2022年北京市高考数学试卷含答案解析.pdf

2022年北京市高考数学试卷一、选择题共10小 题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集。=犬|一3彳 3 ,集合4=犬|一 2%,1,则必4=(A.(-2,I B.(-3,-2)|Jll,3)C.-2,1)2.若复数二满足i.z=3-4i,则|z|=()D.(-3,-2J|J(1,3)A.1 B.5 C.7 D.253.若直线2 x+y-l=O是圆(x-a)2+y2=l 的一条对称?由，则 a=()A.-B.-C.1 D.-2 24.已知函数f (x)=-1T,则对任意实数x,有()1 +2A f(-x)+f(x)=0C./(-x)+/(%)=15,已知函数/(x)=cos2x-sin2x,贝 (A.f(x)在(-1，-刍)上单调递减B./(x)在咛,自上单调递增C./(x)在(0,今上单调递减D.f(x)在(王，卫)上单调递增4 12B.f(-x)-f(x)=OD./(-x)-/(x)=1)6.设 是 公 差 不 为。的无穷等差数列，则“4为递增数列”是“存在正整数M,当乂时，4 0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和/gP的关系，其中T表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是加/.下列结论中正确的是（）A.当 7=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当 7=270,尸=128时，二氧化碳处于气态C.当 7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当 7=360,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态8 右（2x-1）4=出/+2厂+,贝 U /+%+%=（）A.40 B.41 C.-40 D.-49.已知正三棱锥P-A B C 的六条棱长均为6,S 是 4 R C 及其内部的点构成的集合.设集合 厂 Q c S|P 2,5,则 T表示的区域的面积为（）3乃A.B.71 C.27r D.3万410.在 AASC中，AC=3,BC=4,ZC=90.P 为 AABC所在平面内的动点，且 PC=1 ,则 而方的取值范围是（）A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.-4,6二、填空题共5 小 题，每小题5 分，共 25分。II.（5 分）函数/（x）=+V T 3的定义域是 .X12.（5 分）已知双曲线/+-=1的渐近线方程为y=士且x,则，=.m313.（5 分）若函数f（x）=Asin尤-石cosx的f 零点为?，则 A=；f 华）=.14.（5 分）设 函 数/=若/存 在 最 小 值，则 a 的一个取值为；a 的yx-2）,x.a-最 大 值 为 一.15.（5 分）已知数列 七 的各项均为正数，其前项和S“满足a jS“=9（=l,2,.）.给出下列四个结论：“的第2 项小于3；“为等比数列；为递减数列；“中存在小于焉的项.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6 小 题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（13 分）在 AABC 中,sin2C=V3sinC.（1 ）求 NC；（II）若。=6,且 AA8C的 面 积 为,求 AABC的周长.17.（14分）如 图，在三棱柱A B C-4 4 G 中，侧面8CC内为正方形，平面8 C G 4，平面ABB,AB=BC=2,M,N 分别为 A 4,AC 的中点.（I）求 证：M V/平面8CGA；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直 线钻与平面B肱V所成角的正弦值.条件：ABL M N；条件：BM =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.3 MC118.(13分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50加以 上(含9.50附的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单 位：。：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；乙：9.78,9.56 ,9.51,9.36 ,9.32,9.23；丙：9.85,9.6 5,9.20,9.16 .假设用频率估计概率，目甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(II)设*是 甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E X；(I I I)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)2 219.(15分)已知椭圆+巳=1(4。0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2 6.