十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国专题17坐标系与参数方程（解析版）.pdf

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题17坐标系与参数方程真题汇总，_ 2+1.【2 02 2年全国甲卷理科2 2】在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为“=工(/为参数)，曲线C 2的y =&Y-_ _ _2_+s参数方程为 6 0为参数).、y=一 乖(1)写出C i的普通方程；(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2 c o s 0-Sind=0,求C 3与C i交点的直角坐标，及 与 交 点 的 直 角 坐 标.【答案】(l)y 2 =6 x-2(y 0)；(2七3，。1的 交点坐标为&1)，(1，2)，QC的交点坐标为(一表T)，(-1,-2).【解析】(1)因为彳=竽，y =V t,所以x=*,即C i的普通方程为y 2 =6 x 2(y 2 0).(2)因为=-管=,，所以6%=-2 y2,即C 2的普通方程为V=6 x 2(y 0),由 2 c o s 8 s in0=0=2 pc o s 8 ps inQ=0,即C 3的普通方程为 2%y =0.联立，2 =2鼠 _/2 0 2 0),解得：;或；：；，即交点坐标为8 1)，(1,2)；联立脚4)，解得：?二:或二;，即交点坐标为(-1,-2).2.【2 02 2年全国乙卷理科2 2】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜 二,(，为参数)，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为ps in(。+巾=0.(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C有公共点，求 7的取值范围.【答案】(1 +y +2 m =0(2)-m I【解析】因为/：ps in(。+m =0,所以gp s in。+日p c o s。+m =0,又因为p s n6 =y,p-cos。=x,所以化简为/+苧x+T H=0,整理得l的直角坐标方程：V 3 x+y +2 m=0(2)联 立/与C的方程，即将 =gc o s 2 t,y =2 s int代入V 3 x+y +2 m=0 中，可得 3 c o s 2 t +2 s int +2 m=0,所以 3(1 2 s in2t)+2 s int +2 m=0,化简为-6 s in2 t +2 s int +3 +2 m=0,要使l与C有公共点，则2 7n=6 s in2t-2 s int-3有解，令 s int =a,则a G 1,1，令/(a)=6 a2 2Q 3,(1 a 1),对称轴为Q=；,开口向上，o所以/ma x=/(-1)=6 +2 -3 =5,/(a)min=/(O7)=7O-7O-3=一/O，所 以 一:2 m J2 即产=3 V2+2cos0、y=2sin0 、y=2sin0故尸的轨迹Cl的参数方程为产=(。为参数),曲线。的圆心为(低,0),半径为鱼，曲线C1的圆心为(3-四,。)，半径为2,则圆心距为3-2 在，3-2 在 2-7 1，；两圆内含，故曲线C 与6 没有公共点.4.【2021年全国乙卷理科22】在直角坐标系xOy中，O C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出O C 的一个参数方程；(2)过点F(4,l)作O C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【答案】(a 为参数)；2pcos(8+g)=4-6或2 p c o s(8*)=4+后v 1 sin。3 J(1)由题意，O C 的普通方程为(久 一 2)2+0-1)2=1,所以O C 的参数方程为(a 为参数)y -J.十 D incc(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y-l =k(x-4),即k x-y+l-4 Z c =0,由圆心到直线的距离等于1 可得詈3=1，vi+fcz解得k=y,所以切线方程为6 x-3y+3-4V3=0或百x+3y-3-4V3=0,将靠=pcos6,y=psinS代入化简得2pcos(0+g)=4-板或2pcos(6-“=4+遍5.