人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第二章第1节　函数的概念及其表示.pdf

主题二 4 ,、J 函数 第 二 章 函 数（必修第一册）第 1 节函数的概念及其表示程标准要求1 .了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2 .在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.3 .通过具体实例，了解简单的分段函数,并能简单应用.必备知识课前回顾 招 激 材夯实四基I直知识梳理1.函数的有关概念给定两个集合4上 为 非 空 的 实 演 如果对于集合4中的任意一个物,按照某种确定的对应关系f在集合8中都有唯一确定的数y和它对应称 为 从 集 合4到集合B的一个函数，记作:尸儿）,工4释疑集合A,B 及其对应关系f:A-B 构成的函数中，函数的值域C 不是集合B,而是（X B.(2)两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同例如,函数 f(x)=2x；x 0,2与函数 f(x)=2x；x -2,0.2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.3.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.释疑分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.Ife重要结论与 x 轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.对点自测3-1.若集合人=仅|0忘*忘2,8=丫|0(丫忘3,则下列图形给出的对应中能构成从A 到 B 的函数f:A fB 的是(D )解析:A 中的对应不满足函数的存在性，即存在xA,但 B 中无与之对应 的 y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.故选D.2 .(必修第一册P 7 2 习题3.1 T 2 改编)下列四组函数中表示同一个函数的是(C )A.f(x)=V%_1,7x-1与 g(x)=J (%-1)2y2B.f (x)=x 与 g (x)=XC.f (x)与 g (x)=|x|D.f (x)=1,x 6 R 与 g (x)=x 解析:A 选项中函数f(x)的定义域为 1,+8),g(x)的定义域为R,定义域不同，不是同一个函数;B 选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-8,o)U (0,+8),定义域不同，不是同一个函数;C 选项中函数 f (x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同，是同一个函数;D 选项中函数f (x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-8,o)U (0,+8),定义域不同，不是同一个函数.故选C.3 .已知函数&)=产2+1/(则 任(一)等 于(A)4-1,%。的解析式可知2 2 4f(；)=(3 2+l=|.故选 A.4.已知函数f (x)和 g(x)的定义域为1,2,3,4,其对应关系如表,则f(g(2)的值为(D )X1234f(X)4321g(x)1133A.1 B.2 C.3 D.4解析：因为 g(2)=l,f (1)=4,则 f (g(2)=f (1)=4.故选 D.5.(2 0 2 0 北京卷)函数f(x)-+l n x的定义域是x+1解析:函数f (x)=.+l n x的自变量满足 3,所以x 。且 x#-1,即定义域为(0,+).答案：(0,+8)关键能力课堂突破美中考点这实四翼医 考点一函数的定义域1.(2 02 1 陕西黄陵高三期中)函数f(x)啸+ln(2 x-x2)的定义域为(B )A.+8)B.(1,2)C.(0,2)D.1,2 解析:要使函数有意义则:一 1 解得K x 0,义域为(1,2).故选B.2.已知函数f(x)=泞。的定义域是R,则实数a 的取值范围是ax+ax-3(B )A.(-1 2,0)B.(-1 2,0C.(I，+8)D.解析：因为f(x)=ax浮+ax、-3的定义域为R,所以只需分母不为0 即可，所以a=0或%*0,2./Q、/可得-1 2 aW 0.故选B.=a 4a x(-3)0,3.已知函数f (x)=(l-X)+(2XT),则 f(x)的定义域为.解析:将(1-X)蓝化为七,所以X 1,又因为2 x7 r0,所以x|.综上，定义域为(-8,?U$l).答案：(-8,?口$1)4 .已知函数f(x)的定义域为(T,1),则函数g(x)=f (6+f(x-l)的定义域为.解析:因为f(x)的定义域为(T,1),所以要使晨x)有意义,贝4一 1 L(-1 X-1 1,解得1 X 2,所以g(x)的定义域为(1,2).答案：(1,2)5 .若函数f (x)=V a%2 +abx+匕的定义域为 x|1 WXW 2,则 a+b的值为.