十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题18坐标系与参数方程（解析版）.pdf

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题18坐标系与参数方程真题汇总1.【20 22年全国甲卷文科2 2 1 在直角坐标系Oy 中，曲线。的参数方程为 2+tX=(/为参数)，曲线C 2的Y -_参数方程为 6(s为参数).y=y/s(1)写出C l的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Q 的极坐标方程为2c o s0-sin6 =0,求C 3与的交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标.【答案】(l)y 2=6x-2(y 0)：C3 C的交点坐标为&1)，(1.2).。3，。2的交点坐标为(一发一1)，(一1，-2).【解析】(1)因为x=华，y =V t.所以x=学，即C i的普通方程为y 2=6 x-2(y 2 0).0 6(2)因为x=竽,y =一遥，所以6 x=-2-y 2,即的普通方程为y?=-6x-2(y 4 0),0由 2c o sJ-sin0 =0 =2p c o s0 psin9=0,即C 3的普通方程为 2%y =0.联立/0)，解得：即交点坐标为(川，(U)；联立，；二(尸)，解得：；二河;二，即交点坐标为(-Q i),(-1，-2).2.【20 22年全国乙卷文科22】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为/=c o s2t ,。为参数)，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为p sin(8 +m =0.(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与 C有公共点，求?的取值范围.答案(1 +y +2 m=0(2)-m -v 7 12 2【解析】(1)因为/：p sin(。+m =0,所以g p sin8 +苧p c o s +m =0,又因为p sin0 =y,p-c o s0 =x,所以化简为g y +?%+巾=o,整理得l的直角坐标方程：V 3x+y +2 m=0(2)联立，与。的方程，即将x=V 5c o s2t,y =2sint代入V 3x+y +2 m=0 中，可得 3c o s2t +2sint +2 m=0,所以 3(1 2sin2t)+2sint +2 m=0,化简为-6sin2 t +2sint +3+2 m=0,要使/与。有公共点，则2 m=6sin2t -2sint -3有解，令 sint =Q,则Q G -1,1 ,令f(a)=6a2-2a-3,(-1 a 1),对称轴为a=!，开口向上，6所以 f(a)s =/(-1)=6+2-3 =5,c/、=/r/(l%)1 =12 13Q =-丁1 9，所 以 一:W 2 m 5m的 取 值 范 围 为 一?n 即(-V 2)2+y2=2,即曲线C 的直角坐标方程为(x-在+必=2：(2)设P(x,y),设M(V +V c o s8,V sin。)A P=V 2/4M.(x-l,y)=V 2(V 2+V 2 cos0-l,V 2sin0)=(2+2 cos9-41,2sin0).则产1=2+2cos6 y/2 即产=3 V2+2cos0 y=2sin0 y=2sin0故P的轨迹Cl的参数方程为 尤=3 2 s eC O S d（。为参数）,曲线。的圆心为（四,0）,半径为四，曲线C1的圆心为（3-四,0），半径为2,则圆心距为3-2，；3-2 鱼 2 四，.两圆内含，故曲线C 与G 没有公共点.4.【2021年全国乙卷文科221在直角坐标系xOy中，。C的圆心为C（2,1）,半径为1.（1）写出O C 的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作O C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【答案】（1）（以为参数）；（2）2,）5（。+引=4-7 5 或2,8 5（。一9=4 +6.（1）由题意,。C的普通方程为0-2）2+（y-1）2=1,所以O C的参数方程为亡：廿（a为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y l =（x 4）,B|Jfcx-y+l-4 fc =0,由圆心到直线的距离等于1可 得 螃*=1，解得k=+争 所 以 切 线 方 程 为 一 3y+3-4V3=0或 岛+3y-3-4V3=0,将工=pcos。