北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题05三角函数与解三角形(含详解).pdf

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形真 题 汇 总1.2022年北京卷05】己知函数/（X）=cos2x-siM x,则（）A./Xx）在（一 一，）上单调递减B.”X）在（一%）上单调递增C.f（x）在（0（）上单调递减D.f（x）在&勺 上 单 调 递 增2.【2021年北京7】函数f（x）=c o sx-co s 2 x,试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2c.奇函数，最大值为:OD.偶函数，最大值为3O3.【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6fl边形的周长和外切正6n边 形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔卡西的方法，兀 的近似值的表达式是（）.A.3n k皿%+tan子）B.6n 卜仙子+tan吃）C.3n（s in*+ta n*）D.6n（s in*+tan由4.【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记为点P（cos。，sin。）到直线x-m y-2=0的距离.当0、m变化时，d的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.45.【2016年北京理科0 7 将函数y=sin（2 x-）图象上的点P（-,t）向左平移s（s 0）个单位长度得到点P,若P 位于函数=5抽2尤的图象上，则（）A.1=义，s的 最 小 值 为B./=?，s的最小值为?C./=2，s的最小值为三D.,=亭s的最小值为三2 3 2 36.2022年北京卷1 3 若函数/（%）=Asinx-geosX的一个零点为%则A=;/（月=.7.2020年北京卷12若函数/（%）=sin（x+w）+cos%的最大值为2,则常数口 的 一 个 取 值 为.8.2019年北京理科0 9 函数f G）=sii?法 的 最 小 正 周 期 是.T T 7 T9.【2018年北京理科11】设函数f（x）=co s（3X一专）（3 0）,若CO/（-）对任意的实数尤都成立，则 3的最小值为.1 0 .2 0 1 7 年北京理科1 2 在平面直角坐标系x O y中，角 a与 角 0均 以 O x 为始边，它们的终边关于 轴1对称，右 s i n a=可 贝!j c o s (a -(?)=.stTL*2.A1 1 .【2 0 1 5 年北京理科1 2】在 A B C 中，a=4,b=5,c=6,则 一 一=.sinC1 2 .【2 0 1 4 年北京理科1 4】设函数/(x)=A s i n (a)x+(p)(A,3,年是常数，A 0,a)0)若/(x)在区TL TC TT 2 7 T TT间 二，二 上具有单调性，且/(二)=/(.)=-/(),则/(光)的最小正周期为_ _ _ _ _ _ _.6 2 2 3 61 3 .【2 0 2 2 年北京卷 1 6】在A l 2 c 中,s i n 2 C =V3 s i n C.求4 C：(2)若b =6,且力B C 的面积为6 B，求力B C 的周长.1 4 .【2 0 2 1 年北京1 6】已知在 A B C 中，c =2 b c o s B,C =y.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 A B C 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度.c=岳;周长为4 +2 V 3;面积为S 41 48 c =苧；1 5 .【2 0 2 0 年北京卷1 7 在A A B C 中，a+b =l l,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知,求：(I )a 的值：(I I )si n)和 A B C 的面积.条件：c=7,c os?l=条件：c osA=-,c osB=.8 16注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.1 6 .【2 0 1 9 年北京理科 1 5】在 ABC 中，a=3,b-c=2,cosB=-1.(I )求 6,c的值；(II)求 si n (B-C)的值.11 7 .