2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题02 函数的综合应用（解析版）.pdf

专题02函数的综合应用【考点预测】高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.【题型归纳目录】题型一：函数与数列的综合题型二：函数与不等式的综合题型三：函数中的创新题【典例例题】题型一：函数与数列的综合例1.（2 0 2 2浙江效实中学模拟预测）已知数列 4满足6=1,e*=2-六其中e是自然对数的底数，则（）C 1 1 1A.0 生022 -B .-。2022 -2 0 2 2 4 0 4 3 4 0 4 3 2 0 2 2 2 0 2 2C 2 0 2 2 22 1 D.1 V。2022 4川+1,即一L-AI,由累加法可得见1可得c2 li-，即-1-1-丁 二1，则1-x an+l-a+1 a t l a 2n-an 0 时，e，=2-1 =+|0,即 4=1 O n a“0,+则e 8+l,=2 一 六 1,整理得%+11即一%11,11,即-1 ,-1 ,a2 4 a3 a2-1anL-Li,an%1 1 .1 1将 个不等式相加得-即一 n,an-f4 4 an n令 x)=ev(l-x)-l,则/(x)=-疣)当为 0,当x 0 时，/（力 0,则/（X）在（-8,0）上单调递增，在（0,+巧 上单调递减，即/（X）在元=0 出取得最大值,/（x）（0）=0,所以e（l x）lW0（当1=0 时等号成立），当x 1时，ex 1时,!,2?,1-1 一 a+i。+1 1 一。“+11-。+1-1一。“+14 ,即-2,%，山 。向 凡同理利用累加法可得/?2（1）,即“贵所 以 七r1I 1 1则-0)0”-4043-2022故选：B .例 2.（2022辽宁东北育才学校二模）已知数列 4 满足0 q 0.5，。向=%+ln（2%）,则下列说法正确的是（）A.0 “2022。,5 B.0.5 “2022 1C.1 2022 1-5 D.1.5 a2022 2【答案】B【解析】【分析】利用ln x 4 x-l可 得%1,且数列 ,是单调递增数列，得出0%1,利用导数可得g（x）=x+ln（2-x）,0 x 1 时，In2 0,则/=,由/（x）0得0 x l,由/（x）l,所以f（x）在（0,1）单调递增，在（I,”）单调递减，所以，（x）W l）=0,所以In尤 工 了 一 1,所以4+1=%+1*2-4,）4%+（2-4-1）=1,当且仅当。“=1时等号成立,与已知矛盾，所以为 lnl=0,所以数列%是单调递增数列，所以0%1,令 8（%）=*+111（2-%）,0%0,所以g（x）在（0,1）单调递增，则a 2=g（4）g（0）=ln2,所以当 1 时，l n 2 v 4 0.5,所以。.5 。1,所以 0.5/022 -兀 2【解析】【分析】将已知等式化为根据 x）=x-s in x 的单调性和 0）=0,可得凶 讣 in x|,由此可化简得到7 4 a“4 子；分别构造函数g1（x b -c o s x-x、g,（x）=g-c o s x-f、g3（x）=-c o s x-x 和g4（x）=g-c o s x-2 x,利用导数可求2 2 2 7i 2 7t得 各 个 函 数 在 上 的 单 调 性，进而根据单调性得到最值，从而判断出各个选项的正误.【详解】7 1 c n.(+cos q一 ,=0,an+l-=-cosan=sman-f令 x)=x-s in x ,则/r(x)=l-c o s x 0,丁/(x)在R上单调递增,又/=0,|乂 讣in 4an 1/a 兀 =兀 l解lTi/得1,：7i 7an-37Tr；乙 乙 4 q对于A，。向7 1an=CO Sanan，令g i(X)=万-co sx-x,则 (x)=s in x-l 0 ,/.g1(x)在 R上单调递减,7 -T1(a)-=T-7,人错误；c 1 2 乃 1 2对于 B,an+l an=-C O S6r/,2a,t 94-g2(x)=y-c o s x-x2,则 g；(x)=sin x_x,令(x)=g 0；当xw(0,+oo)时，g；(x)0；.g2(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，,5 4可4,，.,当(%)4 g 2任=_#_金 0；当X(g,q 时，w(%)0,g伯邛一丝0,g；图邛一也&(方)=5 一&,aefX|,T),使得83(。)