【2020年全国1卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线Q 的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos。-16psin0+3=0.(1)当/c=l 时，Ci是什么曲线？(2)当k=4 时，求6 与Cz的公共点的直角坐标.【答案】(1)曲线6 表示以坐标原点为圆心，半径为I 的圆；(2)仁彳).【解析】(1)当九=1时，曲线G 的参数方程为(t为参数)，两式平方相加得好+产=1,所以曲线Q 表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；（2）当k=4时，曲线C1的参数方程为；;；器：（t为参数），所以*2 0,y 2 0,曲线C l的参数方程化为 嚏;：；（t为参数）,两式相加得曲线C1方程为a +4=1,得6=1 -x,平方得 y=x-2yx+1,0 x l,0 y x2 y2=4；(2)p=c o s 0.【解析】(1)由c o s?。+s i M e =1 得C i 的普通方程为：x+y=4；两式作差可得C z的普通方程为：x2-y2=4.（2）由：+得:刀-y=4设所求圆圆心的直角坐标为（a,0），其中a 0,则伍 一 丁 +(0-5)2 =/，解得：a=W .所求圆的半径r=3,i t/X U U 所求圆的直角坐标方程为:卜 一 常 2+俨=落）2,即/+y 2=g,所求圆的极坐标方程为p =yc o s e.7.2 0 2 0 年全国3卷理科2 2】在 直 角 坐 标 系 中，曲线C的参数方程为(，为参数且伊1)，C与坐标轴交于/、8两点.(1)求|4B|；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线48的极坐标方程.【答案】(1)4V10(2)3 p c o s 0 -p s i n 0 +12=0【解析】(1)令x=0,则/+1 2=0,解得t=-2或t=1(舍)，则y=2+6+4=12,即4(0,12).令y=0,则f2-3t+2=0,解得t=2或t =1(舍)，则x=2-2-4=4,即8(-4,0).A B =J(0+4产+(12 0)2=4V10；(2)由(1)可知 相 二 言;二？，则直线48的方程为y=3(x 4-4),即3x-y+12=0.由九=pcosO,y=p s i n。可得，直线48的极坐标方程为3 p c o s 6 -p s i n 4-12=0.8 .【2 0 1 9 年新课标3 理科2 2 如图，在极坐标系O x 中，A(2,0),B(V2,-),C(V2,),D(2,n),4 4JI弧 砂，B C,而 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,(1,i t),曲线 i 是弧丽，曲 线 跖 是 弧 死，曲线必 是弧丽.(1)分别写出M i,Mi,的极坐标方程；(2)曲 线/由 A/i，区，河3 构成，若点尸在朋1 上，且|0 尸|=百，求 P 的极坐标.【答案】解：(1)由题设得，弧 通，B C,而所在圆的极坐标方程分别为p=2 c o s 0,p=2 s i n。，p=-2 c o s 0,则 M i 的极坐标方程为p=2 c o s。，(0 0 J),皱的极坐标方程为p=2 s i n。，6 ),3 7rM 3的极坐标方程为=-2 C OS0 T(0 TT),(2)设 尸(p,0),由题设及(1)值，若 O Wg 全 由 2 c o s 0=g得 c o s 6=等，得。=看若:0 O）在曲线C：p=4sin0上，直线/过点/（4,0）且与O M垂直，垂足为P.（1）当。0=即寸，求po及/的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求尸点轨迹的极坐标方程.【答案】解：（1）当a=轲,p（）=4si吟=2遮,在直线/上任取一点（p,9）,则有pcos（。一搭）=2,故 I 的极坐标方程为有pcos（8-号）=2；（2）设 P（p,。），则在 RtZi。/尸中，有p=4cos。，在 线 段 上，.。1：%n 7i故尸点轨迹的极坐标方程为p=4cos。，0 G-,-.r=i-t21 0.【2019年新课标1理科22】在 直 角 坐 标 系 中，曲线C的参数方程为-（/为参数）.以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos6+V3psin0+ll=0.（1）求C和/的直角坐标方程；（2）求C上的点到/距离的最小值.【答案】解：（1）由|“一子了（r为参数），得 一 号 产，）”_ 4t y _ 2tV 1+?2-,两式平方相加，得 尤2 +4=1；.C的直角坐标方程为好+4=1 （x r-l）,4由 2pcos0+V3psin0+11 =0,得 2x+V3y+11=0.