【2 0 1 8 年北京理科 1 5】在 ABC 中，a=7,1=8,c osB=-y.(I)求NA；(II)求 A C边上的高.1 8 .【2 0 1 7 年北京理科1 5】在 ABC 中，N A=6 0 ,c=(1)求 si n C 的值;(2)若 a=7,求A A B C的面积.1 9.【2 0 1 6 年北京理科1 5】在 ABC 中，/+=廿+缶 c.(I )求NB 的大小；(I I )求V c osA+c osC 的最大值.2 0.【2 0 1 5 年北京理科1 5】已知函数f(x)=V 2 si n-c os-V 2 si n2(I )求/(x)的最小正周期；(I I )求/(x)在区间-i t,0 上的最小值.2 1.【2 0 1 4 年北京理科1 5】如图，在 ABC 中，Z B=J,A B=8,点。在边8c上，且 C Z)=2,c osZA D C1二 7(1)求 si n N B A。；(2)求 8 ),A C 的长.R D C 2 2.【2 0 1 4 年北京理科1 8】已知函数/(x)=x c osx -si n x,x e 0,n(1)求证：/(x)W O；(2)若“V华 口 对 尤(0,7)上恒成立，求”的最大值与匕的最小值.x 22 3.【2 0 1 3 年北京理科1 5】在 ABC 中，a=3,b=2 瓜 Z B=2 Z A.(I )求 c osA的值;(II)求 c 的值.模 拟 好 题称，则3可 以 为()1.函数f(X)=c os(“一 9 0)的图像关于直线 =:对9C.-D.132.在MB C中，=4 5 ,c =4,只需添加一个条件，即可使AZ BC 存在且唯一.条件：Q=3 或；b =2V 5;c osC =中，所有可以选择的条件的序号为()A.B.C.D.3.已知8$。=|,戊是第一象限角，且角a,/?的终边关于y 轴对称，则tan/?=()3 3 4 4A.-B.-C.-D.-4 4 3 34.将函数、=cos卜x+勺 的图象向右平移三个单位长度后，所得图象对应的函数为()A.y=sin2x B.y=sin2x C.y cos2x D.y=cos2x5.半径为3的圆的边沿有一点4半径为4的圆的边沿有一点8,力、B两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为()A.1 B.2 C.3 D.46.已知点P(cosO,sin。)在直线a x-y +3=0上.则 当。变化时，实数a 的范围为()A.-2V2,2V2 B.(-OO,-2V2 U 272,+oo)C.3,3 D.(co,-3 U 3,+oo)7 .已知函数/(无)=cos2x+c o s x,且xe0,21r则/(x)的零点个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知函数f(x)=Vsin2x-2cos2x+l,将/(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标保持不变，得到函数y=g(x)的图象，若9(/9(42)=-4,则%-次1 的值不可能为()A.B.C.D.4 4 2 49.已知函数/(x)=sin(2x+w)(0 s 习，若把f(x)的图像向左平移2 个单位后为偶函数，则w=()A.-7 B.-g C.D.E6 3 12 310.己知 A B C,则“sinA+cosA A 2 B,则cosB=.1 2.若sinOcos。-cosOsin。=cos60，请写出一组符合题意的a、0.13.己知 4BC的三个角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则 能 使 弋 =2成立的一组A,2 的值是_cosB a14.若函数y=sin(2a)x+g)的图像向右平移弓个单位长度后与函数y=cos(2a)x+的图象重合，则3的一个可能的值为1 5 .己知函数丫=5 也(5 +8)(3 0)与直线丁=抽 交 点 中，距离最近的两点间距离为弟 那么此函数的周期是.1 6 .4B C 的内角4、B、C 的对边分别为a、b、c,已知a c osB =J 5b sin4求角8 的大小；(2)从以下4 个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 A B C 的面积.条件：a =3；条件：b =2&；条件：c osC =|；条件：c=2.1 7 .在A A B C中，c =V 7,且 4 B C 同时满足条件、条件、条件、条件这四个条件中的三个,请选择三个条件并解答下列问题：(1)求 边b;求SABC,条 件 a +b =5;条件=叵；51 1 1 7条件b c osB =；条件 e q?!