_ 应 c 错误;,.2 _7t 2对于 D,an+an=-cosan an,7 1 2 7 C1 2 2令g4(x)=w_cosx x,则 g；(x)=sinx,2 7 1 7 1当 xe 时，sinx e 1,.,.sinX 0,B|J g4(x)0,rr 34&(x)在-，Y上单调递增，%/,“3万，.心与W-D正确故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题，解题关键是能够根据N 耳sinR的特点，构造不等式求得应的取值范围，进而可以通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解.例 4.(2022浙江慈溪中学模拟预测)已知数列 ,满足：q=-g,且a.=ln(a.+l)-sin%,则下列关于数列 ,的叙述正确的是().。2 2A.an a+1 B.-“；D.a -【答案】D【解析】【分析】构造函数 x)=ln(x+l)sinx(-g 4 x 0),由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明一;Wa“0,然后构造函数g(x)=/(x)-x =ln(x+l)sinx x(-1 x 0,得 f(x)x,利用此不等式可直接判断A,对选项B,由数列 4 的单调性与有界性知其极限存在，设 哩 4 =同，对数列的递推关系求极俏.川.得A=0,从而判断B,对选项C,引入函数设p(x)=ln(x+l)-2)(-1 0),由导数证明p(x)0,得x+29 rln(x 4-l)-(-l x 0,则 f(x)在 一；,0)上2 x+1 _ 2 J单调递增，从而-g w ln；+sin；=f(-；)4 4“=/(4)f(O)=O.当-;时，设 g(x)=x)-x=ln(x+l)-sinx-x(-x 0 ),贝！J g(x)=cosx-1,设 h(x)=g(x)=-cosx-1,x+1 x+l(x)=一厂77+s in x 0,g，(0)0,x0 xf,g(x)m in*(0)-)=0,从而f(x)x.对于A 选项：由于-g w a.c O,all+l=In(a+1)-sin an an,故数列%单调递增，选项A错误.对于B选项，由于 4 单调递增且从而:师 q=A存在，由。+1 =ln(a“+l)sina”q,可得 A=ln(A+l)-sin 4 ,故A=0,从而!则 q=.故选项 B错误.对于C 选项，山于-IvxvO时,2x 1 4 Y2设 P M=l n(x +l)-(-1 x 0 ,x +2 x +1 a+2)2(x +l)(x +2)2所以 P。)是增函数，(x)v p(0)=0,所以 l n(x+l)(-l x 0),0 s i n x,因此有 s i n x x (1 x 0 ),O y _ y 2 CT从而/(x)=l n(x+l)-s i n x-x=-,故=I n(a +1)_ s i na“v(，故选项 C错误.2 1 2 对 于D选项，由于4+i&-,令=-,则一+|4一2外，。+2%4%B P bll+2 -bn lb；bn=l bn-,其中 2工勿。向，故I n /?Z J+1 】n 2+21 n(0 一；)l n 2+21 n,，从而 l n/?+l+l n 22(l n Z?+l n 2),即I nbn+l n 22-(I n瓦+I n 2),2bn 4*,即一 广,，故为 -产r.从而选项 D 正确.故选：D.【点睛】难点点睛：本题考查数列的性质，难度很大，解题难点在于有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题.例5.(20 22辽宁二模)已知等差数列%的前项和为S“，满足s i n(4 l)+2 q-5 =0,s i n(a,-1)+2%+1=0,则下列结论正确的是()A.5h=1 l,a3 a,C.5 1|=22,3“9【答案】B【解析】【分析】把己知等式变形为s i n(4 l)+2(4-l)-3=0,s i n(l%)+2(1-)-3=0,构造函数/(x)=s i n x+2x-3|可知-1和1-%是函数“X)的零点，故利用导数研究其“X)单调性并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得4，%的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.【详解】s i n(4-l)+24Z 3-5 =0,s i n(a)-l)+2 +l =0s i n(a,-1)+2(0 3-1)-3=0,s i n(l-a9)+2(l-a,)-3=0令=s i n x+2x-3,即a,-1 和1 -是函数/(x)的零点V/,(x)=c o s x+20,故/(x)最 多 有个零点dy-1 =1%,/.