即直线l的直角坐标方程为得2x+V3y+l l =0；(2)设与直线2x+V3y+11=0平行的直线方程为2%+V3y+m=0,ffV.vf2x 4-V3y+m=0 犯入 2 ，2 八联乂 /，得 16x+4加什加-12=0.(4x2+y2-4=0由=16/-64(m2-12)=0,得加=4.111-41当m=4时，直线2%+B y +4=0与曲线C 的切点到直线2%+V3y 4-11=0的距离最小，为、*=依+35.11.【20 18年新课标1理科22】在直角坐标系xQy中，曲线C i的方程为夕=碓|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos6-3=0.（1）求 Q 的直角坐标方程；（2）若 G 与 C2有且仅有三个公共点，求。的方程.【答案】解：（1）曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos。-3=0.转换为直角坐标方程为：X2+/+2X-3=0,转换为标准式为：（x+1）2+/=4.（2）由于曲线。的方程为丁=闵+2,则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点（0,2）.由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线y=fcv+2的距离等于半径2.12一 川.一|2+川故：/-彳=2,或-=2Vi+fc2 Vi+fc2解得：或 0,当=o 时，不符合条件，故舍去,同理解得：左=g 或。经检验，直线y=gx+2 与曲线C2没有公共点.故。的方程为：y=-|+2.12.【20 18年新课标2 理科22】在直角坐标系xQy中，曲线C 的参数方程为1:二 及 既，（。为参数），直线 irSLTlU/的参数方程为3:江篙京为参数）（1）求 C 和/的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.【答案】解：曲线c 的 参 数 方 程 为 忧:需（。为参数），2 x2转换为直角坐标方程为：77+=1.直线/的 参 数 方 程 为 忧 I;:;（f 为参数）.转换为直角坐标方程为：xsina-ycosa+2cosa-sina=O.（2）把直线的参数方程匕：；：；：鬻G 为参数），（y 一 乙 十 Co iTlu.八、-口 （2+tsina）2（1+tcosa）2代入椭圆的方程得到：-一一-4-=116 4整理得：（4cos2a+sin2a）沁（8cosa+4sina）t-8=0,则：ti+t2=等 苧 岁 竽，（由于八和，2为/1、8 对应的参数）4cosa+stna由 于（1,2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式S答=0,则：8cosa+4sina=0,解得：tana=-2,即：直线/的斜率为-2.1 3.【20 18年新课标3 理科22】在平面直角坐标系xOy中，。的 参 数 方 程 为 二;禽：，（。为参数），过点（0,-V 2）且倾斜角为a 的直线/与。交于4 B两点.（1）求a 的取值范围；（2）求 4?中点尸的轨迹的参数方程.【答案】解：（1）的参数方程为（0 为参数），-siiiu.0。的普通方程为x 2+6=l,圆心为0（0,0）,半径r=l,当。=时，过 点（0,-V 2）且倾斜角为a 的直线/的方程为x=0,成立；当aH 齐寸，过 点（0,-V2）且倾斜角为a 的直线/的方程为了=12110（“一 鱼,:倾斜角为a 的直线/与。交于4,8 两点,函二圆心O（0,0）到直线1的距离d=Jl+a712a/.tan2a 1,/.tana 1 或 tana0 时，B P a-4时|5 s i n（e+p）-a-4|则 一 =Z,v o=4 y o x：|OM|OP|=1 6,/.+y 2 j1 6 +y()2 =1 6,即(/+小)(1+2)=1 6,/.x4+2 x2y2+J?4 1 6 x2,即(x2-)2=1 6 x 2,两边开方得：一+产;叙，整理得:(x-2)2+/=4 G K 0),二点户的轨迹。2的直角坐标方程：(x-2)2+y2=4(x W O).(2)点”的直角坐标为月(1,V 3),显然点/在曲线C2上，|。川=2,，曲线C2的 圆 心(2,0)到弦O A的距离d=V 4-1 =V 3,的最大面积(2+V I)=2+7 11 6.【2 0 1 7年新课标3理科2 2】在直角坐标系x Q y中，直线人的 参 数 方 程 为;京；I C 为参数)，直线(x=2 +m/2的参数方程为、,_ 血 ，(机为参数).