十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题07数列（解析版）.pdf

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题07数列.真题汇总，.112022年北京卷06设 是公差不为0 的无穷等差数列，则“%为递增数列是 存在正整数N。，当n No时，%0”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列 斯 的公差为d,则d#0,记 万为不超过x的最大整数.若 即 为单调递增数列，则d 0,若即 2 0,则当nN 2 时，an !0；若由 0 可得n 1取N（）=l-用+1,则当n N（）时,an 0,所以,“%是递增数列“存在正整数N o,当”时,an 0”；若存在正整数N（）,当n N（）时，%0,取k e N*且kN（）,ak 0,假设d 0,令 玛=恁+5-加 人一号，且k 一号k,当n k-引+1 时，an 0,即数列 册 是递增数列.所以,”an 是 递 增 数 歹“存在正整数M,当n M）时，册 0”.所以,“冬 是递增数歹广是“存在正整数N o,当n No时，0n 0”的充分必要条件.故选：C.2.2021年北京6】册 和 3 是两个等差数列，其中黄（1 5）为常值，%=288,a5=96,%=192,则/=（）A.64 B.128 C.256 D.512【答案】B由已知条件可得荒=晟，则%=詈=1=6 4,因此，=空=12等 i =128.故选：B.3.(2021年北京10数列 an 是递增的整数数列,且%3,%+a2+an=1 0 0,则n 的最大值为()A.9 B.1 0 C.1 1 D.1 2【答案】C若要使尽可能的大，则由，递增幅度要尽可能小，不妨设数列 a0 是首项为3,公差为1 的等差数列，其前项和为5.，则ctn=n+2,=x 11=88 100,所以的最大值为1 1.故选：C.4.【2 0 2 0 年北京卷0 8】在等差数列 aj中，%=-9,=-1.记=%(n =1,2,.),则数列 Tn().A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差d=Q=4?=2,5-1 5-1则其通项公式为：an=a1+(n l)d =-9+(n 1)x 2=2n-11,注意到 a2 a3 a4 a5 0 a6=1 a7 ，且由75 0可知7 l(i 7,i e N)可知数列 T J不存在最小项，U-l由于a 1=-9,a2=_ 7,a3=5,a4=3,a5=l,a6=1,故数列 Tn 中的正项只有有限项：T2=6 3,7 4 =63 x 15=945.故数列 丁兵中存在最大项，且最大项为丁小故选：B.5 .【2 0 1 5 年北京理科0 6】设 斯 是等差数列，下列结论中正确的是()A.若 1+。2 0，则 42+3 0B.若 Q I+Q3 V 0,则“i+a2 VoC.若 0V aia 2，则D.若 a i 0,则(a 2 -a i)(2-Q 3)0【答案】解：若 0 1+以 2 0,则 2 a i+I 0,2+3=2 a 1+3r f 2 d,d0时，结论成立，即/不 正确;若 a i+a 3V o 则 a i+a 2 =2 a i+d 0,a2 as =2 ai+3J 2 d,d V O 时,结论成立，即 8 不正确;斯 是等差数列，0 2 7al的，*,2 Vaia3 即。正确；若 aiO,则（2-4|）（。2-。3）=-屋W0,即。不正确.故选：C.6 .【2 0 1 4年北京理科0 5 设 斯 是公比为4 的等比数列，则 1”是“斯 为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】解：等比数列-1,-2,-4,，满足公比夕=21,但 斯 不是递增数列，充分性不成立.若如=-卜（/）所1 为递增数列，但 4=*1不成立，即必要性不成立，故uq 是 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.7 .【2 0 2 2 年北京卷1 5】己知数列 即 各项均为正数，其前项和九满足册 5 4=9（7 1 =1,2,）.给出下列四个结论：%的第2项小于3；即 为等比数列；与 为递减数列；%：中存在小于六的项.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】由题意可知，V n 6 N an 0,当九=1时，Q：=9,可得%=3；当nN 2时，由S=F 可得SA I=,两 式 作 差 可 得 斯 一 一an f l n-1%dn-19 9 9 .