安徽省江淮十校2023届高三上学期第一次联考数学试题及答案.pdf

江淮十校2023届高三第一次联考数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题12小题，每小题5 分，共 60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的）1,已知集合A =x e N|l n x l ,U =-2 1,0,1,2 ,则电A =A.(1,2 B.-2,-1 C.0,1,2 D.-2,-1,0)2 .已知75均为单位向量，且(2。一行)，5,则|1 +5|=()A 1B.6 C.23 .已知在二!=则复数玄 虚 部 是()1 +zA.-1 B.-i C.1D.3D.i4.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买1 0 克黄金，售货员先将5克的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的祛码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（）A.大 于 1 0 克C.等 于 1 0 克B.小 于 1 0 克D.不能判断大小5.已知正项等比数列%的前项和为S“，前项积为刀,，满足.=：,2 电=5 3 3 卬，则7；的8最小值是（）6.在正方体A B C。-A/CQ中，则下列判断错误的是（）A.明平面ACBt B.平面AG。/平面ACB、C.直线过AA G。的垂心 D.平面A C g与平面A 8 C。夹角为4 5 2 27 .已知6,K分别为椭圆?=1的左右焦点，点尸为椭圆上一点，以尸2为圆心的圆与直线PFy恰好相切于点P,则/尸 耳 工 是（）A.4 5 B.3 0 C.6 0 D.7 5 8 .已知函数/（X）是R上的奇函数，且f（x +3）=-/（x）,且当时，/（x）=2 x 1,则/（一2 0 2 1）+/（2 0 2 2）+/（2 0 2 4）的 值 是（）A.2 B.-1 C.0 D.-39 .已知在菱形A 8 C D中，A B =2,N A =6 0。，把 A 8 D沿8。折起到AAB。位置，若二面角A -B D-C大小为1 2 0,则四面体A B C D的外接球体积是（）人 7 D 2 8 2 8 x/2 1 7 7 2 1A.-7 1 B.7 t C.-Ji D.-冗3 3 2 7 2 71 0 .下列四个不等式中，成立的个数是（）I n 3 l n 2 ；In%平；4 V L 2 ；A.1 B.2 C.3 D.41 1 .已知函数/（x）=c o s|x|-2|s i n x|,以下结论正确的是（）A.兀是/（x）的一个周期 B.函 数 在0,y 单调递减C.函数X）的值域为-行,1 D.函数f（x）在 一2兀,2汨内有6个零点1 2 .甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A，A和表示由甲口袋取出的球是红球，臼球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A 尸（B|4）=A B.事件A 与事件B 相互独立13c.P（4|8）=5 D.P（B）=-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共2 0分）13.在（2 -十）的展开式中只有第5 项二项式系数最大，则常数项为.14.安徽省地形具有平原、台 地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多.某校开设了研学旅行课程，该校有6 个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2 个班级选择黄山的方案有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 种.15.已知抛物线 2=8 x 的焦点为凡过点尸的直线交抛物线于A,8 两点，延长阳交准线于点C,分别过点4 B作准线的垂线，垂足分别记为例,M 若|2 1 8N|,则的面积为.16.若不等式e N（a+l）x+。对一切x e R 恒成立，则（a+1）。的最大值为.三、解答题（共7 0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列 a“满足：Oj=1,2=3,2（an+1+l）=a +afl+2,n e N*.（1）证明数列“u-a j 为等差数列，并求数列 4 的通项公式.（2）若 c,证明：一+，+，1.I 4J。5 cn18.在AABC中，角A,B,C 所对的边分别为“，b,c,其外接圆的半径为石，且满足4/3sinB cosC -2 a-c -（1）求角B.（2）若 A C 边上的中线长为2,求AABC的面积和周长.219.在三棱锥A B C O 中，AABC的 面 积 为 正，点。为 的 中 点，Z A C B -,且2 3B D =C D =,AD=y/3.A(1)求证：平面3coi平面A O ).I T(2)E为线段AC上的点，若 )与面8CQ所成的角为台，求 CE的长度.2 0.