2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题04 三次函数的图象和性质 （解析版）.pdf

专题04三次函数的图象和性质【考点预测】知识点一.基本性质设三次函数为：f(x)=ax3+b x2+c x+d(a b c、deR 且a w O),其基本性质有:性质2：三次方程/(x)=0 的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数+法2 +c x+d(a R()其导函数为二次函数:尸(x)=3 加+2b x+c(a丰0),判别式为：=4-12 斤=4(力 2 一 3 )，设尸(x)=0 的两根为、x2,结合函数草图易得：(1)若)-3加 40,则f(x)=O恰有一个实根；(2)若-3 a c 0,且/(%/(%2)0，则,f(x)=O 恰有一个实根；(3)若-3 0,且 f f(X 2)=0,则/3=0 有两个不相等的实根;(4)若廿一3 4 c 0,且/(由)/()0,且/(不)./(马)0)；(3).f(x)=0 有两个相异实根的充要条件是曲线y=/(x)与 x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b2-3 a c 0,且/(王)力)=0；(4)x)=0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=/(x)与 x 轴有三个公共点，即/(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以-3 a c 0且/(X|A/(X 2)2,则函数f(x)=g x3 一/+在区间(0,2)上恰好有()A.0个零点 B.1个零点 C.2个零点 D.3个零点【解析】解：由己知得：r(x)=x(x2 a),由于。2,故当0 c x 2时 八x)2时f(0)f(2)=-4 a 0,故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点.故选：B.例 2.设。为实数，函数，(X)=-X3+3X+“.求/(x)的极值；(2)若 y=/(x)恰好有两个零点，求“的值.【解析】解：令/()=-3*2+3=0 得犬=土1,当x T 时,f x)0,当一1X 0，当x l时，f(x)0,函数y=f(x)在区间(4,2-3)上存在极值，求。的取值范围；(H)若a 2,求证：函数y=/(x)在(0,2)上恰有一个零点.【解析】(1 )解：由己知f(x)=x2-2ax=x(x-2a)令/(x)=0,解得 x=0 或 x=2a，,.a0 :.xuO 不在(a,2-3)内要使函数y=f(x)在区间(a,/-3)上存在极值，只需a 2 a 3.(6 分)(I I)证明：,2 7 4,.f(x)0,/(2)=三 必 0.函数y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点(12分)例 4.已 知 函 数=+ar,g(x)=-x2-a(a e R).(I)若函数尸。)=/(x)-g(x)在 xwl,+00)上单调递增,求。的最小值；(I I)若函数G(x)=/(x)+g(x)的图象与l 轴有且只有一个交点，求4 的取值范围.【解析】解：(I)F(x)=f(x)-g(x)=x3+ajc +x2+6Z F(x)=x2+2x+a因函数F(x)=/(x)-g(x)在 Xl,+00)上单调递增，所以 F x)=x2+2x+.O 在,+8)恒成立，即 a.-3,.a 的最小值为-3.-(5 分)(II)G(x)=/(x)+g(x)=x3-x1+a x-aGz(x)=x2-2 x +a,=4-4=4(1 一 a).若a.l,则“()，.Ga).O在R上恒成立，.G(x)在 R上单调递增.vG(0)=-a 0,.当a.l时，函数G(x)的图象与冗轴有且只有一个交点.-(9分)若 1,则(),.G(x)=O有两个不相等的实数根，不妨设为王，x2,(x,0，解得a 0.而当0 a l 时，G(0)=-a 0,故当0 a 0,得 x 0,令 r(x)0,得-2 v x/(-2)=：+b 为函数f(x)极大值，f(0)=b 为极小值.函数/(幻在区间-3,3 上有且仅有一个零点，f/(-3)0 f/(3).O r f/(-3)0 J/(-2)=0 J/(-3)0l/(o)0 1/(-2)0 1/(3)0 1/(3)0 1/(0)=01 8+Z7.O即，4，-+b01 34 4-1 8,/?0又(询2+2b(-b)-2b2=-3b2+0,即 不 是 方 程f+2Zzr-2Z 2=0的根，/(x)=0有不同于-%的根为、x2.