(I)求椭圆E的方程；(II)过点P(-2,l)作斜率为&的直线与椭圆交于不同的两点B,C，直线Af i ,A C分别与x轴 交 于 点 ,N .当|MN|=2时，求的值.20.(15 分)已知函数 f(x)=exln(+x).(I)求曲线y =f(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(II)i&g(x)=f(x)，讨论函数g(x)在0,芹)上的单调性；(III)证 明：对任意的 S,f e(0,+o o),f(s+t)f(s)+f(t).21.(15分)已 知。玛，色.4为有穷整数数列.给定正整数机，若 对 任 意 的,2,m，在。中存在4 ,aM,ai+2,.,a.+J(j.O)，使得)+%+=,则称。为l连续可表数列.(I)判断。：2,1 ,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(II)若Q：4,1.4为8-连续可表数列，求 证：的最小值为4；(H I)右Q：4 I a?,-I 4为20 连续可表数列，且q +出+20,求 证：k.7.2022年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小 题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 .已知全集。=x|-3x 3,集合A=x|-2x,1,则 g A=()A.(-2,1 B.(-3,-2)|Jl ,3)C.-2,1)D.(-3,-2J(1,3)【思路分析】由补集的定义直接求解即可.【解析】因为全集。=划-3 工 3 ,集合A=x|-2%,1,所以Q,A=x|-3 西，-2 或 l x z =3-4i ,贝!l|z =()A.1 B.5 C.7 D.25【思路分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解.【解析】由3 z =3-4，得 z =,i,3-4/.|3-4/|/+:.Z=-=-=-=5./|z|1故 选：B.【试题评价】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题.3.若直线2x+y-l =0 是圆(x-a)2+y2=1 的一条对称轴，则=()A.-B.-C.1 D.-12 2【思路分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得值.【解析】圆(x-a)?+/=1的圆心坐标为(a,0),.直线2x +y -1 =0是圆(x -a)?+尸=1的一条对神由，.圆 在 直 线 2x+y 1 =0上，可 彳 导 2。+0 1 =0，即a.故 选：A.【试题评价】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题.4.已知函数/(%)=二，则对任意实数x ,有()1 +2A./(-x)+/(%)=0 B./(-X)-f(x)=0c ./(-x)+f(x)=1 D./(-x)-f(x)=1【思路分析】根据题意计算/(x)+/(-x)的值即可.【解析】因为函数/。)=1I二，所以/(-1)=广1 =占2工,+2 1 +2 2+11+2%fi fr l U f(-x)+ZU)=1 .1 +2故 选：C.【试题评价】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题.5.已知函数 f(x)=cos2x-sin 2 x，贝！|()A.f(x)在(-工,-马上单调递减2 6B.f(x)在(一/，上单调递增C.-X)在 畤)上 单 调 递 减D.f(x)在(工,9)上单调递增4 12【思路分析】利用二倍角公式化简得/(x)=cos2x,周期7=万，根据余弦函数的单调性可得了。)的单调递减区间为%r,、+ZT(A eZ)，单调递增区间为弓+版”+版 (%合),进而逐个判断各个选项的正误即可.【解析】f M=cos2 x-sin2 x=cos2 x，周期 丁 =，./(x)的单调递减区间为伙乃，+k7r(k e Z)，单调递增区间为工+，1+伏 )，2 2对于A,7*)在(一,一 上单调递增,故 A错 误，2 6对于8 ,f(x)在(-巳，0)上单调递增，在(0,二)上单调递减，故 3 错 误，4 12对于C,X)在(0号)上单调递减，故。正 确，对于。，,f(x)在(乙，马上单调递减，在(工，上)上单调递增，故。错 误，4 2 2 12故 选：C.【试题评价】本题主要考查了二倍角公式，考杳了余弦函数的单调性，属于基础题.6.设 ,是公差不为。的无穷等差数列，则 为 递 增 数 列”是“存在正整数N。，当乂时，。“0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【思路分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可.【解析】【解法一】：因为数列(是公差不为0 的无穷等差数列，当%为递增数列时，公差 d 0,令 4=4+(-l)d 0 ,解得“1 一 2，口-均表示取整函数,a a所以存在正整数乂=1+口-?，当时，o,充分性成立；当 时 时，an 0,*。，必要性成立；是充分必要条件.故选：C.【解法二】：设等差数列 4 的公差为d ,则 d/0 ,记 因 为 不 超 过 x 的最大整数.