解析：函数f (x)的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集.不等式a 0,1 +2 =?,解得“2/卜二-|,kb-3,所以 a+b=-1-3=-,答案:彳一题后悟通(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.(2)求抽象函数的定义域若y=f (x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)0),则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a?x+ab+b=4x+6,于 是 有 一 ,解kab+b=6,得C 二 2(或C 二 二(舍去)，所以 f(X)=2X+2.答案:f(x)=2x+23.已知f(1-cos x)=sin2x,则函数f(x)的解析式为.解析：因为 f(l-cos x)=sin2x=l-cos2x,令 1-cos x=t,t G 0,2,则 cos x=l-t,所以 f(t)=1_(l-t)2=2t-t2,t G 0,2.即 f(x)=2x-x2,x G 0,2.答案:f(x)=2x-X2,X0,2一题后悟通:1.已知f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用，换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值范围.峻 考点三分段函数及其应用口 角 度-分段函数求值(1 O (1)已知 f(X)=/(；j 0 则 f(f()+f(-的值等于(2 02 1 浙江高二学业考试)已知函数f(x)=:二；1 则f(D等于；f (f (-2)等于.解析：由题意得f(3=2 X转，f (f (-)=f(-)=2 X-=,3 3 3 3f (-)=f(-)=f (-)=2 X,3 3 3 3 3所以 f(f )+f(T)=+9.3 3 3 3 3(2)因为 l 0,所以 f(l)=lo g2l=0,又因为-2 0,所以 f(-2)=-(-2)=2,所以 f(f (-2)=f(2)=lo g 2 2=L答案：(1)日(2)0 1E解 题 策 略I求分段函数的函数值的策略求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.(2)当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值.除度二分段函数与方程(S H)(2 0 2 1 山西太原高三期中)已知函数f(x)=Z；x，x 0,f(a)=2,则实数a等于()A.-1 或 2 B.2 或 4C.-2 或 4 D.-1 或 4解析:法一 当a l的x的取值范1 2X,x 0,2围是一解析:当 x 4时,f(x)+f(X-1)=2x+2x-i 2xV 2 1;当 0 2x 1;当 x WO 时,f(x)+f(x-|)=x+l +(x-|)+l=2 x+|,所以 f(x)+f(X二)1=2X+3 1=X二，即-乂XWO.2 2 4 4综上,x (-,+8).答案：(q,+8)，解题策略求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.口 角度四分段函数的值域C ffi-4 设函数 f(x)=1 7 ,若 F(x)=f(x)+x,x G R,则 F(x)的值域l ex,%0 时,F(x)J+x 2 2 I-x=2,当且仅当Lx,即x=l 时取等号;x X当x W O 时,F(x)=e+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)WF(O)=1,所以 F(x)的值域为(-8,i u 2,+8).故选 C.解 题 策 略 1分段函数的值域是各段函数值域的并集.针对训练1.已知函数f(x)=1%+专”2,则 f(f(l)等于()1/+2,x 2,1A.-B.2 C.4 D.1 12解析：因为 f(1)=+2=3,所以 f(f(1)=f(3)=3+白=4.故选 C.2.若函数f则不等式f(x)+l 0的 解 集 是()A.(-8,卷)B.(-8,0)U (0,9)C.(0,卷)D.(-l,0)U(1,+8)解析：由题意或松；：,1 0,所以x 0 或 0 x 1为.解析：当 x l 时,f(x)(o,1).X综上可得,f(x)的值域为(0,+8).答案：(0,+8)4.已知函数f(x)4 f ，则方程f(l+x2)=f(2 x)的解集是.解析：因为 l+x 2 0,所以 f(l+x2)=2.方程 f(l+x 2)=f(2 x),即 f(2 x)=2.所以当x 0时,设解析式为y=a(x-2)2-l,因为图象过点(4,0),所以 0=a(4-2)J-l,解得 a=4综上,函数f(x)在-1,+8)上的解析式为Cx+1,-1 x 0.