江苏省连云港市2023年高三考前热身数学试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 a =l og om 0.04,h=l og0 30.2,c=o,30 0 4,则 a、b c 的大小关系为（）A.c b a B.a b c C.b c a D.b a c2.已知S“是等差数列 4 的前“项和，若 S刈8 S，s o 1B.s 2C.Sl g 99D.Sl g 987.设集合A =1,2,3,B=x|x2-2 x+m =0,若AcB =3,则3=()A.-1,3 B.-2,3 C.-1,-2,3 D.38.在三棱锥产一AB C中，A B L B P,A C P C,A B L A C,P B =P C =2 ，点P到底面A B C的距离为2,则 三 棱 锥AB C外接球的表面积为（）A.3兀C.12 4D.24乃9.在复平面内，复数，（2+，）对应的点的坐标为（A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)10.设a,b,c为非零实数，且a c,b c,贝!J (),a+b 1 1 2A.c i +b c B.ab c C.-c D.-l 2 a b c11-已知单位向量Q,坂 的 夹 角 为 若 向 量 7 =2Q，几=4。萩，且 则|卜()A.2B.2C.4 D.612.函 数 外 力=也 二11的大致图象是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.甲、乙、丙、丁 4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，贝胪甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为.14.已知关于x的不等式(a x-2_ 4)(x-4)0的解集为A,且A中共含有个整数，则当 最小时实数a的值为.x+y 415.已知实数满足,则z =2生的最大值为_ _ _ _ _ _.八x+216.已知函数/(x)=x 2+2/(l)l n x,则曲线y=/(x)在_ r =l处 的 切 线 斜 率 为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图，直三棱柱A B C AAG中，底面A 8 C为等腰直角三角形，A B 1 B C,=2 4 8 =4,M ,N分别为CG，8片的中点，G为棱A%上一点，若平面的VG.(1)求线段AG的长；(2)求二面角B MGN的余弦值.TT18.（12 分）如图所示，在三棱锥 A-3 CD 中，A B =B C=B D =2,A D =2 0 N C B A =N C B D =3 ,点 E 为 A D中点.（1）求证：平面ACD，平面B CE；（2）若点F 为 B D 中 点,求平面B CE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值.2 219.（12分）已 知 椭 圆&:+=1（4 力0）的焦距是2近，点 P是椭圆C上一动点，点”,N是椭圆C上关于a b原点。对称的两点（与 P不同），若 直 线 的 斜 率 之 积 为2（I）求椭圆的标准方程；（II）A 3 是抛物线g:f=4 y 上两点，且 A,5 处的切线相互垂直，直线AB 与椭圆G 相 交 于 两 点，求 0 8的面积的最大值.x=t,20.（12分）在平面直角坐标系M 2），中，已知直线/的参数方程为 广（/为参数），圆C的方程为y=4-J3rf+（y _ 1）2=1,以坐标原点。为极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求/和。的极坐标方程；（2）过。且倾斜角为。的直线与/交于点A,与。交于另一点8,若九一 求5舄万 的I取OB值范围.6 12 OA21.（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点C,其短半轴长为1,一个焦点坐标为（1,0）,点 A在椭圆。上，点 8 在直线丫=夜 上 的 点，且O A L O 6.（1）证明：直 线 与 圆f+y2=i相切；（2）求AAQ5面积的最小值.x =1 +c os a22.（10分）已知在平面直角坐标系x 0y中，曲线。的参数方程为 （。为参数.04a l og痂 1=0,b=l og0 30.2 l og0 31=0,所以工=l og02 Va 08,y=l g。，O 且,V =l og o2 x在（0,+e）上单调递减，且 V0 08 L，所以h a,a b又因为a =l og j s屈 0.2 l og而获 V0.08=1,c=0.3 c，所以b a c.故选：D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.2.B【解析】1c l e 1 1根据题意计算 的0190，%020 0,计算 丁 ，T +得到答案.”2018 2019 2018 019【详解】5 是等差数列 q的前项和，若52018 S2020 ，“2020 ，2 =4+山足，故7 一，%anan+ian+2当K2017时，10c,l-=-1 -0八,2018。2018a2019。2020 02019 2019a2020 2021 +_ JJ _ “2019+“2020.。2018%1 9 a2018a2019a2020 201920202021。