江苏省奔牛2023学年高考数学二模试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项1 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2 B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2 B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .命题“V x e （）,1）,I n x 的否定是（）A.VXG(0,1),I n x0C.3x0 e (0,1),ex0 I n x0D.Bx0 e (0,1),与 I n x()2 .若复数二满足（l +i）z =i （i 是虚数单位），贝！J z 的虚部为（）3.已知集合4 =%|吆2%1 ，集合B =y y =127 卜 则 AU8=()A.（-oo,2）B.（-oo,2 C.（0,2）D.0,+0,fe0）的焦距为8,一条渐近线方程为y =则（7为（）a2 b-C.2 2工 上=11 6 48D犬九148 1 65.如图，在 Z/8 C 中，点 M 是边B C 的中点，将 Z/A T 船 着A M翻折成ZHB M 且点8 不在平面内，点?是线段8C 上 一 点.若 二 面 角，与 二 面 角/的 平 面 角 相 等，则直线.“经 过 4 4 8（的（）A.重心B.垂心C.内心D.夕 卜 心6,执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）7 1 5-B.8 831C.161 5D.1 67.已知圆x2+y 2 6 x 7=0与 抛 物 线 丁=2%(0)的准线相切，则的值为()1A.1 B.2 C.-D.428.已知定义在R上的奇函数/(x)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=a -a 7+2 (。0且。1),若g(2)=a,则函数/(V+2”的单调递增区间为()A.(-1,1)B.(f 1)C.(1收)D.(-1收)9.记等差数列 4 的公差为d,前项和为S“.若，o=4O,4=5,则()A.d=3 B.0=1 2 C.$20=2 80 D.q=-42 21 0 .双曲线C I：5一4 =1(。0，。0)的一个焦点为歹(c,0)(c 0),且双曲线G的两条渐近线与圆。2：6 r b(x c)2 +y 2=l均相切，则双曲线G的渐近线方程为()4A.x I?y=0 B.百x y =0 C.-J5x+y =0 D.x+y5y=01 1 .下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为 B F的中点,则在原正四面体中，直线E G与直线8 c所成角的余弦值为()旦.VR瓜1 5.-3D.叵61 2.点。为 AABC的三条中线的交点，且。4_ L O 8,AB=2,则 衣.前 的 值 为（）A.4 B.8 C.6 D.1 2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3./(%)=2 e-1,x2,则/（7（2）的值为1 4.抛物线V =4 x 上到其焦点的距离为1 的点的个数为x 11 5.已知%，）满 足 x+y4 且目标函数z =2 x+），的最大值为7,最小值为1,则+=.aax+by+c/1-1 7级过滤器其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个1 60 元，二级滤芯每个80 元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个40 0 元，二级滤芯每个2 0 0 元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据1 0 0 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1 是根据1 0 0 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图 2是根据2 0 0 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表 1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040以 1 0 0 个一级过滤器更换滤芯的频率代替1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 2 0 0 个二级过滤器更换滤芯的频率代 替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为1 6的概率；（2）记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求 X 的分布列及数学期望；（3）记相,分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若加+=1 9,且机w8,9,以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定也的值.x-cos a1 8.（1 2 分）在平面直角坐标系x O y 中，曲线G 的参数方程为 .（a 为参数），将曲线C 上每一点的横坐标y=sin a变为原来的0倍,纵坐标不变,得到曲线c2,以坐标原点。为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线/：e=。与曲线c?交于点P,将射线i绕极点逆时针方向旋转T交曲线c?于点Q.（1）求曲线G的参数方程；（2）求APOQ面积的最大值.1 9.（1 2 分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A 使之开红花，。使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：A 4为开红花，A a 和 a A 一样不加区分为开粉色花，为开白色花.