一所以，-%,则-=3,整理可得a g +3a 2 9 =0,因为。20,解得&2=浮 0,可得a”an_ i，所以，数列 册 为递减数列，对；an an-l anan-i假设对任意的 n e N*,时?击，则 Si o o o o o 2 1 0 0 0 0 0 X击=1 0 0 0,所以，即。=J 一 喘G 0,a 7+a io0，.”8 0，又。7+。10=。8+。9 0，O9?=藐40=2即等比数列的公比9=2,将夕=2带入中可求出2=4则a=等=劣=2数列an时首项为2,公比为2的等比数列.数列。的前 项和为：S尸=2 x ；D=2+1-2.故答案为：2,2n+l-2.1 4.【2022年北京卷21】已知,ak为有穷整数数列.给定正整数”?，若对任意的n 6 1,2,小 ,在。中存在%,%+1吗+2,0),使得为+/+1+ai+2+ai+j=n,则称。为jm 一连续可表数列.(1)判断Q:2,l,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若Q%,a,色为 8-连续可表数列,求证：1 的最小值为4；(3)若。的,a2,，融为2 0-连续可表数列,且%+a?+以 7.【答案】(1)是 5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】(l)a2=1，i=2,即+a2=3，。3=4,。2+。3=5，所以Q是 5 一连续可表数列；易知，不存在i,/使得 +ai+i+-+ai+j=6,所以Q不是6 一连续可表数列.(2)若k 4 3,设为Q:a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,瓦c,6 个数字,没有8 个,矛盾;当k=4 时，数列Q:1,4,1,2,满足由=1,=2,+。4=3,。2=4,%+=5,%+a2+。3=6,+。3+=7,%+。2+=8,fcmin=4.(3)(?：,a2,-,ak.若i=j 最多有k种，若i手j,最多有熊种，所以最多有k+髭=”罗 种，若k W 5,则ai，a2,.，至多可表gB =1 5 个数，矛盾，从而若k 7,则k=6,a,瓦c,d,e,f至多可表区乎=2 1 个数，而a+b+c+d+e+/1),则所有数之和2 m+l+m+2+-+m+5-m=4m+15,4m+15 m=1,(a,b,c,d,e,f=-1,2,3,4,5,6),再考虑排序,排序中不能有和相同,否则不足2 0 个，1=-1+2(仅一种方式)，二-1 与 2 相邻，若一 1 不在两端，则 占一 1,2，一一 形式,若x=6,则 5=6+(-1)(有 2 种结果相同，方式矛盾)，x*6,同理XH 5,4,3,故一 1 在一端，不妨为 二,2,4 旦,形 式，若4=3,则 5=2+3(有2 种结果相同，矛盾)，4=4 同理不行，4=5,则 6=-1 +2+5(有2 种结果相同，矛盾)，从而4=6,由于7 =-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻八故只能一1,2,6,3,5,4,或一1,2,6,4,5,3,这 2 种情形，对：9 =6 4-3=5+4,矛盾，对：8 =24-6 =5+3,也矛盾，综上A 4 6k 7.15.20 21年北京21】定义/数列 通：对实数p,满足：%+p0,a2+p =0；Vn e N*,%-0,a2=0,由性质am+2 e am,am+1).因此%=%或=%+1，a4=0或。4 =1，若。4 =0，由性质可知。3 。4,即 0或%+1 0，矛盾；若=1,。3 =+1，由。3 。4 有+1 矛盾.因 此 只 能 是=1,。3 =1.又因为。4 =+。3 或。4 =%+。3 +1，所以3 或=0若如=则a?=a1+1 G%+为+0,%+%+0+1 =2a1；2al+1 =1,2 ,不满足。2=0,舍去.当为=0,则 4 前四项为:0,0,0,1,下 面 用 纳 法 证 明=n(i =1,2,3),a4 n+4 =n +l(n e N)：当n=0时，经验证命题成立，假设当n W k(k 2 0)时命题成立，当n=k+1 时：若i=l,则。4(土+1)+1 =。4 k+5 =a/+(4 k+5-j)，利用性质：a；+a4 f c+5-/l；G N*,1 /4 f c +4)=k,k+1),此时可得：。4 +5 =f c +1；否则，若a4k+5=上，取k=0可得：a5=0,而由性质可得：。5=4 +。4 e 1,2,与(I5=0矛盾.