，y=psin。代入化简得2pcos（0+？）=4-6 或2pcos（6-9）=4 +5.【2020年全国1卷文科22】在直角坐标系xOy中，曲线g 的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4pcos9-16psin0+3=0.（1）当k=1 时，G 是什么曲线？（2）当丸=4 时，求Ci与Cz的公共点的直角坐标.【答案】（1）曲线Ci表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）【解析】（1）当k=l 时，曲线G 的参数方程为（t为参数），两式平方相加得好+y2=1,所以曲线Ci表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆;(2)当=4时，曲线g 的参数方程为产：；筹4：Q为参数)，所以尤NO,y 2 0,曲线Q 的参数方程化为 嗦 二：；(t 为参数)，两式相加得曲线g方程为a+方=1,得4=1-V x,平方得y-X-2 +1,0%1,0 y 0,则 伍 一 +小 一 丁:。?，解得：a=W .所求圆的半径r =W 所求圆的直角坐标方程为:(T)2=(如即,+3,二所求圆的极坐标方程为p=yCOS0.7 .2 0 2 0 年全国3卷文科2 2】在直角坐标系X。中，曲线C的参数方程为卜=2 一 ,一为参数且见),(,y=2-3 t +t2C与坐标轴交于4 B 两点.(1)求 明：(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线力 8的极坐标方程.【答案】(1)4V10(2)3pcos0-psind 4-12=0【解析】(1)令x =O,则产+t-2 =O,解得t=-2 或t=1(舍)，则y=2+6+4=1 2,即4(0,12).令丁=0,则户-3+2=0,解得t=2或t=1(舍)，则x=2-2-4=-4,即5(-4,0).A B=J(0+4尸+(12-0)2=4V10；(2)由(1)可知心B=*；=3，0(4)则直线4 3 的方程为y=3(元+4),即3冗 一 y+12=0.由尤=p cos 0,y=p s in 6 可得，直线4 8 的极坐标方程为3 p cos 6 -psinO 4-12=0.8 .【2 0 1 9 年新课标3文科2 2 如图，在极坐标系O x 中，A(2,0),B(V2,f),C(V2,争，D(2,it),弧 丽，B C,而 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,1),(1,T T),曲线M l 是弧 而，曲线必 是弧尻1，曲线强 是弧前.(1)分别写出朋I，M2,%的极坐标方程；(2)曲线M 由M，M i，%构成，若点P在 M 上，且|。尸|=百，求 尸的极坐标.【答案】解：(1)由题设得，弧 而，B C，前所在圆的极坐标方程分别为p=2 cos 0,p=2 s in 0,p=-2 cos 0,则 M i 的极坐标方程为p=2 cos。，(O W e w：),%的极坐标方程为p=2 s in。，0 y),M3的极坐标方程为p=-2 cos 0,0 K),(2)设 尸(p,0),由题设及(1)值，若 0 W 0 W 巴，由 2 cos 0=百得 cos 0=,得。=4 2 6若：0 O）在曲线C：p=4 s in。上,直线/过点/（4,0）且 与 垂 直，垂足为P.（1）当。=即寸，求p o及/的极坐标方程；（2）当 加 在 C上运动且P在线段OM上时，求尸点轨迹的极坐标方程.【答案】解：3）当0。=守时，p o=4 s in g=2 代,在直线/上任取一点（p,6）,则有p cos（J -9=2,故I的极坐标方程为有p cos（。-；）=2；（2）设 尸（p,0）,则在 尸中，有p=4 cos 0,在 线 段 上，.eeG，曰,4 2故。点轨迹的极坐标方程为p=4 cos。，0 6 ,习.（.i d1 0.【2 0 1 9 年新课标1 文科2 2】在直角坐标系x O y 中，曲线C的参数方程为（/为参数）.以坐（y=标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2 p cos e+Wp s in 0+ll=0.（1）求 C和/的直角坐标方程;（2）求 C上的点到/距离的最小值.（1-t2 1-t21 二（，为参数），得1两式平方相加，得1 -1）,4.C 的直角坐标方程为/+9=1（x*7）,由 2 p cos 0+V3 p s in 0+ll=O,得 2 x+V3 y 4-1 1 =0.