2022年高考数学第一轮复习考点56 平面向量的线性运算及基本定理练习.pdf

考点5 6 平面向量线性运算与基本定理【题组一基本概念辨析】1.下列命题中正确的是A.若则 =6 B.若口声5,则忖同C.若|司=网，则方与石可能共线 D.若 何 明，则方一定不与石共线【答案】C【解析】【分析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出.【详解】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，因此A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C【点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题.2 .已知两个非零单位向量冢，鼻的夹角为。，则下列结论不正确的是A.不存在8,使B.2=C.VOeR,（冢-Z）_ L（+最）D.1在1方向上的投影为s i n。【答案】D【解析】【分析】A中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B中，由平面向量模长的定义，判断即可；C中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可；【详解】对 于A,因为两个非零单位向量可后?，所以 e?=1 X 1 XC O S 0=c o s 9 W l,/.A 正确.对于B,因为两个非零单位向量e；,最会所以=；一=1，B正确;对于C,因为两个非零单位向量可最?，且 何一 )何+)=,2=0，所以(ei-e2)-L (ei+e2)，C 正确；对于D,因为两个非零单位向量可最?，所以I 在1 方向上的投影为|1|c o s 9 =c o s 9 ,D 错误；故选D.【点睛】本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题.3 .下列命题中正确的是()A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若 和另都是单位向量，则=万D.两个相等向量的模相等【答案】D【解析】【详解】考查所给的四个选项：向量是可以平移的，则若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；向量相等向量模相等，且方向相同，8说法错误；若万和5都是单位向量，但是两向量方向不一致，则不满足1=5,C说法错误；两个相等向量的模一定相等，。说法正确.本题选择。选项.4 .为非零向量，“乌=2”为“花共线”的网11A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】,坂共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】,金 分 别 表 示 与 工B同方向的向量，网|,则有 a,B 共线，闻|a h而 共 线，则 的 模 不 一 定 相 等，即两向量不一定相等，的11|“乌=!”为“范共线”的充分不必要条件.w i II故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.5.A/WC是边长为2的等边三角形，已知向量a、。满足A =2&,A C =2 a +b,则 下 列 结 论 中 正 确 的 是.(写出所有正确结论得序号)为单位向量；石为单位向量；B/阮；(4 1+5)，品.【答案】【解析】【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择得到答案.【详解】Z V I BC是边长为2的等边三角形，已知向量a、8满 足 丽=2占，A C =2a+b,1 则M=A B,A B=2,所以修1=1,即1是单位向量；正确；tn.u 1因为M =+肥=24 +6，所以B C=b，故|b|=2；故错误；正确；石夹角为120。，故错误；(5)(4 +)-BC =4 a-&+P =4 x l x 2x co s l 20+4 =-4 +4 =0；故正确.故答案为：.【点睛】本题考查了向量相关命题的判断，意在考查学生对于向量知识的综合应用.【题组二线性运算】6.如图，在梯形 A 8C D 中，AB/CD,AB1AD,AB=2AD=2DC,E 是 的中点，尸是4 E上一点，通=2霹，则6户=()A.-AB-AD B,-A B-A D2 3 3 2C.-A B +-A D D,-AB+-A D2 3 3 2【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的三角形法则以及基本定理即可求得结论.【详解】由梯形A B C D中，AB/CD,AB1.AD,AB=2AD=2DC,E是 的 中 点,产是A E上一点，通=2而，则 丽=丽+而=_ A +_ X =_ Z +_ x _(而+W3 3 2-AB+-(AB+AD+DC)-AB+-(AB+A D +-AB)3 3 2=通+1加；2 3故选：C【点睛】本题考查向量的三角法则、平面向量基本定理，属于基础题.7.在平行四边形A B C O中，A C与B D交于点O,E是线段。的中点，A E的延长线与C。交于点F，若不C =BD=b 则 标1 1 p 4一 JL TA.a+b B.a+-b4 2 3 3【答案】B【解析】【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知Cc.-1 c-i H1b2 4D.