华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.据 资治通鉴注释中说“从此道可至华容也 通 过 移 动 各 个 棋 子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走.不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.2 0 2 1 年 1 2 月 2 3 日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解4 x 4 数字华容置 世界纪录，并以4.8 7 7秒打破了“最快时间解4 x 4 数字华容道 世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者.(1)小明一周训练成绩如表所示，现用y =%+4作为经验回归方程类型，求出该回归方程.第 X (天)1234567用时y (秒)1 0 5 8 4 4 93 9 3 5 2 31 5(2)小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6,在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7,若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5,比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少.参考公式：对于一组数据(场，匕),(4#2)，(“，匕)，其回归直线v=a +fiu的斜率和截距的最小二 乘 估 计 公 式 分 别：/=J-，a =v-p ui=l7 7参考数据：、；=1 4 0，W a=9 9 4Ml/=1丫 2 v22 1.已知双曲线。：/-方=1(4 0 力 0)过点(2,2),且离心率为技(1)求双曲线C 的方程.（2）设直线/是圆O：/+y 2 =4上的动点P（X0,%）（曲贝）丰0）处的切线，/与双曲线C 交于不同的两点A,B,证明：以AB为直径的圆过坐标原点.ax22 2.已知函数/（x）=工一1 +-（awR）.ex（1）当a=l时，求f（x）在点（1,/。）处的切线方程.（2）若 g（x）=eZ/（x l）+x（l lnx）在 xwl,+8）时有两个零点，求实数。的取值范围.1-5：D B A A C 6-1 0:DA A CB 1 1-1 2:CD1 3.1 1 201 4.21 01 5.1 6 相e16.一21 7.【小 问 1】由 4 -4 =2,(%+2%+J (a“+i -a,)=2,故数列 4”-4 是以2 为首项，公差为2 的等差数列，-4“=(4 -1)X 2=2，an=(a“-an_t)+an_2)H-F(a2 _4)+q=2(n 1)+2(”2)H-1-2+1-n2-n +l +=-1-1-H H-c,c2 c 1 3 3 5 7 9 2/?-1 2/?+11 得 2/?c o sC-2 a-c,利用正弦定理得：2s i n8c o s C=2s i nA-s i nC,即 2s i n B c o s C=2s i n(B +C)-s i nC,化简得 s i n C =2 s i n C c o s B，由C为AA B C的内角，得sinC H O,可得COS8 =L,2又5为AA B C的内角，所以8=1.【小问2】由正弦定理得：上-=2G =b=3,sin B3 5设。为AC边上的中点，则4。=二,3。=1,2 2A25+2,C2在中，cos ZA D B 因为N W 8+N 8D C =TT,所以COSN A D 6+COSN 8D C =0,可得/+C2 =17，由余弦定理。2 =c?+/-2accos B，B|J 9=c2+a2-ac ac=8,由三角形面积公式得：SAABC=g s i n 8=2 6 ,由9=。2+/一ac，得(a+c)2 3ac=9,得a+c=底，所以周长为3+如.1 9.【小问小证明：BDJ.CD且BO=CD=1,8C=正，又NACB，,3由 SVABC=AC BC sinZACB,可 得 走=！A。五.走，22 2 2解得AC=&，则AC=8C，所以AABC为正三角形，所以 AO_LBC；因为 BD=C,BO=O C,所 以 ODA BC,因为40cQD=0,A O,8 u平面4 9 D,所以8C_L平面AOD,因为BCu平面BC。，所以平面BCD_L平面A 8.【小问2】解：作A”人D O,交。的延长线于点H,因为平面BCD,平面AOD,平面BCDPI平面A 8 =0,A H u平面A 8,所以AHJ_平面BCD，8。u平面BCD,所以 Af/_L”C,在直角三角形8。中，OD=LBC=包,2 2在等边三角形ABC中，A0=BAC=，2 2在40。中,c o s Z A D O =A D2+O D2-A 022 A D O Da i 33+2-2 =62 x G x 也 32所以 s i n E M O O =GT在 直 角 三 角 形 中，A H=A Ds i nZ A D O=73 x 31，HD7AD?