即直线/的直角坐标方程为得2x+g y+11=0；(2)设与直线2x+何+11=0 平行的直线方程为2x+m=0,联立叱,+6=,得 16+4小+4 7 2=0.(4x2+y2-4=0由=16汴-64(.nr-12)=0,得 j=4.当?=4 时,直线2x+V3y+4=0 与曲线C 的切点到直线2x+V3y+11=0 的距离最小，为=V7.1 1.【2018年新课标1 文科22在直角坐标系xOy中，曲线G 的方程为了=烟+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos。-3=0.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 G 与 C2有且仅有三个公共点，求 G 的方程.【答案】解：(1 )曲线。2的极坐标方程为p2+2pcos。-3=0.转换为直角坐标方程为：x2+y2+2 x-3=0,转换为标准式为：(x+1)2+/=4.(2)由于曲线C i的方程为=椒|+2,则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点(0,2).由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有-直线相切，一直线相交.则：圆心到直线=丘+2 的距离等于半径2.故：兽=2,或 嬖 3=2Vl+fc2 Jl+%2解得：&或0,当人=0 时，不符合条件，故舍去，同理解得：左=(或0经检验，直线y=(x +2 与曲线C2没有公共点.故 C 的方程为：y=-i|x|+2.1 2.【2018年新课标2 文科22】在 直 角 坐 标 系 中，曲线C 的参数方程为(。为参数)，直线/的参数方程为q 二;:篙;，为参数).(y 乙 I Lu L i I L L(1)求 C 和/的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.【答案】解：曲线C 的 参 数 方 程 为 鬻（0为参数）,tsiTiu转换为直角坐标方程为：+=L16 4直线/的参数方程为仁Z 2:“为参数）（y 一4 十 Ldiitu转换为直角坐标方程为：xsina-vcosa+2cosa-sina=0.（2）把 直 线 的 参 数 方 程 簿 G 为参数），代入椭圆的方程得到：竺瞋+丁）2 =16 4整 理 得:（4cos2a+sin2a）产 +（8cosa+4sina）t-8=0,则：t +“=一 衿 丝 粤，（由于人和，2为4 8对应的参数）4cos,a+siMa由 于（1,2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式号=0,贝 ij：8cosa+4sina=0,解得：tana=-2,即：直线/的斜率为-2.1 3.【2018年新课标3 文科22】在平面直角坐标系xOy中，。的 参 数 方 程 为:；窘,，（9为参数），过点（0,-V 2）且倾斜角为a 的直线/与。交于4B两点.（1）求a 的取值范围；（2）求 4 8 中点尸的轨迹的参数方程.【答案】解：（1）的 参 数 方 程 为 需（。为参数），二。的普通方程为/+产=1,圆心为0（0,0）,半径r=1,当a=W时，过 点（0,-V 2）且倾斜角为a 的直线/的方程为x=0,成立；当aH 轲，过 点（0,-V2）且倾斜角为a 的直线/的方程为歹=tanax-/,倾斜角为a 的直线/与。交于4,8 两点,圆心O（0,0）到 直 线/的 距 离 驾=V l+tan2a l,A tana 1 或 tana V-1,综上a 的取值范围是G，?）.4 4/的参数方程为 二”为参数，：V a附，设力，B,P 对应的参数分别为北，纷，3则=空，且 打“满足产一2或 tsina+1=0,/.tA+场=2 y/2 sina,tP=迎sina,x=tpcosarx,y=-V2+tpsina（V 2.olx=sin2 a、.48中点P 的轨迹的参数方程为：1 2,（a 为参数，VaV?）.1V2 V2 r 4 4（y=-cos2 a1 4.【2017年新课标1 文科22】在直角坐标系x。，中，曲线C 的参数方程为（。为参数），直线iy siTtu/的参数方程为后 二;I f,Q 为参数）.（1）若。=-1,求 C 与/的交点坐标；（2）若 C 上的点到/距离的最大值为旧，求 a.【答案】解；（1）曲线C 的参数方程为（。为参数），化为标准方程是：4+y=1；siiiu ya=l 时，直线/的参数方程化为一1 般方程是：x+4y-3=0；x2 2 1联立方程万+y=i ,x+4y-3=0（=_ 21解明或二了V 25所以椭圆。