=.7 C O S 141 8 .在 A B C 中，V3sin(F +7)=-c os(B +7).求 B的值；(2)给出以下三个条件：a 2-b 2 +c 2 +3c =0；a =V5,b=1；阳。=竽，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin4的值；(ii)求N A 3 C 的角平分线8。的长.1 9 .4 B C 的内角内B、C的对边分别为a、氏c,已知a c osB =Vlb sinA(1)求角8的大小；(2)从以下3 个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 4 B C 的面积.条件:a =3；条件：b=2 V2；条件：c osC =-|；c =22 0 .A B C 的 内 角 内B,C的对边分别为a,b,c,已知(a -2 c)c osB +b c osA =0.求B；(2)从以下条件中选择两个，使 A 8 C 存在且唯一确定，并求 A B C 的面积.若a =5；b =3；C =m；Z A B C 的周长为9.大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形 1真 题 汇 总A./Xx）在（一 一，）上单调递减C.f（x）在（0（）上单调递减【答案】C【解析】因为/（x）=cos2%sin2x=cos2x.1.（2022年北京卷05】已知函数/（x）=cos2x-siMx,则（）B.f（x）在（一%）上单调递增D.f（x）在&月 上 单 调 递 增对 于A选项，当一：x 一 制，-/r 2 x -p则八X）在（一枭一上单调递增，A错;对 于B选项，当一时,-2x ,则f ）在（一 上 不 单 调,B错;对于C选项，当0 x g时，0 2%号，则/（x）在（0,上单调递减，C对；对于D选项，当 译x 患时，3 2,则 小）在弓,工）上不单调，D错.故选：C.2.【2021年北京7】函数/Xx）=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为:D.偶函数，最大值为JOO【答案】D由题意，/(-x)=cos(-x)cos(2%)=cosx cos2x=f(x),所以该函数为偶函数,X/(x)=cosx cos2x=-2cos2x+cosx+1=2(cosx )2+京所以当cosx=3寸，/1(%)取最大值，故选：D.3.【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边 形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔卡西的方法，兀 的近似值的表达式是（）.A.3n（sin%+tan%）B.6n（sin拳+tan 拳）C.3n（sin拳+tan号）D.6n（sin拳+tan 拳）【答案】A【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为随=,每条边长为2sin”，nx6 n n所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin手，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan竺，其周长为12?itan汇，nn30。3012nsin+12ntan （.30。-30、.2=-=6 nls in T +ta n则 yr=3n（sin 鼻-+tan.）.故选：A.4.【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记 d 为点尸（cos*sin。）到直线X-my-2=0 的距离.当。、7变化时，d 的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】解：由题意d=IcosO-ms|=|标即竺a）2|,J l2+m2 Jm2+11 ytana=m x当 sin（6+a）=-1 时，2dmax=1 +/.0）个单位长度得到点尸，若 P 位于函数了=如2工的图象上，则（）1 71 71A.仁义，s 的 最 小 值 为:B.仁 挈，s 的最小值为；/6/61-2Cs 的 最 小值为孑D.=多s 的最小值 为/答案】解：将 k和 入 得：r=sin-=?将函数y=sin（2%-与）图象上的点P 向左平移s 个单位,7 T 1得至！J尸(一一S,一)点，4 2若 P位于函数.