生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以,2的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的.可以把第代的遗传设想为第八次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状A a 的父系来说，如果抛出正面就选择因子A,如果抛出反面就选择因子。，概率都是一，对母系也一样.父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状.假设三种遗2传性状A4,A”(或aA),放在父系和母系中以同样的比例：v:w(+v+w =1)出现，则在随机杂交实验中，遗V V传因子A被选中的概率是=+,遗 传 因 子”被选中的概率是4 =卬+万.称，“分别为父系和母系中遗传因子A和 的频率，p：q实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比.基于以上常识回答以下问题：(D如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是A a,后代遗传性状为A4,A a(或岫)，的概率各是多少？(2)对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为A 4和A a(或3)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为P,。被选中的概率为夕，p+q=L求杂交所得子代的三种遗传性状A4,A a(或a A),用 所 占 的 比 例%，匕，叱.(3)继 续 对(2)中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为的个体假设得到的第代总体中3种遗传性状A4,A a(或M),所占比例分别为“,%(%+匕,+吗=1).设第代遗传因子A和。的频率分别为P“和u+上 1纵，已知有以下公式“2 ,2 一1 9.证 明 一 是 等 差 数 列.Pn，n1 -吗 1 -wn J(4)求,，5，叼的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？2 0.(1 2分)某公园有一块边长为3百米的正三角形A B C空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道D E将A A B C分成面积之比为2:1的两部分(点。，E分别在边AB,A C上)；再取O E的中点M,建造直道A M (如图).设A D =x,D E =弘,A M =y2(单位：百 米).(D分别求y,%关于x的函数关系式；(2)试确定点。的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.2 1.(1 2分)已知函数/(x)=xlnx+x,g(x)=je(1)若不等式/(x)g(x)Wax2对恒成立，求a的最小值；(2)证 明:/(x)+l-x g(x).（3）设方程/（%）-8（%）=%的实根为%.令=/、.若存在西，与X,工 0 F（XI）=F（X2）,证明：F（X2）为平面内一动点，以线段A P 为直径的圆内切于圆O,设动点P 的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程（2）过点。（2,石）的直线/与C 交 于 两 点，已知点。（2,0）,直线x=Xo分别与直线。E，D E 交于S,T 两点，线段S T 的中点M是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“也（0 ），0711 1%”的否定是：mre（0,l）,e W lnx。.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度容易.2.A【解析】由（1 +i）z=/.得z=一二，然后分子分母同时乘以分母的共枕复数可得复数二，从而可得二 的虚部.1 +Z【详解】因为(l+i)z=i,所以 z=-=-=-=-=I i,1 +Z （1 4-0（1-0 1-/1 +1 2 2所以复数二的虚部为!.2故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共枕复数，转化为乘法运算.3.D【解析】可求出集合A，B,然后进行并集的运算即可.【详解】解：A=x|0 x 0；A U 8 =0,+w）.故选O.【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.4.A【解析】由题意求得c与2的值，结合隐含条件列式求得层，加，则答案可求.a【详解】由题意,2 c=8,则c=4,又 2 =6,且“2+62 =0 2,a解得层=4,b2=12.2 2双曲线C的方程为二二=1.4 1 2故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.5.A【解 析】根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到S B N=、PCM,得到答案.【详 解】二面角尸-A M-8与二面角P-A M-C的平面角相等，故尸到两个平面的距离相等.故 P-ABM =VP-A C M,即 七-PB,M =VA-P C M,两三棱锥高相等,4 P B M =SAPC M,故B P=CP,故P为CB中点.故选：4【点 睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.D【解 析】由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详 解】执行该 程 序 可 得5=0+*+:+*=*故选：D.【点 睛】本 题 考 查 程 序 框 图.解 题 可 模 拟 程 序 运 行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解.7.B【解 析】因 为 圆Y +V6一7=0与 抛 物 线 丁=2川(0)的准线相切，则 圆 心 为(3,0),半 径 为4,根据相切可知，圆心到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，可 知P的 值 为2,选B.