%+%=2.C _ l l(a1+al l)_ l l(3+a9)_ 2 2又:/(l)=s i n l-l 0,；1 V%-1 =1%V 2,/.2 a3 3,-1 a9 a9.故选：B例 6.(20 22上海高三专题练习)若等差数列 4 的公差d 0,令函数(x)=k-q|+4，g(x)=m i n x),力(必，(其中i =1,2,%则下列四个结论中：g(x)=fn(x);g(x +d)=g(x)+d-力(x +d)=_|(x)+d ；g m a x =4；g m m(X)=a”;错误的序号是.【答案】【解析】【分析】不妨取4=-1/=-1,则(x)=k+i|-i 过原点，且 y =E,(x)在最下方，根据性质逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】不妨取4=-1/=-1,则/(x)=k+i|i 过原点，且 y =4(x)在最下方，可得中，函数g(x)=(x)是正确的；中，g(x+d)=fn(x-l)=x-+r-n,g(x)+d=|X+H|-/7-1,所以g(x+d)w g(x)+d ,所以不正确；中，(%+1)=/(_ 1)=卜_ 1 +|_”,九(犬)+1 =卜+_ 1|_(_ 1)_ =卜_ 1+|_，所以力(x+d)=_ C G)+d,所以是正确的；中，由g(X)=3(X)=|x +“|-,函数g(x)无最大值,所以g m a x(X)=q不正确；中，函 数(x)=k+|-，所以当x =f 时，函数力(x)取得最小值-=4,即函数g m i n(X)=”“，所以是正确的.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的基本行性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用题设条件，构造新函数，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.【方法技巧与总结】利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：(1)抽象函数的关系与数列递推关系式类似.(2)函数单调性与数列单调性的相似性.(3)数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.题型二：函数与不等式的综合例7.(2022全国模拟预测)已知函数“X)是定义域为R的函数，/(2+x)+/(-x)=0,对任意玉，X,G1,+O O)(x,0,已知a,6(awA)为关于x的方程f 一2x+产一3=0的两个解，则关于，的不等式。)+/他)+/。)0的解集为()A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)【答案】D【解析】【分析】由题可得函数f(x)关于点(1,0)对称，函数f(x)在R上单调递增，进而可得。0=/(1),利用函数的单调性即得.【详解】由2+x)+/(r)=0,得/(1)=0且函数/(x)关于点。,0)对称.由对任意 X,丑 el,+OO)(一 )上单调递增.又因为函数“X)的定义域为R，所以函数“X)在R上单调递增.因为a,为关于X的方程产-2*+/_3=0的两个解，所以4=4-4(产-3)0,解得一2/0,得“。0=1)，所以，1.综上，f的取值范围是(1,2).故选：D.|ln(x-1)1,1 x 3例8.(2022海南模拟预测)已知函数，幻=也，若关于x的不等式X+W7/(X)X+?+l有且仅有两个整数解，则m的取值范围是.【答案】13+ln2,-2)【解析】【分析】令g(x)=/(x)-x,讨论g(x)的单调性，分析画出函数的图象，由+l可知-3+ln2m-2.【详解】关于x的不等式+机 /。)+机+1有且仅有两个整数解，转化为，*机+1有 3x 2,x 4 0.,、x-2,0 x I且仅有两个整数解，令g(x)“(x)-x=5(7 皿,ln(x-l)-x,2x31 1 _ r I 1 9 r当 2x43,g(x)=ln(x-l)-x,g，(x)=-1=7 0,所以8(X)在(2,3上X-1 x-1 x-1单调递减，同理已知g(x)在(F,0 ,。,2上单调递减，在(0,1上单调递增，且g(0)=2,g=l,g(2)=2,g=加2 3,g(x)的图象如下图，而 y=,y=，+i 的距离为1,即在y=z,y=w+l之间有且仅有两个整数解，所以-3+ln24 m -2,则m的取值范围是：-3+In 2,-2).