丫=而的图象上，n 1则 sin(2s)=COS2S=5，2 2则 2s=+2人 i t,髭Z,则 s=士 强 +ATT,kez,由s 0 得：当&=0 时，s 的最小值为,6故选：A.6.(2022年北京卷13 若函数f(x)=Asinx-Wcosx的一个零点为或则4=;f全=【答案】1 -迎【解析】V/-(p =4 人-曰=0,：.A=1=sinx V3cosx=2sin(x K)3/哈)=2sin*一 )=一 2sin”V I故答案为：1,一夜7.【2020年北京卷12若函数 )=5也。+伊)+85%的最大值为2,则常数3的 一 个 取 值 为.【答案】(2k7r+k e Z 均可)【解析】因为/(x)=cossinx+(sinp+l)cosx=yjcos2 p +(sino+l)2sin(x+0),所以Jcos2s+(sinR +I)?=2.解得sin=1,故可取故答案为：(2k7T+(k e Z 均 可).8.【2019年北京理科09函数/(x)=sii?2x的最小正周期是.【答案】解：V/(x)=sin2(2x),：.f(x)：.f(x)的周期 r=J,7 T故答案为：1-21-2TT 7T9.【2018年北京理科11设函数/(x)=cos(CDX-T-)(u)0),若/(x)0，(二)对任意的实数x 都成立,o4则 3的最小值为.【答案】解：函数f (x)=COS(3 一 箭(3 0),若/(X)/(-)对任意的实数X都成立，可得：=2fc7T，k e z,解得 3=8 k +V，&ez,3 o4。52则 0的最小值为：-故答案为：1 0.【2017年北京理科12】在平面直角坐标系X。)，中，角 a 与角0 均以Qx为始边，它们的终边关于)，轴对称，若 sina=则 cos(a-P)=.【答案】解：方法一：角 a 与角0 均 以 Q r为始边，它们的终边关于)，轴对称，/.sina=sinp=寺,cosa=-cosp,22.？27/.cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=一 cos a+sin-a2sin a-1=g 1=g方法二：Vsina=当 a 在第一象限时，cosa=4 2,Va,0 角的终边关于y 轴对称，P 在第二象限时，sinP=s in a=c o s 0=-cosa=/八 o.2/2 272,1 1 7.cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=x-y +3 x 3=9 1:sina=3,当 a 在第二象限时，cosa=Va,0 角的终边关于y 轴对称，在第一象限时，sinp=sina=cos0=-c o s a=A c o s (a-p)=cosacosp+sinasinp=x+1 1 73 X 3=9综上所述cos(a-p)=故答案为：一看sin2A1 1.【2015年北京理科12】在AABC中，a=4,b=5,c=6,则 一 一=sinC【答案】解：:ABC 中，a=4,b=5,c=6,.c 16+25-36 1 cosC=2x4x5=cosA=25+36-162x5x634.3 .41 sinC=sirL4=9sin2A 2xx,8故答案为：1.1 2.【2014年北京理科14】设函数/（x）=Asin（a）x+（p）（A,co,0,a）0）若/（x）在区间卢，工 上具有单调性，且/（三）=f （7 7）=-/（5，则/（x）的最小正周期为_ _ _ _ _ _ _ _6 2 2 3 6_ _ 27t 27r _【答案】解：由/（y）=/（y）.可知函数f（x）的一条对称轴为x=2产=居，77r T T 7 T则x=冬离最近对称轴距离为777-；=-212 2 12717r 7 1又/（一）=-/（），则/（4）有对称中心（一，0）2 6 37 1 7 T由于/（X）在区间匚，不上具有单调性,6 2.71 7 T 1 27r,7n n从而 12 3T=-=T=ir.4故答案为：n.1 3.【2022 年北京卷 16】在 ABC中，sin2C=V3sinC.（1）求 ；（2）若b=6,且A4BC的面积为6 8，求48C的周长.【答案】（(2)6+6V3【解析】(I)解：因为C6(0,TT),则s in C 0,由已知可得gsinC =2sinCcosC,可得cosC=多 因此，C屋.(2)解：由三角形的面积公式可得S-B c=(absinC =ma=6 g,解得a=4V I由余弦定理可得c?=a2+b2 2abcosC=48+36 2 x 4百 x 6 x 号=12.1.c=2百,所以，4BC的周长为a+b+c=63+6.1 4.【2021年北京16】已知在 ABC中，c=2bcosB,C=y.