初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题23面积的计算.pdf

专题2 3 面积的计算阖 读 自 思 考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：1 .常见图形的面积公式；2 .等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3 .等比定理：（1）同 底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同 高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.（2）相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.熟悉下列基本图形、基本结论：例 题 与 求 解【例 1】如图，X B C 内三个三角形的面积分别为5,8,1 0,四边形4 E K D 的面积为，则=.（黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.【例 2】如图，在/B C 中，已知8。和 CE分别是两边上的中线，并且5 D=4,C E=6,那么/B C 的面积等于（）（全国初中数学联赛）A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8解题思路：由中点想到三角形中位线，这样 N B C 与四边形8 C D E 面积存在一定的关系.例 2图【例 3】如图，依次延长四边形/B C D 的边力8,BC,C D,D A至 E,F,G,“，使 丝=竺=型=韭A B BC C D DA=m，右 S 四 边 彩 F G H=2 S !S MiA BC D)求加 K l 值.解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m的方程.【例 4】如图，P,0是 矩 形 的 边 8 c 和 CD延长线上的两点，以 与 C。相交于点E,且=N Q AD，求证：S KABCD S APQ-解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.【例 5】如图，在 R/Z Z 8C 中，N Z =9 0。，A B=8,AC=6,若动点。从点8 出发，沿线段8力运动到 点/为 止，移动速度为每秒2个单位长度.过点。作。E 2 C 交/。于点E,设动点。运动的时间为x秒，的长为n(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当X为何值时，8D E 的面积S有最大值，最大值为多少？(江西省中考试题)解题思路：对于利用可得y与x的关系式；对于(2)先写出S关于x的函数关系式，再求最大值.例 5图C【例 6】如图，设尸为Z 8C 内任意一点，直线/P,BP,CP交BC,CA,4 8 于点。，E,F.求证：（1）四+竺+竺=AD BE CF1;（2）+=2AD BE CF解题思路：过 点 儿 尸分别作8 C 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把 丝 转化为面积比，利用面积法证明.AD例 6 图能 力 训 练A 级1.如图，A B C D,AE：BE=：2,SA?1f=6cm2,则的值为.（济南市中考试题）2.如图，正六边形4BCDEF的边长为2 3 c m,P 为正六边形内任一点，则点P 到 各 边 距 离 之 和 为.第 1 题图 第 2 题图3.如图，P 是边长为8 的正方形Z8CD外一点，PB=PC,尸8。的面积等于4 8,则尸8 c 的面积为.（北京市竞赛试题）4.如图，已知80F,AAOF,/BOD,ZXCOE的面积分别为30,40,35,8 4,则Z 8C 的面积为.（浙江省竞赛试题）5.如图，已知/。是放/8 C 斜边8 c 上的高，。E 是放ZOC斜边上的高，如果。:2,S.DCE=。，那么SJ B C等 于（）（金华市中考试题）A.4a B.9a C.16a D.25aACAEM第6题图D第4题图D第5题图6.如图，已知加是A B C D边N 8的中点，CM 交 B D于点E,则图中阴影部分面积与A B C D的面积之比为（）（山西省中考试题）A-1B-zDii7 .如图，在 N8 C中，D E/B C,分别交4 8,4 c 于点D,E,若S”DE=2S2CE，则鼠”等于（）SMBC（浙江省宁波市中考试题）A-iC-t8 .如图，是边长为6 cm的等边三角形，被 一 平 行 于 的 矩 形 所 截，4 8被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（A.4B.2 3)cm2.C.3田（广东省竞赛试题）D.第8题图第9题图9 .如图，平面上有两个边长相等的正方形/B C D和A BC D,且 正 方 形 的 顶 点4在正方形力8。的中心，当正方形，夕绕，转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗？证明你的判断.（“希望杯”邀请赛试题）1 0 .如图，设凸四边形A B C D的一组对边A B,CD的中点分别为K,M.求证：S V WABCD=SMBM+SDCK.