【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）.pdf

【高考真题】2022年高考数学真题试卷(新高考全国II卷)阅卷人得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共4 0分)1.(5 分)已知集合 A=-1,1,2,4,B=xx-1|W 1 ,则 A n B=()A.-1,2 B.1,2 C.1,4 D.-1,4)【答案】B【解析】【解答】B=x|0%=,则 t=()A.-6 B.-5 C.5 D.6【答案】C【解析】【解答】解：由己知条件可得c=(3 4-1/4)cos=cos ,即9+3t+16 _ 3+t5=同 解 得 t=5,故答案为：C【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.5.(5 分)有甲乙丙丁戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种【答案】B【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这5 名同学共有：3!x 2 x 2 =2 4 种不同的排列方式.故答案为：B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.6.(5 分)若 sin(a+9)+cos(a+1)=2&cos(a+9 sin,则()A.tan(a+6)=-1 B.tan(a+0)=1C.tan(a-0)=-1 D.tan(a /?)=1【答案】C【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinacos/?+cosasin/?+cosacos/3 sinasin/?=2(cosa sina)sin6,即：sinacosjff cosasin/?+cosacos/?+sinasinf=0,即：sin(a 0)+cos(a )=0,所以 tan(a )=1,故答案为：C【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.7.(5 分)正三棱台高为1,上下底边长分别为3百 和 4V3,所有顶点在同一球面上，则球的表面积是()A.100KB.128兀C.144兀D.1927t【答案】A【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r2，所 以 2r1 2r2=sin60_ 邑，即 n =3,72=4,设球心到上下底面的距离分别为d2,球的半径为R,所以sin60M=J/?2 一 9,d2=V/?2-16 故|询 一 ci2l=1 或 幺+=1，即|，R2 一 9-V/?2-16|=1 或 V/?2-9+V/?2-16=1，解得 解=25,所以球的表面积为S=4nR2=100兀.故答案为：A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径勺，生，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积.8.(5 分)若函数/(%)的定义域为 R,且/(%+y)+/(%-y)=/(x)/(y)，/(I)=1，则 当 f(k)=()A.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】【解答】因为/(x+y)+f(x -y)=/(%)/(y),令 久=1,y=0 可得，2/(1)=/(1)/(0),所以/(0)=2，令 x=0 可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即 /(y)=/(-y),所以函数/(x)为偶函数，令 y=1 得，/(x+1)+/(x -1)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(%+1),从而可知 f(x +2)=-/(%-1),f(x -1)=-/(%-4),故/(%+2)=f(x -4),即/(x)=/(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.因为/(2)=/(1)-/(0)=1-2=1，/(3)=/(2)-/(1)=-1-1 =-2 ,/(4)=/(-2)=/(2)=-1，f(5)=/(-I)=/(I)=1，/(6)=f(0)=2，所以一个周期内的/(1)+/(2)+/(6)=0.由于22除以6 余 4,所以 2*/=-1)+-2)+/+八4)=1-1-2-1 =-3.故答案为：A【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(I),/(2),-，/(6)的值，即可求解.阅卷人得分二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。(共4题；共2 0分)9.(5 分)函 数 f(x)=sin(2x+卬)(0 0 兀)的图象以(等，0)中心对称，贝 U ()A.y=/（x）在（0,驾）单调递减B.y=/（%）在（各晋）有 2 个极值点C.直 线 =普 是一条对称轴D.直 线 丫 =字 7 是一条切线【答案】A,D【解析】【解答】由题意得：/（手）=sin（等+（p）=0,所 以 竽+3=/OT,k e Z ,即（p =-+k n,k Z,又 0 3 兀，所 以 k=2 时，盟=竽，故f（x）=sin（2x+冬）.