（1）求B的大小;(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.c=近 b:周长为4+27 3;面积为SJABC=手；【答案】(1)?(2)答案不唯一，具体见解析.(1)v c=2 hcosB,则由正弦定理可得sinC=2 sinBcosB,sin2 B=sin -=争 :C=与，B E(0,2B 6 (0,争,:2 B=g 解得3 OV3(2)若选择：由正弦定理结合(1)可 得(=翳=不=百，2与c=Vb矛盾，故这样的 4BC不存在；若选择：由(1)可得4=9设 ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得a=b=2 Rsin=R,oc=2/?siny=V3/?,则周长 a+b+c=2R+73/?=4+2 V3-解得R=2,则a=2,c=2百，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：J(2 V3)2+l2-2x 2V 3 x lx cos=V7；若选择：由(1)可 得 百=即&=人则SMBC=dbsinC=1a2 x 解得a=V3则由余弦定理可得8 c边上的中线的长度为：J h2+(52-2x b x x c o s y =3+：+回号=吁.1 5.【2 02 0年北京卷17在 ABC中，a+b=l l,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知,求：(I)Q的值：(I I)sinC和 48 C的面积.条件：c=7,cosA=一2；条件：cosA=-,cosB=.8 16注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选择条件(I)8(II)sinC=f,S=6百；选择条件(I)6(I I)sinC=-,S=.4 4【解析】选择条件(I)c=7,cos/=；,a+6=11v a2=h2+c2 2bccosA A a2=(11-a)2+72 2(11 a)7 a=8(II)v cosA=1/A G(0,ri)sin/l=V l cos2?4 =手由正弦定理得：号=*.磊=白sinC=手sirM sinC ix l sinC 27S=*b a s in C=*(ll-8)x 8 x 在=6 百选择条件(I)cos4=1,cosB=2,A,B G (0,n)2 2 2 8 16 sinA=V1 cos2y 4 =,sinB=V l cos2=量由正弦定理得：冷=4 萼二 Q =68 16 smA snB 也 也8 16Z T T X 八.X X ,c、.A r I r A 3V7 9,5v7 1 V7(II)smC=sin、M +8),=sxnAcosB+smBcosA=x I-x-=一8 16 16 8 4S=工 basinC=-(11 6)x 6 x =.2 2 J 4 411 6.【2019 年北京理科 15】在ABC 中，a=3,b-c=2,cosB=-5.(I)求 6,c 的值；(H)求 sin(B-C)的值.【答案】解：(I)Va=3,b-c=2,cosB=,由 余 弦 定 理,得 h2=cr+c2-2accosB=9+(b 2)2 2 x 3 x(b 2)x(一引,:.b=7,:.c=b-2=5；(II)在4BC 中，:cosB=-1,.sinB=孚,c b由正弦定理有：嬴=再/.sinCcsinB 5x苧 5/3 b =T=l A,；bc,：.BC.C 为锐角,.*cosC=诵,/sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC1 1 1 5 万 _4 总-Txl 4_(_2)xTT-11 7.【2 0 1 8 年北京理科 1 5】在 ABC 中，a=7,b=8,c o sB=-y.(I )求/A；(I I )求 A C 边上的高.【答案】解：(I ),：ab,：,A 8,即A 是锐角,*.c o sB=y,sin B=V 1 cos2B J 1 一(与产=与当,由正弦定理得一三=一之得sin A=竺 臀=与?=竽，sinA sinB H z则 A=J.(I I )由余弦定理得 b2=a2+c1-2 a c c o sB,即 6 4=4 9+J+2 X 7 X c x*即 c 2+2 c-1 5=0,得(c-3)(c+5)=0,得 c=3 或 c=-5 (舍)，则 A C 边上的高=c sin A=3 x 空=41 8.【2 0 1 7 年北京理科1 5 在中，乙4=6 0 ,c=%(1)求 sin C的值；(2)若。=7,求 4 BC的面积.【答案】解：(1)NA=6 0 ,c=a,由正弦定理可得sin C=|sin A=、苧=誓，(2)。