和直线/的交点为（3,0）和（一|1,g）.（2）/的 参 数 方 程 后 二 为 参 数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0,椭圆C 上的任一点户可以表示成（3cos0,sin。），0GO,2n）,所以点P 到直线/的距离d 为：d=|3皿+苗=回加（常 p 满足tan（p=%且的”的最大值为g.当-a-4 W 0 时,即 心-4 时,|5sin（0+（p）-a-4|-5-a-4|=|5+a+4|=17解得=8 和-26,a=8 符合题意.当-a-4 0 时，即 a 则孑=*/.vo=：OMOP=6,J.2+y 2 j6 +y（）2 =16,即（x2+/）（1 +彳）=16,x+lx+y4 6x2,即（r+y2）占 16.一,两边开方得：N+y2=4x,整理得：（X-2）2ty2=4（xWO）,.点尸的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）24T2=4（xWO）.（2）点 4 的直角坐标为/（1,V3）,显然点N在曲线C2上，3 1 =2,二曲线C2的 圆 心（2,0）至 U 弦 0 4 的距离d=V 4-1=V3,的最大面积5=夕。曲（2+百）=2+73.16.【2017年新课标3 文科22】在直角坐标系xQy中，直 线 人 的 参 数 方 程 为;楙j I （f 为参数），直线x=2+my=”,（故为参数）.设 与/2的交点为尸，当我变化时，尸的轨迹为曲线C.（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设/3：p（cos6+sin9）一 夜=0,M 为 A与 C 的交点，求 的极径.【答案】解：（1）.直线八的参数方程为后:C，G 为参数），,消掉参数f 得：直线/i的普通方程为：了=左（x-2）；一 （x=-2+m 一又直线h的参数方程为”.巴，（m 为参数），同理可得，直线/2的普通方程为：X=-2+；联立，消去左得：2-y=4,即C的普通方程为x2-y2=4(y#0)；(2)工的极坐标方程为p(cos6+sin9)一近=0,，其普通方程为：x+y V2=0,.f _ 3V2联 立 厅 堂?得：一(x2-y2=4(7=-乎.“2=/+/=竽+：=5.3与C的交点M的极径为=V5.1 7.【2016年新课标1文科23】在 直 角 坐 标 系 中，曲线C i的 参 数 方 程 为 北 讥(f为参数，a 0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4cos0.(I)说明C i是哪种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；(H)直线C?的极坐标方程为。=必，其中a0满足tana0=2,若曲线G与C2的公共点都在C3上，求【答案】解：(I)由；：齐 北 心 得 :胃 卷 版 两 式 平 方 相 加 得，声(厂1)t为 以(0,1)为圆心，以以为半径的圆.化为一般式：N+y-2y+l-a2=0,由工2+)2=2,y=psin。，得p2-2psin9+l-2=o；(II)Cz：p=4cos0,两边同时乘p得p2=4pcos。,.*+产=4工，即(x-2)2+/=4.由。3：e=a o,其中cto满足 tanao=2,得y=2x,.曲线C1与。2的公共点都在C3上，.y=2x为圆C i与C2的公共弦所在直线方程，-得：4x-2尹1-/=0,即为。3,1 -*=o,：.a=(a 0).1 8.【2016年新课标2文科23】在直角坐标系xO y中，圆。的方程为(x+6)2+/=2 5.(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求。的极坐标方程；(I I)直线/的参数方程是；：；落(f为参数)，/与C交与/,8两点，A B=V 1 0,求/的斜率.【答案】解：（I）:圆 C 的方程为（x+6）2+产=25,V p2=x2+y2,x=pcosa,y=psina,，C 的极坐标方程为p2+12pcosa+ll=0.（II）直线1的参数方程是；Z；“为参数），:t=一，代入y=Z sina,得：直线/的一般方程y=tanax,cosa:/与 C 交与4 8 两点，A B=V 1 0,圆 C 的圆心C（-6,0）,半径r=5,圆心到直线的距离d=卜-已.圆心C（-6,0）到直线距离d=粤粤=1 25 TV l+tan2a N 4解得 tan2a=%，ta n a=J =半.的斜率=半.1 9.【2016年新课标3 文科23】在直角坐标系xOv中，曲线G 的参数方程为卜=苗。