-AH=41=叵,过点E作 瓦LCH，垂足为尸，则 瓦7/A/7,所以E F,平面BCD,所以Z E D F就是ED与平面B C D所成的角，设CE=x(04x4伪，,E F C E ZR由=,得E F =A H A CA H C EI CX _ V2正=亍X，由 A 2=A C2+C)2,得 A CJ _ 8,在直角三角形。E中，D E =y/CE2+C D2相.因为E D与平面B C D所成角为30。，所 以 瑁7 _2_ 1，即x=l,即CE=1.E D 7 7 7 1 2即在线段AC上是存在一点E,使E O与面B C O成30。角，且CE=1.20.【小问小由题意，根据表格中的数据，可得元=g(l+2+3+4+5+6+7)=4,9=)(1 05+84+49+39+35+23+1 5)=50,7 _-7xy可得8=上-=|994 一 1 40028=-1 4.5所 以 近=9一 宸=1 08,因此y关于x的回归方程为：y =-1 4.5x+1 08.【小问2】记小明获胜时比赛的局数为X,则X的可能取值为3、4、5.p(X =3)=0.6 X 0.7 X 0.7=0.294,p(X =4)=0.4 x 0.5 x 0.7 x 0.7+0.6x0.3x 0.5 x 0.7+0.6 x 0.7 x 0.3 x 0.5=0.224尸(X =5)=0.6 x0.7x0.3x 0.5 x 0.5+0.6x0.3x 0.5 x 0.3 x 0.5+0.6 x 0.3 x 0.5 x 0.5 x 0.7+0.4 x 0.5 x 0.5 x 0.7 x 0.7+0.4 x 0.5 x 03x0.5 x 0.7+0.4 x 0.5*0.7 x 0.3 x 0.5=0.1 675.A、明 获 胜=0294+0.224+0.1 675=0.6855.2 1.【小 问1】由题意得：一=百，故c?=3/=+0?,故 2 =2/.a4 4 4 4又过点(2,2)可得二=1,即 =1,解得。2=2,=4,则双曲线C的方程为a1 b-a-2a-2 2土-匕=12 4【小问2】解 法1：因为点P（Xo，y（）（犬0%/0）在 圆/+丁=4,所以圆在点尸（五，几）处 的 切 线 方 程 为=,化简得X o X+%y=4.则直线/的方程为*0+0=4,代入双曲线C的方程2/一 9 =4,变形为4（2/-丁）=（/+必 了，整理得（升+4）/+2/孙孙+（V-8）x2=0等号两边同除以x2（%2丰0）,得到（y（/+4）?）+2 xo 0,+（xo2-8）=0.设 A（A X）,B（W，%），则*丛=反三=（4-叱8 =T,%2 叼+4%-+4故O A _ L O B,即以A3为直径的圆过坐标原点.解法2:因为点P（通,%）（%）为。0）在圆f +y 2=4上，所以圆在点p（X。，匕）处的切线方程为y -%X。），化简得xox+=4（2 2X_匕=由 2 4 及+=4得（3/2一8卜2 8x0 x+32 4片=0,x0 x+y0y=4.切线/与双曲线C交于不同的两点A、3,且0 玉）2 0,设A、B两点的坐标分别为（七,）,（&,%），8%3 2-4/2贝lj X,+X2=z,X,X2-5-3%-8 -3/2 _ 8则 O A,。豆=玉%2+y%=%为2+一（4 一 /玉）（4 一 x0 x2）,%龙 1*2 +4，一2 1 6 _ 4/(X|+4 2 )+%2 为 了 2 4玉)32-4X；1 k 32婕 ；(3 2-4 4)3%2 8 4 3x02-8 3x02-83 2-4 v _ 3 2-4 v=03 尤；8 3xJ-8即以A8为直径的圆过坐标原点.2 2.【小问小x当a =l时，/(x)=(x 1)+工,e1所 以 八 幻=1+2工,e所以 r(i)=i+-.e又了=Le所以曲线y=/(x)在点处的切线方程为y-g =i+J)(x-l)即 y=(1 I%1 .小问2 g(x)=(x-2)e*T+。(-1)2 -xlnx+无，若g(x)在口,+)上有两个零点，令(x)=(x-l)ev-(x+l)ln(x+l)+c z x2+x+l,x e 0,+oo),则/?(x)在 0,+8)上有两个零点,hx)=xe-ln(x+1)+lax,令 w(x)=hx)=xe-ln(x+1)+2ax,贝!I(px)=(x+l)e-b 2a,x+1令 m(x)=e(x)=(x+l)e-b 2 a,x e 0,+),则 mx)=(x+2)eA+-_1V 0 x+1 (x+1)所以9 (x)在 0,+oo)上单调递增，故(px)d(0)=2a.当 a N O时，”(x)2 0,0(x)在 0+8)上单调递增，。(期2。(0)=0,即/(x)0,则 人（幻 在 0,+8）上单调递增,所以(x)N(O)=O,所以(x)有且仅有1个零点，不符合条件.当 a 0 时，0(0)=2a 2a+1 1 +2a-0,-2a+1所 以 训e(0,2 a),使得0,小)=0.当W0,与)时，(x)0,(x)单调递增，因为当X -+8 时，(pX)-+00,所以存在,使得0(X)=O.即当xe0,x)时，/z(x)0,则/i(x)在(x,+oo)上单调递增，又 A(0)=0,当 x 的 时，(x)+8,所以(幻在x 0,+8)上有两个零点.即g(x)在1,一)上有两个零点.综上所述，实数”的取值范围是(-8,0).