设/1与/2的交点为P，当左变化时，P的轨迹为曲线C.Ly-T(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，3：p (co s 0+s i n 0)-e=0,为/3与C的交点，求”的极径.【答案】解：.直线/1的参数方程为 二 丁，(，为参数),消掉参数，得：直线4的普通方程为：歹=左(x-2);(x=2 +m又直线/2 的参数方程为”，(m 为参数)，r T同理可得，直线/2 的普通方程为：x=-2+0 ：联立，消去得：x2-y2=4,即 C 的普通方程为-产=4(产包)；(2)；/3 的极坐标方程为p (co s 0+s i n 0)y/2=0.其普通方程为：x+y-&=0,联立x +y =%x2_y2=41 f-3 72x=-汽y=T.*2=/+/=竽+,=5.；3与 C的交点M的极径为p=V 5.1 7.【2 0 1 6 年新课标1 理科2 3】在直角坐标系X0中，曲线。的 参 数 方 程 为 普$讥C 为参数，a 0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4 co s 0.(I)说明Ci 是哪种曲线，并将Ci 的方程化为极坐标方程;(H )直线。3 的极坐标方程为。=a o,其中a o 满足t a n a o=2,若曲线。与 Q 的公共点都在。3 上，求【答案】解S%:慎 献 得/胃 鼠/两 式 平 方 相 加 得，热 密 7 5。为 以(0,1)为圆心，以。为半径的圆.化为一般式：f+f -2 y H -q 2=o.由工2 旷=2,j；=p s i n 0,得p 2 -2 p s i n 8+l -a2=0；(I I )Q：p=4 co s 0,两边同时乘p 得p 2=4 p co s。，/.X2-F2=4X,即(x -2)2+y2=4.由 C3：e=a o,其中a o 满足 t a n a o=2,得 y=2 x,V曲线C l 与Cl的公共点都在。3 上，：.y=2x为圆Ci 与 C2的公共弦所在直线方程，-得：4 x-2 y+l-/=(),即为 C 3，/.1-2 =0,：.a=(4 0).1 8.【2 0 1 6 年新课标2理科2 3】在直角坐标系x O y 中，圆。的方程为(x+6)2+/=2 5.（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（I I）直线/的参数方程是；二；落（/为参数），/与c交与a 8两点，A B=V T o,求/的斜率.【答案】解：（I）.圆C的方程为（x+6）2+/=2 5,1 1 2JCH 1 =0,V p2=x2+y2,x=pcosa,y=psina,*.。的极坐标方程为p2+12 pcosa+11=0.（I I）.直线/的参数方程是眩二 然;（f为参数），益鼠 代入y=/s in a,得：直线/的一般方程n=1211。工，：1与 C 交与A,8两点，A B=V 1 0,圆C的圆心C（-6,0）,半径r=5,圆心到直线的距离d=卜 一（挈）2.圆心C（-6,0）到直线距离公 厂6tan：|二 扇 一？Jl+tan2a y j 4解得 tan2a=东 ；.tana=三二V15.的斜率衣=土.1 9.【2016年新课标3理科23】在直角坐标系xQ y中，曲线G的参数方程为俨=8的。改为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin（。+/）=2或.（1）写出。的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C i上，点。在C2上，求的最小值及此时尸的直角坐标.【答案】解：（1）曲线C i的参数方程为卜=K csa （a为参数），（y=sinax2移项后两边平方可得了+2=cos2a+sin2a=1,即有椭圆C l：y+/-1；曲线C2的极坐标方程为psin（6+）=2也即有p（-sin0+-cosO）=22,由x=pcos。，y=p s in 0,可得工到-4=0,即有Ci的直角坐标方程为直线x+y-4=0；（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|。|取得最值.设与直线x+y -4=0平行的直线方程为x+y+t0,联立2:可得 4X2+6ZX+3t2-3=0,由直线与椭圆相切，可得=3 6 理-1 6 (3/2-3)=0,解得/=2,显然f=-2时，|尸。取得最小值，即有早1 =鱼，V 1 十 JLQ此时4/-1 2 x+9=O 解得3 1即为 P(5，-).