【详 解】请 在 此 输 入 详 解！8.D【解 析】根据函数的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，进 而 求 出。，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详 解】依 题 意 有/(x)+g(x)=a*-尸+2,/(一x)+g(-x)=a-a+2=-f(x)+g(x)，一 得/(x)=ax-ax,g(x)=2,又 因 为g(2)=a,所 以。=2 J(x)=2 -2 T,/(x)在R上单调递增，所 以 函 数/(丁+2,的 单 调 递 增 区 间 为(-1,”).故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.9.C【解 析】由/=(4 +；。0 =5 (%+牝)=4 0,和4=5,可 求 得 火=3,从而 求 得4和 ,再验证选项.【详 解】因 为5 0=1 5 1 1 2 =5(/+%)=4 0,4=5,所以解得为=3,所 以4二 心 一%=2 ,所以 4()=4 +4 =5 +8 =1 3,%=4 -4 d=3 8 =5 ,S2 0 2Qa+1 9 0 e/=-1 0 0 +3 8 0 2 8 0 ,故选：C.【点 睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.10.A【解 析】c2根据题意 得 到“beV2+b2化 简 得 到/=3，得到答案.【详 解】h,be c根据题意知：焦 点F(C,O)到 渐 近 线y=-x的距离为d=?,a y/a+h 2故。2=3，故渐近线为xAy=O.故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.11.C【解析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，A,。,产三点重合，记作。，取。中点”，连接EG,E”,G，NEG”即为EG与直线8 c所成的角，表示出三角形E G 的三条边长，用余弦定理即可求得cos NEG”.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其 中 厂 三 点 重 合，记作。：则G为3。中点，取。中点“，连接E G,E H,G H ,设正四面体的棱长均为。，由中位线定理可得G H/8C且G H =-B C =-a,2 2所以Z E G H即为E G与直线3 c所成的角，2)2由余弦定理可得cos Z E G H =EGG HN-EH：2 E G G H324-12-432411-2与22X36=所以直线EG与直线B C所成角的余弦值为6故选：c.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.12.B【解析】可画出图形，根据条件可得2AC-BC=3AO2BC-AC=3BOAC=2A0+WBC=2BO+AO,从而可解出,然后根据Q4LQB,AB=2进行数量积的运算即可求出AC B C(2AO+BO)(2B0+AO)=8.【详解】如图:点。为AABC的三条中线的交点.AO=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=1(BA+BC)=(2BC-AC)2AC-BC=3 W2BC-AC=3BO可得:AC=2A 0+WBC=2BO+AO又因Q4_LQB,AB=2,.-2 32*2AC BC=(2AO+BO)(2BO+AO)=2AO+2BO=2AB=8-故选：B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.1【解析】先求/(I),再根据/(I)值所在区间求/(7(I).【详解】由题意，/(I)=10g3=1,故/(/(D)W=lxe1 I=l,故答案为：1.【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.14.1【解析】设抛物线上任意一点的坐标为(毛,%)，根据抛物线的定义求得%，并 求 出 对 应 的 即 可 得 出 结 果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为(毛,%)，抛物线y2=4x的准线方程为x=T,由抛物线的定义得X。+1 =1,解得/=0,此 时%=0.因此，抛物线y2=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为1.故答案为：1.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.15.-2【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2 x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.【详解】由题意得：目标函数Z=2x+y在 点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,A A(l,-1),8(3,1),二直线AB的方程是：x-y 2=0,.则 如 =_ 2,故答案为-2.a【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题.16.55【解析】由 阴=2 =q(q+f)求出f =l.由2 S“=a,(a“+l),可得2 s,一 =4-(a,i+1),两式相减，可得数列 叫 是 以1为首项，1为公差的等差数列，即求A。.【详解】由题意，当”=1时，2 4=2 5 1 =q (4+。，,/4 =1,2 =1 +1,:.t=当22时，由2 S a =。”(。“+1),可得 2 5 _|=an-(an-l+1)，两式相减，可得 2%=a“(4,+l)-a,i(4)T +1),整理得(q,+a,-)(4 一 6-1)=。，-1 =0,即一。,”1=1，.数列 q是 以1为首项，1为公差的等差数列,S“,=1 0 x l +lxl=5 5.1 0 2故答案为：5 5.