同理可得：a；+a4fc+6-/l；G/V*,1；4fc+5=k,fc+1,有a4+6=fc+1；%+a4fc+8-yl7 e N,2 j 4fc+6=k+1,fc+2,有a4k+8=比 +2：电+a4k+7.jj e JV,1 /4k+6)=k+1,又因为a4k+7 O,b2=a2+p=0,64n-i=4n-i+p 0,S9 Si。=a10=a4 x2+2=(P)-0，因此p=2,此时，4。W 0，a；0(7 1 1),满足题意.1 6.【2020年北京卷2 1 已知“是无穷数列.给出两个性质：对于 a”中任意两项七,叼 /),在 即 中都存在一项以，使=。皿；对于%J中任意项。“(般 3),在 4 中 都 存 在 两 项 I).使 得=幺.(I)若an=n(n=1,2,)，判断数列 an 是否满足性质，说明理由；(II)若an=2T(n=1,2,)，判断数列 g 是否同时满足性质和性质，说明理由；(HI)若 a j 是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：an 为等比数列.【答案】(I)详见解析；(II)详解解析；(山)证明详见解析.【解析】(I)；=2,。3=3,生 =J C z .a,J不具有性质：2 2(II)ViJ W N*,i j,J =2 T)T,2 i-j eN*=a2 M a j 具有性质；aiai Jv Vn G Af*,n 3,3k=n-1J =n-2,-=2(2 k-/)-1=211T =二%J具有性质；(III)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然an H 0（九C N*）,假设数列中存在负项，设No=max n|an V 0,第一种情况：若No=1,即a。0 at a2 a3 ，由可知：存在n ii，满足存在H i2,满足 2=视 ，1 0.1 4由N。=1可知磅=色，从而。2=。3,与数列的单调性矛盾，假设不成立.al al 第二种情况：若No 2 2,由知存在实数m,满足am=&。，由N。的定义可知：m%=。价，由数列的单调性可知：m N0,QNO U这与No的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次,证明0 3=旨:利用性质：取n=3,此 时=或（上 I）,al由数列的单调性可知以 az 0,而的=a为 以,故 A 3）项成等比数列，不妨设as=aiqsT（l s 0,q 1,（aj 0,0 q ak，且。加=2%+i（*）ak-l由得：存在s t,满足：ak+1=-=as as,由数列的单调性可知：t s 4 4+1,at at由=a1qs-1（l s ak=（*）at由（*）和（*）式可得：aiqk 之 aiq2s-tT a i q-i,结合数列的单调性有：k 2 s-t-l k-1,注意到S t,k 均为整数，故丸=2 s-t-l,代 入（*）式，从而以+1=。攻&.总上可得，数列 即 的通项公式为：an=a iqn l即数列%J 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质：取n=3,此时。3=或(土1),由 数 列 的 单调性可知 az0,而。3 =,故 人 1),然后利用性质：取i =3 J=2,则a ,=E =ai q3,a2 1?即数列中必然存在一项的值为4q 3,下面我们来证明a4 =aig3,否则，由数列的单调性可知C t 4 atq3,在性质中，取n=4,则。4 =%=外 强%，从而k I),满 足=碳，若4=3,1 =2,则：。4=普=%产与假设矛盾；若/c =3,1 =1,则：a4=ai Q4 a.xq3,与假设矛盾：若k=2,1 =1,则：a4=atq2=a3,与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数/M，可见a4%q3不成立，从而a 4 =a 1 q 3,同理可得：a5=a1q4,a6=a1q5,.,从而数列%为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列%J 为等比数列.1 7.【2 0 1 9 年北京理科2 0】已知数列 斯,从中选取第i i 项、第丁项、第 加 项C i i i 2-im)，若a i ra i 2-ab，则称新数列a近，ar，。11 n为S”的长度为也的递增子列.规定：数列一”的任意一项都是“”的长度为1 的递增子列.