故答案为：-3+In 2,-2).例9.（2022全国高三专题练习）不等式（x2-1）+X2002+2X2-1 0 的解集为：【答案】一 冬 孝【解析】【分析】将不等式化为构造尤根据其单调性可得x2-=-=(+1)+2,求出(+1)+；+2的最小值即可n+M+1 n+n+求得的取值范围【详解】2因为/(X)=；7=,2,+V2由.乙、八、2,21 2 2 T j V2 _,J 力 以 f(X)+f (1-X)=-尸 4-尸=-尸 4-尸 =-尸 H-尸=1 ,2x+yf2 2lx+72 2*+近 2+&2 2、+应 2、应由。=/(。)+/()+于(一)-1 /(-)+/(D 5 N),n n nn 1 H 2 1=/(1)+/(-)+/(-)+-+/(-)+/(0),n n n+1所以2。,=+1,所以/7-4-1所以由川+4及 一2 3+2 7 0,得2+4-2匕-+2740,+4-k(n+1)+27 0,/+4+27 K k(n+1),匕匚+4+27(+1)2+2(+1)+24 24*所以女 之-=-=(+1)+2,+1 +1 7 1 +124令 g(x)=(x+l)+-(X G N*)则当 0 c x 2#-1 时，g(x)递X+1增，24 49 24因为 g(4)=5+二-=,g(3)=4+：=10,5 5 4所以 g(X)mi n=g(4)=彳所以&2;+2 =手，即上的取值范围是彳4 9 ，+8、)故答案为：，+8)【方法技巧与总结】不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想,并能用函数的图像及性质解答.题型三：函数中的创新题例 11.(2 0 2 2 全国高三专题练习)定义两个函数的关系：函数制x),(x)的定义域分别为A B,若对任意的占W A ,总存在“2 e B ,使得皿阳)=()，我们就称函数镇(X)为”(存的”子函数 已 知 函 数/(x)=J x +1 -二坨 2 ,g(x)=x4+ax3+bx2+ax+3,a,h&R.4 3(1)求函数x)的单调区间；(2)若/(x)为 g(x)的一个“子函数”，求/+万 2 的最小值.4【答案】(1)单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,y),(2)j-.【解析】【分析】(1)求导，令/(x)0,可得/(x)的单调递增区间；令/。)0,可得 x)的单调递减区间；(2)根据“X)的单调性求出“X)的取值范围，进而得到g(x)min 4 ,利用换元法和函数的单调性即可得出结果.(1)/(x)=/7T T-|ln|,函数/(x)的定义域为(0,+功,3 1 =(717-2)(2 717 1)4 x 23 1+X 4 xy/l+x令/,(x)0,即V F 7 -2 0，解得X3,所以函数/(x)的单调递增区间为(3,+8)；令_r(x)0,即V i T 7-2 0,解得0 x +o o 时，g(x)-+o o,且 g(x)为连续函数,只需g(X)m i n 4,V r +1_ 3 2令S=G +1 2石，则=5-丁 存，所以/+的最小值为【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式的解法，考查了换元法和等价转化法的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于难题.例 12.(2 0 2 2上海高三专题练 习)若存在常数左四 0),使得对定义域。内的任意%,毛(工产赴)，都有|3)-电)区布一切成立，则称函数“X)在其定义域。上是“-利普希兹条件函数(1)若函数/(x)=&,(x W 4)是“好利普希兹条件函数”，求常数我的最小值；(2)判断函数/(x)=bg 2 是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3)若 y =x)(x w R)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数占,2，都有(西)-/(马)归 1.【答案】(1)方；(2)不是，理由见解析；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)不妨 设%,则北后=恒成X-“2 J%+J%立.,-1X2X4,.-.