$&为参数），以ly=sina坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin（。+力=2V2.（1）写出C i的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P 在 G 上，点。在 C2上，求 的 最 小 值 及 此 时 P 的直角坐标.【答案】解：（1）曲线a的参数方程为卜=B cosa（a 为参数），（y=sina2移项后两边平方可得5+y2=cos2a+sin2a=1,即有椭圆G：y+/=l;曲线C2的极坐标方程为psin（。+：）=2&,即有p（-ysin0+yCOS0）=2&，S x=pcos0 y=p sin 0,可得 x+y-4=0,即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0：（2）由题意可得当直线x+y-4=0 的平行线与椭圆相切时，取得最值.设与直线x+y-4=0 平行的直线方程为x+y+t=0,联立广2WV?可得 4 x2+6 tr+3 z2-3 =0,(xz+3 y z =3由直线与椭圆相切，可得=3 6 -1 6 (3 -3)=0,解得f=2,显然f=-2时，卢0|取得最小值，即有。|=与 攀=企，此时 4 x 2 ,1 2 x 4-9=0,解得 x=即为尸，!).另解：设 尸(V 3 c o s a,s in a),由P到直线的距离为d=&s 善V2_|2sin(a+j)-4|=V2 当 s in (a+j)=1时，|P 0|的最小值为近，此时可取a=%即有尸(1,1).62 22 0.【2 0 1 5 年新课标1 文科2 3】在 直 角 坐 标 系 中，直线Cj：x=-2,圆 C2：(x -1)2+Cy-2)2=以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求 Cl,C2 的极坐标方程；(II)若直线C3 的极坐标方程为0=：(p R),设 C2 与 C3 的交点为，N,求 CM/N的面积.【答案】解：(I )由于x=p c o 于,y=p s in 0,，Ci：x=-2的极坐标方程为p c o s 0=-2,故 C2：(x -1)2+(y-2)2=1 的极坐标方程为：(p c o s G-1)2+(p s in 0 -2)2=I,化简可得p 2 -(2 p c o s 0+4 p s in 0)+4=0.(II)把直线C3 的极坐标方程。=：(p G R)代入圆 C2：(x -1)2+(夕-2)占 1,可得p 2 -(2 p c o s 0+4 p s in 9)+4=0 求得p i=2 2，p 2=V 2,=-P 2|=或，由于圆。2 的半径为 1.：.C2 M C2N,2 1.【2 0 1 5 年新课标2文科2 3】在直角坐标系x Q y 中，曲线G：仔:；管。为参数，华 0),其中O W aW e 在以O 为极点，X 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。2：p=2 s in e,C3：p=2 百 c o s O.(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 G 与 C2 相交于点4,G 与 C3 相交于点8,求M 用的最大值.【答案】解：(/)由曲线。2：p=2 s in 仇 化 为 p 2=2 p s in 6,“廿=2 y.同理由Gu p=2 V 3 c o s 0.可得直角坐标方程：%2+y2=2 V 3 x,联立 R+y：-2:。，(%2+y 2 -2 V 3X=0(V 3解*，JV 2.C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0),(y ,|).(2)曲线a：仁(/为参数，样 0),化为普通方程：尸 x tan a,其中O Wa Wm a -a=*h 为iy -Co ifiW L L.x=0(y W O).其极坐标方程为：0 =a(p GR,p#0),9：A,B 都在G 上,A J (2 s in a,a),B(2 y/3cosa,a)./.A B 2 sina-2 y/3cosa=4|s in(a )|,当a=费 时，|阳取得最大值4.2 2.【2 0 1 4 年新课标1 文科2 3】已知曲线C：+=1,直线/：为参数)(I )写出曲线c的参数方程，直线/的普通方程.(H)过曲线C 上任意一点P作与/夹角为3 0 的直线，交/于点4,求|以|的最大值与最小值.【答案】解：(1 )对于曲线C：-+-=1,可令x=2 c o s。、y=3 s in 0,故曲线C 的 参 数 方 程 为 =及 既，(。