：xt+x2=-2b ,：.%!-b、成等差数列(8分)(I I I)解：根据函数的单调性可知x=0是极大值点/(0)-2/?3-2,于是2么，1令g (b)=f(1)=-2尸+36+1求导g (b)=-6+3 2瓦 一1 时，g(b)0,:.g(b)在(-2,-1 上单调递减g (b)g(-2)即 0,J (1)0.(I)若a =2,求曲线y =/(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程：(I I )求/(x)在区间 2,3上的最小值.【解析】解：(I)/(x)的定义域为A,且 广。)=2/-4工+2 7 1当 a =2 时，/(1)=j-2+l =-1,f(1)=2-4=-2,所以曲线y =/(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程为 +；=-2(-1),即 6x+3y-5=0.(I I )解:方 程(x)=0的判别式=8a 0,令/(幻=0,得 士=1 与，或马=1 +与./(x)和r(x)的情况如下：X5（七，工2）（今，故/(x)的单调增区间为(T O,1 一 呼)，(1+与,一)；单调减区间为(1 冬,1+叵).+8)/(X)+00+f(x)/当04,2时，x2 2,此时f(x)在区间(2,3)上单调递增，7 7所以/(%)在区间 2,3上的最小值是 F(2)=；x23-2x22+(2-a)x2+l =(-2 a .当2 8时,，x,2X2 _筲.当a.8时，X,23,x,此时/(x)在区间(2,3)上单调递减，所以 f(x)在区间 2,3上的最小值是 f (3)=-x 35-2 x 32+(2-a)x3+l =7-3a.7综上，当0 q,2时，/(x)在区间 2,3上的最小值是(-2；当2 “),x(-c o,-|)与(l,+o o)时，ff(x)0 2x G(,1)时，r(X)o,所以函数“幻 的递增区间是(-00,-|)与(1收)递减区间是(-|,1)(6分)(2)f(x)=x3 x2 2x+c,x G(1,2),由（1）可知：当x=时，（x）=+c 为极大值（8 分），3 27而/（2）=2+c （1 0 分），则/（2）=2+c 是函数的最大值（1 2分）.例 9.已知函数/（力=3/-刀 2+依-4（4/?）.（1）当“=一3 时，求 函 数 的 极 值；（2）设 g（x）=x）+r（x）+o r 2,若函数g（在区间（T）有极值,求。的取值范围;（3）若函数/（X）的图象与x 轴有且只有一个交点，求”的取值范围.【解析】解：(I)当a =3H 寸，f(x)=-x3-x2-3x+3,f x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).令/(x)=0，得 孑=_ 1,x2=3.当X 0，则f(x)在(r o,-l)上单调递增；当T x 3 时,f(x)3 时，f(x)0,/(x)在(3,M)上单调递增：.当 x=1 时，f(x)取得极大值为：/(-l)=-l-l +3+3=y；当 x=3 时，f(x)取得极小值为：/(3)=1 x27-9-9 +3=-6.(2),/g(x)=g x3+ax2+(2-2)x,gr(x)=x2+2ax+a-2问 题 转 化 为 方 程=0 在区间（-1,1）内有解,g，(1)0 或 0-1 -t z 0解得-1或3故的取值范围为：(-00,-l)k J(-,+00).3(3)f(x)=x2-2x+a,=4-4a =4(1 -a).若a.l,则.(x).O在 R上恒成立，在 R上单调递增.()=-a 0,.l a.l 时，函数/(x)的图象与x 轴有且只有一个交点.若av l,则(),./(x)=0有两个不相等的实数根，不妨设为办，x2,(x,0，解得a o.而当0 a l 时，f(0)=-a 0,故当0“l时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是(0,w).题型三：三次函数的单调性问题例1 0.已知三次函数/0)=!%3-(4 m一1)/+(15-2/-7)犬+2在犬(-00,4 )上是增函数，则加的取值范围为一.解析 1 解：f(x)=x2 2(4 m-l)x +(15z n2-2 m -7),.函数/(x)=1 一(4相 一 )f +(5m 2 -2加 一 7口+2 在 x e(Y O,小)上是增函数,f x)=x2-2(4m-)x+(15 z2-2m-7).0恒成立.