2023年全国初中数学知识竞赛试题及答案.pdf

2023年全国初中数学知识竞赛试题及答案(精华版)一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填，得零分)1.若 4%3y6z=0,%+2y7z=0(xyzN0),则2 的值等于().11Q(A)(B)(C)-15(D)-132.在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内)。如果所寄一封信的质量为72.5g,那么应付邮费().(A)2.4 元(B)2.8 元(C)3 元(D)3.2 元3.如下图所示，NA+N3+NC+N0+NE+NaNG=().(A)360(B)450(C)540(D)720A4.四条线段的长分别为9,5,%,1 （其中为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且与CD是其中的两条线段（如上图），则可取值的个数为（）.（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）6 个5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数2 3）,且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（）.（A）l 种（B）2 种（C）4 种（D）0 种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6.已知x=i+6,那么-!-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x+2 x 4 x 27.若实数 ,y,z 满足 x+=4,y+-=l,z+-=-,则 xyz 的值y z x 3为8.观察下列图形:根据图、的规律，图 中 三 角 形 的 个 数 为，9.如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面8C 上，如果CQ与地面成45,ZA=60 CD=4m,B O g 娓-2 m,则电线杆A莎的随为 m.10.已知二次函数y=ax2+公+c(其中。是正整数)的图象经过点A(-1,4)与点8(2,1),并且与轴有两个不同的交点，则 H e 的最大值为.三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)11.如图所示，已知A 3是。的直径，8 C是。的切线，0 C平行于弦AD,过点。作D E L A B于点E,连结A C,与D E交于点P.问EP与 是 否 相 等？证明你的结论.解：（第11题图）1 2.某人租用一辆汽车由4城前往 8城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为8 0千米/小时，而汽车每行驶1 千米需要的平均费用为1.2 元.试指出此人从A城出发到3城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：（第12题图）1 3 B.如图所示，在A B C 中，Z A C 5=9 0.(1)当点。在斜边AB内部时，求证:CD2-BD2 AD-BDBC2AB(2)当点。与点A重合时，第(1)小题中的等式是否存在？请说明理由.(3)当点。在 的 延 长 线 上 时，第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.(第13 B题图)1 4 B.已知实数 a,b,c 满足:a+b+c=2,a4c=4.(1)求a,b,c中的最大者的最小值；(2)求时+忖+ld的最小值.注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题.13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页13A和14A两题可留作考试后的研究题。13A.如图所示，。的直径的长是关于x的二次方程/+2(&-2)x+A =0(攵是整数)的最大整数根.尸是。外一点，过点P作。的切线朋和割线P 3 C,其中A为切点，点8,C是 直 线 与。0的交点.若PA,PB,P C的长都是正整数，且PB的长不是合数，求 弘2 +尸 产+尸。2的解:BCP(第13A题图)1 4 A.沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a-d)S-c)0,那么就可以交换4 c的位置，这称为一次操作.(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个 数a,b,c,d,都有(a-d)(b-c)W O?请说明理由.(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2 0 0 3 个正整数1,2,，2 0 0 3,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个数a,h,c,d,都有(a-d)。-c)W 0?