为参数).DSLTIU对 于 直 线 =:+y=2-2 t 由得：f=x-2,代入并整理得：2 x+y-6=0；(I I )设曲线。上任意一点P (2 c o s 9,3 s in 0).P到直线/的距离为d =y 4cos6 +3sin6-6|.则 仍 用=焉=等 1 5 s 讥(6 +a)-6,其中a为锐角.当 s in (0+a)=-1 时，|&|取得最大值，最大值为华.当 s in (0+a)=1时，|我|取得最小值，最小值为手.2 3.【2 0 1 4 年新课标2文科2 3】在直角坐标系X。，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为p=2 c o s。，0 GO,自(I )求 C 的参数方程；(II)设点。在半圆C 上，半圆C 在。处的切线与直线/：了=恁+2垂直，根 据(1)中你得到的参数方程，求直线C D的倾斜角及D的坐标.【答案】解：(1)由半圆C 的极坐标方程为p=2 c o s。，0 e O,g，即p 2=2 p c o s。，可得C 的普通方程为(x-1)2 廿=1 (OW y W l).可得C 的参数方程为；:：c o s t a 为参数，o w/W T t).(2)设。(1+c o s f,s in f),由(1)知 C 是以C(l,0)为圆心，1 为半径的上半圆，.直 线 的 斜 率 与 直 线/的 斜 率 相 等，.“皿=百，/=全故力的直角坐标为(1 +c o s?s in 即，?)2 4.【2 0 1 3 年新课标1 文科2 3】己知曲线Ci的参数方程为=(f为参数)，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为P=2 s in 0.(1)把 G 的参数方程化为极坐标方程；(2)求C与C2交点的极坐标(pNO,0 6 2 n).【答案】解：将 匕 U蓑 售;，消去参数，化为普通方程(x-4)2+(厂5)2=25,(y 3-r USLTIL即 Cl：x2+/-8 x-10jH-16=0,将 仁M S代入/吁6=。,得p2-8pcos0-10psin6+l6=0.：.Ct 的极坐标方程为p2-8pcos0-10psin6+16=0.(2)1曲线C2的极坐标方程为p=2sin*二曲线C2的直角坐标方程为x2+/-2y=0,俨+y2-8x-lOy+16=0(x2+y2-2y=0解喉;端,G与C2交点的极坐标为(夜，少 和(2,4 22 5.【2013年新课标2文科23】已知动点P、。都在曲线C：；;然，(B为参数)上，对应参数分别为0=(1与8=20(0 a 2sina),Q(2cos2a,2sin2a).因此 M(cosa+cos2a,sina+sin2a).M的轨迹的参数方程为匕：:黑:紫:(a为参数，0 a 2 u).(y 5l7iz-u.-r 5LTLUL(2)M 点到坐标原点的距离 d=y/x2+y2=-2 +2cosa(0 a 2 n).当a=n时，d=0,故A/的轨迹过坐标原点.模拟好题I.1.已知函数/(x)=|2x+a|+|x-1|(1)当a=4时，求不等式/(%)a2-|x-1|对任意的x e R恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(-3,1)(2)-1 a 2【解析】(1)当Q=4 时，/(%)6 化为|2%+4|+|%-1|6当无V 2 时,不等式化为 2%4 (x 1)6 解得一3 x 2；当一2 W x W 1 时，不等式化为 2x 4-4 (x 1)6 解得 2 x 1 时，不等式化为2%+4+%-1 V 6,无解，综上所述：当。=4 时、不等式/(%)a2|x 1 得a2 (2x+Q)-(2x-2)|=|a+2|(当且仅当(2x+a)(2x-2)W 0 时，等号成立),又因为a?2x+Q|+2x-2|对任意的工e R恒成立，所以层|a+2|,当Q+2 0,即Q 2 时，有/_ a 2,即/4-a 4-2 0,即Q 2 时，有次工。+2,田次a 2 工0,解得1 K Q K 2综上所述：a 的取值范围为一1WQW2.2.已知正数a,b,。满足a3b3+63c3+仁 3a3+-儿=4.(1)求证：0 V abc 3(ab+bc+ca).【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析.【解析】(1)证明：a3b3+63c3+c3a3 37a666c6=3a2b2c2,当且仅当a=b=c时，等号成立，设abc=x,/.a3/73+b3c3+c3a3+abc=4 3(abc)2+abc,即 3/+%-4 W O,解得一(4%M l,:a,b9 c 为 正 数,/.abc 0,.