,F(2)0,解析：本题考查函数的奇偶性、值域等，考查分类讨论思想、计算能力、转化能力等，属中档题.(1)题意可转化为看方程f (x)+/(-X)=0,即2a(/-4)=0是否有实数解.(2)由已知方程f(x)+/(-x)=0,即2、+2 r +2m=0在上有解，这里令t=2Z(t e并分离参数，转化为关于t 的方程-2m =t+3在-1,1上有解，根据函数与方程的思想，就是求函数g(t)=t+：在 上 的 值 域，得出-2 m 的取值范围，就能得出机的取值范围.(3)由f(x)+/(-x)=0得方程4*+4 r -2m(2x+2-x)+2m2-6=0有实数根，换元令t=2X+2xf则tE 2,+8),转化为方程/一 +2ni?-8=0在2,+8)上有解，不便于分离参数，利用二次函数的图像判断一元二次方程根的分布，即可解答.6.答案:解：(1)因为g(x)=久 一 3,九(%)=-2%+1,若/(%)为函数、=0。)/=九(%)的“。函数”，则 f (%)=5%5=a(x-3)+b(2%+1)=(Q-2b)x 3a+b,a-2 b =53a+b=_ 5,解 得 忆1-2(2)f(%)为函数y=g(%),y=九(%)的“H C函数”，又g(x)=2x,h(x)=2x,且a=l,b=2,故f(%)=2+2 L,则不等式f(W 3可化为2%+2 2-3,即(2%)2 3 2%+2 0,也即(2”-1)(2%-2)0,所以，不等式的解集为(一x.()U(L+x)；(3)/(%)=ax 4-p a 0,b 0,x 0,由基本不等式知：/(%)=ax+2yab,当且仅当。=空 匠=口 时 取 等 号，x y/a又当且仅当x=2时y=/(%)取得最小值4,所以 J 合2,得 仁；V ab=4因此，f(x)=x+p4 4则对任意正实数%1，%2,/(%1)+f(%2)=%1+管+%2+1又与+外=2，故/(%1)+/(%2)之根恒成立，可转化为f (Xi)+/(X2)=2+-m恒成立，xlx2因为1 0,x2 0,且%1+%2=2,所以与犯 (华)2=1，当且仅当1=%2=1取等号，所以22 1 0,当 且 仅 当/=次=1取等号，所以T H 3 可化为2久+2 2-工 3,解不等式即可；(3)由基本不等式知：f(x)=ax+2 2属，由等号成立的条件可得a、b,得出/(x)的解析式，故/。1)+&)2 加恒成立，可转化为/(%)+/。2)=2+式-2 恒恒成立，由基本不等式得xlx2X 1x2 0 时，令f(x)0,解得工Q,，/(%)在 a,+8)上单调递增,令广(%)0,解得0 0 时，/(x)在 a,+8)上单调递增,在(0,a)上单调递减.(2)v/(x)=x alnx,g(x)=1x2 ax,1 7 九()=g(x)/(x)=-xz ax%4-alnx,函数九(%)的定义域为(0,+8),(x)二史 喑 2若a I，x 6 I，1,/iz(x)0,h(x)单调递减，/i(x)在 由 1 上的最小值为九=-a -%若 a 0,g(a)在区间(J,1)上单调递增，由 g(a)=0得。=4 1 I)，1 1 1,布许 一 产 仇 且4 n 2-l)-l 当:a品F 时，%X)在E，1 上的最小值为九=一a -a当而K 0,/i(x)单调递增，h(x)在质1 上的最小值为九。_ a l n 2 -1，综上所述，当a 品F 时，以功在E，1 上的最小值为一 尹 如2 -1.解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，属于较难题.(1)由题意可得尸(x)=1 -?=雪，分别讨论当a 0时函数的单调性即可；(2)/i(x)=g(x)/(x)=|x2-ax x+a l n x,h(x)=丁讨论当a|a 1 时函数的最值即可得到答案.8.答案：解：(1)/(%)0,即 1 0 g a(l +%)1 0 g a(l -X)0,即l o g苍 0,al,等 价 于 岩1,等价于l +x l x,由定义域知l x 0.故对al,当x 6 (0,1)时有f(x)0.对0al,等价于0老1,等价于-l x 0.故对0 a 0.综上可得：当a l时，x e (0,1)；当0 a 0，所 以.芸.丘 衿 =。(l+x)(|l-z|)O l o g.-=0m (1 +%)|x|=m,令y =(1 +%)6一%|(11I-(+1),1%-=)1 1(x +1)-X 1如图所示：所以当0 V m V2时，函数y =与函数y =(1 +x)七一%图象有3 个不同的交点，所以当OV/nV橙时，函数h(x)有 3 个不同的零点.1 6解析：本题考查函数图象和性质的运用，考查不等式的求解及函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题.