请说明理由.解：(2)参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1.D由3y-6z=0,解得（3 z,代入即得.x+2y-7z=0,y-2z.2.D因为20X3C72.52 0 X 4,所以根据题意，可知需付邮费0.8X4=3.2（元）.3.C如图所示，ZB+ZBMN+Z E+Z G=360,ZFNM+ZF+ZA+ZC=360,而N3M N+N五NM=NQ+180,所以ZA+ZB+ZC+ZD+Z+ZF+ZG=540.(第3题图)(第4题图)4.D显然A3是四条线段中最长的，故 A B=9 或 4 8=%。(1)若 A 8=9,当 C )=%时，92=x2+(1 +5)2,当 C Z)=5 时,92=52+(x +l)2,当 C D=1 时,92=12+(x +5)2,(2)若 A B=%,当 C )=9 时,C=92+(1 +5 了,当 CD=5 时，%2=52+(1 +9)2，当 CD=1 时，x2=12+(5+9)2,x 3y/5;x=2 V1 4-l；x =4 括-5.x-3A/1T；x=5 /5 ;x =V 1 97 .故可取值的个数为6个.5.B设最后一排有2个人，共有排，那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,，k+(H 1 ),由题意可知的+四 二=1 0 0 ,即2疝 2%+(-1)=2 0 0 .因 为 左 都 是 正 整 数，且与3,所以水2%+(八一1),且与2 Z+(/?1)的奇偶性不同.将2 0 0 分解质因数，可知=5或=8.当=5时，上1 8；当=8时，k=9.共有两种不同方案.1 1 -4 1 -3 _-3 V 3-=-1-=-=-x +2 x?4 x 2 x 4 x?4 x 4 (l +V )?4 27.1.因为 4 =x+=X H-=x+=X +y !_ 1 z-17373所以 4(4 x-3)=x(4 x-3)+7 x 3,解得从而7 _ j _ _ 7 _ 2 _ 53 x 3 3 3于是8.1 6 1.根据图中、的规律，可知图中三角形的个数为1+4+3 X 4+3 2 x 4 +3 3 x 4=1+4+1 2+3 6+1 0 8=1 6 1 （个）.9.6 v L如图，延长AD交地面于E,过。作 Q b L C E 于 E因为 N O C/=4 5 ,Z A=6 0 ,C D=4 m ，所 以 CF=DF=2 V 2 m ,E F=)F t a n 60=2 7 6(m).（第9题图）因为丝=t a n 30。=3，所以A B=8 x遮=6痣(m).BE 3 310.-4.由于二次函数的图象过点A(1,4),点8(2,1),所以卜一=4 4。+2人 +c=1,解得b=-a-l,c=3-2a.因为二次函数图象与轴有两个不同的交点，所以A =-4 0,(一。一 1)2 4。(3 2 4)0,即(9 a 1)3 1)0,由于。是正整数，故a 1,所以a 2 2.又因为 b+c=3a+2 W 4,且当 a=2,h=3,c=-1时，满足题意，故 b+c 的最大值为-4.三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)1 1.如图所示，已知A B 是。O的直径，48。是。的切线，OC 平行于弦A D,/n过点。作。于点区 连结A C与D E交于点P.问E P与P D是否相等？证明你的结论.解：Q P=P E 证明如下：因为A 3 是。的直径，8 C 是切线,所以由 R t A A EP R t A A BC,得又 A D O C,所以N Q A E=N C03,R t A A ED R t A O BC.故 必 _”_ AE _ 2AE AD2由，得ED=2EP.（12分）所 以DP=PE.（15 分）1 2.某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为8 0千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到3城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元?解：从A城出发到达3城的路线分成如下两类：（1）从4城出发到达3城，经过。城.因为从A城到。城所需最短时间为2 6小时，从。城到3城所需最短时间为2 2小时.所以，此类 路 线 所 需 最 短 时 间 为26+22=48（小时）.（5分）（2）从A城出发到达8城，不经过。城.这时从A城到达3城，必定经过C,D,E城或凡G,H城，所需时间至少为49小时.（10分）综上，从A城到达3城所需的最短时间为4 8小时，所走的路线为：A f F f O f E f B.（1 2 分）所需的费用最少为：8 0X 48 X 1.2=4608 （元）（1 4 分）答：此人从A城到8城最短路线是A f O f E f 3,所需的费用最少为4608 元.（1 5 分）（第 12题图）1 3B.如图所示，在A BC 中，ZACB=9Q.（1）当点。在斜边A3 内部时，求证：CD2-BD=AD-BD（2）当点。与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点。