判别式=4(4?-4(1 5/M2-2 m-7)0,整理得，m2-6 m +8,0,解得，2张帆4,故答案为：2,4 例 1 1.三次函数/(二加？-X 在(-co,+oo)上是减函数，则机的取值范围是()A.ni0 B.m C.t n,0 D.m,1【解析】解：对函数求导,得尸*)=3 皿 2 i函数/(x)在(-00,+00)上是减函数，1 ,0 在 R 上恒成立即3nvc2-1(H 亘成立，3m 0=12m.0解得“0,又.当机=0 时，/(尤)二-%不是三次函数，不满足题意,：.m0,如果过点P(a,M 可作曲线y =/(x)的三条切线，求，的取值范围.【解析】解：(I).函数/(x)=x 3-x,切线方程为y /=/(x T),即)，=(3/_1)_ 2-.(I I )已知。关于f 的方程?=(3*-1)”2/即m=-2?+3 m 2 -a(a 0)有三个不等实根.令 g)=-2 f 3 +3ar-a,则 g(t)=-6t(t-a).可知g(t)在(Y O,0)递减，在(0,a)递增，在(a,+oo)递减，g(r)的极小值为：g(0)=-a,极大值为g(a)-a3-a.结合图象知，e (-a,a3-a).例 1 5.已知函数/)=浸 一 3 +1_3(片0).(I )若 f(x)的图象在x =-l 处的切线与直线y =-gx +l 垂直，求实数。的取值；(I I)求函数y =/(x)的单调区间；(I I I)若。=1时，过点M(2,m)m-6),可作曲线y =/(x)的三条切线，求实数机的取值范围.【解析】解：(I)/x)=3ax2-6x=3ax(x)，1(-1)=3 a+6 =3,得 a=1.ao(I I)当。0 时，-0,a由广(幻 0 解得xvO,或7由 r(x)o 解得 o x ,所以”x)在区间(-00,0),(2,+8)上单调递增，在区间(o,2)上单调递减.a ao当4 V o 时，一 0 解得会 x 0.a所以/(x)在区间(2,o)上单调递增，在区间(-8,2),(0,+oo)上单调递减.a a(H I).点 M(2,Z M)(/MW-6)不在曲线 y =/(x)上，.,.设切点为(M,%).则%=片-3 片-2.f(x0)=3%-6 x0，,切线的斜率为3 片-6x0.则 3x-6xn=,即 2 x；-+12x0+2+m =0.%-2因为过点A/(2,m)(m*-6),可作曲线y =/(x)的三条切线，所以方程2 片-9片+12 M +2 +m=0 有三个不同的实数解.即函数g(x)=2/-9x 2+12 x +2 +?有三个不同的零点.则 g(x)=6 x2-18x +12 =6(x2-3 x +2)=6(x-2)(x-l).令 g x)=O,解得 x =l 或 x=2.X(7,1)1(1,2)2(2,-0)R(x)+00+g(x)/极大值极小值/.f p(l)0 即r f n1(7 +机 0解得 7 v m v-6.g 0 6 +“,解得_3 根_ 2.所以m 的取值范围为(-3,-2).(1 4 分)=m+2 0.曲线y =/(x)在点尸(0,7(0)处的切线方程为y =1 .(1)确定。，c 的值；(2)若过点(0,2)可作曲线y =/(x)的三条不同切线，求实数a 的取值范围.【解析】解：因 为 函数/Xx)=#-罗+6x +c,所以导数r(x)=x 2-ar +b,又因为曲线y =/(x)在点P(0,/(0)处的切线方程为y =l，所以0)=1,/(0)=0,即6=0,c=l.(2)山 知/(x)=g x 3 -5 x 2+i,y=x2-ax,设切点为(%，%)，则%=f W=I -+1 ,切线的斜率为k=/(%)=x-axQ所以切线方程为y-%=A(x-七)，因为切线经过点(0,2),所以2-%=-也，即 2 (；改，+i)=r%2 _稣)玉)化简得：4/3 _ 3%2+6 =0，因为过点(0,2)可作曲线了=/(x)的三条不同切线，所以有三个不同的实根.即函数g(x)=4/-3 加+6 有三个不同的零点.导数短。)=1 2 2 -6ax =0 得x =0,或1=幺(0)23 2可知只要极小值g(0 即4x*3a +6 2%.故实数a 的取值范围是(2 6,+oo)例 1 8.已知函数/()=肛 3 +云 2 -3 在=1 处取得极值(1)求函数/(X)的解析式；(2)求证：对于区间-1 ,1 上任意两个自变量的值为，x2,都有|/(占)-/。2)|,4；(3)若过点4 1,M)(M H-2)可作曲线y =/(x)的三条切线，求实数机的范围.