(I )写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(I I )已知数列 利 的长度为p的递增子列的末项的最小值为a mo,长度为q的递增子列的末项的最小值为 a n g.若 p q,求证：a mg 该数列的第p项2 a m 0，am0。劭(/)解：考虑2 s-1 与 2 s 这一组数在数列中的位置.若 斯 中有2 s,在 2 s 在 2 s-I 之后，则必然在长度为s+l,且末项为2 s 的递增子列，这与长度为s的递增子列末项的最小值为2 s -1 矛盾，.2 s 必在2 s -I 之前.继续考虑末项为2 s+l 的长度为s+1 的递增子列.,对于数列2-1,I n,由于2 在 2 -1 之前，.研究递增子列时,不可同时取2”与 2 -1,V对于1 至2 s 的所有整数，研究长度为s+1 的递增子列时，第 1 项是1 与2 二选1,第2 项是3 与4 二选1,，第s项是2 s -1 与 2 s 二 选 1,故递增子列最多有2 s 个.由题意，这 s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在2 s+l 之前.：.2,1,4,3,6,5,.,是唯一构造.即。2%=2 左一1,a2 k 八=2 k,任N*.1 8.【2 0 1 7 年北京理科2 0 设“4 和 d 是两个等差数列，记 C n=s a x 4-a i ，历-。2 ，bn-ant i (n=1,2,3,)，其中加a x xi,X 2，右 表示x”X 2，X s 这 s 个数中最大的数.(1 )若bn I n -1,求 C l,C 2 C 3 的值，并证明 C n 是等差数列;(2)证明：或 者 对 任 意 正 数 存 在 正 整 数?，当时，M-,或者存在正整数加，使得C m，C m+1，nC m+2，是等差数列.【答案】解：(1)m =l,=2,4 3=3,Z i =l,历=3,怎=5,当=1 时，c=max b -a =m a x 0=0,当=2 时,ci=max b -2 a,bi -2 ai =m a x -1,-1 =-1,当=3 时，C 3=max h -3aif 历-3。2，b?-3a?,=max -2,-3,-4 =-2,下面证明：对V N*,且22,都有C n=6 -i，当W N*,且 2 W Z W 时，则(bk-nak)(6-na),=(2 0 1)-nk-1+H,=(2k-2)-n (A:-1),=(2-1)(2-)，由-l 0,且 2-0,4 VO三种情况进行讨论，若 d=0,则 bi-am-(b-an)+(z -1)dz,当若 ifo W。则(bi-am)-(bi-am)=G-1)chWO,则对于给定的正整数而言，Cn=b i-此时C+l-C n=-。1，数列Cn是等差数列；当 心 0,(bi-am)-(加-a曲)=(i-)d20,则对于给定的正整数 WW,Cn=bn-ann=bn-an,此时 Cn+l Cn=2 4 1，数列Cn是等差数列；此时取加=1,则C l，C2，是等差数列，命题成立；若 diOf则此时-din+dz为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数,故必存在加E N*,使得N 加时、-力+d2V0，则当 n m 时，(bi-。源)-(bi-an)=(f-1)(-dn+di)W O,(沱N*,因此当 n m 时，cn=ii-an,1 4 W ),此时以+1-C n=-ai,故数列Cn从第m项开始为等差数列，命题成立;若小V O,此 时-小什d2为一个关于的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s EN*,使得2 s 时，-力 +2 0，则当2s 时，(bi -an t)-(hn-ann)=(/-1)(-di n+d2)0,d a+d2=B,b dz =C,下面证明：=4+3+C对任意正整数A 1,存在正整数?，使得 Mfn n n M-B 一若 C 2 0,取M=-+1,团表本不大于x 的最大整数，、工 Gi、M-B M-B当2 加时，一 An+BAm-B=A-+1+8 /-+B=M,此时命题成立；若 C V 0,取加=*!-4+1,当2 加时，cn c|M-C-B An+Br-NAm+B+C A-+8+C/M -C -B+B+C=M,n n A此时命题成立，因此对任意正数M,存在正整数机，使得当 7时，-M;n综合以上三种情况，命题得证.1 9.【2016年北京理科20】设数列/：a,ai,CIN(N 2).如果对小于(2WNWN)的每个正整数k都有四 a i，则 G U)#0；(111)证明：若数列满足(=2,3,，N),则 G C A)的元素个数不小于“N-m.