2018a2019a2020。20211 人当22020时，0,故前2019项和最大.bn故选：B.【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.3.D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在专,兀)上的符号，即可判断选择.详解：令/(x)=2凶 s i n 2x,因为x R J(-x)=2卜 s i n 2(-x)=-2凶 s i n 2 x=-f(x),所以 f(x)=2H s i n 2 x为奇函数，排除选项 A,B；7T因为X G(三,兀)时，/(x)0；J J Jf f (l og o；)=/(l og?3)=3-1 =2；故选：A.【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.5.C【解析】先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】ex ex函数/(x)=|,八，i n(x +1)-x _ X则=-/*)，所 以 为 奇 函 数，排 除 B 选项；l n(x +1)当xf+00时，/(X)2 7 f+8 ,所以排除A选项;In.v当 x =l 时，/(1)=In 22.72-0.370.69 3.4,排除D 选项;l n(l +l)综上可知，C为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.6.C【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，i =l,S =l g 2；3第二次，i =2,S =l g 2 +l g-=l g 3；4第三次，i =3,S=l g 3 +l g-=l g 4,第九十八次，i=98,5=lg98+lg=lg99;第九十九次，i=99,S=lg99+l g =lgl00=2,此时要输出i的值为99.此时 S=2/g99.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.7.A【解析】根据交集的结果可得3是集合8的元素，代入方程后可求z的值，从而可求8.【详解】依题意可知3是集合3的元素，即32 2x3+m=o,解得机=3,由f 一2X 3=0,解得X=-1,3.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.8.C【解析】首先根据垂直关系可确定。尸=04=08=0。，由此可知。为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出AP的一个表达式，在AQ4G中，可以计算出A 0的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积.【详解】取 AF 中点。，由 A B L B P,ACLPC可知：O P =O A =O B =O C,:.O为三棱锥P-A B C外接球球心，过P作PH_L平面A B C,交平面ABC于，连接A”交8C于G,连接。G,H B,H C ,：P B =P C,:.H B =H C,：.AB=A C,.G为8C的中点由球的性质可知：仇；，平面4 3。，；.0 6 也，且。G=，P =1.2设 AB=x,Q P B=2/2 .4O=gp A =g&+8 ,.AG=,B C =x,二在 AOAG中，AG2+O G2=O A2,2 2三棱锥产一A B C 的外接球的半径为：4 0 =如2+(2行 =郊+(2何=百，三棱锥P-AB C 外接球的表面积为S=4万代=12万.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.9.C【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】解：复数i(2+i)=2 i-l对应的点的坐标为(-1,2),故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.C【解析】取。=-1,人=一1,。=一 2,计算知 W错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案.【详解】a c,b c,故 a+2c,故 C 正确；a =-,b=-,c=-2,计算知 错误；故选：C.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.1 1.C【解析】根据而_ L 5列方程，由此求得九的值，进而求得向.【详解】由 于 加 所 以m =()，即2 a（4-萩）=8 a2-2/l =8-2/l-c o s =8 +V 2 A =0,4解得九8 正=-4夜.所以=4 a+4及坂所以W=J（4 +40B=ll6 a+3 2 y/2 a-h+3 2 h2=J 4 8+3 2&c o s 弓=J 4 8-3 2 =4.故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.1 2.A【解析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数/(X)为奇函数，可排除B选项;当x 0时，/(x),即/0)丁()，可排除C选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。