*.0 abc 0,abc/.(-7+；+)2 (a+6 4-c)2=a2 4-b2 4-c2 4-2ab+2ac+2bc、nk hr z /i 、/Va2 4-b2 4-c2 ah+be+c a,当且仅当a=b=c时，等号成立.(3 +a +F)2 2 3(ab+bc+c a),当且仅当a=b=c时，等号成立.3.已知函数/(%)=|%+1|+|%-2|(1)解不等式/(X)6；(2)若关于x 的不等式/(%)%2+m在 0,4 上恒成立，求实数m 的取值范围.答案(1)(_8,_ g)U 6,+8)(2)(-8,-9【解析】(l)i|x +l|+|x-2|6 W:6 lx+l-x+2 6 l%+l+x-2 6,解得X g .不等式的解集为(一8,-|)u g +8).(2)由题意知,当 W 0,4 时，|%+1|+反-2|之d+底恒成立.若 0 工 x2 4-m,即?n x2+m,即 m 7 +2久一1 恒成立，此时，一/-2%1=(%1)2 在 2,4 上的最小值为一9,故小工一9.综上所述，加的取值范围是(8,9.4.已知/(x)=|x-4|+2x+2|-|x-1|的最小值m.(1)求实数?n值；(2)若a+b+c=?-3,证明/+力 2+33【答案】(1)6=3(2)证明见解析【解析】(1)由题意,函数f(%)=|x-4|+|2x+2|-|x-l|,当 /(-I)3；当 1 W 工 V 1 时，可得/(%)=4-+2%+2+%1=5+2 x,可得/()/(-1)=3；当 1 4 工 7；当 N 4 时，可得 f(x)=%-4+2%4-2 4-l-x =2 x-l,可得 f(x)/(4)=7,所以函数/(%)的最小值为3.(2)解：由m=3,可得Q+b+c=/3=|-3=2,所以 4 =(Q+/?+c)2 =*+川+2 ab+lac+2 bc .5.已知/(%)=|x -2|+k+3的最小值为m.(1)求m的值；(2)若正实数a,b,c 满足a +b +c =m,证明：a2 4-2 b2+c2|.【答案】(1)|(2)证明见解析【解析】(1)/(%)=|x-2|4-|x +1|(x-2)-(x +1)|=|,当且仅当一(三工工2时等号成立，m=|.(2)v a 0,b 0,c 0,a +b 4-c =表由柯西不等式得：(a2+2 b 2 +c2).之(Q+b +c)2,.a2+2 b2 4-c2 I，当且仅当a =2 b=c=1时取等号.6 .已知a,b,c 均为正实数，且a b c=l.证 明：(l)a3+b3 4-c3 3；(2 代+三+三.7a3+l 庐+i c3+1-2【答案】(1)证明见解析证明见解析【解析】(l)V a,b,c 都为正整数，且a b c =l.a3+b3 4-c3 3y/a3b3c3=3 当且仅当Q =b =c =1时=成立.言 +*口3 +1)之 眄(2)法一：由 题 意 得(启+*b 3 +i)N c 3,j a3,-(3)+，得 已+含+12：(凉+。3)*之3 5=|，当且仅当Q=b=C =1 时=”成立.法二：由 Cauchy 不等式，得(肃 +忌？+氏 J(苏+1)+(63+1)+(c3+1)(a3+/+c3)2.令t=a3 4-fa3+c3 3则心 I*I d (足+庐+户)2 =2 =3 1 9 6a3+l b3+l (+1 -a3+b3+c3+3 c+3 t+3令g(t)=t+3+言一 6,贝叼在3,+8)上单调递增.g 巧 即,+而+右 之 5.7.已知f(x)=|x+4|-x-m.(1)若m=2,求f(%)0,b 0,c 0,abc=1,对于V%E R,(a+b)?+(a+c)?+(b+c)?2 f(%)恒成立,求实数加的取值范围.【答案】(1)幻%0 -16,8【解析】若m=2,则/()=|x+4|-|x-2|2,当无之2,(%+4)-(工-2)V 2 时，无解；当一 4V%V 2 时，(%4-4)(2%)2,解得一 4 V x 0；当 4 时(一无4)(2-%)=-6 V 2,解得x 4 一4.综上所述：m=2 时，/(x)m的解集为%优 4ab+4ac+4bc=4(ab+QC+be),又因为abc=1,所以 4(ab+QC+be)4 x 3 x!ab-ac-be=12,当且仅当Q=b=c,ab=be=QC时，即a=b=c=1 等号成立，所以(Q+b)2+(a+c)2+(b+c)2 的最小值为 12；因为 Vx ER,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2 f(x)恒成立.即/(%)=|x 4-4|x-m|4 4-m|0 时等号成立，解得16 m 4.【答案】卜?