【解析】解：(1)f x)=3ax2+2b x-3,依 题 意,f(1)=八-1)=0,解得 a=l,b=0 .f(x)=x3-3x(2)(x)=d-3 x,/,(%)=3X2-3 =3(X+1)(X-1),当 1X 1时，f x)=%3-3 x ,.,.点A(,m)不在曲线上.设切点为M(%,%),切线的斜率为3(芯-1)=芯二3 二 二(左边用导数求出，右边用斜率的两点式求%-1出)，整理得2 年-3 片+“+3 =0.过点A(l,可 作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件设 g(x()=2 石-3%+”?+3 ,则 g x0)=6x；-6xn,由 g(x()=。，得%=。或%=1 .g(Xo)在(r o,0),(l,*o)上单调递增,在(0,1)上单调递减.二函数g(x()=2 x：-3 x：+”?+3 的极值点为%=0 ,%=1关于d方程2x1-3 石+?+3 =0 有三个实根的充要条件是卜 ，解得-3 W 一2 .1(1)0故所求的实数机的取值范围是-3 加 0,如果过点(4,。)可作曲线y =/(x)的三条切线，证明：-a b f(a)【解析】解：(1)求函数f(x)的导函数；f W =3x2-.曲线 y =f(x)在点 M(f,f(f)处的切线方程为：y-/(f)=f(x-r)，即 y =(3 f 2-l)x-2/；(2)如果有一条切线过点(a,。)，则存在f,使6=(3/于是，若过点(a,b)可作曲线y =f(x)的三条切线，则方程2 尸-3 小2+。+/,=0 有三个相异的实数根.记 g(f)=2-3 +a+b ,则 g(t)=6t2-6at=6/(/-a).当f 变化时，g(f)，g Q)变化情况如下表：ty,o)0(0,4?)ag a)+00+g 极大值a+b极小值b-f由g的单调性，当极大值a+b 0时，方程g(r)=0最多有一个实数根;(a)当a+6=0时，解方程g=0得 0 1 =弓，即方程g(/)=0只有两个相异的实数根；当b-/(a)=0时，解方程g(f)=0得f =-,f =a,即方程g(/)=0只有两个相异的实数根.综上，如果过3向 可 作曲线y =/(x)三条切线，即g=0有三个相异的实数根，则八即一“/?0./(x)单调递增/(X)是一个单调递增的奇函数，因为/(。_1)=_ 2,/0-1)=2所以/(a-1)=-/S-1)=八1-与，从而有a l =l 。，a+b 1故答案为2例 2 4.对于三次函数,f(x)=/+加+c x+d(axO),给出定义：设f(x)是函数y=/(x)的导数，f x)是函数f(x)的导数，若 方 程 (x)=0 有实数解/，则称(%,/(%)为函数y=/(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数/。)=9-产+3%一卷，请你根据上面探究结果，解答以下问题(i)函数/(X)-L?+3 x-W的对称中心为；3 2 1 2(2)计算/(-)+/(-)+/(-)+.+/(-)=2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3【解析】解：(1)f(x)-xi-x2+3 x-,3 2 1 2f(x)=x2-x+3,f x)=2x-,令/(x)=2 x-l =0,得 x，./。)=!尤3_ 2 _/+3%一 的对称中心为(1,1),3 2 1 2 2(2)的对称中心为(g,1),/(x)+/(l-x)=2,1 2 3 2 0 1 2f()+/()+/()+.+/(-)=2 x1 0 0 6=2 0 1 2.2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3故答案为：d，1),2 0 1 2.例 2 5.对于三次函数/(x)+6/+c x+d(a H 0),给出定义：设尸(幻是函数f(x)的导数，/(x)是函数/(X)的导数，.尸(x)是函数/(x)的导数，止 匕 时，称(x)为原函数F(x)的二阶导数.若二阶导数所对应的方程/(x)=0 有实数解与，则称点(%,/(x。)为函数/(x)的“拐点某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设三次函数f (x)=2 V -3 f -2 4x+1 2 请你根据上面探究结果，解答以下问题：函数f(x)=2/_ 3-2 4x+1 2 的对称中心坐标为；4-1、2、3、/2 0 1 2、,/2 0 1 3、“算/(-)+f(-)+f(-)+f(-)+f(-)=2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3【解析】解：由 f(x)=2 d-3/-2 4 x +1 2,得尸=6/6x-2 4,/(x)=1 2 x-6.