11 3.一3【解析】求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式.【详解】解：甲、乙、丙、丁 4 名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有了=6 种，甲乙在同一个公司有两种可能,故概率为6 3故答案为.【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题14.-1【解析】二一4,计算讨论。V 0,=0,。0 三种情况，a 0,4 4aVO 时，x-(aH)(x-4)0,其中 aH 0,解 集 为(-8,4),整数解有无穷多，故。=0 不符合条件；4 4 0 时，x-(Q+-)(x-4)0,其中+一24,a a4 故解集为(-8,4)U(+-,+00),整数解有无穷多，故 不符合条件；a综上所述，。=-1.故答案为：-L【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.31 5.-4【解析】作出不等式组所表示的平面区域，将 目 标 函 数 看 作 点 与 可 行 域 的 点 所 构 成 的 直 线 的 斜 率，当直线过4(2,2)时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.【详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由 得点A(2,2),目标函数z=筌 表 示 点P(-2,-1)与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过A(2,2)时，直线的斜率取得最大值，此时z=的最大值为本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.16.-2【解析】求导后代入x=l可构造方程求得/”(1),即为所求斜率.【详解】.，(x)=2x+L =2+2;，解得：7(1)=-2,即y=/(x)在x=1处的切线斜率为-2 故答案为：-2.【点睛】本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)AG=1 (2)为5【解析】(1)先证得J.G N,设4 8与GN交于点E，在ABNE中 解 直 角 三 角 形 求 得 由 此 求 得AG的值.(2)建立空间直角坐标系，利用平面BMG和平面NMG的法向量，计算出二面角B-M G-N的余弦值.【详解】(1)由题意,平面 MNG-GN u平面MNG,n AB 人 GN,设A B与GN交于点E,在 岫NE中,可求得BE=拽，则4石=述5,5可求得4G =3,则AG=I(2)以4为原点，与8方向为x轴，用。方向为y轴，与4方向为z轴,建立空间直角坐标系.5(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)加0 =(2,2,0),5G=(-1,0,2),易得平面 的法向量为)=(2,2,1).NM=(0,2,0),而=(1,0,2),易得平面NMG的法向量为后=(2,0,-1).设二面角BMGN为6,由图可知。为锐角，所以nI n,J 3 x/5cos,6=r=.I i I -I 21 3-V5 5即二面角3 MGN的余弦值为好.5【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.(1)答案见解析.(2)之 包31【解析】(1)通 过 证 明 平 面43D,证得3CLA。，证得BE_LAD,由此证得AD_L平面BCE,进而证得平面AC。_L平面BCE.(2)建立空间直角坐标系，利用平面BCE和平面ACF的法向量，计算出平面BCE与平面ACE所成锐二面角的余弦值.【详解】TT(1)因为N C B A =N C B D =,所以BCJ_平 面 丽,2因为ADu平面所以因为AB=B D,点E为 中 点，所以因为8C n8E=8,所以4)，平面8CE.因为AOu平面A C D,所以平面AC。，平面BCE.(2)以点B为坐标原点，直线BC,8D分别为x轴，)，轴，过点8与平面BCD垂直的直线为二轴，建立空间直角坐标系,则 3(0,0,0),4(0,-1同,C(2,0,0),(0,2,0),E 0,-,-,F(0,l,0),I 2 2 JBC=(2,0,0),B E=0,-,y-,CF=(-2,1,0),通=(0,2,设平面B CE1的一个法向量=(x，y,z j,则n,B C=0,n-B E -0,2%j=0,即 1 V3 _0+3 4=0,取4=1,则%=0,y=豆，所以E=(0,G),设平面A C F的一个法向量?=(9,y2，Z2)，贝 卜m-A F =0,即m-C F =0,2 y2 +=0,2X2+%=,取Z 2=2,则 无=一 正，y.=-y/3,所以送=2 -Ox+1 x2设平面B C E与平面A C F所成锐二面角为0,+15而31 ,所以平面B C E与平面A C E所成锐二面角的余弦值为之巨.31【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.2 21 9.(I)+-=1 ；(U)7 24 2【解析】(I)设点P,N的坐标，表 达 出 直 线 的 斜 率 之 积，再根据尸,M,N三点均在椭圆上，根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.