用(2)证明见解析【解析】3 x +2,x 1(1)当m=2,a =1 时，/(%)=|x +4|4-2|x 1|=6 x,-4%1,.-3%2,x 4 一4当x 2 1 时，/(X)1 5 化为 3%+2 W 1 5,解得 1 4 x W ；当一 4 x 1 时，/(x)1 5 化为 6-x 1 5,解得一 4 x (x 4-4 a)-f x )=4 a 4-=|4 a|4-I 2 I|4 a|.=4Q 山 a la a当且仅当x +4 a 与久一,异号，口|4 a|=H，即。=1 时，等号成立.9.已知函数/(%)=|%+2|?n,m E R,且 f (%)工 0 的解集为-3,1 .(1)求m的值；(2)设 a,b,c 为正数，且a +b +c =?n,求J 3 a +1 +1 +3 c +1 的最大值.【答案】(1)1(2)3 7 2【解析】由/(x)M。,得|x+2 1 4 如所以2r2建-2，又f(x)WO的解集为-3,-1,所以 巾 _ 2=-3,解 得 巾=1(2)由(1)知a+b +c=1由柯西不等式得(、3a+1 +V 36+1 +V 3c+I)2 (V 3a+l)2+(V 36+I)2+(V 3c+l)2)(l2+I2+l2).所以“3a+1 +V 3h +1 +V 3c+I)2 (3(a+b +c)+3)x 3=1 8,所以V 3a+1 +73b+1 +V 3c+1 3位，当且仅当V 3a+1 =73b+1 =V 3c+1,即a=b =c=时等号成立.故V 3a+1 =73b+1 =V 3c+1 的最大值为3近.1 0 .已知函数/(x)=|2 x 病|+|2 x +1 -2 m.(1)当m=3 时，求不等式/(久)1 0 的解集；(2)若/(x)4 恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(l)x|x 4l或。6(2)(-oo,-1 U 3,+oo)【解析】fl4-4x,x|(1)解：当m=3 时，/(%)=|2 x -9|4-|2 x 5|=4,x -当时，令 1 4-4 x 2 1 0,解得当 葬 x 1 0 无解.当时，令 4 x-1 4 210,解得X N6.因此，不等式f(x)1 0 的解集为 x|x W 1 或x N 6.(2)解：因为f(x)4 恒成立，所以/(x)m i n 4.因为/(x)2 x m2|+2 x+1 -2?n|(2 x -z n2)(2 x +1 2 m)mz-2 m+1|=(m I)2当且仅当2 m -1 W x W m 2 时取等号，所以(z n-l)2 4,解得m3 或rn 41.所以实数m的取值范围是(一8,-lu 3,+8).1 1 .已知函数/(x)=3|x-l|-|x +3|.(1)求不等式f(x)1 4 的解集；(2)若方程例幻=存在非零实数根，求实数k的取值范围.【答案】(1)(-0 0,-4 U 1 0,+0 0)(2)-4,2)U (2,4【解析】2 x+6 x 3(1)由题意f(%)=4%3 x 1又N 1 4,所以4露1 4或d或1 4解得x W-4 或1 0,即不等式f(x)1 4 的解集为(-oo,-4 U 1 0,+0 0).(2)由题得方程同|=3 x-l-x+3|存在非零实数根.所以/c =尊产=|-3|-I：+1|存在非零实数根，X I I;-31 -|;+1 1 1 0,即 0 x 4 1 或一3 x 0时等号成立，又3 中0，则|：-3|一 弓+1|W 2,所以一 4 1 1 -3|1 1 +1 1 W 4 且|：一3|一|：+1 中 2,所以一 4 k 4 R k 2,综 上,实 数 k 的取值范围是 一 4,2)U (2,4.1 2.已知函数/(%)=2 x-a -a x-2 .(1)当。=一 1时，求不等式f(x)0,求a的取值范围.【答案】(后,3)【解析】(1)当。=一 1 时，/(x)=|2 x +1|4-I%-2|；1 7 7 1当工工一5时，/(x)=-2 x -1 +2 x =-3x +1 -x当一(%V2 时，/(%)=2 x +1 +2%=%+3 V 8,解得：x 5,1 x 2；当x 2 2 时，/(X)=2%4-l+x 2 =3x 1 8,解得：x 3,-2 x 3；综上所述：不等式f(x)0,即|2 x a a(2%)；当 2%a 2 0 时，2 x a a(2%),即(a+2)x 3a 0 恒成立；,2 -a 0a+2-3 a 0,解得：a W l；.-a+4 0当 2 x-a 4 a-2-a 0,不等式组解集为0；.2(a 2)Q 0综上所述：实数a的取值范围为1 3.已知函数f(x)=|2 x-3|+|3x-6|+2 a+2.(1)当a=-l时，求不等式f(x)2的解集；(2)若关于x的不