答案:f(X)=|(1x (+%l2,)-2l-1,x%0 o,14美 活 方 混布致梃怩选题明细表课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数的概念与表示2,3,61416,17函数的定义域1,4,5,711分段函数8,9,1012,1315A级基础巩固练1.函数f(x)=V T 与+lg(3 x T)的定义域为(A)A.(I，1 B.(0,1C.(-o o,l)D.(0,|)解析:要使f(x)=A 三+lg(3 x 7)有意义,则有叶1解得沁WI D九 _ L /U,J1.所以函数f(x)=V l-x+lg(3 x-l)的定义域为(1,1.故选A.2.已知函数 f(x)满足 fS+%(-x)=2x(x#0),则 f(-2)等于(C )X X7 Q 7 QA.-B,-C.-D,-2 2 2 2解析:法一 由 f(-)+-f(-x)=2x,X X可得 f(-X)-x f(-)X X将乘以x+得2f(-X)=2x 2二，X所以 f(-X)=x2-i.所以 f(-2)故选 C.X 2法二 根据题意，函数f(X)满足f(-)+-f(-x)=2x (x W O),X X令 x=2 可得 f(?+#(-2)=4,令 x=q 可得 f(-2)-2f(|)=-l,联立解得f(-2)故选C.3.(2021 江西赣州高三期中)已知函数f(x)=2;g(x)=x2-a,若f(g(l)=l,则 a 等于(B)A.-l B.1 C.2 D.3解析:因为函数 f(x)=21 g(x)=x 2-a,所以 f(g(l)=2-a=l,解得 a=l.故选 B.4.定义域是一个函数的三要素之一，已知函数f(x)的定义域为 211,985 ,则函数 g(x)=f(2 018x)+f(2 021x)的定义域为(A)A r 211 985-i 口 211 985 口A L-,-J D.L-,-2 018 2 021 2 021 2 018C.D.2 018 2 018 2 021 2 021解析:根据题意得用!2?牖1 蠹 解 得 一 篇,第 故选 A.5.(2021 天津高三模拟)下列四个函数:y=3-x;y=2x T(x 0);(3)y=x2+2x-10;%0)的定义域为(0,+8),值域为G +8):丫=*，2*-1。的定义域为R,值域为T1,+8)；%f(2x)=V2x,2f(x)=2V%,不满足 f(2x)=2f(x),所以 C 不正确；f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2；|x|,所以 D 正确.故选 ABD.7.(2021 安徽合肥高三联考)已知函数f(x)的定义域是,8,则f(2)的 定 义 域 是.解析:因为函数f(x)的定义域是巳8,所以32，W8,得-1 4 W 3.所以f(29的定义域为答案：T,38.已知函数f(x)=3-322,贝f(1)等于;若f(m)=2,则实数m等于.解析：由题意，函数f(x)=3，-3*+2,可得f=3 5+2 告,因为 f(m)=2,即 35+2=2,可得3m=3 m,解得m=0.答 案 号09.(2021 浙江绍兴二模)已知函数f(x)=：(%+l)c +7，f N 1，则lo g2x +3,%1,f(0)等于;关于X的不等式f(x)7的解集是.解析：由题可知f(x)(无+1)：+7，1工1，lo g2x +3,%1,所以 f(0)=-(0+1)2+7=6,，L n x Q o,1-(%+1)+7 7 Ig2%+3 7 n x 16,所以f(x)7的解集是(16,+8).答案:6(16,+8)10.已知函数f(x)=1l-2a)%+3见”1值范围是.解析：由题意知f(x)=ln x(x 21)的值域为 0,+8),故要使f(x)的值域 为R,则 必 有f(x)=(l-2a)x+3 a为增函数，且 2a+3 aN 0,所以l-2a 0且a 2-1,解 得 所 以 实 数a的取值范围是-1,1).答案：-1J)B级综合运用练11.设函数f(x)=lg卡,则f G)+f S的定义域为(B)3-x 3 xA.(-9,0)U (0,9)B.(-9,-1)U (1,9)C.(-3,-1)U (1,3)D.(-9,-3)U (3,9)解析：因为函数f(x)=lg产，3-x所以把 0=-3 x 3,3-x_3|3,(-9%9,所以 所 以、1 部；1-3 -1 或 -1,X所以-9 x T 或 K x 9.故选B.fl%为有理数12.(多 选 题)函 数 f(x)=牝 姒 则下列结论正确的是 0,%为无理数，(AC D )A.任意 x 都有 f(x)=f(-x)B.方程f(f(x)=f(x)的解只有x=lC.f(x)的值域是 0,1D.方程f(f(x)=x 的解只有x=l解析：当x 为有理数时，-x 为有理数,则f(x)=f(-X)=1,当x 为无理数时,-X 为无理数,则f(x)=f(-X)=0,故A 正确;当X 为有理数时,方程f(f(x)=f(l)=l=f(X)成立；当X 为无理数时，方程f(f(x)=f(0)=1 W f(x).所以方程f(f(x)=f(x)的解为任意有理数,故B 错误；因为f(x)的值域是 0,1,故 C正确；当X 为有理数时,方程f(f(x)=f(1)=1=X,解得X=1；当X 为无理数时,方程f(f(x)=f(0)=l,无解,故D 正确.