若 4 为单调递增数列，则 (),若 q NO,贝 I当2 2 时，a a,0 ；若 0 可得 1 之，取 N=1-4 +1,则当N0 时,a L4 ,所 以，“4 是递增数列”=存 在 正 整 数 乂，当 心 N0 时，0”；若存在正整数M)，当 乂 时，0，取 k e N*且%乂，ak 0,彳 取 设 d 0 ,令,=为+(-%)d 左 一 ，且 左 一 攵,a a当 一 号+1时，4 0 ,即数列%是递增数列.所 以，“是递增数列”U“存在正整数M ,当 心 N。时，”“0所 以，“4,是递增数列”是“存在正整数M ,当N。时，40”的充分必要条件.故 选：C.【试题评价】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7 和依尸的关系，其中T表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是加厂.下列结论中正确的是()A.当 7=220,尸=1026 时，二氧化碳处于液态B.当 7=270,尸=128时，二氧化碳处于气态C.当 T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当 7=36 0,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态【思路分析】计算每个选项的衣产的值，结合T与图可判断结论.【解析】对于A,当 7=220,尸=1026 时,lgP 3,由图可知二氧化碳处于固态，故 4 错误；对于8 :当 7=270,P=128时，2lgP 3,由图可知二氧化碳处于液态,故 8 错 误；对于C:当 T=300,P=9987时，lgP 4,由图可知二氧化碳处于固态，故。错 误；对于。：当 T=36 0,P=729时，2/gP3,由图可知二氧化碳处于超临界状态，故。正确；故 选：D .【试题评价】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题.8.若(2x-l)+a2x2+,%+(,则 4 +a2+a4=()A.40 B.41 C.-40 D.-41【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求 出 和 的 ,以及处的值，可得结论.【解析】【解 法-1(2x-I)4=a4x4+q*+a2x2+q x +a0,.%+/+%=+盘+=1 +24+16 =4 1，故 选：B.【解法二】：(补解)赋 值 法：令 x=l ,原 式 为：1 =%+/+%+4+4)，令 x=-l ,81=a4-a3+%-a+a0-，+得：a4+a2+%=41,故 选：B .【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.9.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6 ,S 是 A4 BC及其内部的点构成的集合.设集合 T=Q e S|PQ,5 ,则 T表示的区域的面积为()34A.B.4 C.2万 D,34【思路分析】设点P 在 面 内 的 投 影 为 点 O,连接。4，根据正三角形的性质求得。4 的长，并由勾股定理求得OP 的 长，进而知T表示的区域是以。为圆心，1为半径的圆.【解析】设点P在面A B C内的投影为点O,连接,贝!j=2 x 3 6=，3所以 OP=1 P H-O A?=(36 -12=2近,由 糜 匚 3 h=后=1 ,知 T表示的区域是以。为圆心，1为半径的圆，【试题评价】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题.10.在A4 8 C中，A C=3 ,BC =4,NC=90。.P 为 4 1 8 c 所在平面内的动点，且 PC=1 ,则 百两的取值范围是()A.-5,3 B.-3,5 C.-6 ,4 D.M ,6【思路分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设 P(x,y),计算可得西丽=-3x-4y +l ,进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解.【解析】【解法一】：在 AABC中，A C =3 ,3 c =4,NC=90。，以 C 为坐标原点，C4,CB所在的直线为x 轴,)，轴建立平面直角坐标系，如 图：设 P(x,y),因为PC=1 ,所以V+V=1,又 丽=(3-x,-y),PB=(-x A-y),所以 PA-PB=x(3 x)j(4 JI)=x2+y2 3x=3x 4y+1 ,设光=：(，,y=sin。,_ _3所以 P/i尸 月=-(3cose+4sin9)+1 =-5sin(8+e)+1 ,其中 tans=,4当 sin(e+e)=-l 时，阳而有最小值为Y,(雷芳校对)sin(0+8)=l当 sin(。+9)=-1 时，P/C尸 8有最大值为6,所 以 丽.丽 w-4,6 ,故 选：D.【解法二】：(补解)在 A4BC中，N C=90。