在 的 延 长 线 上 时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.解：（1）作。垂足为E.由勾股定理得CD2-BD2=(k+D E2)-(B E2+DE2)=CE 一 BE2=(CE-BE)BC.胪以 CD2-B D2 CE-BE CE BEBC2-BC因为。E A C,所 以 名=芈=弛BC AB BC AB故 CD?-BO?_A P BD AD-BDBC2 AB AB AB（1 0 分）（2）当点。与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有AD=O,CD=AC,BD=AB.所以CD。-BD，_ AC?一 为。2 _-BC?_BC2-BC2 BC2分）AD-BD-A B ,-=-=-1AB AB从而第（1）小题中的等式成立.(1 3（3）当点。在 8 4 的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.作D E L B C,交B C的延长线于点E,则CD2-BD2 CE-BE2BC2-BC2CE+BE,2CE二 一 一i 记，而丝二丝AB AB所以CD2-B D2 A D-BD-9-0-BC2 AB（1 5 分）K说明第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.1 4B.已知实数。，b,c 满足：a+b+c=2,abc=4.（1）求 m b,c 中的最大者的最小值;（2）求同+M+i d的最小值.解：（1）不妨设a是 a,b,c中的最大者，即。a c,由题设知。0,且 b+c=2 a,bc=.a于是。，c 是一元二次方程，_（2 a）x+&=0的两实根，a =（2-4 -4x-0,aa3-4a2+4a-1 6 0,（2+4）（a-4）0.所以 a 2 4.（8分）又当。=4,炉c=T 时，满足题意.故 a,b,c 中最大者的最小值为4.（1 0分）（2）因为Mc 0,所以a,b,c 为全大于0 或一正二负.1）若 a,b,c 均大于0,则 由（1）知，a,h,c 中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛盾.2）若 a,b,c 为或一正二负，设 a 0,h0,c 由（1）知。24,故 2 a-2 2 6,当a=4,尻c=T 时 一，满足题设条件且 使 得 不 等 式 等 号 成 立。故 时 +1 4 +H 的 最 小 值 为6.（1 5 分）1 3 A.如图所示，。的直径的长是关于的二次方程d+2 伏-2）x +A =0是整数）的最大整数根.P是。外一点，过点。作。的切线出和割线P 3 C,其中A为切点，点8,C 是直线P 8 C 与。的交点.若PA,PB,PC 的长都是正整数，且 P B 的长不是合数，求 P T +P&+P C2 的值.解：设方程 2+2（&-2）彳+左=0 的两个根为X 1,x2,X|Wx 2.由根与系数的关系得X i +/=4 -2 左，xx2=k.（第13A图）由题设及知，%，都是整数.从，消去攵，得2X）X2+$+%=4 ,（2 占+1）（2+1）=9.由上式知，x2 4,且当心0 时 一，=4，故最大的整数根为4.于是。的直径为4,所以3 CW4.因为BC=P C-P B为正整数，所以BC=1,2,3 或 4.（6分）连结 4 8,A C,因为N B 4 8=N P C 4,所以出B sa p CA,PA _ PCPBPA故 PA2=PB（PB+BC）.（1 0 分）（1 ）当BC=1时，由得，PA2=PB2+P B,于是PB2 PA2(PB+1)2,矛 盾！(2)当3c=2时、由得，PA2 P B2+2 P B,于是PB2 PA2(PB+1)2,矛 盾！(3)当8C=3时;由得，PA?=PB?+3 P B,于是(PA-PB)(PA+PB)=3PB,由 于PB不是合数，P A-P B P A+P B,故只可能jPA-PB=l,jP A-P B 3,jPA-PBPB,A+PB=3PB,P4+PB=PB,PA+PB=3,解得P A =2,PB=1.此时PAr+PB2+PC2=21.(4)当 8C=4,由得，PA2 P B2+4 P B,于是(PB+1)2 PB2+4PB=PA2,=1 X 2+2 X 3+3 X 4+-+2002 X 2003+2003 X 1,经过左始与。）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为此时若圆周上 依 次 相 连 的 4 个 数a,h,c,d满足不等式(a-d)3-c)0,即ah+cdac+hd,交换b,c 的位置后，这 2003个数的相邻两数乘积之和为P g，有Pm-Pk=(ac+c。+bd)一 (ab+cd)=ac+bd-ab-cd 0 .所以4即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1,由于相邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后，对任意依次相连的4 个数 a,h,c,d,一定有(a d)(/?-c)WO.