安徽省皖南八校2021-2022学年高三上学期12月第二次联考理科数学试题（含答案与解析）.pdf

“皖南八校”2022届高三第二次联考试卷数 学（理科）（时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数Z满足Z（l i）=i4+i5（其中i 为虚数单位），则复数Z的虚部是（）A.-1 B.1 C.-z D.i2 已知 A=x|y=-2x,xw R ,8 =y|y=d-3,x e/?,则 AClB等 于（）A.（1,-2）,（-3,6）B.RC-3,+8）D.03.命题“V/e（0,+e）,In 九 0 的否定是（）A.3x0 e（0,+oo）,In x0 x0-1 B.3x0 g（0,+）,In x0 x0-1 D.Vx0 g（0,+x0-14.散点图上有5 组数据：（内,y）,（,必），（七,为），（Z，%），（毛，%）据收集到的数据可知%,+x2+x3+x4+x5=55,由最小二乘法求得回归直线方程为9=0 76x+45.84,则%+%+%+%+%的 值 为（）A.54.2 B.87.64 C.271 D.438.25.在 增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走的路程为（）里.A.6B.12 C.24 D.486.己知函数/(x)=0l-log2(2-x),x/?1,0。1,贝!()A.ac blB.abc lo g/D.ao,hcbo,nc8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是()侧视图2俯视图I I.已知抛物线C2 2 =4的焦点为F，若直线/过点尸，且与抛物线C交于A，8两点，过点A作直7 J 1 41 4A.1 4 7 r B.IOT T9.已知tana-l=2,则s i n(2 a +色)的 值 为(1 +t a n a 6c.-n3)D.7 13a 4+3 7 3 R 4-3 7 31 0 1 0C 4 +3,1 0D 4-3,1 01 0.在(-J x)”的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中4 5 3 5 3 5的系数为()A B.-4 8C.8D.7线 丁 =一1的垂线，垂足为点 ，点N在，轴上，线段A F，互相垂直平分，则|AB|=()4A.-3B.1 63C.4D.81 2.已知 a =-s in 0.0 1,h=s in O.1,c=l n 0.9 9,d =l n ，则（）9A.d h a C B.b d a cC.d b c a D.b d c a二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .已知向量2,坂满足,卜 1,忖=2,。+%=百，则Z，石夹角为.1 4 .在等差数列 4 中，q=1,其前项和为S,若$63 52=24,则 S1=.1 5.己知双曲线，m=1,左右焦点分别为耳，鸟，若过右焦点的直线与以线段。片为直径的圆相切,且与双曲线在第二象限交于点P,且。耳_ 1无轴，则 双 曲 线 的 离 心 率 是.1 6.在直四棱柱A B C。-A 4G。中，底面A 8C D为边长为2的菱形，/8 4。=60 ，A4,=27 3,点P在线段82上运动，且 加=48。；，则 以 下 命 题 正 确 的 是.当九=：时，三棱锥A-C P。的体积为:；点P在线段8上运动，点B到平面ACP的最大距离为2 .；当二面角8-A C-P的平面角为60。时，2 =1 1 已知N 为 C G的中点，当平面A MN与8,的交点为P时，N A PC =1 2 0 .三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.1 7.在 AABC中，角 A,8,C 的对边分别为a,4 c,2 s in C=-+-.b a ab（1）求角C；7t（2）若c =l,A=,求 AABC的面积.31 8.2 0 2 1 年 7 月 2 5 日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜 基秣崔天以3 小时52 分 4 5秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”.某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了 200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：体能一般体能优秀合计数学一般5 05 0100数学优秀406 0100合计9 0110200(I)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀 还是“体能一般”与数学成绩有关？(结果精确到小数点后两位).(2)现从抽取数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4 人，求其中至少有2 人是“体能优秀 的概率；将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀 的人数为X,求 X的数学期望和方差.参考公式：K，=-,其中 =a+/?+c+Q .(a +份(c +d)(a+c)(b +d)参考数据:尸(片4)0.150.100.050.250.0102.07 22.7 063.8 415.0246.6 3519.在直棱柱A B C。