第 1 0 题图1 1 .如 图 1,A B,8 是两条线段，M 是 Z 8的中点，SGDMC，S.C，SM B C分别表示 OMC,/XDA C,O8 C 的面积，当/8 C O时，有土屋磔.(1)如图2,若 图 1 中48与 CD不平行时，式是否成立？请说明理由.(2)如图3,若 图 1 中与CD相交于点O 时，问S,与品a1c和 有 何 相 等 关 系？试证明你的结论.(安徽省中考试题)1 2.如图，在 N3 C 中，Z A C B=9 0,ZA BC=30,将 Z8 C 绕顶点C顺时针旋转，旋转角为8 (0。0 1 8 0 ),得到A 4 B C.(1)如 图 1,当4 8 C 9时，设与CB 相交于点。，证明：40是等边三角形；如图2,连接44 BB,设 ZC 4 和BC 夕的面积分别为山口，和&BC/r求证：SACA:S CB=1 :3.(3)如图3,设/C的中点为E,，夕的中点为P,AC=a,连接E P,大值是A AC图1图3B图2 B当。=时，E P 长度最大,最(安徽省中考试题)BB 级1 .如图，/在线段8 G上，/8 C D和。E F G都是正方形，面积分别为7 cm 2和1 l e n?,则 C D E的面积等于 cm2.（武汉市竞赛试题）2 .如图，P为正方形/5 C D内一点，P A=P B=O,并且尸到 8 边的距离也等于1 0,那么正方形/B C D的面积是.（北京市竞赛试题）3 .如图，四边形4 3 C。中，点E,尸分别在8 C,0c上，=1,=2,若/尸的面积为加，四FC BE边形4 E C F的面积为（机），则四边形4 8 C D的面积为.（全国初中数学联赛试题）c 7 A B u第1题图 第2题图 第3题图 第4题图1 14 .如图，图形/8 C。中，A B/C D,/C和8。相交于点O,若/C=5,B D=1 2,中位线长为旦,2 NO8的面积为S,OC D的面积为S2，则 氐+正=.（山东省竞赛试题）5 .如图，分别延长/8 C 的三边B C,。至 ,B,C,使得BB=3BC,C C=3/C,若 S A BC 1，则/等 于（）.A.1 8 B.1 9 C.2 4 D.2 7（山东省竞赛试题）6.如图，若/8 C O是2 x 2的正方形，E是4 8的中点，厂 是 的 中 点，/尸与。石相交于点/,8。和片尸相交于点“，那 么 四 边 形 的 面 积 是（）A 1 D 2 厂 7 n 8A.-B.C.D.3 5 1 5 1 5（江苏省竞赛试题）第5题图 第6题图 第7题图7.如图，矩形/8 C O中，E是8 c上的一点，了是C。上的点，已 知 见 =治 尸=。，则&1史的3 SCEF值 等 于()(北京市竞赛试题)A.2 B.3C.4D.58.(1)探究：如 图 1,在N8CD的形外分别作等腰直角三角形48尸 和 等 腰 直 角 三 角 形NFA B=ZEA D=9 0,连接ZC,EF.在 图 中 找 一 个 与 全 等 的 三 角 形，并加以证明.(2)应用：以/8C Z)的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2,连接G H,IJ,K L,若的面积为5,则 图 中 阴 影 部 分 四 个 三 角 形 的 面 积 之 和 为.(长春市中考试题)图1图29.如图，在梯形/8C。中，A D/BC,A B=A D=D C=2 c m,8 c=4 c m,在等腰中，N Q P R=120,底边0 R=6 c m,点 B,C,Q,R 在同一条直线/上，且 C,。两点重合，如果等腰P 0?以 lcm/s的速度沿直线I箭头所示方向匀速运动，/秒时梯形A B C D与等腰P 0R 重合部分的面积记为Scm2.(1)当 f=4 时;求 S 的值；(2)当 4410时，求 S 与/的函数关系式，并求出S 的最大值.(广州市中考试题)10.有一根直尺的短边长为2 c m,长边长为10cm,还有一块锐角为45。的直角三角纸板，它的斜边长 为 12cm,如 图 1将直尺的短边。E 放置与直角三角纸板的斜边重合，且点。与点/重合 将直尺沿方向平移，如图2,设平移的长为xcm(0W x W 10),直尺与三角形纸板重叠部分(图中阴影部分)的面积Scm2.(1)当 x=0 时，S=,当 x=10 时，S=；(2)当 0 V x W 4 时，求 S 关于x 的函数关系式；(3)当 4V x 1 0 时，求 S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值.(徐州市中考试题)图1图211.如图，设是等腰三角形/3 C 的三边上的高线的交点，在底边8c保持不变的情况下，让顶点4至底边8c的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时的值变大、变小、还是不变?证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）第 11题图12.（1）请你在图1 中作一条直线，使 它 将 矩 形 分 成 面 积 相 等 的 两 部 分；（2）如图2,点朋是矩形力8 C。内一定点，请你在图2 中过点 作一条直线，使它将矩形Z 8 C。分成面积相等的两部分；（3）如图3,在平面直角坐标系中，直角梯形088是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O C 0 8,O 8=6,8 C=4,C O=4.