南昌某大学第七届高等数学竞赛(经济类)试题及答案.pdf

南昌大学第七届高等数学竞赛(经济类)试题序号：姓名：学院：第 考场专业：学号：考试日期：2010年10月1 0日题号二三四五六七八九十十一总分累 分 人签名题分1818777687787100得分注：本卷共七页，十一道大题，考试时间为8:3011:30.得 分 评 阅 人一、填空题(每题3 分，共 18分)1、已知当X -0 时，H1+奴 2 -1与c o s x-l 是等价无穷小,则常数。=.2、设a 0 ,b 0,则 l im “+底=_ _ _ _ _ _ _.-工 23、已知/(%4-y,x y)=x2-y2,则 募4、5n s.inxJ。sinx+cosxdx-5、微分方程(l +%2)y =2 R满足初始条件y(o)=o,y(o)=i的特解是.6、设某产品的需求函数为Q=Q(P),其对应价格P 的弹性生=0.2,则当需求量为10 0 0 0件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.二 单项选择题(每题3分，共18分)得分评阅人1、设/(%)在x =a 的某邻域内有定义，则/(X)在x=a 处可导的一个充分条件是()(A)l im a+-/(a)存 在.(B)l im/(+2-)J(a_d l 存在.(C)l im 3M空&存 在.(D)./ST)存在.4-。丸 N-。X丫一尸2、函数=的可去间断点的个数为()s m jr x(A)2.(B)3.(C)4.(D)无穷多个.3、设/(%)在(0,例)上二阶可导,且/(X)0,1加 旦 0=0,则当 1时,/(%)()X 1(A)单调递减且大于零.(B)单调递减且小于零.(C)单调增加且大于零.(D)单调递增且小于零./(p c o s ap s in。)；?。/?可表示为(A)d y,fx,yylx.(C)(公5、设 J；(x)+f(x)c o s x t Z x =2(A)0.(B)1.6、方程y +2y +5y =0的通解为(A)y=ex(c c o s 2x+c2 s in 2A:)(C)y=e2 v(c(c o sx+c2 s in x).(B)fx,yylx.(D)办 了A,/图=2,/1)=3,则 A 的值为()(C)-l.(D)5.().(B)y=ex(C c o s2x+c2 s in 2x).(D)y=e2x(ct c o s%+C 2 s in%).第 2 页 共 12页第 3 页 共 12页得分评阅人三 （本 题 满 分7分）求函数/(x,y,z=必+,2+22在条件分+外;+2=1下的最小值.得分评阅人四 （本 题 满 分7分）Isintdt计算lim”.X +0 0 X第 4 页 共 12页得分评阅人五、（本题满分7分）设二元函数z=Q2Z 1z（x,y）是由方程%e -+yz=y z s in%+z所确定，求 2|（v,v）=（o.o）得分评阅人六 （本题满分6分）求极限l im（4-cot2%）.得分评阅人七、（本题满分8 分）co00 9 2求级数z 尤的和，并计算-=1 71=1 3得分评阅人八、（本题满分7 分）计算/=仃D 1：冲 dxd y，其中区域）二l+x2+y2 第5页 共12页得分评阅人九、（本题满分7 分）设函数/a）=s i n?0；0,x =0,（1）求/（尤），（2）判 断/（%）在x =0处是否连续.得 分 评 阅 人十、（本题满分8 分）设2=/?八 八 其 中/具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，求 当 及 生.V X）ox dx第 6 页 共 12页十一(本 题 满 分 7分)得分评阅人设/(%)在 0,+oo)上连续，且)=e -1+J。V(%T W(1)判别级数为(-1)”/臼 的 敛 散 性；=1 I J(2)判别级数1的敛散性.第 7 页 共 12页南昌大学第七届高等数学竞赛（经济类）试题答案一、填空题1、3、1.4、5、x3V =X H-.6、3120 0 0.二、1、D2、B 3、C 4、D 5、D6、A.2、V ab.2717三、解令(%,丁,2,/1)=%2+y2+z2+2(ax+by+cz-1)4 =2x+4=0;L、=2 y+=0,4=2z +c 4=0；ax+hy+cz=lb_ C由上述方程解得工=a2+b2+c2?)a2+b2+c2Z/+/+。2最小值为a2+b2+c2a2+b2+c a+/+。2,2+b为+/+。22I+2四解J(，|s in =|s in tIt=s in tdt=2当X-+30 时，存在正整数使乃+l）/r ,因此J：卜 in/m|s in r p?卜 in,或2n|s in 2(+1)27 7 几+1)Jo s in“力 +00lim/1002n 2.-=,lim +1)万 71 2 8俳 皿|力 _ 2X71n兀2(+1)_ 2n兀 7 1第 8 页 共 12页五、解 由x=O,y=O得z=0.方程两边对x求偏导得孙 尸 c dz(dz.1e+x-e-y+V-2z =y sinx+z-cosx+dx(fix)dz _ dzQx(x,y)=(0,0)Qx(x,y,z)=(O,O,O)一上述方程两边再对X求偏导数得,孙y(l+盯)+e-y+y-C 2 z =y 立sinx+z-cosx+dxy dx J dxydx)将 x=0,y=0,”。代 人 得 言 加（。,。）=六、原式=limx-0 2 2 2sin x-x cosx 2x sin x(sinx+xcosx)(sinx-xcos=lim-lim -x f。sinx io x sin xsinx-xcosx=2hm-z-3 /=2 limx-0cos x-cos x+xsinx3x223第 9 页 共 12页七、令 S(X)=f2 x ,n=则 S(X)=x f2/In=l=启 2 x T d x)=x(x )xfnx-1=1、X=X(l-x)l故2-2 1 1 5,-=S =W 3 4 2八、1 1 +r co s r s in l +r2rdr,.工,n f1 r co s r s in 0 ,r y n n,nfJ r3,八由 于 d0-rdr=cosOsnOdO-dr-0J。l +r2 匕 J ol +r2/=d 0 -r-rdr=n2J-f J。2因 此第 1 0 页 共 12页九、当 尤=0 时，/()=im ()-=l im x s in =0 7 X 0 x A-O x当xoO 时，f(x)=2 x s in -co s x xL.1 1 八,、2%s in co s,0f x)=-x x0,x =()理式”(无)不存在，故/(%)在x =0 处不连续十、Qz(豕.2 一.一X2)=2 W一 弓/X|-1 =2 时；+2 芍 fxy-fn +一_ T%.2盯 一%,义dx I x J x x x J=2必+4 _?/力”虻 九+学 6+二XXX第 1 1 页 共 12页十一、令“=x t,则 Jo (x =(x )/()/=x /()/Jo ufuyluf(J C)=ex +x f(uyiu-J。ufudur（x）由于入）在 o,”）上连续,于是r（%）在 o,+8）上连续呼 尸（0=力（。）=1。（0）=1，存在50使得当0,3）时 八%）0,于是x）0）=0,存在正整数N,使N时/-0,f 一单减，l im/=0,由莱布尼兹判别法知方（一1）/仁、收敛；n=n）l im J(人)=l im f(x)=1x-0 x x-0 、7f Ll im Y=l8 Jn町发散第 1 2 页 共 12页