对于A：当x G（0,罂）时,，2%+冬 （冬，岑），由正弦函数y=si n u图象知y=/（%）在（0,）上是单调递减；对于B：当 x e （各 岩）时，2%+孕 e g,竽），由正弦函数y=sin u 图象知y=/（x）只有1个极值点，由 2x+争=芋，解得=弯，即久=患 为函数的唯一极值点；对于 dx=藉 时，2%+争=3兀，/借 =0,直 线 =普 不是对称轴；对于 D：由 y=2cos（2x+=1 得：cos（2x+,解 得 2%+羽=冬+2/兀或 2%+竽=等+2/兀，k Z,从而得：=/C T T 或%=+k i tf k E Z,所以函数y=/（x）在 点（0,空）处的切线斜率为k =yz|x=0=2cos=-1 ,切线方程为：y 亨=（久0）即y=与x 故答案为：AD【分析】先根据已知条件求出 0）的焦点F 的直线与C 交于A,B 两点，点A 在第一象限，点M（p,0）,若AF =AM，则（）A.直 线A B的斜率为2遍B.OB =OF C.AB 40F【答案】A,C,DD./.OAM +Z.OB M 连接 BD 父A C 于 点 M,连 接 EM,FM,易得BD 1 AC,又 E D _ L 平 面 ABCD,AC u 平 面 ABCD,则 E D J.A C ,又 ED CBD=D,ED,BD u 平面 BDEF,则 AC 1 平面 BDEF,又BM=DM=BD=V a ,过 F作 P G _ L DE于 G ,易得四边形BDGF为矩形，则 FG=BD=2y/2a,EG=a,则 EM=J (2 a)2+(y/2a)2=6a,FM=J a2+(V 2 a)2=V 3 a，EF=J a2+(2 V 2 a)2=3a EM2+FM2=EF2,则 EM LFM,SlEFM=EM -FM=a2 AC=2 2 a，则 V 3 =，4-E F M +V c-E F M =g a c S&E F M =2 标,则 2 匕=3 匕，1/3=3 1/2，V 3 =+，2，A、B不符合题意；C、D符合题意.故答案为：C D【分析】直接由体积公式计算匕，V2，连 接 B D 交 A C 于 点 M,连 接 EM,FM,由 匕=VA-EFM+Vc-EFM计算出匕，依次判断选项即可.1 2.(5 分)对任意 x,y,x2+y2 x y =1 ,则()A.%4-y 2 C.x2+y2 1【答案】B,C【解析】【解答】根 据 abw(竽/w包要(a,b e R),d+产 一 孙=1 可变形为，(x+y)2-1=3xy 所以 =cos6+%sin。，y=-sin0,Ellbk%2 4-y2=cos20+|sin20 4-sin0cos0=1 4-sin20 1 iW cos20+可=+sin(2 0-J)e|,2 ,所以当=坐，y=_率 时满足等式，但 是 x2+y2l 不成立，所以D 不符合题意.故答案为：BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。(共4题；共20分)13.(5 分)已知随机变量X 服从正态分布N(2,a2),且 P(2 X 阅卷人得分2.5)=.【答案】0.14【解析】【解答】因为XN(2,a2),所 以 P(X 2)=0.5,因 此 P(X 2.5)=P(X 2)-P(2 0 时 y=Inx,设切点为(x0,lnx0)，由 y=(,所以田=/，所以切线方程为y-ln x0=(x-x0)，又切线过坐标原点，所以-l n%o =白(一%o)，解 得 Xg =e ,所以切线方程为y 1 =-(%e)，即y-x;xo e e当 即 y=；故答案为：y=xy=x【分析】分工0和 X 0两种情况讨论，当 x0时设切点为(x0,l n x0),求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出%0.即可求切线方程，当 x 0时同理求解即可.1 5.(5 分)已知点A(-2,3),8(0,a),若直线A B关 于y=a的对称直线与圆(%+3)2+(y+2)2 =1存在公共点，则实数a 的取值范围为.【答案】，1【解析】【解答】解：因 为4(2,3)关 于 y=a对称点的坐标为/(2,2 a 3),B(0,a)在直 线 y=a上，所 以A B所在直线即为直线I ,所以直线I为y=-x +a,即(a -3)%+2y-2a=0；根据圆方程可得圆心C(3,-2),半 径 r =1 ,I 3(a 3)4 2 a|依题意知圆心到直线I的距离d=口 _ 京 苒/1，即(5 5 a)2 解得 a 即 a e 百,.故答案为：(，【分析】首先求出点A关 于 y=a对称点A 的坐标，即可得到直线I的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.1 6.(5 分)已知椭圆4+4=1,直线1 与椭圆在第一象限交于A,B两点，与x 轴，y 轴分别交于M,N 两点，且M A=N B,M N =2/3 ,则直线1 的方程为.【答案】x+V2 y 2 5/2 =0【解析】【解答】解：记A B的中点为E,因 为M A=N B ,所 以M E=N E,所 以 乱2_上 _+2 _ 一丝 _=0 ,即任匚辿 如 +应 广 如=06 6 3 3 6 3所以力次=-i ,即 k0E kAB=-i ,设直线 A B：y=k x+m,f c X-4 2 八”1 十4 z0 ,令 x =0 得 y=m,令 y=0 得=-,即 M（一0）,N（0,m）,所以 E（一线,m即 忆X 2 市2k又|MN|=2 V 3，,解 得 k=一 孝 或 k=（舍去），即 M N =m2+（V2 m）2=2 次，解得 m=2 或 m=-2（舍去）,所以直线A B：y=-x+2，即 x +同 一 2 应=0 ;故答案为：x+V2 y-2 a=0【分析】记A B的中点为E,设%）,B（X2,y2）,利用点差法得到k0 E-kAB=-设直线AB：y=k x+m,k 0 ,结合已知条件求出M、N的坐标，再根据M N 求 出k、m,即可求得直线方程.