【答案】解：(I)根据题干可得，ai=-2,42=2,4 3=-1，。4=1,。5=3,。1。3不满足条件，3 不满足条件，。2。4不满足条件，4 不满足条件，a,42,03,0 4,均小于。5，因此5 满足条件，因此G(J)=2,5.(H)因 为 存 在 设 数 列/中 第 一 个 大 于 m 的项为四，则 四 “1即 其 中 2W iW A-1,所以挺G(/),G (A)0；(I l l)设/数 列 的 所 有“G时 刻 为 i i i 2 Vi k，对于第一个“G时刻”八，有啊(i=2,3,，八-1),贝I%-a%-a-i 1.对于第二个“G 时刻”/1，有N s(i=2,3,z i -1),贝ij%-ai i W ai2 2-1 4 L类似的43W l,，ai k-ai k_x ai k a 亍aN-a.2 an,an 1 8记集合 M=a”|eN*.(I )若a i=6,写出集合”的所有元素；(I I)如集合A/存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；(I I I)求集合M的元素个数的最大值.2 an,an M=a|N .2 an-36,a 18故集合M的所有元素为6,12,24；2品，an 1 8(=1,2,),可归纳证明对任意”2上,即 是3的倍数.如果左=1,M的所有元素都是3的倍数：如果人 1,因为。*=2以 一1，或四=2四一|-36,所以2a h i是3的倍数；于是四一|是3的倍数；类似可得，*2,a i都是3的倍数;从 而 对 任 意1,。是3的倍数：综上，若集合用存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数2an_i,an 18 ,(I I I)对 a i W 36,an=C n=1,2,)，可归纳证明对任意，an i 83,)因为m是正整数，0 2=a i-1 8,所以a 2是 2 的倍数.从 而 当 时，如 是 2 的倍数.如 果 是 3 的倍数，由(I I)知，对所有正整数，即 是 3 的倍数.因 此 当 时，a 店 12,24,36,这时M 的元素个数不超过5.如果。1不是3 的倍数，由(I I)知，对所有正整数，即不是3 的倍数.因 此 当 时，a 6(4,8,16,20,28,32,这时M 的元素个数不超过8.当 知=1 时，M=,2,4,8,16,20,28,32,有 8 个元素.综上可知，集合河的元素个数的最大值为8.21.【20 14 年北京理科20】对于数对序列P：(a i，bi),(a2,历)，(M b“),记 Ti (P)=ai+bi,Tk(P)bk+max Tk-(P),a+ai+ak (2W A r/)，其中 w a x 7 k i C P),。1+。2+四 表示加 1 (尸)和+图+四两个数中最大的数，(I )对于数对序列P：(2,5),(4,1),求 力(P),乃(P)的值；(I I )记 加 为 a,b,c,d四个数中最小的数，对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列尸：(a,b),(c,d)和 尸 ：(c,d),(a,b),试分别对/n =a和机=6/两种情况比较乃(P)和 7 2(尸,)的大小；(I I I)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列尸使0(尸)最小，并写出乌(尸)的值(只需写出结论).【答案】解：(I )乃(P)=2+5=7,Ti (P)=l+a x (P),2+4 =1+m a x 7,6 =8；(I I )Ti(P)=maxa+b+d,a+c+d,Ti(P )=maxc+d+b,c+a+b.当 m=a 时，Ti (P1)=maxc+d+b,c+a+b =c+d+b,：a+b+dc+d+b,K a+c+dc+b+d,.,.乃(P)WT2(P)；当 时，Ti (P)maxc+d+b,c+a+b c+a+b,a+b+dc+a+b,且 a+c+d W c+a+d,:.Ti(P)WTi(P )；，无论 和?=d，Ti(P)WTi (,P)；(H l)根据数对序列(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2),可得 T(P)=4+6=10；T2(P)=11+15=26；T3(尸)=31+11=4 2；T4(P)=8+4 2=50；Ts(P)=2+50=52；逐检验可得，此数对序列使75(P)最小.2 2.