故选AC D.13.(多选题)已知函数f(x)=y 二2 W x 1,确的是(BC )A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(-8,4 C.若 f(x)=2,则 x的值是一夜D.f(x)l 的解集为(T,1)解析:函数f(x)的定义域是-2,1)U 1,+8)=函2,+8),故卜错误;当-2 W x G 时 f(x)=x 2,值域为 0,4 ,当 x l 时,f(x)=-x+2,值域为(-8,1,故 f(X)的值域为(-8,1 U 0,4 =(-8,4 ,故 B 正确；由函数值的分布情况可知，f(x)=2 在 x 2 1 上无解,故由-2 W x l,即f (x)=x=2,得至x=-V2,故 C 正确；当-2 W x l 时,令 f (x)=x2 l,解得 x (T,1),当 x 2 1 时，令 f (x)=-x+2 l,解得 x (1,+8),故 f (x)1 的解集为(-1,1)U(1,+8),故 D错误.故选B C.14.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数 为“同族函数”，请写出一个与函数y=x；x 0,2 同族的函数：解析:函数y=x2,x e 0,2 的值域为0,4,因此其同族函数的函数解析式可以是 y=x2,x -2,t (0W t W 2),也可以是 y=x2,x G m,2(-2 W m W 0)中的任意一个.答案：y=x lx -2,1(答案不唯一,参考解析中的t,m 的值)C 级应用创新练15 .设函数f(x)J%-?2则满足f(x)+f (x T)2 的x的取值范围是.解析：当 x 0 时,f (x)=-f (-x)=-x (-x-l)=-x(x+l),若 x 0,则 x-lC-l,由 f (x)+f (x-1)2 得-x (x+1)-(x-1)x 2,BP-2X2-1,此式恒成立,此时x 0.若 x 2 1,则 x-12 0,由 f (x)+f (x-1)2 得 x (x-1)+(x-1)(x-2)2,即 x2-2 x 0,即 0 x 2,此时 lW x 2.若 O W x G,则 x-I C O,由 f (x)+f (x-1)2 得 x(x-l)-(x-l)x 2,即0 2,此时不等式恒成立,此时O W x G.综上x 2,即不等式的解集为(-8,2).答案:(-8,2)16 .(2 02 1 浙江宁波高三模拟)已知函数f (x)=|x-2|-1|x+l|,若对于任意实数x,有|f (x+t)-f (x)|l(t e R)恒成立,则实数t 的取值范围为.解析:当x，2时，f (x)=x-2-|(x+l)=|x-|,当-l x I-之 I=中，所以f(x)在 上 变 化 最 快，所以|&+1)寸&)|的最大值为|-|&+1)+|-(-京+|)|=加，所以|t|W l,解得-|w t w|.答案|,|17.定义域为集合 1,2,3,，12 的 函 数 f(x)满足：f =1;|f (x+l)-f (x)|=1(x=l,2,11)Gf ,f (6),f (12)成等比数列.这样的不同函数f(x)的个数为.解析:经分析,f (x)的取值的最大值为x,最小值为2-x,并且成以2 为公差的等差数列,故f 的取值为6,4,2,0,-2,-4.f(12)的取值为 12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,所以能使 f(x)中的f (1),f (6),f (12)成等比数列时,f (1),f (6),f (12)的取值只有两种情况f (1)=1,f (6)=2,f (12)=4;f (1)=1,f(6)=-2,f(12)=4.|f (x+1)-f (x)1=1(x=l,2,11),f (x+l)=f (x)+1,或者 f (x+1)=f (x)-l,即得到后项时,把前项加1 或者把前项减1.(1)当f (1)=1,f (6)=2,f (12)=4 时;将要构造满足条件的等比数列分为两步,第一步:从f 变化到f (6);第二步:从f (6)变化到f(12).从 f (1)变化到f (6)时有5 次变化，函数值从1变化至I 2,故应从5 次中选择3 次加1,剩余的两次减1.对应的方法数为髭=10种.从 f(6)变化到f (12)时有6 次变化,函数值从2 变化到4,故应从6 次变化中选择4次增加1,剩余两次减少1,对应的方法数为髭=15 种.根据分步乘法计数原理,共有10X 15=15 0种方法.当 f (1)=1,f(6)=-2,f(12)=4 时,将要构造满足条件的等比数列分为两步,第一步:从f (1)变化到f (6);第二步:从f (6)变化到f (12),从 f (1)变化到f (6)时有5 次变化,函数值从1变化到-2,故应从5 次中选择1 次加1,剩余的4次减1,对应的方法数为玛=5 种.从 f (6)变化到f (12)时有6 次变化,函数值从-2 变化到4,故应从6 次变化中选择6 次增加1,对应的方法数为盘=1种.根据分步乘法计数原理,共有5 X 1=5 种方法.综上,满足条件的f (x)共有15 0+5=15 5 种.答案：15 5