由/(x)=1 2 x-6=0 ,得x=1,/(-)=2 x d p -3x(-)2-2 4x1 +1 2 =-.所以函数/(%)=2？-3x2-2 4x+1 2 的 对 称 中 心 坐 标 为.故答案为,-；)因为函数，()=2 丁-3/-2 4X+1 2 的对称中心坐标为(；,-；)所以+y(32 1 Z)=/(-2 _)+/(也)=2/(-)=2 x(-1)=-1.2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 27012由 的 启=阿.1 o 3 onio 7013所以/(+)+.+/()+/()=-1 0 0 6-1 3=-1 0 1 9.2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3故答案为-1 0 1 9.题型六：三次函数的综合问题例 2 6.已知函数/。)=父+加+5 +在(-8,0 上是增函数，在 0,2 上是减函数，且方程/。)=0有 3 个实数根，它们分别是a,/7,2,则(/2+62 的最小值是()A.5 B.6 C.1 D.8【解析】解：f x)=3x2+2b x+c,因为/(x)=x3+bf+c x+d 在(-8,0 上是增函数，在 0,2 上是减函数，所以r(0)=c =0 ,此时/3 =0的另一个根=-孕.2 ,所以女,3,因为方程x)=0有 3 个实数根，分别是a,B，2,所以/(2)=8+46+1 =0，即 d=-4(b+2),又/(x)=(x-2)(x-a)(x-7?)=/(a+f3+2)x2+(2a+2/3+a/3)x-lap,所以 d=-2a/3+夕 一 一 2,aj3=2b +4则 a2+j32=(a+.)2 -2a0 =(-b-2)2-2(2b+4)=从 一 4.5,即最小值为 5.故选：A .例 2 7.已知/()=丫，-6/+9x-a力 c ,a b c 且/(a)=于(b)=f(c)=0,现给出如下结论；/(x),1；/(x).3；/(0)/(1)0；a b c 4其中正确结论的序号是.【解析】解:求导函数可得以(力=3/一 1 2 +9=3。一1)。一 3),.,.当 1 x 3 时，f(x)0 ；当 x 3 时，f x)0 ,所以/(x)的单调递增区间为(3,1)和(3,+o o),单调递减区间为(1,3),所以 f(x)极大值=/(1)=l-6+9-ab c=4-ahc ,f(x)极小值=f (3)=2 7 54+2 7-访 c =彷c要使x)=0有三个解a、b、c,那 么 结 合 函 数 草 图 可 知:a h 3 0,且/(3)=-abc0所以0 欣 4f (0)=-abc.1./(0)0./(0)/(1)0故答案为：.例 2 8.已知/(编二X3-6/+9x-abc,a b 0；/W(1)0；/(0)/(3)0；abc 4.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.【解析】解:求导函数可得r(x)=3x2 12x+9=3(xl)(x-3)二当 1 x 3 时，f(x)0；当 x 3 时，f(x)0所以/(X)的单调递增区间为(ro,1)和(3,+00)单调递减区间为(1,3)所以/(x)极大值=/(1)=-6+9-abc=4-abc,/(x)极小值=/(3)=21-54+21-abc=-abc-要使x)=0 有三个解a、b、c,那么结合函数/(x)草图可知：a b 3 0,且/(3)=-abc0所以 0 v abc 4/(0)-cibcA/(0)0A/(0)/(1)0故选：C.例 2 9.已知/(x)=%3-6/+91_”灰:，a v b v c,且/(a)=f (b)=(c)=0,现给出如下结论:f(O)=f(3)；0)/0；/(1)f(3)0；a?+b2+c2=1 8 .其中正确结论个数为()A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4 个【解析】解：求导函数可得八X)=3/_12X+9=3(X-1)(X-3)，当 1 x 3 时，fx)0 ；当 x 3 时，f(x)0所以/(x)的单调递增区间为(-0 0,1)和(3,+0 0)单调递减区间为(1,3)所以/(x)极大值=/(1)=1 6+9 ab c =4 ahc ,/(x)极小值=/(3)=27-54+2J-ab c =-ab c要使/(x)=0有三个解a、b、c,那么结合函数f(x)草图可知：a b 3 0 且/(3)=-ab c 0所以0 v c&v 4,*f(0)=-ab c .