2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第五章三角函数第三节 第2课时简单的三角恒等变换.pdf

第2课时 简单的三角恒等变换【考试要求】能运用公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【高考考情】考点考法：三角函数的恒等变换，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于基础题.三角恒等变换的综合应用是高考的重点，难度中等.核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模o、案 福 林 理 愿他*游,O归纳知识必备cos1.sintana2=1 cos a1 +cos aSinOt 1 cos a1 +cosa sin注解1a(1)由于 tan =sin a1+cos Q1 res Q不涉及符号问题，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件.c a涉及函数的升降幕及角的二倍关系的题目时，常 用sin2y =1 COS Q2和 COS2-=1 +cos a22.辅助角（“二合一”）公式a sin a+b cos sic(a+。).注解2上式中COS 0=9b仁 事 薪。所在象限由a 和 6 的符号确定.智学变式探源1.必修一 P 2 2 6 T 22.必修一 P 2 2 7 例 91.（改变条件）已知c o sn-25-11-5-0 V 3 J i ,那么 s i n 5=()A.乎 B.乎 C.芈 D.0 0V 1 555 i t 5 兀【解析】选 D.因为一5-V j 3 n ,所以4乙 X9 3 n-2 22 .（改变设问）函数s i n x+c o s x的最小正周期为（）J TA.B.n C.2 n D.4 兀乙【解析】选 C.因为y=2 s i n x+g c o s x=2 s i n （万+高，所以7=-p A-=彳 =2 口 .-慧考 四基自测-3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力Ia3 .(半角公式求值)已知c o s a=-,a e (JI,2 JT),则c o s 等于(o乙A.算 B.平 C.平 D.苕o o o o【解析】选 B.因为c o s a=1 ,a W (JT,2 ),oa（TI、所 以 万4万,小4.(降鼎公式)已知s i n 2 a=1 ,则c o s a 彳)=()2-3-D.2-3C1-3-民1-3（吟 1 +cos-yJ【解析】选C.c o s*a 旬 =-、-L1 +s i n 2 a 田 1 小、/u h-3 2=-，将s i n 2 a=-代入得原式=F-=-.乙o乙 oQ1 +t a n 5.（切化弦问题）若cos。=一 三，。是第三象限的角，则-7=（）ua1 t a n -1 1A.-B.-C.2 D.24【解析】选A.因为。是第三象限角，cos。=蓝,所以 s i n a.o1 +t a n匚 hlaT1-s i n卜 c o sa 2 a2ac o s -+s i naTaaaa1 -t a n2s i n2c o s s i n21-ac o sTa ac o s -+s i n -a ac o s -+s i n -.2 2z z1 +s i n a3一5c o saaac o s -+s i naCOSa42 b i n2251-2=-6.（辅助角公式）已知函数f（%）=sin-Si n2L-yj,xGR.则F（x）的最小正周期为 A-/、1 -c o s 2 x【解析】由已知得f(x)=-乙1 c o s f 2 r 22。乙)1s i n 2 x J c o s 2xs i n1r c o s1 12x c o s 2x=s i n4 22 x-59 JI所以f(x)的最小正周期T=-=n .答案：n。、才E小白 悟-婚 化,。7考点一 运用半角公式求值|多维探究高考考情：在高考命题中利用半角公式可以进行三角函数式的化简与求值，在应用时一定要注意角的范围，防止出现正负号分不清楚的错误.试题难度不大，掌握基础即可.角度1 给角求值典例1 1 c o s 1 0 c o s8 0 -/l-c o s 2 0【解析】原式=sinJ1 0 c o s8 0 2 sin1 21 0 1 .2 2 1 .4Tsin 7 n c o s 二 兀 二 sin 工 冗 ，2 5 5 4 5 1sin 1 0 y2V2 sin l 0 -2(2)c o s 7 兀 c o s T I=5 51 1 2t c sin T n c o s 7 n c o s 工 冗一 1 2 5 5 5【解析】COST JI COS 7兀=-；-5 5 1sin -n5案答J r1-5nsi1-5nsiV 22!71-44JI角度2 给值求值 典例 2 若 sin（“一。）=一 乎 且。A.乎 B.恪 C.乎 D.哗3 6 6 3(TI a则 s in 1 万+R等于（)【解析】选 B.由题意知sin o=，0 n I31 j 所 以 cos =1 .因为 Gn 3)(Ji a a亍，彳 兀 J,所以 sin l y+y I =cos/1 +cos 7 6,，一题多变本例条件不变求sin（n+5），ta n n 一 了）的值【解析】由题意知sin a=坐,所 以 cos?=|.因为GG 3、口 (，吟 a/lcos a-J30g，J，所以 s1 n 卜+引=-s m y -J2=6；o sin a 厂t a n ln-T j=-t a n T =+cos a.角度3给值求角5/1 0 兀 1 3 n 典例 3 若 sin 2 a=个，sin(。-a)，且 a d 7，n,“，,则 a5 1 0 4 z十 的值是（)7 JiA-T9 nB-TC.5 nT7 n 5 n 一、9 n或 丁 D-v或 丁JI【解析】选 A.因为a ,JIJI，所以2 a W 石，2 n乙,因为s in 2 a=害，所以2 a e一 万，n.1 JI J-1所以 tz G-,y 月.cos 2 a5又因为 sin(a)，e 31，等，所以 a e 方兀 ，5 n 1 ,CO S(2 一 a)=-3A7/TO,乙 B 1 u所以 c o s(Q+)=COS(。)