-中，A B A D,A D/8 C,且 A B=AD=2，BC=4,A 4,=27 2,UUU ULU1BDi=2 DE(1)求证：C D B E：(2)求 直 线 与 平 面 BC E所成角正弦值.20.已知椭圆 +=l（a b 0）的离心率为 也，且经过点A（-2,0）,3（2,0）,过点”（一2,0）作直a b-2 3线/与椭圆交于点P,Q（点、P,Q异于点A,8）,连接直线A Q,PB交于点N .（1）求椭圆的方程；（2）当点P位于第二象限时，求t a n ZPNQ的取值范围.21.已知函数 f（x）=l n x-V （1）求“X）的极值；（2）设g（x）=/（x）+|Ni （a-l）x+|（a 0）,若g（x）存在唯一极大值，极大值点为八,且（3e2-2 e 、求。的取值范围.二、选考题：共 10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4一4：坐标系与参数方程x-2 +t22.在直角坐标系X。），中，直线/的参数方程为1 C（，为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y=2-t为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=6 s i n d +8 c o s夕（1）求曲线C的直角坐标方程与直线/的普通方程；（2）直线/与曲线C交于A,B两点，点 尸（-2,6）,求|尸A|+|尸31.选修4一5：不等式选讲（10分）23.已知函数/（%）=-卜+1卜|%+2|.（1）求不等式“X）-3的解集；（2）若对V x e -4,2,都 有/（幻+|。-2但0恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数Z满足Z(l i)=i 4+i 5(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是()A.-1 B.1 C.-/D.i【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z 即可得答案.【详解】解：由题意，z(l-i)=i4+i5=l +i,所以z=(/J=刍=,1-i (l +i)(l-i)2所以复数Z虚部是1,故选：B.2.已知 A =x|y=-2x,xe R,8 =y|y=f _ 3,x e/?,则 A C I B 等 于()A.(1,-2),(-3,6)B.RC.-3,+oo)D,0【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.详 解 A =x|y=-2x,x e R =R,5 =y|y=x2-3,xe/?!=y|y -3 ,所以A 伴-3,+oo),故选：C.3.命 题，V/e(0,+8),I n/4/-1”的否定是()A.3x0 e(0,+oo),I n x0 x0-1 B.3x0g(0,+oo),l nx0 x0-1 D.Vx0 g (0,+),I n x0 x0-1【答案】A【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可得出结论.【详解】命题 7 x。e(0,+8),I n/4%-1 ”为全称量词命题，该命题的否定为“玉oC(O,+),故选：A.4.散点图上有5组数据：（%,X）,（，%），（七，%），K，”），（%）据收集到的数据可知%+七+%+/=55,由最小二乘法求得回归直线方程为$=0.76x+45.84,则M+%+%+乂+%的 值 为（）A.54.2 B.87.64 C.271 D.438.2【答案】C【解析】【分析】通过样本中心点来求得正确答案.【详解】X+刍+Z+/=55,故元=11,则歹=0.76亍+45.84=54.2,故%+%+M+”+%=5歹=271.故选：C5.在 增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走 路 程 为（）里.A.6B.12 C.24 D.48【答案】B【解析】【分析】设此人第天走肉 里路，贝耳4 是首项为4,公比为q=g的等比数列，再根据等比数列的前项和公式即可求出q=1 9 2,再根据等比数列的通项公式即可求出结果.【详解】设此人第天走凤 里路，由题意可知数列 4 是首项为,公比为q=g的等比数列，由等比数列前项和公式得：6=-台-=3 7 8,解得q=192,2.5=a 4=192x（1）4=12.故选：B.log,（x+2）-l,x 06.已知函数/（x）=八，则函数,“0是（）l-lo g2（2 x）,x0时，_%0,则/（T）=l l og 2（2+x）=l og 2（2+x）-l =/（x）当x 0,则/（一x）=l og 2（2-x）_ l =_ l _ l og 2（2 _ x）=-/（x）所以有/（x）=-X）,则“X）为奇函数.当X 2 0时，J（%）=l og 2（2+%）-l单调递增,由“X）为奇函数，则/（力 在（9,0 上单调递增，且 0）=0所以/（X）在R上单调递增故选：C7.若。匕 1,0。1,贝!（）A.acbc B.abc l ogf t c D.aogbc bog（lc【答案】C【解析】【分析】根据y=%和y=XT的单调性可以判断选项A与B,再根据y=l og.x的单调性可以判断选项C与D,即可得到答案.【详解】因为人1,0C ,故A错误；hc C令y =x 0T,则该函数在（0,+）为减函数，则 幺 幺，则有出/加f,故B错误；b a令y =l o g,x,则该函数为减函数，所以01 08*1 08,“，.则1 08/1 08“。