(1)分0 a 1 两种情况讨论求解对数不等式；(2)运用数形结合思想解答，转化成关于x 的分段函数，利用二次函数的图象和性质判断，需注意函数的定义域.9.答案：解：(1)设x 0,fM=/(-x)=2 1 g(-x+1),所以f(x)=若，一 (2 1 g(x+l),x 0注：可直接写成/(%)=2 1 g(|%|+1)形式.(2)当 V O时，因为此0,所以kvO,所以l g(/cx)2 1 g(%+1),即l g(k%)l g(x+l)2,B Pf cx (x+l)2,因为工0,所以=%+三一2恒成立，X X因为久 0时 ，y =%+：2最大值为一4,所以一4 k,所以一4 k 0,由偶函数得f(x)=f(-%)=2 1 g(-x+1),即可求得f(%)的解析式.(2)不等式l g(k x)f(x)恒 成 立,K Pl g(f cx)2 1 g(-x+1)恒成立，等价于Ig(f cr)l g(-x+I)2,由对数函数的单调性得k x (X +1)2,因为X 丘 包=X +工一2恒成立，由y =久+三 的X X%性质求出y =x+；-2的最大值即可.10.答案：证明：(1)由题意知，对定义域内的任意X i，上都有/(%1 -X2)=/(%!)+/(x2),令X 1 =1,不=一1,代入上式得到/(l)=0令 1 =%2 =代入上式解得/(-1)=0,令%1 =-1 X2=%代入上式，/(-X)=/(-1%)=/(-I)+/(%)=/(%)，：f(x)是偶函数.(2)设%1 0,则/(x2)/(X 1)=/(X 1 -/(X 1)=f(*l)+崎-/(打)=/七),V X2%1 0,X l/(力 0,即 f(X 2)-人工1)0,f(X 2)f(U)，f(x)在(0,+8)上是增函数.解析：本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，利用给出恒等式反复给X 1 和 久 2 赋值，注意条件的利用.(1)根据题意和式子的特点，令/=1,x2=-1,得到/(1)=0,令X =x2=-1 求出/(-1)=0,再令X =-1,X2=X 求出/(-X)=/(X),则证出此函数为偶函数；(2)先任取小%1 0,再代入所给的式子进行作差变形，利用g=刈 自 啜 1 且/管)，判断符号并得出结论.11.答案：解：(1)依题意，第二个月该商品销量为(6-p)万件，月销售收入为(6-P)匿 万 元，政府对该商品征收的税收y =(6-P)急(万 元).故所求函数为、=窖.“(3 分)由6 -p 。以及p 0 得，定义域为 p 0 p 6 (4 分)(2)解：由、2 1 得 等 2 1 化简得 2-7 2+1 0 4 0,.(6 分)1 0 p即(p -2)(p -5)0,解得 2 p 5,故当2 sps 5,税收不少于1 万元.(8 分)(3)解：第二个月，当税收不少于1 万元时，厂家的销售收入为g(p)=嘿尚(2 4 p W 5).因为g(P)=丑2 泞=10 0+簿 在 区 间 上 2,5 是减函数，g(.P)max=g(2)=5 0(万元)故当p =2 时，厂家销售金额最大.(1 2 分)解析：(1)求出月销售收入，从而求出政府对该商品征收的税收;(2)解不等式，求出P 的范围即可；(3)求出厂家的销售收入为g(p)=喑 汜(2 p 5),根据函数的单调性求出g(p)的最大值以及对应的P的值即可.本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查解不等式，有一定的综合性.12.答案：解：(1)由题意可知：0 x 1 0/(X)=-0.1(x -13)2+6 0.9所以当*=10时,f。)的最大值是6 0,又 10%15,f(x)=6 0所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能维持5分钟.(2)由题意可知：(=5 4.5,(2 0)=4 5,/(3 5)=3 0所以开讲后5分钟、2 0分钟、3 5分钟的学生的接受能力从大小依次是开讲后5分钟、2 0分钟、3 5分钟的接受能力；(3)由题意可知：当0 5 6解得：6 x 10当1 0 5 6,满足要求；当 15 c x s 2 5时，-3 X +105 2 5 6解得：15 cxs 16|因此接受能力5 6及以上的时间是101分钟小于12分钟.