,所以CZ围=0,=乙-,(校 对)=红-无,瓦 ,2 2PA*PB=(PC+CAUPC+CB)=PC2+PC.CA+PCiCB+CA4JB=1+3 cos +4 cos +0=1 +3cos +4s in=l+5sin+(p其 中，e fo,tanMB（校 对）=P M +P M.M A +P M .MB +M A-M B=PNP-43 7因为归M L =C M-1=,IPM|max=|CM|+1=5所 以，-4 P AP B 6故 选：D【试题评价】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题.二、填空题共5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分。11.(5分)函数的定义域是 _(-8,O)U(O,1 _ .X【思路分析】由分母不为0,被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域.【解析】要 使 函 数/二 五 有 意 义，X则八，解得且户0,1-x.0所以函数的定义域为(TO,O)U(O,1.故 答 案 为：(一 8 ,O)U(O,1.【试题评价】本题主要考查函数定义域的求法,考查运算求解能力，属于基 础 题.12.(5 分)已 知 双 曲 线 v2+-=l 的渐近线方程为y=-x,则，*=_-3 _ .m 3 【思路分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得利0,求出渐近线方程，结合已知即可求 解，”的 值.【解析】双 曲 线/+=1化为标准方程可得9-二=1,m m1所以加0,双曲线的渐近线方程了/X fyj-m又双曲线V+=l 的渐近线方程为y =x ,m 3所 以 一=坐，解得加=-3.故 答 案 为：-3.J-rn 3【试题评价】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题.13.(5 分)若 函 数 f(x)=As i n x-Gc o s x 的一个零点为三，则 A=1 ；/(-)=.【思路分析】由 题 意，利用函数的零点，求 得 A 的 值，再利用两角差的正弦公式化简f(x),可 得/(自 的 值.【解析】,函数f(x)=人0皿-68$的一个零点为，二堂 A-Vj x 1=O ,3 2 2:.A =i ,函数 f(x)=s i n x-/5co s x =2s i n(x-g,:)=2s i n(-)=2s i n(-)=-2s i n =V2,故 答 案 为：1 ；-.12 12 3 4 4【试题评价】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题.14.(5分)设 函 数/(x)=若 存 在 最 小 值，贝!a的 一 个 取 值 为0；a(x 2),x.a 的最大值为一.【思路分析】对函数,f(x)分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可.”0时，函数/(x)图像如图所示,不满足题意，当a=0时，函数/(x)图像如图所示,满足题意；当0 a 2时,函 数f(x)图像如图所示,要使得函数x)有最小值，需(a-2)2”-储+1 ,无解，故不满足题意；综上所述：a 的取值范围是0,1,故答案为：0,1 .【解法二】：(补 解)因为一次函数f(x)=-ax +l 的定义域为(7,a),若 a 0 时，当 x 0 时，当 x/(a)=-/+l ,当 x 。时，/(如“0,0a 2,如果/(x)存在最小值,c t +1 0 或-a +1 2(a 2)彳 寻 0 a 4 1 ,1,x 0.若 a=0 时，/(x)=,“X)的值域为0,+00),X)1 1 1 1n =0,符合题意。综上可得：0 4 a 4 1.故答案为：0,1 .【试题评价】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目.15.(5 分)已知数列 的各项均为正数,其前项和S“满足4 =9(=1 ,2,给出下列四个结论：”“的第2 项小于3；,为等比数列；4 为递减数列；q 中 存 在 小 于 击 的 项.其中所有正确结论的序号是 .【思路分析】对 于 ，求出外即可得出结论；对于，假设他“为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于,容 易 推 得 4-；对于，假设所有项均大于等于击，推出矛盾即可判断.【解析】对于=1时,可得4=3,当=2 时，由/S2=9,可 得/+%)=9,可得 =灾*T)=二,4%4%小 9若%为等比数列，则比.2 时,an+l=an,即从第二项起为常数,可检验=3不 成 立,故错误；对于，因为q=9,q 0,4=3,当.2 时，Sn=,an所 以=S“-_|=0,an%g”9 9 1 1所以 -n -=an v an_,an an-an 1所以 4 为递减数列，故正确；对 于 ，假设所有项均大于等于-，取90000，则 外.-总 900,则%S”9与已100 100知矛盾，故正确；故答案为：.【试题评价】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目.三、解答题共6小 题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(13 分)在 AABC 中,sin2C=/3sinC.(I)求 NC；(II)若b=6,且 A48C的 面 积 为,求 AABC的周长.【思路分析】(I)根据二倍角公式化简可得cosC,进一步计算可得角C；(IJ)根据三角形面积求得。