=7,则 c=3,二 C/3.1 9.【2 0 1 6 年北京理科 1 5】在 ABC 中，a2+c2=*2+V 2 a c.(I)求N B 的大小；(II)求企cosA+cosC的最大值.【答案】解：(I)二 在 A3C 中，a1+c1=b1y2ac./.cr+c1-=2ac.&QC _ 722ac 2:-B=l(I I)由(/)得：C=苧一A,L L 37r/.v2cosA4-cosC=V2coSi4+cos(A)4VZcosA cosA+竽si nA=枭4+如=sin(A+彳).37r TT 7 T*.*AE(0,),.A4-6(一,IT),4 4 4故当A+y 时，sin(A+第 取最大值1,即VcosA+cosC的最大值为1.2 0.【2015年北京理科15】已知函数/(X)=V2sin cos V2sm2 .(I)求/(x)的最小正周期：(II)求/(X)在区间-1T,0上的最小值.x x l x【答案】解：(I)/(x)=V2sin cos 2 sin2 2 2 2/2.;2 一 八、=-siar (1 -cosx)71 n y/2=sinrcos-4-cosxsin4 4 2=s in(x+Q -竽，则f (x)的最小正周期为2n；(I I)由-TTWXW O,可得3九，冗,冗即有-1 sin(x+令工孝则当k一当时，sin(x+J)取得最小值-1,则有/(x)在区间-T T,0 上的最小值为-1一学.2 1.【2 014年北京理科15】如图，在 ABC中，ZB=J,A B=8,点。在边BC上，且 CO=2,cos/AOC=17(1)求 sin NBA。；(2)求 B),AC 的长.RC.【答案】解：在 ABC中，V cosZADC=I，sin ZADC=V1 cos2/-ADC则 sin/8 A O=sin(.ZADC-ZB)=sinNAQOcosB-cosNAOCsin8=隼 x J x 卑=婴./LI L 143y5(2)在48。中，由正弦定理得BD=益 携 隐 彳=与 哥=3,SinZ-ZiUo 4V37在 A8 C 中，由余弦定理得 AC2=AB2+CB2-2 ABCCOSB=82+52-2 X8 x 5 x1 =49,即 AC=7.7 122.【2 014 年北京理科 18】已知函数/(x)=%C O SJV-siar,J CG 0,-(1)求证：f(x)WO；(2)若 a V 警。对 尤(0,三)上恒成立，求。的最大值与6的最小值.1 2【答案】解：(1)由/(X)=xcosx-sinx得f(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,此在区间E(0,上/(x)=-xsinx0 时，/等价于 sinx-ar 0”，“Vb”等价于“siar-ferVO”xx令 g(x)=sin x -ex,则 g (x)=c o sx-c,7 T当c W O时，g(x)0对 尤(0,-)上恒成立，7 1当 c 2 1 时，因为对任意 x W (0,gf(x)=c o sx -c g(0)=0进一步g(x)0对任意工6 (0,)恒成立，当且仅当gg)=1-*c 2 0即0 V c综上所述当且仅当C W5时，g(x)0对任意x e (0,一)恒成立，n 0 2T C当且仅当C1时，g(X)V0对任意x e (0,-)恒成立，所以若“V 丝 竺 G对X6 (0,-)上恒成立，则。的最大值为一，。的最小值为IX 2 n2 3.【2 0 1 3年北京理科1 5】在 ABC中，“=3,b=2 巫,NB=2 NA.(I )求c o sA的值；(II)求c的值.【答案】解：(I)由条件在 ABC中，a=3,b=2 V 6,N 8=2 N 4一 a b 3 2 瓜 2A/6利用正弦定理可得-=-即一:=；.smA sinB sinA sin2 A 2 sinAcosA解得c o sA=学.(I I )由余弦定理可得 a2=b2+c2-c o sA,即 9=(2/6)2+c2-2 X2A/6 XCX-y,即 c2-8c+1 5=0.解方程求得c=5,或 c=3.当 c=3 时，此时 a=c=3,根据N 8=2 N A,可得 8=90。,A=C=45,ABC是等腰直角三角形，但此时不满足2+。2=/，故舍去.当 c=5 时，求得cosB=a2+c2 b22 ac1 A b2+c2-a2/6于 cS=一示一=丁COS2A=2COS2A-1=1 =cosB,/.B=2 A,满足条件.综上，c=5.8模 拟 好 题1.函数/（X）=c o s（3X-0）的图像关于直线X=对称，贝必可以为（）A.1 B.i C.