阅卷入_ 四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明，证明过得分 程或演算步骤.（共6题；共7 0分）1 7.（1 0 分）已知 出 3 为等差数列，bn）是公比为2的等比数列，且&2-打=。3-砥=匕4 一。4 .（1）（5 分）证明：%=必；（2）（5分）求集合 刈尻=%+a 1 m 500中元素个数.【答案】证 明：设数列 即的公差为d,所以，I 014+.d-=i+2 d-461,即可解I+d 2 bl=8bl （a1+3a）得，比=4=9所以原命题得证.（2）解：由（1）知 d=2%=2%,由 bk =C Lm+Clj 知：b，2 k 1 =+（7 7 1 1）,d+的即 比 21=b1+（m-l）-2bl+瓦，即 2fe-1=2m ，因 为1 4 m 4500,故24 2k-1 1000,解 得24 k 410故集合（k bk=am+a1,1 m 0,h 0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y =a bV 3 x .（1）（6 分）求 C 的方程；（2）（6 分）过 F的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B两点，点 P Q i，y i）,Q Q z，y2）在C 上，且 血 2 0,%0.过 P且斜率为-遮 的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点M,请从下面中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：M 在 4 B 上；P Q I I 4 B ；|MA|=|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）解：由题意可得|=V 3,7 a2+b2=2 ,故a =1,b =百.因此C 的方程为必-1 -（2）解：由已知得直线P Q的斜率存在且不为零，直 线A B的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线A B的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段A B的中点，假若直线A B的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在X轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关 于x轴对称，与 从 而 打=牝，已知不符；总之，直 线A B的斜率存在且不为零.设直线A B的斜率为k ,直 线AB方程为y=k x-2),则条件M 在 AB 上，等价于 y0=/c(x0-2)k y0=f c2(x0-2);两渐近线的方程合并为3/一 y 2 =(J ,联立消去y并化简整理得：(/3)x2 4 k 2%+4k 2-0%Ix o 2设 Z(%3，丫3),F(X3,%)，线段中点为 N(XN，yN)，则 XN=32 4=，yN=fc(%/v -2)=z r-36kT T：k-3设 M(x 0，y o)，则条件|A M|=|B M|等价于(%0 -久3)2 +Q o -、3)2 =(久0 -久4)2 +(%-、4)2 ,移项并利用平方差公式整理得：(%3 4)2殉一(右+%4)+佻 一 丫4)团0 -佻 +%)=0，2%0-(x3+X，+蒋 兰2 y0-(Y3 +丫4)=o，即-+似 丫。-o)=o ，a n ,f 8 k 2即久0 +k y0=-2；K J由题意知直线P M的斜率为一百,直 线Q M的斜率为V 3 ,由%一%=-0)，为 一 =-0)，.乃y2=-V 5(X+%2 -2%o)，所以直线P Q的斜率6=红 及=更 红 也 二 辿,直线 P M：y=-V 3(x x0)+y0，即 y =y。+V 3 x0 V 3 x ，代入双曲线的方程3 x2-y2-3 =0 ,即(、&+y)(bx y)=3中，得：G o +V 3 x0)2 V 3 x -(y0+V 3 x0)=3 ,解 得P的横坐标：5=乖(y+后x+V。+6%0)，同理：孙=一 市(铲%+、0一6%。),Xi -X2=-J=(2 x2+y。)xl+x2 2%0 =3 x()y。.条件P Q/I B 等价于 m=k c k y0=3 x0 综上所述：条 件 M在A B上，等 价 于k y0=k2(x0-2)；条 件 P Q ZB等 价 于k y0=3 x0；.m =条 件|A M|=B M 等 价 于x0+k yQ选 推 ：8k2,2 k 3由解得:2 k 2xo=-/2cz-3%o +ky0-4%o =8 k 27 2-Tk-3，成立;选 推 :由解得:=3%Q,选 推 :2 k 2x0 7 2r-3.成立;,6k 2由解得:2k2&=-2k -3，k y06k 2,2 Qk-3，/.Xo -2 =6k/2 3o：.k y0=fc2(x0-2),.成立.【解析】【分析】(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程;(2)先分析得到直线4 B的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x O,y O),由|A M|=|B M|等价分析得到配+k y。=孝 :由直线P M和Q M的斜率得到直线方程，结合双曲线的k 一3方程，两点间距离公式得到直线P Q的斜率巾=攀，由 PQ 4 B等价转化为ky 0 =3久,由 M/0在4 B上，等 价 于k y0=k x0-2),然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.22.