-J=2-J=,从而可得结果；令 为=；,“：，贝|J/-/=l o g21-l o g21=-l-(-2)=l,从而可得函数x)=l o g 2 X不是“2-利普希兹条件函数”；(3)设x)的最大值为，最小值为机，在 一 个周期 0,2 ,内fa)=M,fb)=m,利用基本不等式的性质可证明|/(Ai)_/(x2)|-Af-zw=/(a)-/(/?+2)-|a-&-2l 1-试题解析：(1)若函数f (x)=、G，(1W X a)是“k-利普希兹条件函数”，则对于定义域U，4上任意两个 x l,x 2 (x l A 2),均有|f (x l)-f (x 2)|x 2,则立=j :/恒成立.xX2 Vxl+Vx21 1 1，k的最小值为(2)f (x)=l o g 2 x 的定义域为(0,+o o),令 x l=g,x 2=g,则 f (g)-f (二)二k)g 2 5-l o g 2 2=-1 -(-2)=1,2 4 2 4 2 4而 2|x l -x 2|=-,：.f(x l)-f (x 2)2|x l -x 2|,.函数f (x)=l o g 2 x不是“2-利普希兹条件函数(3)设f (x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期 0,2 内f (a)=M,f (b)=m,则|f (x l)-f (x 2)|M-m=f (a)-f (b)|a -b|.若|a-b|S,显然有|f(x l)-f (x 2)|a-b|b,则 0 V b+2-a V l,.|f (x l)-f (x 2)|M-m=f (a)-f (b+2)|a-b-2|l.综上，|f (x l)-f (x 2)|1和x l 时，则(x)N4,其中等号当x=2 时成立,X-X-若X (3)存在，TN47 1【解析】【分析】(1)取特殊值使得f(x)4f(x+T)不成立，即可证明；(2)根据“T同比不减函数”的定义，(x+?+sin丘+sinx恒成立，分离参数k,构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；(3)去绝对值化简函数/(x)解析式，根据“T同比不减函数”的定义，取x=-l,因为/(-1 +7)2/(-1)=1 =3)成立,求出7的范围，然后证明对任意的工丸“*+7)“)恒成立，即可求出结论.【详解】证明：(1)任取正常数T,存在与=-7,所以x0+T=0,因为/1)=/(-7)=1 /(0)=4 +下,即“x)4/(x +T)不恒成立，所以/(力=/不是，7同比不减函数，.rr(2)因为函数x)=fcr+sinx是“5同比不减函数”，所以恒成立，即/卜+5)+$111卜+5卜 丘+5皿 恒成立，k 2(sin X-cosx)_ 2s inA 对切 xR 成立.(3)设 函 数/(x)=x+|x -|x+是T同比不减函数”，x-2/(x)=-x(-1 X1),x+2(x所 以/(x+T)-f(x)W T-2-220,即 f(x+7)N f(x)成立.综 上，恒 有 有f(x+T)”(x)成 立，所 以T的取值范围是 4,+8).【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.【方法技巧与总结】紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为己有的认知结构，然后利用函数性质解题.【过 关 测 试】一、单选题x 21.(2 02 2全国高三专题练习)已知函数 x)=,若对任意的实数a,，总存x+2在与e T,2 ,使得了(%).机成立，则 实 数 巾 的 取 值 范 围 是()A.18,(B.(-8,/C.10，：D.(0,1【答案】B【解析】【分析】由存在,使得成立，故，”/(初皿，又对任意的实数a,%,m/(x)m a x,则加数形结合，为函数8。)=与 函 数(x)=a r+匕图象上的x+2纵向距离的最大值中的最小值,求出距力 的边界直线4,即过点(-L g(-D),(2,g(2),再求出与4平行且与g(x)相切的直线1则以%)为4与4正中间的直线，可得答案.【详解】由存在使得/(%).他成立，故帆W f(x)1 1 1 a x,又对任意的实数a,乩，W/(x)2,则?4，-a x-b =x+2x 27 7 rM +与可看作横坐标相同时，函数g(x)=x 2x+2与函数/z(x)=公+方图象上的纵向距离的最大值中的最小值,又g(-l)=-3,g(2)=(),作示意图如图所示：设 A(-l,-3),8(2,0),则直线 的方程 4：丫 =*一2,设)：y =x+m 与 g(x)相切,x 2则-=x+m y 得 I?+(加 +l)x +2(?+1)=0 ,有=(加 +1)?