(n)设直线A B的方程为y=履+7，根据直线P M,P N的 斜 率 之 积 为 可 得m=1,再联立直线与椭圆的方程，表达2出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】（I）设P（x“yJ,例（-/,一%）则：X +a=）1q一又+和多*h故 与,2b-2yf=0n即g%-x2 a a22故/=2,又2 C=2&=。2一/=2,故。2 =4 万=2.r2 v2故椭圆的标准方程为上+匕=1.4 2（II）设直线A B的方程为 =履+相，4（%,丁|）,6（X 2，%），（毛，%），8（%4，乂），由*y=kx+m.2,=2一4 4加=(),故%+工2=4%,再 2=-4加龙=4y2又C,:y=，故y =；,因为A 8处的切线相互垂直故土.区=1=m=1.2 4 -2 2 2故直线A 8的方程为y=+i.y=kx+联立*2 y2=(1 +2公)2+4 6_2 =0-F -=14 2故 退+%44k 2M i e,X 3 X 4=M ie 故S,X D=；X 1 X,|=；,（%+江）2一4中2，代入韦达定理有S.OCD=2 2 20 _ q设，=F 1i i，则。-777一二万一1 一 勺当且仅当f=-=i时取等号七2匕 t故AOCD的面积的最大值为V2 .【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题，需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.32 0.（1）G p c o s e +ps in。-4 =0；p =2 s in。（2）【解析】(1)直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化;(2)利用极坐标方程将0房B4转化为三角函数求解即可.0A【详解】(1)因为亚所 以/的 普 通 方 程 为4 =0,又尤=QCOS。，y=ps in。，x1+y2 p2,/的极坐标方程为下p c os e +ps in 6-4 =0,C的方程即为V +J _ 2 y=0,对应极坐标方程为。=2 s in 8.(2)由己知设B(p2,a ,则。尸7-，夕，=2 s ina,V3 c os a+s in a所以，rT7 =Tx 2s ina(/3c os a+s ina)=-5/3s in2-c os 2 +lOA px 4 4 L16,J *,2 s in 2 a-+1乱I 6j 万 5%乃 c 712TtX a ，2a-，6 1 2 6 6 3 3当2 a-二兀=兀二，即a=T：C 时，|OB|取得最小值一1;6 6 6 0A 27 1 71 7t I OB I 3当2 H，即a=时，两 取 得 最 大 值“所以，品 的 取 值 范 围 为 不 丁 .【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力.2 1.(1)证明见解析；(2)1.【解析】(1)由题意可得椭圆C的方程为5+丁=1,由点B在直线y=夜 上，且。4 _L0 6知Q4的斜率必定存在，分类讨论当0A的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB与圆x2+/=1相切;由(1)知，AAOB 的面积为S=OA-OB.l【详解】解：(1)由题意，椭圆C的焦点在x轴上，且b=c=l,所以a=0.所以椭圆C的方程为+丁=1.由点3在直线y=&上，且。4 _L 0 3知。4的斜率必定存在，当。4的斜率为0时，|。4|=及，。却=也，于是|A=2,。到A 3的距离为1,直线A 3与圆f +y 2=i相切.当。4的斜率不为0时，设。4的方程为了=，与 +9=1联立得(1 +2/)%2=2,所以/=丁4万，犬=且 二，从而|04=21空 1 +2左2力1 +2-1 +2公而Q B L Q 4,故QB的方程为=一0，而8在、=夜 上，故x=_ O k，从而|。欧=2+2-，于 是 看+嵩=L此时，。到A 3的距离为1,直线A 3与圆/+丁=1相切.综上，直线A 3与圆d +y 2=i相切.(2)由(1)知，AAOB的面积为2+2公241+2/S=&d 3|=i+T 2用41 +7、2 J l+2/2(JI+2%2 )上式中，当且仅当攵=()等号成立,所以AAOB面积的最小值为1.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题.22.(1)极坐标方程为。=2 c o s ,点 A 的极坐标为1，(2)旦【解析】(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；(2)只需算出A、B 两点的极坐标，利用S=g 与/lsin(q%)|计算即可.【详解】x=1 +cos a(1)曲线C：.(。为参数，0W a 2)y=sin ao (x-1)2+y2=1 x2+=2x x72=2夕cos。=P=2cos6,IT将 6=代入，解得夕o=l,即曲线C 的极坐标方程为夕=2 cos 6,点 A 的极坐标为1,(2)由(1),得点A 的极坐标为卜,由 直 线 加 过 原 点 且 倾 斜 角 为 知 点 3 的极坐标为(6,W，SAABo=；x lx A s in 一看=乎.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.