所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题.解析：【试题解析】(1)求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可;(2)比较5分钟、2 0分钟、3 5分钟学生的接受能力大小，方法是把x =5代入第一段函数中，而x =2 0要代入到第三段函数中，x =3 5代入第四段函数，比较大小即可(3)在每一段上解不等式/(x)2 5 6,求出满足条件的x,从而得到接受能力5 6及以上的时间，然后与12进行比较即可.本题主要考查了函数模型的选择与应用，此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清,自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点.13.答案：解：(1)由题意，=a+i=a)+1,当a 工0时，/(%)=Q X+(的单调减区间为(-8,0),(0,+8)；当a 0 时，f(x)=ax+1是对勾函数，单调减区间为(2)由题意，g(%)=/警=a.上 泞=Q.(1、/COS2X+1 COS2X+1 =-+1/coszx/警野祭 孔 .C 0 S X 6卜 日,斗赃。s2e图，1 2,2,234有+1 4 5,则 泮 意 系A-1-0,g(x),a a,当a 0 时，/(%)=QX+1是对勾函数，故值域为(-8,-2 五)11(27,+8),2 7 T g(x)=c：U 若对任意叫 手 I，都存在实数%2，使得g(%i)=/(小)成立g(x)的值域是/(x)的值域的子集，B|j|a 2/a,解得a 36.实数a的取值范围为36,+8).解析：本题主要考查函数单调性的运用，考查了一次函数，反函数以及对勾函数的单调性，三角函数的计算，转化思想的应用，不等式的计算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.(1)对函数/(x)化简后对a 分a W0和a 0 两种情况进行讨论，根据一次函数，反函数以及对勾函数的单调性可得到函数/(x)的单调减区间：(2)先通过三角函数的计算得到函数g(x)的值域，在根据题意若对任意匕6 初，都存在实数犯，使得g(x i)=f(x 2)成立等价于g(x)的值域是f(x)的值域的子集，通过两个值域的集合关系可得实数的取值范围.X -+2,x 0 x +|-2,0 x 1所以f(x)在(-8,-&)上单调递减，在(-&,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.所以函数/(x)的最小值为m in /(-四=1.(2)设g(x)=/。)-f(bx)=(1 -b)x+a|1 -i|-a|1 -(i)当 0 b 1 时，gQ)=(1 一)(1 一)(.-x+),x 0.Y)，OE，(1 b)x+2a,1 2对于方程g(x)=0,当x 0,解得x =-够；当0 x S 1 时，若 0 aSb =4 W (1,+8)(舍)；当 时，则g(x)0恒成立，故无解；当时，注意到函数/i(x)=(1 b)x 胃 乎+2 a 在(1,)上单调递增，且啕=(1 _ b)(a +0,h(l)=。若0 a b 0,则此时g(x)=0无解.若a 6,因h(l)0，可知X o 44，从而g(x)=0的实根之和不等于零综 合 ，要使g(x)=。的所有实根之和为零，必须满足0 a S b 1所以，当0 a 1 时，若存在匕使方程/。)=/(法)的所有实数根之和为零，令bx=t,则只需关于r 的方程/(?)=/)的所有实根之和为零，因为(0,1),由(i)知,1-b-Q满只需O足所以，当0 Q V1时，存 在 满 足 题 意，综上，当0 a 0),所以F，5)=/厘=当无(口 o)，因此：当 等 0,即a：时，由?(%)0得x 等；由F (x)0得0 x 等，所以函数F(x)在(-8,0)和(中,+8)上单调递减，在(0,等)上单调递增.当g 1 =0,即a =3时，/，0)=罢W0,所以函数尸Q)在 R上单调递减.当 生 2.0,即0 a时，由F (x)0得x 0；由F 0得 等 x 0,所以函数F(x)在(-8,受1)和(0,+8)上单调递减，在(平,0)上单调递增；综上所述，当0 郭寸，F(x)在(-8,0)和(中,+8)上单调递减，在(0,黎)上单调递增.(2)证明：因为a=g,所以g(x)=/+x +1.