-8(/n +1)=0,x+2得加=-1或6=7,由图知，切点。(。,一1),则4：y=x1，当直线以x)与，2平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时,函数g(X)与(X)图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，此时力(X)=X-,(x)m a x im in =|-1-(-|)1=；，故加4 g.故选：B【点睛】本题考查了存在和任意问题，考查了学生分析理解能力，运算能力，数形结合思想，难度较大.2.(2 0 2 2 全国高三专题练习)若定义在R上的函数/(x)满足/(力+/(%-x)=,则其图象关于点(a,b)成中心对称.已知：函数/()=不 占，则函数f(x)图象的中心对称点是()A.(0,1)B.C.(1,0)D.【答案】D【解析】【分析】求出 2-X)=WR,即可求X)+/(2-X)=1,即可选出正确答案.【详解】解 汕 力=不 占 得，/(2 凶=不 节=不 上 丁所以 x)+/(2 =4+=2 +4 二+4：=i,所以“X)图象的中心对称点是(1，；).故选:D.【点睛】本题考查了函数对称中心的求解，属于基础题.3.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知函数 x)=,2,若函数g(x)=-尤+向帆0)与 y =/(x)的图象相交于A,B两点，且 A,B两点的横坐标分别记为4，则玉+Z的取值范围是A.B.l o g,3,-|j C.I,?D.l o g,3,3【答案】B【解 析】【分 析】作出图象，求 出 七1,|）,利用对称性把玉+转 化 为1 0 gz（W+；）+,结合函数/2（X）=1 0 g2（X +g）+X的单调性可求范围.【详 解】作 出 函 数f（x）,g（x）的图象如图，不 妨设不，3 5当了=8。）经 过 点（1个）时，m =2 215y =-x+联立 2得X =；，所 以 吃口）:y =l o g2（x+-）因 为y =l o g2（x+g）与y =2、-；的图象关于直线y =x对 称，而）=一了+帆与y =x垂 直，所1 3以 X|+工2 =l o g2（%2 +万）+工2，且%口，5）.1 3令/?（x）=l o g2（x +）+x,且XE1，2）,则易知 力（X）为增函数，所以4 （幻 /2（|）,因 为“=l o g,3,/:（|）=|,所以玉+l o g,3,1）.故选：B.【点 睛】本题主要考查函数的性质，综合了分段函数的图象问题，函数的对称问题，范围问题等，难度较大，综合性较强，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.4.（2 02 2.全国高三专题练习（理）已知了（可 是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x“x2都 有 讶7 个）0,记 人但（*4）,则（）%一 /4 0.4-l o g0 2 4A.c h aB.a b cC.acbD.c b ，由题意得天/（与）&/（）0,即 邑 6这1,X X2同理.当0 公 C=卜1：）=g（l o g02 4）=g （-l o g,4）=g （l o g；4）,1 0g o.2 4因为0 0.42=0.1 6 0.5 l o g54 1 4 2，所以 g（4?）g（l o g54）g（0.4?）,即a c b.故选:C.【点睛】本题通过构造新函数，利用函数的单调性，奇偶性，比较函数值大小的问题，注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较，考查分析问题和解决问题的能力，难度一般.5.（2 02 2 全国高三专题练习）关于函数f（x）=s i n|x|+|s i nx|有下述四个结论:/U）是偶函数/（x）在 区 间（,万）单调递增/U）在 -n,7 t 有 4个零点/U）的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简函数 x）=s i nW+卜 i nx|,研究它的性质从而得出正确答案.【详 解】/(-X)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x=/(x)，/(x)为偶函数，故正确.当 x 0,此时函数f(x)为单调增函数;当x eg,l)时，/(无)l,且函数F(x)=2 k2-x+4 +k 2-4 x+4.若对任意的x e(l,a)不等式/(x)(a-l)x 恒成立，则实数。