|D.1【答案】C【解析】f（x）=cos（cox ；）（3 0）对称轴为：a）x ；=kw n ,3 ；=二 兀 n 3 =2k+1（3 0）（fc e Z）当=0时，3 取值为|.故选:c.2.在M BC中，NB=45,c=4,只需添加一个条件，即可使AABC存在且唯一.条件：a=3奁；b=2V5；8 5。=一3中，所有可以选择的条件的序号为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】对于，c=4,=45。,a=3/，所以，b2=a2+c2-laccosB=1 0,得b=VIU，所以，此时，N B C 存在且唯一，符合题意；对于，c=4,z_B=45,b=2A/5，所以，=-AT,解得sinC=d!竺=122,因为c b,所以，zC 乙 B,smC sinB b 5所以4 C为锐角，此时，ABC存在且唯一，符合题意；对于，c=4,48=45cosC=所以，g C V 兀，得sinC=进而 =，5 2 5 smC sinB可 得 =需 =竽，明显可见，。=工 4 8 矛盾，故不符题意smC-3 3 3故可以选择的条件序号为：故选：B3.已知8$戊=|,仇是第一象限角，且角a,/?的终边关于y轴对称，贝i j ta n/?=（）3 3 4 4A.-B.-C.-D.-4 4 3 3【答案】D【解析】：cosa =|,a是第一象限角，：.sina=V 1 -c o s2a =t a na =p.角a,夕的终边关于y轴对称，.ta n0 =-ta na =一g.故选：D.4.将函数y=cos（2 x+9的图象向右平移5个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A.y=si n2 x B.y=si n2 x C.y=cos2 x D.y=cos2 x【答案】A【解析】将函数y=cos（2%+的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为y=cos 2 -+,=c o s（2 X 一 ）=si n2 x.故选：A.5 .半径为3的圆的边沿有一点4半径为4的圆的边沿有一点B,4、B两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，4、B两点再次重合小圆滚动的圈数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】设A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为n,则n x 2 7 rx 3 =6 n?r=k X 2 7 rx 4 =8/OT,其中k、n G N*,所以，n=y,则当k =3时，n=4.故4、B两点再次重合小圆滚动的圈数为4.故选：D.6 .已知点P(cos8,si n0)在直线a x-y+3 =0上.则 当。变化时，实数a的范围为()A.-2 V 2,2 V 2 B.(-oo,-2 V 2 U 2 V 2,+oo)C.3,3 D.(0 0,3 U 3,+co)【答案】B【解析】丁点 P(cos6,si n。)在直线 a%y+3 =0 上,acosd-si n+3 =0,si n0 acQsd=V 1 4-a2si n(0 (p)=3 其中ta n(p=Q,V si n(0 (/?)3,B P a2 8,解得Q 2 V 2.故选：B.7.己知函数f (%)=cos2 x+cos%,且 工 0,21 rI，则f (%)的零点个数为()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】C【解析】由 cos2%+cosx=2 cos2%+cosx-1 =(cosx+l)(2 cosx-1)=0可得cos%=-1 或C O S%=j,又X G 0,2/则=口，或4 =；,或彳=手则f(x)的零点个数为3故选：C8.已知函数/(x)=V 5 si n2 x-2 cos2%+1,将/(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的：，纵坐标保持不变，得到函数y=g(x)的图象，若 g(%2)=-4，则由一的值不可能为()A.B.C.D,4 4 2 4【答案】C【解析】/(x)=V 3 si n2 x-cos2 x=2 si n(2 x 勺，g(x)=2 si n(4 x ),.g(x)的最小正周期T=*=g(x)ma x=2，g(x)mi n=-2,又gOJ -g(x2)=-4,不妨设 g(%i)=2,g(,x2)=-2/与 分 别 对 应 g(x)的最大值点和最小值点，-|xx-x2=+kT=；+?(/：G Z)；当=2 时，氏 一%2 1 =?