，再根据余弦定理求得c,相加可得三角形的周长.【解析】(I),/sin2C=/3sinC,2sin Ccos C=/3 sin C,又 sinC声0,2cosC=/3,石CO S C=,0C/3)2+62-C2 2 2 x 4 6 x 6c=2/3,:.a+b+c=6+6/3,AABC 的周长为 6+.【试题评价】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题.17.（14分）如 图，在三棱柱A B C-A g G 中，侧面8 C G 4 为正方形，平面BCCg _L平面A网 A,AB=B C =2,M ,N 分别为A百,AC的中点.（I）求 证：M V/平面BCGq；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直 线 与 平 面 8肱V所成角的正弦值.条 件 ：A B A.M N；条件：B M =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【思路分析】（1 ）通过证面面平证线面平行；（2）通过证明B C ,BA,两两垂直，从而建立以3 为坐标原点,BC,BA,BB、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【解析】（1）证 明 一：取 A 8中点K,连接NK,M K ,.M为 4 戈的中点.幽，且B、M/B K ,四 边 形 是 平 行 四 边 形，故 MK/期，MKU 平面 3CC|B|；3&u 平面 BCC4,平面 8CC向，.K是 4?中 点，N 是 AC的 点，:.NK/BC,.NKC平面8。6 片；8 C u 平面BCC内,.1NK平面 8C C 4,又 NK0|MK=K,平 面 平 面 BCCM,又 M N u 平面 N M K 一1M V/平面 8CGB1；证 明 二：（补 解）：取 A 5 的中点为K ,连接M K,N K ,由三棱柱A B C-4 4 G 可得四边形ABB,A,为平行四边形，而BIM=MA，BK=KA,（校 对）4”=4,8 河/二 则MK/BB、，而 MK 2 平面C B B,B B U平面C B B,故M K H平面C B B g ,而CN=NA,BK=K A,则 NK 3C ,同理可得 NK 平面,而 NK pMK=K,N K,M K u平面 M KN,故平面M KNH平面G,而 MN u 平面MKN,故 M NH 平面C 5B.C,(校 对)取 BC的中点为D,连 接 Bi D,ND,：N 为 AC的中点.%AB,S.:.D N =-A B ,2为 A 4 的中点.U A8,且.DN=BM,DN/B、M.四边形片MND是平行四边形，故 MNHB、D,MNC 平面 BCC4；B Q u 平面 BCCi,;.MN 平面 BCGB,(/).侧 面 B C C E 为 正 方 形，平 面 BCJB、，平面,平 面 BCQB、C平面ABB&=B B-.C8_L 平面 A84 A-.CBVAB,又 NKt/B C，:.AB IN K ,若 选 ：ABA.MN-，又 M N CNK=N,r.AB_L平面 MNK,又 M/u 平面 MVK,：.ABYM K ,又 MK/IBB、，AB BBt,BC,BA,BB、两两垂直,若选：平面A B 4A，NKUBC,r.NK_L平面ABBA,K W u平面4 8 4 A，:.M K 1N K ,又 BM=MN,NK=BC,BK=-A B ,2 2:.BKM =N K M，:.ZBK M=ZN K M=9,.-.ABLM K,又 M K/BB;.A B L B B-：.BC,BA,BBX两两垂直，以 8 为坐标原点，BC,BA,即为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 8(0,0,0),2V(1,1 ,0),M(0,1 ,2),4(0,2,0),设平面BAW的一个法向量为弁=(x,y,z),贝!l .，令 z=l,贝1|y=-2,x=2,n-BN=x+y=0，平面B MN的一个法向量为=(2,-2,1),又 痴=(0,2,0),设直线4 3 与平面阶W 所成角为。,a.一 ,In,B A|4 2s m u=co s|=-=/二-=.I n I.I BA|0,:.k f(s)+f(t).【思路分析】(I)对函数求导，将 x =O代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；(II)对 g(x)求 导，并研究g(x)导函数的正负即可.(H I)构造函数w-0=1(%-0)，化 简 得：y=x；(II)【解法一】：由(I)有:g(x)=ff(x)=exln(x+V)+,x +l2 1g，M =exln(x+)+-j ,x +l (x +1)2 iv*/?(x)=/n(x +l)+-,令 x +l =R(左.1),x+(x +1)设 m(k)=Ink+2 二,m(k)=*。恒成立,k kl 2故(x)在 0,+8)单调递增，又因为(0)=1 ,故 心)0 在 0,例)恒成立，故 g(x)0,故 g(x)在 0,)单调递增；【解法二】：(补 解)由(I)有：g(x)=fx)=exln(x+1)+-i-,x +1g，(x)=eln(x+1)+X+1 X+1 (x+1)=exln(x+1)+-ryx+1 x+1 (x+1)7 r+1=e/(x+l)+4(x+l)27 r_ i_ 1因为xw 0,+8)，所以/n(x+l)0 7 0.