(1 2 分)已知函数 f (x)=xe。*一 e*.(1)(4分)当a =l时，讨 论/(%)的单调性；(2)(4分)当x 0时，,求a的取值范围；(3)(4 分)设 n w N*,证明：r=+*+-r-l n(n+1).【答案】(1)解：解：a=1=/(%)=xex e =(%l)ex=/(%)=xex当%6 (-o o,0)时，/(x)o,f(x)单调递增.(2)令 g Q)=/(%)+1 =xea x ex+l(x 0)=g(x)0 恒成立又 g(x)=e +axeax ez=g (O)=0令/i(x)=g(x)=(x)=aea x+a(ea x+axea x)ex=a(2ea x+a xea z)ex则 h(0)=2 a-l若 h(0)=2a 1 0 即 a ,h(0)=lim*()=lim 0k 7 2 x-o+x-0 欠 一0+x所 以3x0 0 使得当x e (0,x0)时，有 且 等 0 =g(x)0 =g(x)单调递增=g(%o)g(0)=0 ,矛盾若/i (0)=2a -1 即 a W ；时，g(x)=eax+a xe ex=ea r+ln1+a x)ex e|x+in(i+x)_ex 0 ,总 有x e2x _+1 v 0成立，令 t=/，贝1J t 1,t2=ex,x=2n t,故2t lnt t2-1即21 nt 1恒成立.所以对任意的nCN*,有如坪 耳一扁,整理得到:1ln(n+1)I nn ln2 I ni+ln3 ln2 H-1-ln(n 4-1)I nn J l2+1 J 22+2 J n2+n=ln(n+1)，故不等式成立.【解析】【分析】(1)求出/(%)=XQ，讨论其符号后可得/(%)的单调性.(2)设g(x)=jc e。*一靖+？0),求 出 令 九(%)=(%),先讨论a 寺 时题设中的不等式不成立，再就0 a W ；结合放缩法讨论九(%)符号，最后就a 0结合放缩法讨论以X)的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得21 nt l 恒成立，从而可得ln（n+D 一1I nn 丁丁对任意的n e、九 4+九N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）60.0(40.0%)主观题（占比）90.0(60.0%)题量分布客观题（占比）12(54.5%)主观题（占比）10(45.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6(27.3%)70.0(46.7%)选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得。分。4(18.2%)20.0(13.3%)填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。4(18.2%)20.0(13.3%)选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只8(36.4%)40.0(26.7%)有一项是符合题目要求的。3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(86.4%)2容易(9.1%)3困难(4.5%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1函数的周期性5.0(3.3%)82频率分布直方图12.0(8.0%)193平面向量的坐标运算5.0(3.3%)44直线与圆的位置关系5.0(3.3%)155两角和与差的正弦公式5.0(3.3%)66椭圆的应用5.0(3.3%)167正弦定理的应用12.0(8.0%)188双曲线的简单性质12.0(8.0%)219同角三角函数间的基本关系5.0(3.3%)610利用导数研究曲线上某点切线方程10.0(6.7%)9,1411复数代数形式的乘除运算5.0(3.3%)212抽象函数及其应用5.0(3.3%)813两角和与差的余弦公式5.0(3.3%)614向量在几何中的应用5.0(3.3%)1015与直线关于点、直线对称的直线方程5.0(3.3%)1516等差数列15.0(10.0%)3,1717排列、组合的实际应用5.0(3.3%)518正弦函数的奇偶性与对称性5.0(3.3%)919正弦函数的单调性5.0(3.3%)920棱台的结构特征10.0(6.7%)7,1121直线与圆锥曲线的关系22.0(14.7%)10,16,2122基本不等式5.0(3.3%)1223正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义5.0(3.3%)1324直线与平面平行的判定12.0(8.0%)2025众数、中位数、平均数12.0(8.0%)1926利用导数研究函数的极值5.0(3.3%)927函数恒成立问题12.0(8.0%)2228棱柱、棱锥、棱台的体积5.0(3.3%)1129抛物线的简单性质5.0(3.3%)1030直线与平面平行的性质12.0(8.0%)2031利用导数研究函数的单调性12.0(8.0%)2232互斥事件与对立事件12.0(8.0%)1933解三角形12.0(8.0%)1834条件概率与独立事件12.0(8.0%)1935交集及其运算5.0(3.3%)136集合中元素个数的最值10.0(6.7%)1737余弦定理的应用12.0(8.0%)1838双曲线的标准方程12.0(8.0%)2139平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5.0(3.3%)440球的体积和表面积5.0(3.3%)741用空间向量求平面间的夹角12.0(8.0%)2042等比数列10.0(6.7%)17