另解：设 尸(百 co s a,s i n a),由P到直线的距离为d=的 纱 甯 咽 二4 Jv 21 2 s 讥(a+)-4=五 当 s i n (a+J)=1时，|P 0|的最小值为企，3 1此时可取a=*即有尸(-,-).2 0.【2 0 1 5 年新课标1 理科2 3】在直角坐标系x O y 中，直线Ci：x=-2,圆 C2：(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求 Ci,C2 的极坐标方程；(I I )若直线C3 的极坐标方程为。=*(p R),设 C2 与 C3 的交点为M,N,求aQ例N的面积.【答案】解：(I )由于 x=p co s。，y=p s i n。，Ci：x=-2 的极坐标方程为p co s 9=-2,故 C2：(X-1)2+(y-2)2=1 的极坐标方程为：(p co s O -1)2+(p s i n O -2)2=L化简可得p?-(2 p co s 0+4 p s i n 0)+4=0.(I I)把直线c3的极坐标方程。=今(Pe R)代入圆 Q：(x -1)2+(y -2)2=1,可得p?-(2 p co s 0+4 p s i n 0)+4=0,求得p i =2 V I,P 2=42.|A f W =|p i -P2|=V2,由于圆 C 2 的半径为 1,：.C2MLCIN,CIM N的面积为 1 1 =/2 1.【2 0 1 5年新课标2理科2 3】在直角坐标系x 0 y 中，曲线C i：1 工；管:(f 为参数，岸 0),其中O W a在以。为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Q：P=2 s i n 0,C 3：p=2 V 3 c o s 0.(1)求 C 2 与。3 交点的直角坐标；(2)若。与 C 2 相交于点Z,。与 C 3 相交于点8,求|力用的最大值.【答案】解：(/)由曲线C 2：p=2 s i n 0,化为p 2=2 p s i n 6,.*.x2+y2=2 j 同理由C 3：p=2 V 3 c o s 0.可得直角坐标方程：x2+y2=2 V 3 x,联立以二震解喉化:.C 2 与 C 3 交点的直角坐标为(0,0),(整，|).(2)曲线。：匕 二；：鬻G 为参数，叱 0),化为普通方程：尸 xta n a,其中O W a W n,W 今 a=?时，L o l/tC cL L为x=0 (y#0).其极坐标方程为：0 =a (p ER,p W O),V J,3都在G上,A(2 s i n a,a),B(2y/3cosa,a).A A B 2sina 2yl3cosa =4 sin(a )|,当(？=猾 时，|N 5|取得最大值4.2 2.【2 0 1 4 年新课标1 理科2 3】已知曲线C：。+=1,直线/：=；+：,(f 为参数)(I )写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程.(H)过曲线C上任意一点P 作与/夹角为3 0 的直线，交/于点4 求|以|的最大值与最小值.%2 y2【答案】解：(I )对于曲线C：+=1,可令x=2 c o s。、歹=3 s i n。，4 9故曲线C的参数方程为匕：及 氏，(9 为参数).i y osiiiu对于直线/:产；+;幺，y=2-2 t 由得：t=x-2,代入并整理得：2 x+y-6=0；(I I )设曲线C上任意一点P(2 c o s 0,3 s i n 6).P到直线I的距离为d =恪 4cosd+3sin3-6|.则 上 川=于 票=卒|5$讥(9 +&)-6|,其中a 为锐角2 2 V 5当 s i n (0+a)=-I时，|以|取得最大值，最大值为一一.2 V 5当 s i n (0+a)=1时，|以|取得最小值，最小值为一丁.2 3.【2 0 1 4 年新课标2理科2 3】在直角坐标系x Q y 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆。的极坐标方程为p=2 c o s。，9 G0,堂(I )求 C的参数方程；(II)设点。在半圆C上，半圆C在。处的切线与直线/：丁=怎+2垂直，根 据(1)中你得到的参数方程，求直线C D的倾斜角及。的坐标.【答案】解：(1)由半圆C的极坐标方程为p=2 c o s 0,0 60,今，即p 2=2 p c o s。，可得C的普通方程为(x-1)2+)1(O 0 W 1).可得C的参数方程为 2：c s t(为参数，O&WTT).(y siTic(2)设 (1+c o s f,s i n f),由(1)知 C是以C (1,0)为圆心，1 为半径的上半圆，.直线。的斜率与直线/的斜率相等，ta m=V 5,t=J.故。的直角坐标为(1 +c o s/s i n?),即%,J J 2 22 4.