+2。=c o s(。)c o s 2 a-sin (a)sin 2 a1 3 咽x(叫噌X 害=平,5 B又 a +2 n，所以。+=耳教师专用【规律方法】三角函数的三类求值问题(1)“给角求值”：关键是两种变换：角的变换、结构变换；(2)“给值求值”：关键在于 变角，使相关角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的函数表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求角.提醒：在求角的某个三角函数值时，注意选择在该区间单调的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.，多维训练c o s 4 0 2,+、，/、1-9.o I.=的 值 为()c o s 2 5 4 1 sin 4 0A.1 B.3 C.g D.2rHR 盾 T_c o s?2 0 si.2 0【解析】选 C 原式-c o s2 5 0 (c o s 2 0 0 -sin 2 0 0 )c o s 2 0 0 +sin 2 0 c o s 2 5/c o s 2 5 _ r-c o s 2 5 =7 2 -2.已知 c o s1 2 a=一7赤，0,所以刀V2 a V 万，Z3 1 A/S所以 cos 2 a=r =2 cos a 1=cos a=三=cos a，故 A 错误;5 5 5(sin a cos a)2=1 siz?2 a，_ JI JI由知：a W 万,所以sin a cos a,所以sin a cos a，故夕正确；5JIJI 3 由知：彳 W a W 方,而冗&B ,T C L t/5 开所 以 二 W a+B 2兀,、也 5 万 3 左又 cos(a+8)=一 苔 0,所以W a+B ,解得 sin(a+B )=一，所以 cos(0 a)=cos (a+B )2 a =一噜 x f H-x7ll)V oj I 1 0)o5 Ji 3 刀 JI又因为丁 W a+B W ,一 2aW 另，q 乙 乙一蛆2JI3 Jr所以7 WB a w 万，有B a=丁 ,故。正确;由 cos(a+B )=0 cos a cos B sin a sin B1 0由知，cos(P a )=cos a cos P +sin a sin B2两式联立得：cos a c os B=-，故错误画【加练备选】在斜三角形ABC中，sin A=-7 2 cos B cos C,且 tan B tan C=1 一/的值为()J l J T J I 3 A-T B-T 心 万 D-则 角A【解析】选4由题意知,sin A=-2 cos B cos C=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,在 等 式 一/cos B cos C=sin B cos C+c os B sin C 两边同除以 cos B cos C 得tan B+tan C=y2,又 tan(B+C)=tan B+tan C1 tan B tan C=-1 =tan A,JI即tan A=l,所以A=T.7考点二利用三角恒等变换化简讲练互动 典 例4 化简:(0 0(l +s/7 7 0 +cos 0 )sin cos y2+2cos 9(0 0 刀).【解析】原式=,1 0%因为0 V 0 V4，所 以0 V 3 0.所以原式=-cos 0.，规律方法三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幕或升幕.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.，对点训练sin 2 a 2 cos a1.化简：_ -工 2 sin a cos a 2c。62 a r 解析 原式=-7=-=2/2 cosr-Qsin”cos a)答案：2巾cos a2.化简:2 cosx2 cosx+【解析】原式=一 4 cos%sinx+1 1 -siri2xcos2x _ 12cos2x 23考 点 三 三角恒等变换的综合问题讲练互动 典例5（命题新视角）如图所示，有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二，问应按弧度数x为何值来截取？Z Q【解析】设原正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则条=-X a=GC+C F=b sin x+b cos x,IQ(JI所以 sin x+cos x=,所以 sin I x+-JI JI JI 3 一 冗 冗.、2 冗 冗.、3 几 一因为O V x V 丁，x+,所以x+=或=，x=或 丁 .所以x 值为/4 x x o o J L 乙 J-/1 2 或 五，规律方法利用三角恒等变换解决实际问题的思路(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题.(2)先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题.，对点训练如图，矩形O ABC 中，AB=1,0 A=2,以B 为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点 P是弧上一动点，P M 1 O A,垂足为M,P N1 O C,垂足为N,则四边形O M P N的 周 长 的 最 小 值 为.J I【解析】连接BP,设NC BP=a ,其中O W a V5，则 P M=1 si 为 a ,P N=2 c os a ,周长 C =6-2(s，a -cos a),因为(s力 7 a +cos Q)2=+2S力？a cos a =1 +sin 2 a ,所以要让周长最小，即让(s力？a+cos a )最大,即sin 2 a最大，因为sin2a在a =时取到最大值1,所以当a=时,周长有最小值62啦.答案：6-22