-./(0)=/(3)A/(0)0/./(0)/(1)0,f(1)f(3)0,/f(a)=f(b)=(c)=0,.,.x3-6x2+9 x-ab c=(x-a)(x-b)(x-c)=/一 (a +。+c)x2+(ab+a c +b c)x-ab c ,a +b +c =6，ab+ac+b c =9 y把代入2 得：a2+2+c2=1 8；故选：D.题型七：三次函数恒成立问题例 3 0.已知三次函数/(x)的导函数 f x)=-3x2+3 且/(0)=-1,g(x)=xlnx+(a.A).x(1)求/(幻的极值；(2)求证：对任意 X ,x2 G (0,4-0 0),都有/(%),g(%2).【解析】解：(1)依题意得/a)=V+3 x l,f x)=-3x2+3=-3(x+l)(x-1)知/(X)在(TO,-1)和(1,例)上是减函数,在(-1,1)上是增函数；f(x)极 小 值=./(-1)=一3,_/(x)极 大 值=_/0时，f(x)显 大 值=1，依题意知，只要啜k(x)(x 0)0 1 x/nx+-(a?l)(x 0)X山 a.l 知，H Sxic2lnx+l(x 0)x2lnx+1-x 0(x0)令 h(x)=x2lnx+1-x(x 0),则(x)=2xbvc+x-1注意到/(1)=0,当 x l 时，hx)0；当 O v x v l时,hx)0时，/a)最 大 值=1，由 4.1 知，g(x).xlnx+(x 0),令(x)=Hnr+2(x0)x x1 V-2-1则 hr(x)=lnx+7=1n x+注意到力,(1)=0,当 x l 时，hx)0；当 O v x v l时，hx)0时，/最 大 值=1，山知，g(x).xlnx+(x 0)，令h(x)=xlm+(x 0),贝！J /(JC)=/nx+l (x 0)x x xr令奴x)=/nr+l (x 0),则(x)=!+0,X X X知9(X)在(0,yo)递增，注意到 (1)=0,所以，/?*)在(0,1)上是减函数，在(1,包)是增函数，有(X)坂 小 值=1，即g(“)最 小 值=1综上知对任意芭，X2G(0,+OO),都有/a),g(w).例 3 1.已知函数/(幻=$3-加+(/-1次+/,其图象在点(1,/(切 处 的切线方程为x+y 3=0.(1)求“，6的值与函数/(x)的单调区间；(2)若对不|-2,4,不等式/(%)，一 恒成立，求c的取值范围.【解析】解：(1)/(%)=gV 一办2 +(/一 )X+6，fr(x)=x2-2ax+(a2-1),.函数/(k)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为x+y 3=0.:.f (1)=2=-a +a2-i +h,f (1)=l-2 +a2-1=-1,解得 a=l i h=.3?.fx)=x2-2x=x(x-2),令 广(幻 0,解得x 2 或 xvO；令r(x)v O,解得0v%v2.函数/(x)的单调递增为(,0),(2,+oo)；单调递减区间为(0,2).1Q(2)由(1)可得：/二 3-丁+屋 /x)=x2-2x=x(x-2).X-2,0)0(0,2)2(2.4fx)+00+/(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由 表 格 可 如 当 片。时，函数X)取得极大值，乂/=8.函数/(X)在 尤 -2,4上的最大值为8.由 xe|-2,4,不等式/(VC?-c 恒成立 o (x)I 皿 8,缶 孔 汨 i+-p-i-yi加 车 得 c -或 c-22的取值范围是y)U(写1m例 3 2.已知函数/(x X d+o +b x +cCreR)在x=-|处取得极值，其图象在点(1,f线与直线y+2=0 平行.(1)求a,b 的值；(2)若对X -1,2都有/,(x)1恒成立，求 C 的取值范围.C【解析】解：(1)求导函数,可得尸(*)=3/+2 以+6,由题意 3(-,)2+2a(-|)+b=0(1)处的切又 3xl 2 +2 xl+6=0 联立得 =，b =-2.(5分)2(2)依题意得 x3一 2 x+c ，BP%3-x2-2 x 0；当不(一1,1)时，y vO；当 xw(l,2)时，V 0 (1 0 分)2?3则/(x)极 大 值=云 J(x)极 小 值 二 一 万又 f(T)=J(2)=2,所以/城 大 值=2；故只须1一。