开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位，准备过点尸修一条笔直的道路（路的宽不计），并且使这条路所在的直线/将直角梯形0 8 C。分成面积相等的两部分.你认为直线/是否存在?若存在，求出直线/的表达式；若不存在，请说明理由.（陕西省中考试题）专题2 3 面积的计算例 I.22 提示：连接/尸.例 2.选 C 提示：连接QE.-1 _例 3.-提示：连接 G/,HB,EC,FD,AC,B D,则2$/=(+D S AB=(加 +1)MS*BD,同理 SCG=加(加+1)S&?8,故 S*S&FCG=m(加 +1)SRBCD，同理/EBF+5册0=?(/+-例 4.提示：过 E 作 E/8 c 交月8 于 F,4AEF注2ADE2/ADQ,又A A E D sgE C,n lAD DE 工 门则=,积AD CE=PC DE.PC CE3例 5.提不：(1)V=x+6(0r4)23.3 0(2)S x+6x (x-2)+6,当 x=2 时，S 最 大 值=6.例 6.(1)如图，分别过P,4 作 8 c 的垂线，垂足为尸，小.S B CPP pp pD则 也 丝=2=刍 _ =S&ABC 1 BCAA.A A A D2 同 理 堂 二S&PCA,空=S 2BE S 彳 姓 CF S ABC故 PD+PE+PF _ S/BPC+S八 P C 4 +SAPAB _ AD BE CF S“BePD(0)_LPBPC c,PD PE P F、+=3 一 (+)CF AD BE CF，=2 .Z 7-rADBE/级1.54cm2.18cM 3.324.3156.C 7,D 8.C5.C9.提示：当正方形N8C。与正方形才CTT的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的L；转4动后，两者重合面积仍为定值.10.提示：过4、K、8分别作C D的垂线.11.（1）结论仍然成立，证明略.(2)o _ S丛DBC-S ADACAD A/C -12.(1)略(2)MC A sA BC BS&AC才 _/C _ J _SABCB，BC?3,、3a(3)120,2B级G 3n 11.J 7 2.256 3.一 +一加2 24.V 30 提不：S梯 形ABCD=）25.B 6.C 7.D 8.（1）略（2）109.提示：（1）当片4时，0与B重合，尸与。重合，如图小重合部分是8 0 C,_ 1SM OL-x22x 2石=2 6.(2)当 4W仁6 时，如图 6,8 0=74,C R=64,由 A PQRs A B Q M s /C RN,得 SKRN=(空)2=(1Z)2 SQM _,BQ 2_ r-4丁(P Q)(2 G)YJP)(2 4S=S Q R S&BQM SXCRN=-V 3(/-5)2+5V 32当f=5时，S最大值=2j J.21 1 c当 6 c日 10 时，如图 c,BR=0t,BK RK,且/K R8=30。，所以 B K=-8 R=(10。，KR=(IO2 2 2-/),S=-B K K R=(10-Z)2.2 8当t=6时，S H大 值=2 A/3.综合，当t5时，S最 大 值=5/.10.提示：(1)S=2cm2；5=2cm2.(2)当 0 烂4 时，如图 a,DG=A D=x,A E=EF=x+2,。(EF+DG)xDE c 2S=-=2x+2cm2.2(3)当4V x 1 0时，应分两种情况进行讨论：当 4V x V 6 时，如图 b,DG=A D=x,EF=BE=12x 2=10 x,S=SABCS“DGSBEF=x2+10%14=(x 5)2+11,故当 x=5 时，S 最 大 值=11.当 6夕V 10 时，如图 c,B D=D G=1 2 x,E F=B E=1 0 xf S=2 2 x,当 x=6 时，S 最 大 值=10.综上所述，4 V x V 1 0 时，S 的最大值为l l cnA11.,:/H B D=/H A E,Rt&BDHsRtxA DC.A D D C 访丽又 BD=DC=LBC,2:.A D-HD=BD-DC=-B C2.4:.S A A B。SAH B C=(LA D-BC)(LHD-BC)=二 B C.而 BC 是不变的，.当点/至8c 的距离变小时，乘积SA/B USAHBC保持不变.12.(1)(2)略(3)如图，存在符合条件的直线/.过点。作。于 4则点尸(4,2)为矩形/8 C。的对称中心.过点P 的 直 线 只 要 平 分 的 面 积 即 可.易知，在。边上必存在点，使得直线P H将A。4 的面积平分，从而，直线/7/平分梯形0 8。的面积，直线P/Z 即为所求直线/.设直线尸，的表达式为y=fcr+6,且点尸(4,2),；.2=4 A+b,即 6=2 4%,：.ykx+24k.直线O D的表达式为y=2x,：.y =H+2-4%,解得,y=2x,点的坐标为2(-土4k*2 k2-4kx=-2-k4 8%y=-2-k4 一8、2-k,.P”与 线 段 的 交 点 F的坐标为(2,22%),.*.0 2-2A:4,S 4 D H F=g (4-2+2e(2-2 4k解得左=21二22-k)=l x 1x 2x 4,2 2右七 不合题意，舍去).2b=8-2 屈,二直线/的表达式为夕=恒二 x+8 2 j F.2