【2013年北京理科20】已知仞“是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为4“第项之后各项。+1，即+2的最小值记为5,dn=An-Bn.(I)若m”为 2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4 的数列(即对任意C N*,即+4=。)，写出力，di,d3,4 的值；(I I)设 d 是非负整数，证明：d n=-d(H=l,2,3)的充分必要条件为 即 是公差为d 的等差数列；(I I I)证明：若“1=2,dn=(=1,2,3,)，则 斯 的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】解：(I)若“为 2,1,4,3,2,1,4,3-,是一个周期为4 的数列，.力=出-丁=2-1 =1,diAi-Bi2-1=1,d3=/3-&=4 -I=3,4 4=4 -&=4 -1 =3.(I D 充分性：设 d 是非负整数，若 斯 是公差为d 的等差数列，则 aa=m+(-1)d,a“=a 1+(-1)d,B=a“+i=ai+d,d”-An Bn=-d,(n 1,2,3,4*).必要性：若dn=An-Bn=-d,(=l,2,3,4).假设你是第一个使a*-ah i 0,这与dn=-W O相矛盾，故“”是一个不减的数列.:.dn=An-B=Ctn-On+d,即 an+an=d,故a”是公差为 d 的等差数列.(I I I)证明：若 41=2,dn=(n=l,2,3,)，首先，”的项不能等于零，否则由=2-0=2,矛盾.而且还能得到q”的项不能超过2,用反证法证明如下：假设 斯 的项中，有超过2 的，设 G”是第一个大于2 的项，由于 “的项中一定有1,否则与力=1 矛盾.当时，斯2,否则与dm=1矛盾.因此，存在最大的，在2 到 a-1之间，使访=1,此时，di=A i-B i=2-B W 2-2=0,矛盾.综上，a 的项不能超过2,故“”的项只能是1或者2.下面用反证法证明a”的项中，有无穷多项为1.若你是最后一个1，则恶是后边的各项的最小值都等于2,故以=4-&=2-2=0,矛盾，故 斯 的项中，有无穷多项为1.综上可得，a,的项只能是1 或者2,且有无穷多项为1.模 拟 好 题 .1.设&是等差数列，且ai=ln2,a2+a3=51n2,则e i+e。？H p e。=()A.2n B.n2+2n C.2n D.2n+1-2【答案】D【解析】由题意得：设 Qn 的公差为dv。2+。3=51n2 匆+。3=2al+3d=51n2又 ,%=ln2d=ln2%=Q+(九一l)d=nln2又.ei e1n2 2,ean=e用“2=gin2n=2n92 2(1-2n)q：ei+ea2 +=2+22+23+2n=2n+1-21-2故选：D2.已知等差数列 册,则“t=2”是 花 詈=a!e N)”成 立 的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为r6 N*,设等差数列的首项为小，公差为d,当t=2 时 笋=+(fc l)d+aj+(/-l)d=%+1)d=a空，故充分性成立：若 岁=a生，即a +a?=t a?,即即+(k-i)d+/+(/-l)d=t 卜 +(一 1)d,所以 2i+(k+I-2)d=t%+(k+1 -t)d,即(2-一 d)=0,所以t=2 或%=d,故必要性不成立,故”=2”是，汽 巴=e N*)，成立的充分不必要条件；故选：A3.已知数列 册 满足aid2a3册=八,其中n=1,2,3,，则数列%J()A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】A【解析】依题意，因为由a2a3册=其中n=1,2,3,，当n=l 时，cij=I2=1.当?i 2 2时，a】a 2 a 3 册-i =5 I)?，2 a 3 即=层，两式相除有册=/，=(1 +1n22,易得即随着n 的增大而减小，故a“W a2=4,且%1 =%,故最小项为由=1,最大项为。2 =4故选：A4.设等差数列 a/的前项和为%,若为=9,a6+a4=2,则当S”取最大值等于()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】设公差为 d,则+a6=2=a5=l=9 +4 d =l=d =-2 因此S”=9 n+g x n(n 1)x (2)=一层+1 0 n,所以当n =5时，Sn 取最大值故选：B5.