【点睛】本题考查求数列的前项和，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5217.(1)0.024；(2)分布列见解析，E X=w；(3)m=8,=11【解析】(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,再由乘法原理可求出概率；(2)由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,而X的可能取值为8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及数学期望；(3)由加+=1 9,且加e8,9,可知若m=8,则“=1 1,或若加=9,贝=再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.【详解】(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A,因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,所以尸(A)=0.6 x 0.2 x 0.2=0.024.(2)由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,由题意X的可能取值为 8,9,10,11,12,从而 P(X=8)=0.2 x 0.2=0.04,P(X=9)=2 x 0.2 x 0.4=0.16,P(X=10)=2 x 0.2 x 0.4+0.4 x 0.4=0.32,P(X=11)=2 x 0.4 x 0.4=0.32,P(X=12)=0.4x0.4=0.16.所以X的分布列为X89101112P0.040.160.320.320.16EX=8x0.()4+9x0.16+10 x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4(个).或用分数表示也可以为X89101112E XP12 542 582 582 542 58 x +9 x +1 0 x +1 1XA +1 2X =2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 5（个）.（3）解法一：记丫表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）因为2+=1 9,且?e 8,9 ,1 若m-S,则=1 1,孙=1 6 0 x 8 +4 0 0 x 0.4 +8 0 x 1 1 +2 0 0 x 0.1 6 =2 3 5 2 （元）:2 若 m =9,则”=1 0,=1 6 0 x 9 +8 0 x 1 0 +2 0 0 x 0.3 2 +4 0 0 x 0.1 6 =2 3 6 8 （元）.因为EYEX，故选择方案：加=8,=1 1.解法二：记分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）1 若 m =S,则=1 1,看的分布列为小1 2 8 01 6 8 0P0.60.48 8 01 0 8 0P0.8 40.1 6该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为切 +监=1 2 8 0 x 0.6 +1 6 8 0 x 0.4 +8 8 0 x 0.8 4+1 0 8 0 x 0.1 6 =2 3 5 2 （元）;2。若 m =9,贝!|=1 0,&的分布列为8 0 01 0 0 01 2 0 0P0.5 20.3 20.1 6E%+砥=1 6 0 x 9 +8 0 0 x 0.5 2 +1 0 0 0 x 0.3 2 +1 2 0 0 x 0.1 6 =2 3 6 8 （元）.因为+E。Er)2+E&2所以选择方案：加=8,=1 1.【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.1 8.卜=应孙。”为参数)；(2)也.【解析】(1)根据伸缩变换结合曲线C,的参数方程可得出曲线C?的参数方程；(2)将曲线G的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点尸的极坐标为(门,。)，点。的极坐标为(Q，9 +将这两点的极坐标代入椭圆。的极坐标方程，得出：和 ；关于。的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出 P O Q面积的最大值.【详解】x-c o s a(i)由于曲线G的参数方程为.(。为参数)，y=sna将曲线G上每一点的横坐标变为原来的0倍，纵坐标不变，得到曲线。2，Y -J2 c o s a则曲线C,的参数方程为、(a为参数)；y =s i n a(2)将曲线G的参数方程化为普通方程得：+丁=|，化 为 极 坐 标 方 程 得 已 卫2+气皿2。=1,即夕2=一,2 l +S H T。设点P的极坐标为(月,夕)，点。的极坐标为)，c 2 2 22 2-7 X-Z将这两点的极坐标代入椭圆。的 极 坐 标 方 程 得 滔1，2 1 +s i n2 A P O Q的面积为、&_1hPOQ PP11 2 1x 1 j 2 J(l+sin%)(l+cos*Q)2 +sin2 8cos2 (p12+(sin cos 9?)当sin2。=0时，AP。的 面 积 取 到 最 大 值 我=当【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.(1)AA Aa(或M),的概率分别是一，一，4 2案见解析【解析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.(2)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.:仁忧22 (3)答 案 见 解 析 答(3)由 知“+i=P,2,%=2p,g,w,m=q.2,求出p用、qn+l,利用等差数列的定义即可证出.j q/2(4)利用等差数列的通项公式可得一=一 +5-1),从而可得为=1 ,再由叱m=/2 =_幺 _,利用式子%1 i+q 1 U+q J的特征可得叫越来越小，进而得出结论.