-1 a-+2br3 3_ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ 2 _ _ 2 _._A F A C+C F A C+-C D =A C AB=AC (AO+OB)3 3 3 1(1-1-1(1 -1 2-1 -=AC-A C-B D =a-a b=-+-/?,选 B.312 2)3(2 2 J 3 3【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，询 视 频n8.AABC 中，M.N 分别是 3 C、AC 上的点，且 BM=2MC,AN=2NC,AM与3 N交 于 点 尸，则 下 列 式 子 正 确 的 是（）3 1 A.A P -A B +-A C4 2C.AP=-A B +-A C2 4【答 案】D【解 析】B.AP=-A B +-A C2 4.1 .1 .D.AP=-A B+-AC4 2MP 1【分 析】作 出 图 形，连 接M N,利 用 相 似 三 角 形 计 算 得 出 了 =进而可得出AP 3戒，结合平面向量的基本定理可得解.【详 解】如下图所示:cNC MC 1连接 M N,则=MN IIAB,YNM NS/XPAB,AN BM 2 _P_M_ _ _M_N _ _1 AP B C 3,3 3/3（一 2 3 1因此，AP=AM =A B +BMj=A B +-B C =AB+-BC=1AB+L(AC.AB)=-AB+-AC.42、f 4 2故选：D.【点睛】本题考查利用基底表示平面向量，解答的关键就是推导出等=;,考查计算能力，属于中等题.9.如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD=2DC,E为BC边上一 点,BC)=3EC，/为AE的中点，则8/=(【答案】C【解析】B.-A B-A D3 3D,-A B +-AD3 3【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.详解解：BF=BA+A F =BA+A E =-AB+A D +A B +CEAB+L(AD+-AB+-CB2(2 3 J=-AB+-A D +-A B +-C B2 4 6=-AB+-AD+-AB+-(CD+DA+AB2 4 6、=-AB+-AD+-AB+-AB-AD+AB2 4 6(2 J=-AB+-A D +-A B +-A B-A b2 4 12 6=_ 2 通+J.而3 3故选：C.【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.题组三利用线性运算求参数】10.如图，正方形A8CO中，M 是8 C 的中点，A C =A A M+p B D,则4+=【答案】B【解析】【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1,利用平面向量的坐标运算建立有关九、的方程组，求出这两个量的值，可得出4+的值.【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1,uun uuir(uim 由此，AC=(l,l),A M=ll,-p D =(-l,l),故 1 =彳一 ,1=2 +，4 5解得丸=,=1/1+=.故选8.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.11.如图四边形A BC D为平行四边形，A E =-A B,D F =-F C,若2 2A F =A A C +D E,贝 1J%-的值为【答案】D【解析】【分析】选 取 而，亦为基底将向量而进行分解，然后与条件对照后得到尤-的值.【详解】选 取 福，而 为 基 底，则 衣=砺 +砺 =g血+而,又A F A A C +/JDE 4（而+而而一而）=（丸+搭）而+（丸_）而，将以上两式比较系数可得4 -=1.故选D.【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便；（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算；（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性.12.在AABC中.已知。是8。延长线上一点.点为 线 段 的 中 点.若 团=2丽.3 且 AE=/IAB+A C.则 2=（）c【答案】A【解析】分析】通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，由通=g AD,AD=BD-BA,_ 3 恁=及-丽,8。=耳8。,求解A E，结合条件，即可求得答案.【详解】V AE=AD,AD=W-BA,AC=BC-BA,BD=BC,可 得:通=；AZ5=g（B/5 8/i）=gBZ5+gA后=1BC+LAB=1（BA+AC+1.AB4 2 4、23 3 1 =AB+-AC+-AB4 4 2=通+3部4 4由 通故选:A.【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题._ 2_ _ _ 1 _13.如图，在 AABC 中，AN=-N C,P是 BN 上一点、,A P =tAB+-A C,则实数r的值为N【答 案】C【解 析】【分 析】由题意，可根据向量运算法则得到A户=|加 部+(1-加福,从而由向量分解的唯一性得出关于大的方程，求出大的值.【详 解】由 题 意 及 图，A P =A B +B P -A B +m B N =A B+(A/V-=m A N+(l-/n)A B,又，A N=-N C,所 以 丽=恁，/.A P -m A C+(1-加通，l-m =t又祈月+所 以，2 1 .解 得/=W，故 选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _14.如图，已知 AABC 中，。为 A8 的中点，A E =-A C ,D E A A B +p B C ,则 2+/=【答 案】C【解 析】【分 析】利用向量的线性运算将 诙 用 而，元 表示，由此即可得到4的值,从而可求4+的值.