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1 9 0 6 年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边(如图、等).反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第n(n=1,2,3,)个图中的图形的周长为时,则().256 _ 256 _ 512A-V B./C.【答案】C【解析】由图知：第一个图有3条边，各边长为2,故周长的=3 X 2；第二个图有1 2 条边，各边长为京故周长a 2 =1 2 x|；第三个图有4 8 条边，各边长为:故周长a 3 =4 8 x;；所以边的条数是首项为3,公比为4的等比数列，则第个图的边有3 yn T条,边长是首项为2,公比为，的等比数列，则第个图的边长为2 弓)“T故=3 x 4 4 x 2 x(1)4=除故选：C6 .已知数列 即 满足9 (九N 2,n N*),S 九为其前九项和，若 恁=4,则S$=.【答案】1 2 4【解析】由题意，数列 即 满 足 普=;(n 2,n e/V),可得数列 a 是公比为;的等比数列，an 1 N 2因为。5 =4,可得的勺4 =%x(1)4=4,解得的=6 4,所以S 5=空甲=1 2 4.1-2故答案为:1 2 4.7 .已知数列%是首项为1 6,公比为煎勺等比数列，也 是公差为2的等差数列.若集合A =ne N*an bn中恰有3个元素，则符合题意的瓦的一个取值为.【答案】一 1 (答案不唯一)【解析】易得数列 an 逐项递减，匕 九 逐项递增，故可考虑的 也,。2 。2，。3 力 3，an bn(H 4,n 6 /V+),此 时 只 需 即 可,1 6 x g)2b1+41 6 x Q)工瓦+6解得 4 0,故符合题意的比的一个取值为-1 (答案不唯一)故答案为：-1 (答案不唯一)8 .若数列QQ 的前项和S 九=M 一 8 九，n=1,2,3,，则 满 足 V 0 的的最大值为.【答案】4【解析】由 己 知%=S i =l 8=-7,n N 2 时，a?1=Sn-S 时i =n2 8 n (n l)2+8(n 1)=2 n-9,ax=-7 适合此式，所以a n=2n-9,由%=2 n 9 0 得n g,即n=1,2,3,4 共 4 项.n最大值为4.故答案为：4.9 .数列%是公比为q(q 4 1)的等比数列，S”为其前桢页和.已知斯-。3 =1 6,=12,给出下列四个结论:qV O;若存在m使得力,做，。山 的乘积最大，则根的一个可能值是3;若存在m使得 1，。2，Q m 的乘积最大，则血的一个可能值是4;若存在m使得的，a2,，07 n的乘积最小，则m的值只能是2.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】Q 汨 2 =1 6由题息 a i（l+q+q 2）_ /Qa 1 q =4,若Q i q=-4,则Q i=一;，所 以-4（i：+q）=2,4q2+Q 4-1 =0,A =-1 5 0,无实解，若=4,则4（i+&+q）=1 2,2/q 1 =0,又q 丰 1,所以 q=5正确，。1=-8,%=-8乂（一）-1=就%=-8,a2=4,a3=2,a4=1,=p a6=a-j=因此的。2 a 7 =1，又n 2 5 时，an|7 时，a1a2-an 瓦，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：V n e N*,an bn；V n e /7*,册+1 册,n+1 bn；mk e N*,使得当n k 时，总有恃-1|k时，总有|誓 0,故即 bn,正确;因为+1-%=%+b n，b n+i -。=即+。，又%，bn为正实数数列，故时+久 0，故%+1 时 也+1 匕,正确;由上知，恃一 1|=|喈 卜|巴 尚=|喈 因 为 由-瓦为常数,b为单增数歹U,故当n+8时，巴 念 0,又10-1 0,故 北6 N*,使得当n，总有恃一“并将数列%称为%的“生成数列”.若%=2 (n =1,2,3,-).求数列%的前n 项和；(2)设数列 勾 的“生成数列”为 4,求证：b i(J +C2+cn)=b1+b2+-+bn；(3)若 勾 是等比数列，证明：存在正整数劭，当nN%时,时,%+l 0n+2,是等比数列.【答案】(1)2-1；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】因为=2n(n =1,2,3,-),所以册+i -an=2n+i-2n=2n0.