2 (1 2 分)C解得CY-0-1或0 C 血-1即C的取值范围是(Y O,、历l)U(0,1 1)(1 4分)例 3 3.已知函数/(工)=丁+以 2 +b x+c 在工=一与 1 =1 时都取得极值.(1)求，/?的值与函数/(x)的单调区间；(2)若对,1 ,不等式/(X)v 恒成立，求C,的取值范围.【解析】解：(1),/(x)=%3+ax2+b x+c ,f x)=3x2+lax+b,2，1 时 3/+2 o r+6=0 两个根，3解得 a=-,Z?=-2 ；2z.ff(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数/(x)的单调区间如下表:Xy，.|)_ 23(-|,1)1(1,+Oro：)+00+fkx)t极大值J极小值T函数f(x)的递增区间是(T O,-1)和(1,+0 0),递减区间是(-|，1).（2）由（1）可得/（x）=d-耳工2-2x+c,7当G-；时，由(1)知/(x)在 c,1 上的最大值为 2227所以只需要71当4C1时，由(1)知/)在 -1 上的最大值为/(c)=C3-C2-C,只需要/(c)=C3-C2-c -,解得 c v-l 或 0 C 32 2 2/.0 c 0,故/(x)在单调区间(r o,-l)上是增函数当xe(-l,l)时，尸(x)0,故f(x)在单调区间(1,+o o)上是增函数所以，/(x)在x=-l处取得极大值，极大值为/(-1)=2(2)由(1)知，/(x)=x3-3x(xe -l,l)是减函数，且/(x)在-1,1 上的最大值M=/(1)=2,在-1,1 上的最小值加=/(1)=2所以，对任意的为，,恒有|/(占)-/(%)|0,g(x)单调递增，当 xe(-l,l)时，g(x)0,g(x)单调递增，故当x=-l时，g(x)取到极大值g(-1)=2(2)f(x)g(x)=2x2+4 x-k-,对任意 3,都有/(x),g(x)成立,只需.Z xZ+d x-x3,构造函数 f(x)=2x2+4 x-d,xe-l,3 ,F(x)=-3x2+4x+4,令 ,9(x)=0 可得%=2 或=-*,当xw(-l,W)时,，F(x)0,F(x)单调递增，当x e(2,3)时，尸(x)0,尸(x)单调递减，3当x=2 时，F(x)取到极大 值 尸(2)=8,F(-l)=-l,故 F(x)的最大值为8,故实数人的取值范围为：A.8；(3)若对任意苦 e-l,3J.x2 e-l,3J,都有/(西),gO c J 成立,即/(x)在区间一 1,3 上的最大值都小于或等于g(x)的最小值,由(1)可知：当1)时，g，(x)0,g(x)单调递增,故当x=l时，函数g(x)取到极小值,也是该区间的最小值g(1)=-2,而/(x)=2 x?+x-k 为开口向上的抛物线，对称轴为x=-1,故当x=3时取最大值/(3)=2 k,4由21-鼠-2,解得&.23例 3 6.设函数/()=三V-gx)+(a +l)x+l,其中。为实数.(I)已知函数/(x)在 x=l处取得极值，求。的值；(I I )己知不等式r(x)2x?-x-a +l对 xe O,1 都成立，求实数 的取值范围.【解析】解：(I)f(x)=ax2-3x+(a+),由于函数f(x)在x=1 时取得极值，所以广(1)=0,即 a 3+a +l=0,(I I )由题设知:ax1-3x+(a+V)x2-x-a +i,对任意x e 0,1 都成立,即(。-1)/-2+2 4 0 对任意*0,1 都成立，令 g(x)=(。-1*-2x+2a,当a =l时，L b g(x)0 解得x l,显然x=l时不成立，故a w l；_ o 1当。一1 0,即 a l 时，g(x)=(a-l)Y-2x+2a 开口 向下，g(x)的对称轴为 x=-=0g(1)=3-1)-2 +2。0,解得al,与 a v l 矛盾，故a v l 不符合题意；_ 2 1当。一1 0,即a l 时，g(x)=(a-l)f 2犬+2。升口 向 匕g(x)的对称轴为x=-=-0,2(a-1)a-l若O c ,1,即a.2时，g。).=g()=2a0=a 牝 出 或 二，a-l a-l a-l 2 2/.a.2；若一!一 1,B J -0=l a 0 =g(I)=(。-1)-2+2。0,解得al,又 1 V”2,综 二所述，a l.例 3 7.设函数/(工)=丁-X2+(6 7 4-1)x4-1 ,其中。为实数.