设/i(x)=e*一%1,则(x)=e*x 1,设p(x)=/(%)=ex x 1,则px)=ex 1,因此在(0,+8)上，恒有p，Q)0成立，所以函数p(%)在(0,+8)上单调递增，因此p(%)p(0)=0,即 无 (%)0,所以九(%)在(0,+8)上单调递增，因此/i(x)h(0)=0,即/-|x2-X-1 0,所以/(x)g(x)在(0,+8)上恒成立.解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数中的函数不等式，函数的单调性与单调区间和分类讨论思想，考查了学生的运算能力，属于较难题.(1)利用导数研究函数的单调性，结合对的讨论，计算得结论；(2)因为a =所以g(x)=x2+x +1,设/i(x)=ex-x2-x-1,再令p(x)=h(x)=ex-x-1得p (x)=e x-l,由在(0,+8)上，恒有(x)0成立，利用导数研究函数的单调性得函数p(x)在(0,+8)上单调递增，再利用函数的单调性与单调区间得p(x)p(0)=0,即h (x)0,再利用导数研究函数的单调性九(乃在(0,+8)上单调递增，再利用函数的单调性与单调区间得/i(x)h(0)=0,B|J ez-|x2-x-l 0,从而得结论.16.答案：解:函数y =a x是增函数，；.p：a 0,方程接+y 2=i(a 0)表示焦点在x轴上的椭圆，;q：a 1,p A(-q)是真命题，s p 是真命题，q 是假命题，0 a 0),又由f (1)=1 代入求得a =,故f。)=(%+1 产(2)假设存在t6R,只要就有/(x+t)x.取x=1,有f(l +，)1,即；(t +2)2 4l,解得一4 t 0.对固定的t 4,0,取 =有+即%+m +I/44化简得血2 +2(t 1)7 7 1 +(t2+2 t +1)40,解得 1 t V 47 7 1 41 t +V 4t 故m 1 -t +V-4t 1 -(-4)+V-4 x 4=9，t =-4时，对 任 意 的 1,9,恒有-4)-x=1(r2-l O x+9)=；(1 l)(x-9)0),结合/(1)=1,可得函数的解析式.(2)若当 6 l,m时，/(x+t)x成立，令x=1,得到-4 t 0,对固定的t G -4,0,取x=m，有f(m+t)&m,化筒得H i?+2(t -1)7 7 1 +(t2+2 t +1)4 0,利用恒成立问题即可求出m的最大值.18.答案：解：(1)因为/1(I)=e。/i(2)=e Z e。即无(1)3 元(2)，所以/i(x)不符合7 1(1 +=万(2 -X);关于论(X)=c os 专 +因为似X)=c os(y+：)=-s iny,所以为(霜=为 0)，又为(1 +x)=-s in(x+9，石(2 -x)=-s in(-x+y)=s in(x-y)=s in(gx+；-7 r)=-s in(x+),所以上(l +x)=6(2-x),所以I。)具有性质P.(2)若函数g(x)具有性质 P,则g(0)+g(0)=0,即g(0)=0,因为g(x+3)=g(x+2 +1)=g(2 -x-2)=g(-x)=-g(x),所以 g(x+6)=g(x+3+3)=-g(x+3)=g(x),所以g(x)的周期为 6,则g(-6)=g(6)=g(0)=0,又g(3)=g(-3)=-5(3),所以g(3)=0,贝 叼(-3)=0,所以 g(9)=g(-9)=0,故g(x)在(1 0,1 0)内共有7 个零点，n的最小值为7.解析：本题考查函数的中心对称，轴对称性，同时具有这两种对称性的也具有周期性，本题也考查了周期性的应用，考查了三角函数的性质，难度较大.解(1)题时直接验算所给两个函数是不是具有性质即可;解(2)时要抓住函数是奇函数，且图象关于x=|成轴对称，同时具有周期性这些性质反复应用即可.19.答案:解:(1)对任意的/e 1,1,有一与6 -1,1,当且仅当&=一/时，有=%+必+1 =1，故存在唯一尤2 G -1,1.满足=1,所 以1是函数f(x)=2 X +1(-1 W x W 1)的“均值”.(2)当a =0时，/(x)=-2 x(1 x 2)存 在“均值”,且“均值”为一 3；当a H O时，由f (%)=a 2 x(1 V/V 2)存在均值,可知对任意的%都有唯一的&与之对应，从而有/(%)=ax2-2 x(1 x 1或a 0或0 (a,b 其中之一时,函数/(x)不存在“均值”.解析：(1)根据均值的定义，要判断1是函数/(x)=2x+1(-1 W x W 1)的“均值”，即要验证屿 手 丝=%+&+1=1；(2)函数/(x)=ax2-2 x(1 x 2 M 为常数)存在“均值”，当 a =0 时，/(%)=-2 x(1 x 2)存在“均值”，且“均值”