所 以 a2 a3 an%+1 所以勾=2-1 (n =1,2,3,)，因 为 得=篇=2，所以数列 b 是等比数列，所以数列 勾 的前n项和为：二=2,1：1 Z(2)由题意可知4+1 An 0,0 Bn+1 AnBn+lf所以所以+i Z 勾(n=1,2,3,)，所 以 6n时,令 4 =min ai，Q2,%，则/=at(m t).当九 t时，显然4n+i An.若册+14则47I+I=4?I，与4+1 4 矛盾，所以%i+l 4 an9 即 4+1=斯+1取7lo=t+l,当之 7lo时，九=含=中，显然即,an+1,a m,是等比数列，Dn ut综上，存在正整数徇，使得n 2 劭 时,%,0n+i，o+2,是等比数列.1 3.数列An：ai，ci2,%5 4)满足：%=1,%=m,+i-恁=0 或 l(k=1,2,n-1).对任意i j,都存在s,t,使得出+为=as+%,其中e 1,2,n 且两两不相等.(1)若rn=2,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；1,1,1,2,2,2；(2)14,1,1,2,2,2,2；1,1,1,1,1,2,2,2,2(2)记5=的+a2 1-1%.若m=3,证明：S 20；若m=2 0 1 8,求n的最小值.【答案】(1).(2)证明见解析(3)2026【解析】(1)解：由题意知，数列4n必满足臼=1,即=科以+1-4 =0 或 1,对任意i j,都存在s,t,使得q+%=as+4,i j s,t e 1,2,n且两两不相等，对于中，a1+a2=2,不满足q +a,=as+&,故不符合；对于中，当4+%=2 时，存在as+at=2,同理当4 +%=4 时，存在as+4 =4；当/+%=3 时，存在as+4 =3,故符合；同理对也满足，故满足题目条件的序列号为：.(2)证明:当m=3 时，设数列4n中 1,2,3出现的频次为qi，q2，q3,由题意知，Q,1,假设714时，的+a?t 2),与已知矛盾，故q i之4,同理可证：4,假设 2=1，则存在唯一的k 6 1,2,n ,使得必=2,那么，对于对任意s,3使得%+以=1+2 4 as+%(k,s,t两两不相等)，与已知矛盾，所以 2 2 2,综上可得qi 4,q2 2,q34,所以S=助 20.(3)解:设 1,2,2018出现频数依次为qi，q2,92018，由(2)的证明可得qi 4,Q2018 4,2 2 2,Q2017-2)则M2 2026,取91 Q2018=4,q2=92017=2,=1,i=3,4,5,2016,得到数列为：Fn:1,1,1,1,2,2,3,4,-,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,下面证明满足题目要求，对ViJ 1,2，,2 0 2 6 ,不妨令出 2,则可选取as=2,4 =%1,同样的，如果叫 2017冯=2018,则可选取as=。+1,%=2 0 1 7,使得a1+a?+4,且ij,s,两两不相等；如果 1%S%2 0 1 8,则可选取a.s=%-1,4 =%-1,注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立，综上，对任意i,/,总存在s,t,使得为+a2 as+4，其中i j s,t 6 1,2,n且两两不相等，因此%满足题目要求，所以n的最小值为2026.1 4.已知数列 即 为无穷递增数列，且%=1.定义：数列 玩:无表示满足七4 k的所有i 中最大的一个.数列 B J 稣表示满足6 2 k的所有i 中最小的一个(i=1,2,3)(1)若数列 时 是斐波那契数列,即%=。2=1，an+2=an+1+an,(n=l,2,3,)，请直接写出比,Bw的值；(2)若数列%是公比为整数的等比数列，且满足坛 1 0 的所有 i 中最小的一个，所以当0=7(2)1大 I为数列 斯 是公比为整数的等比数列,故公比q 2,q G N*当q=2 时,斯 的项为1,2,4,8,16,表示满足4 3 的所有，中最小的一个，所以B3=3,同理B4=3,符合题意.当q=3 时,%的项为1,3,9,27,以表示满足a,5=2,不符合，当q 4,q E N时,%的项增长的更快速，此时63=%=坛,故不符合题意.综上,q=2,3=2 =3(3)由数列 册 是公差为d 的等差数歹I 且单调递增，所以d0,又因为小G N*,Bn G N，,设数列 玩,%的公差分别为心刀2,则刈 0,弓 20,询 eN,d2eN则瓦=1+(A l)d1(8卜=1+(k l)d2,a=1 4-(n l)d,当 卜 2 b 滞电Q i+dM i W 卜 f 1+1+(