【2 0 1 3 年新课标1 理科2 3】已知曲线C 1 的 参 数 方 程 为 兽 肥;(f 为参数)，以坐标原点为极点，(y=5+osintx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为p=2 s i n e.(1)把 C i 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C i 与 C 2 交点的极坐标(p 0，0 62 n).【答案】解：将蓑黑;，消去参数/，化为普通方程(x-4)2+(厂 5)2=2 5,3 十 D o i/i c即 C l：f+y2-8 x-1 0 八 1 6=0,将1瑞 代 入 x*-8 x-1 0 刑 6=0,得p 2 -8 p c o s 0 -1 0 p s i n 6+1 6=0.：.C 的极坐标方程为p 2 -8 p c o s 6-1 0 p s i n e+1 6=0.(2)曲线Ci的极坐标方程为p=2 s i n 0.曲线Ci的直角坐标方程为f+产-2 y=0,呜 俨 +y2-8 x-10y+1 6=0(%2+y2 -2 y=0解 喉;或 建,C l 与 C 2 交点的极坐标为(应，J)和(2,夕.2 5.【2 0 1 3 年新课标2理科2 3】已知动点尸、。都在曲线C；仁然分邛为参数)上，对应参数分别为0=。与0=2 0(0 a 2 n),A/为尸0 的中点.(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将“到坐标原点的距离d表示为a 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点.【答案】解：(1)依题意有 P(2 c o s a,2 s i n a),Q(2 c o s 2 a,2 s i n 2 案,因此 A/(c o s a+c o s 2 a,s i n a+s i n 2 a).M的轨迹的参数方程地：窸 黑 常 为 参 数，0 2 =+2cosa(0 a 2 n).当a=n 时，y,所以 dmin=,=竽，即|PQ|的最小值为竽；(2)由(t为参数)，得曲线C的普通方程为y2=2X,由题意得直线I的参数方程为匕M I:篙:(t为参数)，iy 41 十 LSinu代入曲线C的普通方程得sin2at2-(8sina+2cosa)t 4-20 =0(sina H 0),A=(8sina+2cosa)2 80 sin2a 0,由 cosa W 0,得 1+8tana 4tan2a 0,设M(2+mcosa,-4+m sina)、N(2+ncosa,4+nsina)mi,8sina+2cosa 20 一 小则 m+九=-；-,mn=厂 0,sina sina又 14Ml=7(-2+mcosa 4-2)2+(44-msina-4)2=y/mz(cos2a 4-sin2a)=|m|,同 理,AN=|n|,MN=m-n 9 因为|AM|、|MN|、|AN|成等比数列,所以=AMANf BP|m n2=|m|n|,所以(m+n)2-4mn=mn,BP(m+n)2=5mn,即(8 si n a+；co、a)2 _ 化简得 9sin2a 8sinacosa cos2a=0,sina sinza即 9tan2a 8tana-1=0,解得 tanatana=1,当 t an a=-1时,1 +8 t an a 4t an2a=-0,符合题意,当 t an a=1 时，1 +8 t an a 4t an 2 a=5 0,符合题意，所以 t an a=-或 t an a=1.4.在直角坐标系xOy中，曲线C i的方程为“2 +(yi)2 =i.P为曲线C i上一动点，且 丽=2而，点Q的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G，C 2的极坐标方程；(2)曲线C 3的极坐标方程为p 2 =潟 句，点”为曲线C 3上一动点，求|MQ|的最大值.【答案】(l)p =2 si n 0：p=4si n 0(2)5【解析】由题意可知，将 二 黛:代 入 必+(y-1)2 =1得2=2 si n 0,则曲线C l的极坐标方程为p =2 si n。，设点P的极坐标为(P o,6 o),则p o =2 si n 0o,点Q的极坐标为(P，。)，由 的=2历得即轲=5。，将P-2 P 代入p o =2 si n 8()得p =4si n 0,I 8 =。0所以点Q轨迹曲线。2的极坐标方程为P =4si n。