【详解】(1)即A”与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是,，2故AA出现的概率是一x一,或 出 现 的 概 率 是 一x I x=,2 2 2 2 2 2 4aa出现的概率是一x 2 2所以：AA,Aa(或6(A),的概率分别是二，,4 2 4(2)=p2,vt=2pq,w=q2(3)由(2)知%+i=P;，乙+i=2p“q“，吗+|=于是,用+号 P,.1 一吗+i2 2P“名，21iq：1+%匕+iP M,p“q“(ig”)(i+%)i+q.=%q“P-是等差数列，公差为il/Jii,、(4)=+(/?-1)q”%2 1 2 p其中，二 2 2 q(由(2)的结论得)1 1-wx 1-%=丁 7,0 1 +夕于是，%+i=q/、2q1 +%,P+nq外=J=不7%Pn，p+nq2J+酩c p(p+nq)很明显吗+q1 4-nq/,“越大，卬向越小，所以这种实验长期进行下去,巴越来越小，而 必 是 子 代 中 所 占 的 比 例，也即性状山会渐渐消失.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属于中档题，2 0.(1)yx2+$-6 ,xe 2,3 .y2=T+l+r xe2,3-(2)当 A。=几 百 米 时，两条直道的长度之和取得最小值V 6 +百米.【解析】2（1）由5凶/,=5.叱，可 解 得 隹方法一：再在A A D E中，利用余弦定理，可得X关于x的函数关系式；在 M D E和AAEM中，利用余弦定理，可得为关于x的函数关系式方法二：在A 4 Q E中，可 得 诙=通-亚，则有D E2=A E -2 A E A D +A D2 化简整理即得；同理而7 =而+通），化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.【详解】2解：（1）vAABC是边长为3的等边三角形，又A 0 =x,A D -A E-sin =x32 xsin|A E =.2 3 3（2 3 J x 0 A D =x 3由 0A=-3,#2 x +A M?-2 O M AM c os NA M D 松=余+4 2 _ 2或/.4 1 1.8 5（乃 _4 0 因为M为0E的中点，所以。M=2由 +，得 A2+AE2=。例2 +E用2+2 A 2 -D E2+2 A M2,2所 以 炉+（9=1_/+*一6 +2 4知2,所以A2=E+3 +3.2 x2）4 x2 2所以，直道AM长度力关于丫的函数关系式为 2 -XG 2,3 .法2：因为在A A D石中，D E=A E-A D 所 以 诙?=正2荏.通 +而2 =仅1-2-xc os+x2=X2+$-6.I xj x 3 x所以，直道D E长度月关于x的函数关系式为XG2,3.在AM坦中，因为M为。E的中点，所以Z而=；(万+通 上所以=：(赤2+亚?+2而.恁)=；(/+当+6).所以，直道AM长度为关于X的函数关系式为)弓=左+之+3,x2,3.4 x 2百米.故当A O =几 百 米 时，两条直道的长度之和取得最小值 瓜【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.2 1.(1)-(2)证明见解析(3)证明见解析e【解析】(1)由题意可得，利用导数得Mx)在 1,”)上单调递减，进而可得结论；(2)不等式转化为lnx +,e，令f(x)=lnx +L力(月=二，利用导数得单调性即可得到答案；x e x e(3)由题意可得lnx=进而可将不等式转化为/(x J v bQx o-x J,再利用单调性可得x j n%孑,记，(x)=x lnx-一 配 l x x,再利用导数研究单调性可得”(x)在(1,%)上单调递增，即7()团(%)=0,即x j n x争仔，即可得到结论.【详解】(1)/(x)g(x)泼，即(x lnx +x)土2o x?,化简可得I +1 a.eA ex令 攵(%)=写1 1,二 一 士 无+1),因为X N 1,所以%1,lnx+1 2 1.所以(x)W O,A(x)在 1,例)上单调递减，(x)g(x),即x lnx +1 -Y(X0).ex两边同除以X可得l n x+L .x e设r(x)=l n x+L,贝u (x)=J 一_y =x x x x在(0,1)上，f(x)0,所以力 在(1,钟)上单调递增，所以r(x)Nl)=L设因为仆)在(。,+8)上是减函数所以(上(。)“所以r(x)/z(x),即x)+l-x g(x).(3)证 明:方 程/(力 一g(x)=x在区间(1,+8)上的实根为与，即l n x o=，要证F(X2)F(2X0-X1),由尸(西)=/(2)可知，即要证尸(王)/(2玉)_ 可).当l x 0,因而F(x)在(1,毛)上单调递增.当无与 时，尸(力=十，9(%)=宁%,要 证 尸(%)尸即要证x j nx i登二记机(x)=x I nx-,1 x O.f e(l,同 时,r (。，故 皿=：.口/、八 以八/1 E d c 1 b 1 I 2%)-x 八且(。0,故0 。)1,所 以 _。0,即?(x)在(1,%)上单调递增.所以?(力/(%0)=0,即 X I n X 2&,_ j .故尸(为)2,所以点P的轨迹是以AA为焦点，长轴为4的椭圆，其中a =2,c =l,2 2曲 线 方 程 为 上+二=1.4 3（2）设直线的方程为工=疗+（2-血），设 反 不 弘）,/,为），,为），直线 DE 的方程为 y=-7（X-2）,乂=-4（X。-2）,同 理 为=（%-2）,X,-2 X-2 /-2所以2%=乂+=等T5一2）+黄。-2）,2 yo=)+%=2)，(芳+为)X。一2 X,-2 x,-2 -6(y+%)+3 x-ty(2-/3 z).3 x2+4 y2-1 2 =0 (3 产 +4)/+(1 2/-6 舟)y+9 -1 2 岱=0,成 凶 9 f-1 2底所 以%=3 7+4，x 必=6疯2 一3产+42为X。-2代入得C 9/一 1262 x-912月 :焉2-R f：回+2y2 C=0,方“一岛 +刃所以点M都在定直线g x +2 y-2 6=0上.【点睛】本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.