【详 解】因 为 D E =D A+A E =-B A +-A C2 3，丽+U前 一 丽），丽+加通+，而，2 3、6 3 6 3所 以4 =_,，.故;1 +6 3 6故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.1 5.在AABC中，。为6 C上一点，且 反5 =2比，A E =E D 若E B =x A B+y A C ,则()1A.X-32y =一.3B.4,丁 6 3C.x=61y=一 一32D.x=-,y3【答 案】C【解 析】【分 析】利 用 丽=-g（丽+丽），进 一 步 用 而，/表示 丽，然后简单计算判断即可.【详 解】由题可知：B D =2 D C ,通=互5,则。为 在8 C上靠近点。的三等分点，E为 的 中 点所以=B A+B D）,又 8方=：8 3 =（3 3 4月）所 以 而=_ g（BA+B D）=A B-A C所 以x =J,y =-1o 3故选：c【点睛】本题考查向量的基地表示，运用三角形法则以及平行四边形法则，熟练向量的加法法则、减法法则，属基础题.1 6.在 A A B C 中，。为上一点，是 4）的中点，若 前=衣,C E=-A B+u A C,则几+=31177A.B.C.-D.3366【答案】B【解析】【分析】将近利用平面向量的加法和减法运算，转化为 以 丽 和原为基底表示出来，根据是 4）的中点列方程，求得九的值.【详解】C E =1(C B-C 4)+/7 A C因 为 E是A D的中点，所 以-=-,-/.i =,解 得 4 =,=,3 2 3 2 2 6A+/j=.故选 B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力.属于中档题1 7.如图，在AABC中，防=：由，点E在线段AO上 移 动（不含端点），若丸 1AE=AAB+/JAC则不+的取值范围是【答案】（,+8）【解析】【分析】根据题意，设 荏=痴 诟（0根1）,根据向量的线性运算，利用A%、/2 1表 示 出 京,求出之和，然后利用双钩函数的单调性求出彳+一 的取值范围.八 匚2 /【详解】解：由题可知，B D =B C ,设 荏=痴诟（0（加 1）,则 题=根（通+；就）=机 通+；（丽+/）,T 2 T l 所以 A E =-m A 3+-/”AC,3 3而几+/，2 1可得：/l =3 34 1 7 7 2 3所以彳+=；+（0 m l）,2 X/3 m x/设/（/）=y+（0 /n 1）=33=9，所以4+，的取值范围是（当,+.2 3故答案为：（,+8）.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.【题组四共线定理】1 8.已 知 通=1 +4 况 沅=25-前=2（万+可，则（）A.A,8,C 三点共线 B,A,8,0 三点共线C.A,C,。三点共线 D.B,C,Q三点共线【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理进行判断即可.【详解】V B D =B C +C b a +4h AB T 1T化简后由人=加 4。+4 8,即可求得参数4”的值.2【详解】因为P 为。上一点，设。=义。因为筋=3。%所以正油4则由向量的加法与减法运算可得A P=A D+D P=A D+A D C=AD+2|A C-A D|=(1-2)AD+2 AC3 -=q(l-/l)AB+/l AC 1-因为 AP =n M C+A82所 以 卜2)m=A.1m-，解得:3A,=3故选：B【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，平面向量基本定理的应用，向量的加法与减法的线性运算，属于中档题.2 0.已知 a,B 是不共线的向量，A B -X a-2b,A C =2a+/h,&R ,若 A 8,C 三点共线，则 九 满 足（）A.4 +=2 B.沏=-1 C.X+=4 D.=-4【答 案】D【解 析】【分 析】根据平面向量的共线定理即可求解。【详解】由A3,C三点共线，则 而、恁 共 线，所以存在不为零的实数团，使 得 通=机 恁即 A a-2 b =m（2a+9）,入,从 e R ,又因为工B是不共线的向量，4=2/72所以，消 加 解 得 九 =一4-2 =故选：D【点睛】本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。2 1.已知不共线的两个非零向量少与B ,若 丽=M+2 5，B C =-5a+6b,C D =7 a-2 b 则 下 列 一 定 共 线 的 三 点 是（）A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D【答 案】A【解 析】【分 析】三点共线定理：A、B、。三点共线 B D=A A B -【详解】B D=B C+C D=-5a+6h+la-2b=2a+4h，A BD=2AB因为都过点B,所以4 B、。共 线 故选：A2 2.已知,晟是两个不共线向量，且 =6 冢-31，5 =攵冢+.若向量与各共线，则实数人的值为（）1 4A.2 B.1 C.D.一3 3【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线基本定理，设a=X b，即可解方程组求得k的值.【详解】根据平面向量共线基本定理，若向量Z 与B共线则满足a =XbU UU/U LU即 6,_ 3/=Xkex+g )6 =Ak所 以 满 足，3=A解 得，A=-3=-2故选:A【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,属于基础题.