(X+DO 丫 _ 1 _ 1(校 对)/(x+1)0,0 e 0u+i)-故 g，(x)0在 0,物)恒 成 立，故 g(X)在 0,+8)单调递增；(i n)证明一:由(n)有 g(x)在 o,+8)单调递增，又 g(o)=i,故 g(x)0在 0,+8)恒成立,故/(x)在 0,+8)单调递增,设 vv(x)=/(x+r)-/(x),R(x)=r(x+f)-/(x),由(II)有 g(x)在 0,+8)单调递增，又因为x+f x,所以1(x+f)(X),故网力单调递增，又因为S 0,故 Ms)N O),即：/(5+0-/(5)/(0-/(0),又因为函数/(0)=0,故 y(s+f)/($)+%),得证.证 明 二：(补 解)由(n)有 g(x)=r(x)在 0,o)单调递增,又因为to,所 以 在(x+r)r(x),即 f x +t)-f x)=x+r)-/(x)0所以/(x +r)-)在 0,包)单调递增，因为s 0 ,则 s+f)-s)s+O)-O),而，0)=0,故/(s +r)/($)+/),得证.证 明 三：(补 解)设/?(5)=/(S+0-f(s)-f(t)，其中 s0,t0.h s)=f(s+t)fs)由(H)有 g(x)=f x)在 0,+oo)单调递增,又因为t0,所以在尸(s+r)/(s),SPf/(s)=fr(s+r)-f(s)0所 以 贴)=/(5+力-/(5)-/)在 0,M)单调递增，因为s 0 ,则/?(s)/?(o),而,fy(o)=f(o)=o,t f(s+r)f(s)+f(r)，得证.【试题评价】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目.21.(15分)已 知。:q,出.4 为有穷整数数列.给定正整数机，若对任意的el,2 .i/I 在 Q 中a：,4+t 4+2,.,4+y(7,。)，4+4+i+4+2+.+j=则称。为 -连续可表数列.(1 )判断。：2,1 ,4 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(II)若。/.4 为8-连续可表数列，求 证：上的最小值为4；(III)右 Q.ay,a2 i i a*为 20 连续可表数列，且 at+a2+.+cik 20,求 证:k.7.【思路分析】(I)直接根据，-连续可表数列的定义即可判断；(II)采用反证法证明，即假设Z的 值 为 3,结合。是 8-连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；(III)首先根-连续可表数列的定义，证明得出入6,然后验证=6 是否成立，进而得出所证的结论.【解析】(I)若加=5,则 对 于 任 意 的,2,3,4 ,5 ,a2=1 ,a,=2,q+=2+1=3,色=4,%+%=1+4=5,所以。是 5-连续可表数列；由于不存在任意连续若干项之和相加为6,所以。不是6-连续可表数列；(II)假设 的值为 3,则 4,生，ai 最多能表示 4,a2,a,a,+a2,a2+a3,a+a2+a3,共 6 个数字，与。是 8-连续可表数列矛盾，故&.4；现构造Q：1 ,2,3,4 可以表达出1,2,3,4,5,6,7,8 这 8 个数字，即存在=4 满足题 意.故的最小值为4.(皿)【解法一】：先证明入6.从 5 个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5 个数字，取连续两个数字最多能表示4 个数字，取连续三个数字最多能表示3 个数字，取连续四个数字最多能表示2 个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5 个整数，最多可以表示5+4+3+2+1=15个正整数，不能表示20个正整 数，即九.6.若=6,最多可以表示6+5+4+3+2+1 =21个正整数，由于。为 20-连续可表数列，且 4+a2+.+%20,所以其中必有一项为负数.既然5 个正整数都不能连续可表1-20的正整数，所以至少要有6 个正整数连续可表1-20的正整数，所以至少6 个正整数和一个负数才能满足题意，故上.7.【解法二】：(补 解)Q：q,4，,若 =/最多有攵种，若 打，最多有C；种，所以最多有z+c；=%俏+1)种,2若 心 5,则 q,%，%至 多 可 表 尘 上 =15个 数，矛盾，2从而若左 7,则=6,c,d,e,/至多可表曳 笑 =21个 数，而 a+b+c+d+e+/2 0,所以其中有负的，从而a,b,c,d,e 可 表 1 20及那个负数(恰21个)，这表明a /中 仅 Y负 的，没有0,且 这 个 负 的 在 中 绝 对 值 最 小，同时。f中没有两数相同,设那个负数为一砥机N 1）,贝 U所有数之和2，+1 +，”+2H-m+5 m-4 m+15,4/”+15419=帆=1 ,.a,6,c,d,ej=-123,4,5,6,再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足2（）个，.T=-l+2（仅一种方式），.1与 2 相 邻，若-1不在两端，则？,-1,2,_ 形 式，若 x=6，则 5=6+（-1）（有 2 种结果相同，方式矛盾），.x#6,同理x7.【试题评价】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题