(1)已知函数/*)在 x=l处取得极值，求a的值；(2)已 知 不 等 式/(幻-工-。+1 对任意a (0,+o o)都成立，求实数4的取值范围.【解析】解：(1)ffM =ax2-3x+(a+1)山于函数/(x)在x=1 时取得极值，所 以/(1)=0即。-3+a+1 =0,.a=l(2)由.题设知：c ix-3x+(6 f +1)x x t z +1对任意a G(0,+o o)都成立即 a(x2+2)-x2-2x 0对任意4 (0,+oo)都成立丫2 .i-0 V于是。-对任意a e(0,4-oo)都成立，x+2x2+2x即 三 七 轰t).一2 A?0 x+2于是X的取值范围是x|-2领Jr 0.例3 8.设函数/(x)=g d +以2 +bx+c(0)在1=0处取得极值1.(1)设点A(-a,/(-)，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程.(2)若过点(0,0)可作曲线y=/(x)的三条切线，求的取值范围；(3)设曲线 y=/(X)在点(X ,/(X)，(x2,/(%2)(X 工 工2)处的切线都过点(a )，证明：/(X)工/”(工2)【解析】(1)证明：由 f(x)=+ax2+b x+c(a0),得：f x)=x2+2ax+b ,由题意可得r(0)=0，/(O)=1 解得b=0,c =1././(x)=g x3+c ue-1.经检验，f(x)在x=0处取得极大值.设切点为(小，)，则切线方程为丁一%=/(玉)(工 一 工0)即为 y=(毛2 +20)%-%03-a r02-1把(一。，/(一a)代入方程可得 x0?+30ro2 +3a2x0+a3=0,即(/+a)3=0,所以不=.即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条.所以切线方程为。2+、+：。3+1=0；(2)解：因为切线方程为y=(%2+2奴0)工-与3-/?一1,把(0,0)代入可得1/3 +咻2 +=0,因为有三条切线，故方程得2天3 +以2 +1=0有三个不同的实根32设 g(x)=-x3+ax2+l(a0,g(x)为增函数，当 xw(O,a)时，g，(x)0,g(x)为减函数，当“(-,+00)时，g0，g(x)为增函数，所以，当X =0 时函数g(x)取得极大值为g(0)=1 0.当X =_ 时函数g(x)取得极小值，极小值为 g(a)=x(a)，+a(a)2+1 =g/+1.因为方程有三个根，故极小值小于零，-a3+0,所以。-如.3(3)证明：假设 f,(xi)=，则 M +2axi=x；+2CIX2,所以(M-x2)(玉 +x2)=-laxA-x2)因为 w，所以药+x2=2 由(2)可得 一%马=3a2 (-2a)2-西赴=3a2.所以玉=2.又由 XyX2(=(二|当2 =/，这与 XX2=/矛盾.所以假设不成立，即证得了(用)/(占).例 3 9.已知/(x)=d+fec 2+c x+d 在(Y O,0)上是增函数，在 0,2 上是减函数，且方程/(x)=0 有三个根，它们分别为a,2,p.(1)求c的值；(2)求证f (1).2；(3)求|a-6|的取值范围.【解析】解：(1)./(X)在(-c o,0 上是增函数，在(0,2 上是减函数;，x=0 是/(X)=0 的根，又尸(x)=3d+26x+c,/,(0)=0,.1.c=0.(2).(x)=0 的根为a,2,p,:.f(2)=0,.8+46+4=0，又(2)0,.12+4a,0,3,又 d=-8-4b:.d.Af(1)=+b+d,f(2)=0.d=8 4Z?且伉，一 3,:.f(1)=l+Z?-8-46=-7-3Z?.2(3)./(x)=0 有三根a,2,p；丁./(x)=(x-a)(x-2)(x-/3)=x3-(a+/?+2)-x2-la pa+2=-b 例 4 0.已知函数f(x)=d+d+c x+a 在(_8,0 上为增函数，在 0,6 上为减函数，且方程/(x)=0的三个根分别为1.玉，x2.(1)求实数6 的取值范围；(2)求X；-4%犬 2+的取值范围.【解析】解：(1)f(x)=3+2bx+c,由题设r(幻=0 两根为4=0,t2 e 6,+8),则c =0,，2 =”“6，所以6”9；3(2)由(1)和条件得/(1)=0=l+6+c+,c =0=/(x)=(x l)(f+S+l)x+S +l),所以 司,是方程 f+(b +l)x+6+l=0 的两根,所以=S +1)2-4S+D.0,b-9 ,即得b”-9,又X+占=-(b+l),X yX2=(b+l).所 以 x,2-