的取值范围为A.(L9 B.(1,2 5 C.4,2 5 D.4,+8)【答案】B【解析】先参变分离得。-1 42工+0-1 +X+-4XX,然后分类讨论求出2%+-1 +尤+色-4得最小XX值，列不等式解出。的范围即可.【详解】解：因为q l,不等式-1)无恒成立,所以 f (x)=2,x+,?4x+4 2(q l)x,即-12工+0 一 1 +工+-4恒成立，x x所以g(X)最小值为：g(G)令 g(x)=x+,则 g x)=l*,时，g(x)0,g(x)递增，=4a+-=2a,令/=x+e2G,a+l)(a l),所以x+lX令h(t)=2x+-l +x+-4 =2|r-l|+|f-4|=2f-2+|r-4|(1)当aN 4时,t4,h(t)=3t-6,所以/z(t)的最小值为:6石-6，所以 a-1 4 6a-6,E|J a2-26a+2 5 0.解得：14a425,所以44aV253f 6,4Wfa+l _(2)当 1 。4 时，所以，)=r,力的最小值为：2后+2,t+2,2y/a t4所以a-1 4 2fa+2，Wa2-10a+9 0,解得：14a49所以l a 4 恒成立.综 合(1)(2)可知：la25故选B.【点睛】本题考查了函数的综合问题，不等式恒成立问题，参变分离和分类讨论是解题关键，属于难题.8.(2022全国高三专题练习(文)设函数”x)=e、(2x 1)a r+a,其中a l,若存在唯一的整数质,使得/(/)0,则。的取值范围是()【答案】D【解析】【分析】设g(x)=e(2 x-l),y =a(x-l),问题转化为存在唯一的整数与使得满足g(毛)g(O)=-l且 g(-l)=-、N-2 a,由此可得出实数”的取值范围.【详解】设 g(x)=e*(2 x-l),y =a(x-l),Xg(o)=-1,g(l)=e0.直线y =6-a 恒过定点(1,0)且斜率为“，故-ag(O)=-l且 g(-l)=F-a-a,解 得 在 1,故选 D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、多选题9.(2 0 2 2 浙江嘉兴高二期中)对于定义域为。的函数“力，若存在区间 加,同时满足下列条件：“X)在同用上是单调的；当定义 域 是 时，/的值域也是卜,，则称 解 为该函数的“和谐区间下列函数存在“和谐区间”的 是()2A./(x)=2x B./(x)=3-C./(x)=x2-2 x D./(x)=lnx+2【答案】BD【解析】【分析】由“和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间 即可【详解】对A,可知函数单调递增，则若定义域为口?,时，值域为 2肛2”,故x)=2x不存在“和谐区间”；对B,/(x)=3-1,可假设在X 0,”)存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为2/(加)=3-=机 fm =1 1m=2时，值 域 为 牲，贝 叶 二,解得 二(符合)，(舍去)，故函数存在“和/()=3-=,)1=2 1=1n谐区间”；对C,7(X)=X2-2X,对称轴为x=l,先讨论x e(-8,l)区间，函数为减函数，若定义域为”,时，值域为 叫，则满足懦)二 七：:；，解得利=。，故与题设矛盾；同理当x l,x c)时，应满 足 懦)二 二 丁，解得机=3,故无解，所以/(x)e 2 x不存在“和谐区间，；对D,/(x)=lnx+2为单增函数，则应满足卜分 上：；2/，可将解析式看作(x)=lnx,I j I J in n I 乙一 g(*)=x-2,由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”故选BD【点睛】本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题10.(2021.福建福州.高一期 末)设x e R,计算机程序中的命令函数W7(x)表示不超过x 的最大整数，例如：W T(-2.1)=-3,W T(1.2)=1.若函数f(x)=0(“(),且“W 1),则下列说法正确 的 是()A.f(x)在区间(F,0 上为单调函数B.f(x)在区间(Y O,0 上不存在最大值c./W在区间 T,4 上有5个零点D.若f(x)的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则0 a g.【答案】B D【解析】由题意，画出/(X)的图象，观察/(X)在区间(-8,0 的图像即可判断选项AB；观察/(X)在区间 T4上.