；2(2)曲线C 3直角坐标方程为5+y2 =1,设点M(V co sp,si n w),曲线C 2的直角坐标方程为d +(y 2)2=4,则圆心为N(0,2),i MQ l m ax=|MN|m ax+2,即|MN|=J(V 2 co s(p)2+(si n(p -2)2=J si n2(p 4si n(p +6当 s i n 9=-l 时，|MN|m ax=3，所以|MQ|m ax=3+2 =5.5.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为：(，为参数，ae(0,)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的极坐标方程为p co sO=4t an。.(1)求曲线的的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P(0,l),设曲线C i与曲线C 2的交点分别为4,B,若 闻.两=一2,求a.【答案】(l)y=xt an a+1 ,(a e(0,),x2=4y(2)不存在【解析】由题”*7 曾：“，两式相除化简有Ci的普通方程为y=xtana+l,a e (0 怖)，v pcos。=4tan0 :.pcos20 =4sin0 p2cos2。=4psin0 x2=4y，.。2的直角坐标方程为：x2=4y(2)将0=i+加也0为参数)代入炉=4y中得，12cos2a 一 4tsina-4 =0设4 B对应的参数分别为ti，t2,则tl t2=-六,PA B=-2.即门2=2,即 cos2a=2 1,，满足条件的a不存在6.在平面直角坐标系xOy中，曲线Q 的 参 数 方 程 为 不 鬻;心 为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。=p(p G/?).(1)求的的极坐标方程；(2)设Ci与C2交于M N 两点，若|0|+0N=4 V 2.求C2的直角坐标方程.【答案】(l)p2-4psin0 -5 =0(2)V3x y =0【解析】(1)因为G 的参数方程为为参数)，所以消去参数a 可得G 的直角坐标方程为“2+(y-2)2=9,即 2+y2 _ 4y-5=0,又,所以Cl的极坐标方程为p2-4psin9-5 =0.(2)由于Ci与C2交于M,N两点，联立F -5 =0 得p2-4psin 5=0,设M,N两点所对应的极径为PM，PN，贝UP M+PN=4sin(p,pMPN=一 5,故|0 M|+0N=pM-PNI =J(PM+PN)2-4PMPN=V1 6 s in 2(P-4 x(-5)=4内整理得siM s：；,则 sin mpcosd+p si n J 2 m =0.即直线l的极坐标方程为m p co sJ+psind-2m=0.由圆C的极坐标方程为p =4(co s0 +si n。)可得：p2=4P(co s。+si n。)=/+y2 _ 轨 _ 4y=o =(%-2)2 +(y 2/=8故圆c 的参数方程为卜=2+2,co st(y=2 +2 v 2 si n t(2)点 C(2,2)到直线/：+y 2 m =0(m E R)的距离d=与 袅 詈=三 不，则 2 1 8-(高)*=网=2/0岛=2 0 加=1.8.在直角坐标系久O y 中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点4 的极坐标为(2 5),将点4 按逆时针方向旋转g 得到点B,按顺时针方向转g 得到点C.求点B 和点C 的极坐标，并求点B 和点C 的直角坐标；(2)设P 为坐标系中的任意一点，求|P 4+2 1 P B i2 +|P C|2 的最小值.【答案】(1)点B 和点C 的极坐标分别为(2 m),Q g),点B 和点C 的直角坐标分别为(一2,0),(1,-V 3)(2)1 5【解析】由极坐标的定义可得点8 和点C 的极坐标分别为(2,n),(2,y),则点B 和点C 的直角坐标分别为(2,0),(1,-73).(2)因为4 的极坐标为(2,所以4 的直角坐标为(1,、/司.设P 的直角坐标为(x,y),则|P 川2 +2 1 P B i2 +|p c|2 =(x-I)2+(y-V 3)2+2 K x+2)2+y2+(x l)2+(y +同=4(x+0+4y 2 +1 5，当 工=-/y =0时，P A 2 +2 P B 2 +P C 2 取得最小值，且最小值为1 5.(x=y/2+t9.在平面直角坐标系中，直线Z 的参数方程为 后2(t 为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半I y=-t轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为p 2 -2 p c os0 +2 或 p sin O -1 =0.