0,故C正确；由 C 可知，l o g6 c l o gf l c 6 l,所以 a l 0gz ic a l o g C h a C B.b d a cC.d b c a D.b d c a【答案】A【解析】【分析】先由正负确定a 0 c Q d,再令f(x)=s i n x +l n(l-x),利用其单调性判断.【详解】因为。=-$皿0.01 0,所以。0。，因为 c =l n 0.990,9所以c v 0 d,令 x）=s i n x+l n（l -x）,贝 lj f,（x=Cosx+,l-x因为 X G（0,1）,C O S X 1 9所以r（x）o,则/（X）递减，所以 力 /（0）=0，所以/（0/）=s in0.1 +l n0.9 s in0.1,即 d。，所以/（0.0 1 ）=s in 0.0 1 +I n 0.9 9 0 ,则 l n0.9 9 s inO.O l,即 c b a c,故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.r r1 3.已知向量,B满足同=1，忖=2,a+b=y/3,则Z，石夹角为【答案】y#1 2 0【解析】【分析】由，+彳=6,可得%=,从而根据向量的夹角公式即可求解.【详解】解：因 为,卜 1,|0 =2,a+b=6,所以（Q+万）=4 +。=a+b+2 石=a+h+2。石=3,所以=-r c i ,b 1 i i因为C O S=内后:一彳，又句，a b 2 2 7 r 2 7 r所以v a,b =-,即b 夹 角 为，24故答案为：.1 4.在等差数列 4 中，q=1,其前项和为S，若 S 6-3 S?=2 4,则R o【答案】100【解析】【分析】由 等 差 数 列 性 质 得 数 列 为 等 差 数 列，设其公差为4进而得反=41=4,故n 6 2/3=|,故正确；J J J J 乙 J对于：当点P为线段B 2的中点时，连接AC与3。相交于点O,连接O P,则。所以QPJ_平面ABC。，又O Pu平面APC，所以平面APCJ_底面ABC。，又AC_L8,平面APCQ底面A B C D A C，B O u平面A8CD，所以BOL平面A P C,此时，点8到平面ACP的最大距离为1,所以错误；对于：由APC为等腰三角形，线段AC的中点为O,则O P L A C,在底面上有3 0,AC,所以二面角8 AC P的平面角为ZBOP=6 0 ,又 tanN D B D =6 则/。8。=60。，所以 B O P 为正三角形,所以BP=BO=1 =!BR,则4=工，故错误；4 4 1 -.对于：知B M =%B B ,N为CG的中点，当平面A M N与 的 交 点 为E，此时E M与B D的交点为8。的四等分点，由知，此时8=8 0 =1,在直角三角形0PA中，tanNAP0=4 2 =3 =J L所0P 1以NAPO=6(),由于4PC为等腰三角形，有NAPC=120,故正确.故答案为：.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.217.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,d c,2sinC=-+-.h a ab（1）求角c；TT（2）若c=l,A=,求AABC的面积.T T【答案】（1）c=-4（2）3 +百8【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得ta nC=l,进而求出结果；（2）根 据（1）,已知条件，正弦定理以及两角差的正弦公式，即可求出b的值，再根据S.B C=-Z?cs i n A 即可求出结果【小 问 1 详解】解：因为 2 s i nC=+2 J,b a ab则 s i n C =2 tz Z?cos C2ab所以 2 s i nC=+cabta n C =1,Ce(O,)，C=；【小问2详解】解：由 得。干，由 正 弦 定 理 bs i n 8s i nC得,=7/2T(z s i.n 3TT cos-71-cos 3 万 s i.n)、4 3 4 31 +V 32痂 c，.1 1 +6 V 3 3 +6敌 S A”=Z?cs i n A =x-x=-8 c 2 2 2 2 81 8.2 0 2 1 年 7 月 2 5 日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜 基秣崔天以3 小时52 分 45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”.某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了 2 0 0 人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：体能一般体能优秀合计数学一般50501 0 0数学优秀406 01 0 0合计9 01 1 02 0 0(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.1 0 的前提下认为“体能优秀 还是“体能一般”与数学成绩有关？(结果精确到小数点后两位).(2)现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀 与体能一般”这两类进行分层抽样抽取1 0 人，然后，再从这1 0 人中随机选出4 人，求其中至少有2 人是“体能优秀”的概率；将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取1 0 人参加座谈会，记其中“体能优秀 的人数为X,求 X的数学期望和方差.参考公式：K=-,其中=a+Z?