的零点即可判断选项C；通过条件分析出函数y =-l o g(x)与y =x-!N T(x)的f O a l图象至少有4个交点，观 察 图 像 得 到,2 即可判断选项D.-l o ga3 l【详解】由题意，画出了(X)的图象如图所示:由f M在区间(a,0 上的图象可知，/(x)在 区 间 上 为 非 单 调 函 数，A项错误；在区间(3,0 上，没有最大值，B项正确;无论0 4 1,F(x)在区间(0,+8)内恒有1个零点,由图象可知，/(X)在区间-4,0 上有5个零点，所以/(x)在区间-4,4 上有6个零点，C项错误；要使/(x)的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则函数y =-l o g“(-x)与y =x-I N T(x)的图象至少有4个交点,由图象得Tog“3l解得D项正确.故选：B D.【点睛】关键点睛：本题是函数的综合问题，主要考查函数的图像，函数的单调性以及考生对新定义的理解.数形结合是解决本题的关键.1 1.(2 0 2 1 全国高一单元测试)数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是()A.对于任意一个圆，其“优美函数 有无数个B.x)=x 3 可以是某个圆的“优美函数”C.正弦函数丫二!不可以同时是无数个圆的“优美函数”D.函数y =/(x)是“优美函数”的充要条件为函数y =/(x)的图象是中心对称图形【答案】A BC【解析】【分析】利用“优美函数 的定义判断选项A,B,C正确，函数y =f(x)的图象是中心对称图形，则函数y =/(x)有可能是“优美函数”，但是函数y =/(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误.【详解】对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；对于B：因为函数/(x)=/图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，故选项B 正确；对于C：将圆的圆心放在正弦函数V=s i n x 的对称中心上，则正弦函数y =s i n x 是该圆的“优美函数”，故选项C正确；对于D：函数y =f(x)的图象是中心对称图形，则函数y =f(x)不一定是“优美函数”，如/W =-；函数y =/(x)是“优美函数”时，图象也不一定是中心对称图形，X如图所示:所以函数y=/(x)的图象是中心对称图形是函数y=/(x)是“优美函数 的不充分不必要条件，故选项D 错误.故选：AB C.【点睛】方法点睛：通过函数的新定义，结合函数图象的应用，以及对函数对称性的理解，使用数形结合的方法来分析问题.12.(2020重庆市秀山高级中学校高三阶段练习)设团表示不超过x 的最大整数，给出以下命题，其中正确的是()A.若再4*2，则 占 4句B.lgl+lg2+lg3+.+lg2020=4953C.若则可由2sinx=J 解得x 的范围是吟,1)5 学 x 6 62*1D.若 /(X)=-则函数/(x)l+/(-x)l 的值域为-1,01 +2*2【答案】AB D【解析】根据的意义判断，Gpw x n+m,x=n,“e Z.【详解】由题意 4 x ,即匹 2占,A 正确；B.由印的定义，1 4 x 4 9 时，0 lg x l,lgx=0,同理 104xv99时，Ugx=l,100Mx999时，怆幻=2,1000Mx 0,-0,若x l,则 工=0,2sinx=0,0 sin x l,x e(区，幻 满足题意，XX 2 6但x e 2巩 学）也满足题意，C错;62X 1D./（上证一一 定 义域是R 则，(-x)+f(x)=-2T-1 +2*一-1 =1 +2*一1=0,EP /(-x)=-/(x),f(x)是奇1 +2T 2 1 +2*2 2*+1 1 +2函数；设(x)=3 k e Z,kfx)k+,则一Z 刈4一 左，/(x)=A 时，f-x)=-k,f(x)+f(-x)=k-k=0,Z/(x)A +l 时，-(k+1)/(-x)0时，分析出函数g(x)在(4上现递减再递增,即g(x)m in=g(x),可4 4得出A m a x a+,g(X o),利用上N a+不恒成立，可判定错误，同理可得，当a 0,/、14 2 13 a 2 八 口 讣,a、a&(-3)=卜+-|+彳+丁 o ,显然g(r)g(7).2 12 a l 2 3 a 2 2综上所述，对任意的aeR,函数g(x)=x)