(1)写出1 的普通方程和曲线C 的参数方程；(2)点P 在圆C 上，当点P 到直线1 的距离最大时，求点P 的直角坐标.答案(l)x-y _&=0，丫 _ _ a +2 sj n p(0 为参数)(2)P(1 +企,-2 V 2)【解析】x=V 2 +泉(1)由 万 可得_ y =&y=Tt所以E 的普通方程为-y -虎=0，由p 2 2 p c os0 +2y/2ps n3-1 =0 可得/+y2 2%4-2y/2y 1 =0,?r x=1 +2 c os(p,所以曲线C 的直角坐标方程为(x 1)2 +(y+2=4,参数方程为 y=_ 奁 +2 s；w(9为参数).(2)设点P(1 4-2cos(p,-V 2 4-2 sin),则点P 到/的距离d =2 劭+s in。-回=所以sin(0 =一 1时，d 最大，此时0 =2/C TT：(k Z),c osw =苧，sir 0=4，所以P(l+夜,-2 近).1 0.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，曲线C i的参数方程为；二；黑 其中，为参数，。6 0,兀)，曲线C 2 的参数方程为卜=2+遮 co s d为参数).以坐标原点。为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(y=yJ3sin0(1)求曲线C i，C 2 的极坐标方程：(2)若：=彳，曲线的,交于M,N两点，求 扁+高 的 值.【答案】。=a(p R),p2-4p c os0 +1 =0(2)2 V 2【解析】(1)依题意，曲线的普通方程为c osa -y sin a x=0,即曲线Q 的极坐标方程为。=a(p R).曲线。2 的普通方程为(x-2)2 +y 2 =3,即/+y 2 一 轨+1 =0,故曲线的极坐标方程为p 2 -4p c os0 +1 =0.(2)由a =:,得 3将6 =:代入曲线C 2 的极坐标方程p 2 -4p c os0 +1 =0中,可得 p 2-2 夜 p +1 =0,设上述方程的两根分别是P l，P 2，则P 1 P 2 =1，P i+P 2 =2a，故，+_=!。蛆+!。如=如士限=2 鱼|O M|O W|O M|O N|p i|-|p2|-1 1.在平面直角坐标系xO y 中，曲线C 的参数方程为 y 居:n a 为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为p c os(8 +9 =-V 2.(1)求曲线C 和直线，的直角坐标方程；(2)已知点P(1,1),直线 和曲线C 相交于M、N 两点，求高+市芯的值【答案】(庐+双=1，x-y +2 =0；2 6(2)V 6【解析】.(x=cosa+sina(y =V 3 c osa V 3 sin c r利用sin 2 a +c os2 a =1,得+号=i,即为C 的普通方程，=c osa2 V 3=sin a由p c os(6 +0=-V 2,得p(c os6 c os；-sin O sin：)=-V 2,即p c os。一 p sin。=-2,即无-y=-2,直线1 的直角坐标方程为-y +2 =0；(V 2X=-1 +-1(2)点P(-1,1)在直线，上，可得其参数方程为1 (士为参数)，1+争把 1 X=-1 +H t 代入？2 +!2=1 得，t 2 -夜土一 1 =0,1 1 V 2 2 6(、=1+三所以t l+1 2=&，公 七2=1，亡1 3 2不同号.1 .=_J _ 1 _2 _=I t lFl _ J l+t 2)2-4也 _ F 7而疝十两 一而十两一内以1 I ht J 1 2.已知中心在原点，焦点为Fi(-2,0),F2(2,0)的椭圆经过点(|,一|).(1)求椭圆方程;(2)若M是椭圆上任意一点，M F i交椭圆于点4,M4交椭圆于点 求掾#+詈称的值.付1卜2 1【答案】-+=1;(2)1 0 6 3【解析】(1)设椭圆方程为捺+,=l(a b 0).由椭圆定义知：2 a =J(|+2尸+(.)2+J(1-2)2+(-1)2=2 V10.即(1 =66，又c =2,/.b2=a2 c2=6,故椭圆方程为上+匕=1.1 0 6(2)法一：以左焦点为极点，证为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为P=匚 嘉(e为离心率且p=a2、-C).c设 M(Pl，9)，4(P2,亢+。)，则|%川=7.|MFi|=1+ecosa=2 _ 阳八|=2四 后|有 些 =型竺旦_】F i A l-e c o s J 1 e c o s。*伊 遇|e p n.，|F2B|ep J 晔|二 2|MF|1 1 2|M&I】=2(|M