+c+d .(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据:p-k。）0.1 50.1 00.0 50.2 50.0 1 0k。2.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 5【答案】(1)不能，理由见解析；(2)3 73，E(X)=5.5,D(X)=2.4 7 54 2【解析】【分析】(1)运用公式求出K?，比较得出结论.(2)先用分层抽样得到“体能优秀”与“体能一般”的人数，再利用公式计算至少有2人 是“体能优秀”的概率.根据已知条件知此分布列为二项分布，故利用数学期望和方差的公式即可求出答案.【小 问 1 详解】m m g-r/c “2 2 0 0 x(5 0 x 6 0-5 0 x 4 0)?由表格的数据可得，K2=-2.0 2 0),若g)存在唯一极大值，极大值点为玉)，且【解析】,无极小值.【分析】(1)直接对函数“X)求导，然后令/(x)=o求得函数的驻点，然后根据极值的定义即可(2)先对g(x)求导，可得g，(x)=一办+1,再根据参数。分类讨论，并求得函数g(x)的极大值点满足的条件。=一二，/(0,7),再求出极大值g(%)=4%+1,然后再研究函数玉)一 玉)2 2(%1)占+l,xe(O，f的单调性,根据题意求出的范围从而可得出答案.【小 问1详解】由题意知/(x)定义域为：(0,+。)广(耳=：-2 1 =2厂 x+1 (x+1)(1 2x)XX当xw(),；)时:/，(%)0,则/(同 单调递增;当 X（；,+8）,即/（X）0,则/（X）单调递减.1 3故/（X）的极大值为/（-）=-l n 2-,无极小值.【小问2详解】/7 Y2 3由题意 g（x）=l n x +对 g(X)求导可得：g x)=L +a(x 1)=6 二、+1X X令 夕 -ax1-ax+当=/一4。40,又。0,即“（）,4 时，则奴 幻2 0恒成立故g（x）在（0,+。）单调递增，不存在极大值；当=/-8“0，又。0，即aw（4,+o o）时，9（x）的称轴为x =g1 4-a可得：夕（0）=8（1）=1 0,。（一）=r 02 4故e（x）在（0,；）,（；,1）上分别有一个零点为,七当xe（0，W）时，g（x）0,则g（x）单调递增；当xeQ,%）时，g（x）。，则g（x）单调递减;当彳（孙1）时,gx）（）,则g（x）单调递增.综上可得：g（x）极大值点为巧即玉）=，可得：a=-j-,B pxo-Xo =-e|0,y ,解得/（0，）。I 4 2则有：g (%)=In /+*一%)+:=In%+-产+1Z Z Xo Xo z /l n x0+九0 2 3-1 2(1-%)2l n x0+12(x0-D令尸(x)=l n x+1 、+l,x (0,)2(x-l)2/3 W 7 1 7 =0，则 F(x)在(0,1)单调递增A-1)XX-1)L/、(1 1、由-Z-0,所以产(1)在 单调递增,、e c j I 2J e e.当 二 x !时,e-e3e2 2,x e-r F(X)-2-2 e2 1 2-2e3e2-22-2 e2 e 1 1所以由g E)2,0 cos6 =x,夕si nB =)即可将极坐标方程化为直角坐标方程，消去参数/即可将参数方程化为普通方程；(2)易知点P (-2,6)在直线/上，得出直线/参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，得到关于，的一元二次方程，根据韦达定理和参数r的几何意义即可得出结果.【小 问1详解】由。=6 si n，+8 cos6得夕2 =6 psi n6 +8 pcos6，把夕 2=*2 +2,p c os Q-Xl psnO-y代人得：x2+/=6y+8 x,所以曲线C的直角坐标方程为：(x 4)2+(y 3)2=2 5由，x=2+t 消去参数f得：x+y-4=0,所以直线/的普通方程为x+y-4=0；y=2-t【小问2详解】显然点尸(-2,6)在直线/上,则直线/参数方程的标准形式为：一2 一 旦2Z-。为参数）,V2 .1=6+h将直线/参数方程的标准形式代人曲线C的直角坐标方程得:整理得：产+9石 +2 0 =0,因4 =（9及）2-4-2 0 =8 20,设点A,8所对参数分别为f；,t 2,则有+6=9 0,*2=2 0,显然，匕 0，$0因 此,PA +PB=ti +i2=4il+t2=9 J i 选修4一5：不等式选讲1 （10分）2 3.已知函数/（%）=一,+1卜归+2 .(1)求不等式“X)2-3的解集;（2）若对V xwT 2 ,都 有/（幻+|。-2三0 恒成立，求。的取值范围.【答案】x|-3 x 0（2）或 a W-5【解析】【分析】（1）去掉绝对值符号后分段解不等式，从而可得原不等式的解.（2）求出/（力 在 T,2 上的最小值可得关于a的不等式，其解为所求的取值范围.【小 问 1 详解】2%+3,x -2f(x)=|x +1 1|x+2|=*1,2 x 1,-2 x 3,x 2 1由/(x)N-3,得2 x +32 3x -3 2 工 -1或V或 V解得：一 3WxW-2或-2 工-1 或一l Wx0.不等式“X）2 -3 的解集为 x|-3 x 0 ；小问2详解】对 Vx e -4,2 ,由（1）可得：TWxW-2时，-5 W/(x)W-l；-2 x -lW,/(x)=-l；TWxW2时，-7 W/(x)W l；故/(X)mi n=/(2)=-7,因为Vx e -4,2 ,都有 x)+|a-2,0,则一7+,一2|2 0 即|。一2 但7,解得a W-5或 a N 9,故a的取值范围 a|a 2 9或 a W -5).