；当k =l时，氏 一%2 1=斗；当k =0 时，出 一%2 1=?故选：C9.已知函数f(x)=sin(2x+0)(0 p J若把/的图像向左平移盘个单位后为偶函数，则W =()【答案】D【解析】由题意得：g(%)=/1+D =s in(2 x+g(x)为偶函数，彳+w=1+卜 兀(卜 e Z),解得：w=；+kn(k Z).故选：D.10.已知 A B C,则飞由力+cos4 是A 是钝角三角形”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：ABC中，0 4 兀，？sinA+cosA=V2sin(/1+)1,sin(4+$曰，；:7 1+E?,4 所以AABC是钝角三角形，充分性成立；若U B C 是钝角三角形，角力不一定是钝角，反例：4=，H s h/+cos4=siW +c o s l,必要性不成立；故选：A.11.在48C中，a=2,b-V3,A=2B,则cosB=.【答案】立3【解析】解：在A48C中，由正弦定理可得就=bsinB即=_=巫，即_?_ =巫,sn2B sinB 2sinBcosB sirB所以 COSB=.3故答案为：立.312.若sinacosO-cosasid=cos60，请写出一组符合题意的a、/?.【答案】a=45。、B=15。（答案不唯一）【解析】解：因为sinacos夕 _ cossin=sin（a-0），cos6 0=cos（90 30）=sin30,所以$访（戊 -S）=sin30,所以a 0=30。+k x 360,k e Z 或a-B=150+k x 360,k e Z,不妨令a=45。、0=15；故答案为：a=45。、6=1 5。（答案不唯一）13.已知 4BC的三个角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则 能 使 弋=成立的一组A,B 的值是_ _ _ _ _cosB a【答案】4=B=?（答案不唯一）O【解析】由正弦定理得：a=2RsinA,b=2/?sinB,C0Si4 b cosA sinBcosB a cosB sinA:.sinZcos/=sinBcosB,:.sin2/l=sin28,A&（0,ir）,B e（0,n）=B=?（答案不唯一）.6故答案为：4=B=三（答案不唯一）.O1 4.若函数y=sin（2sx+。的图像向右平移弓个单位长度后与函数y=cos（2a）x+习的图象重合，则3的一个可能的值为：【答案】一：（答案不唯一）【解析】解：将函数y=sin卜3+9 的图像向右平移*个单位长度后，得到函数y=sin123（%一 ：）+引=sin（2ax 一詈+小=sin 2a）x 一 詈 一 ）+外=cos（2ax 一 詈一勺的图像，即y=cos（2 3 x 岸一匀与函数y=cos卜3 久+：）的图像重合，tlrt T tC i)T T IT nJ.ry即一二一二=：+2 kzr,k e zf3 6 4所以3 =-6 fc，k Z,4故答案为：一|(答案不唯一).1 5.已知函数 丫 =sin(3%+w)(3 0)与直线y=1的交点中，距离最近的两点间距离 为 会 那 么 此 函 数 的 周 期 是.【答案】k/r且k 6工【解析】根据正弦型函数的周期性，当sin(3%+3)=%则：若3/+邛=，最近的另一个值为32 +3=今，所以3。2-1)=小 而%2-工1=%可得3 =2.故此函数的最小正周期是2=H,则函数的周期为kT T且k e 7.3 A故答案为：kn且k 6 z16.AA B C 的内角4、B、C的对边分别为a、b、c,已知acosB=g b sin A(1)求角B的大小：(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求AABC的面积.条件：a=3；条件：b=2 V2：条件：cosC=：；条件：c=2.【答案】(1汨=?O(2)答案不唯一，见解析【解析】解：由acosB=V5bsinA及正弦定理可得sinAcosB=VsinAsinB,A.B e(0,7 r),则sinA 0,cosB=VlsinB 0，二 tanB=,.故B=936(2)解：若选，由余弦定理可得/)2 =a2+c2-2accosBt即c?-3a c+1=0,解得C =W竺，此时，ABC不唯一；2若选，已知Q=3,B=三,cosC=|(今 且C (O,T T),则CW偿,芝)，所以，B+,(,则 ABC唯一,V15-2-sinC=V1-cos2C=亭 sinA=sin(C+B)=sinCcos+cosCsin6由正弦定理号=号 可 得b=竺 吧=为竺母,smB smA sin4 11所以，S-BC=absinC =