2021年数学高考真题卷--全国甲卷（文）数（含答案解析）.pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=l,3,5,7,9,N=x|2x74iJ MClN=A.7,9 B.5,7,9)C.3,579D.1,3,5792.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知(l-i)2z=3+2i,贝 ij z=A i 3.A.-11323C.-+i24.下列函数中是增函数的为A.f(x)=-x2B.f(x)吟C.f(x)=x2D.f(x)=Vx5点(3,0)到 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为16 9AB-lc-iD.5-46.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(阮曜1.259)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.67.在一个正方体中,过顶点A 的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是正视图口口 口口8.在 ABC 中，已知 B=12(r,A C=g,A B=2,则 BC=A.l B.V2 C.V5 D.39.记Sn为等比数列 a j 的前n 项和.若S2=4$4=6,则 S6=A.7 B.8 C.9 D.1010.将3 个 1和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.811.若 a e (0,-),tan 2a=的。，则 t a n a=2 2-sina速 B f C-f D呼12.设f(x)是定义域为R 的奇函数，且 川+x)=).若居)q,则犬|)=5 1 1 5A.上 B.-i C.i D.-3 3 3 3二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分，共 20分.13.若向量 a,b 满足=3,|a-|=5,a-1，则|。|二14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30兀,则该圆锥的侧面积为.15.已知函数段)=2COS(G X+9)的部分图象如图所示，则年)2 216.已知Q,B 为椭圆C:J+-=1的两个焦点,P,Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|QE|,则四边形PFyQFi的面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12 分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:六=_ _ _ _ 也 立 _ _ _ _(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)P(0.05 0.01 0.00fc)0 0 13.84 6.63 10.8k1 5 2818.(12 分)记 S“为数列 斯 的前项和，已知。0,。2=30,且数列 店 是等差数列,证明:。是等差数列.19.(12 分)已知直三棱柱A B C-A B G中，侧 面 为 正 方 形4B=3C=2,E,F分别为A C和C G的中点(1)求三棱锥R E B C的体积;(2)已知。为棱4 B i上的点，证明:8尸，OE.20.(12 分)设函数.儿丫)=。2/+以-31n x+1,其中a0.(1)讨论兀0的单调性；(2)若y=r)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.21.(12 分)抛物线C 的顶点为坐标原点0,焦点在x 轴上，直线l:x=l交 C 于 P,Q两点，且 0P L 0Q.已知点(2,0),且。加与/相切.(1)求 C,。”的方程；设 4 4 A是 C 上的三个点，直线4A2AA3均与。M 相切.判断直线A2A3与。例的位置关系,并说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点k轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p=2Vcose.(1)将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0),M 为 C 上的动点，点 P 满 足 万=卷 隔，写出P的轨迹G 的参数方程,并判断C与 Ci是否有公共点.234选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.画出产/和y=g(x)的图象；若 於+“)*(*),求a的取值范围.12345 678910111213141516BCBDA CDDACAc3V 239兀-V 38L B【考查目标】本题主要考查集合的表示、集合的运算等知识，考查的学科素养是理性思维.【解析】由题得集合=小,所以MCN=5,7,9.(易错警示:混淆交集与并集的概念出错)故选B.2.C【考查目标】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查的学科素养是数学应用,考查逻辑思维能力、运算求解能力.【解析】对于A:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)x 1 =0.06,正确；对于B:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)x1=0.10,正确；对于C:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(万元)，错误；对于D:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)x 1 =0.64,正确.【解题妙招】由于C选项计算量较大，可以先判断ABD选项,然后利用排除法得到C选项错误.3.B【考查目标】本题主要考查复数的运算,考查运算求解能力.【解析】2=券=苧=?=-1+|故选B.(1 1-1)-L L Z4.D【考查目标】本题主要考查常见函数的图象、单调性等知识，考查的学科素养是理性思维.【解析】解法一(排除法)取由=-5=0,对于A项有段。=1/2)=0,所以A项不符合题意;对于B项有心|)=15Ax2)=1,所以B项不符合题意;对于C项 有 加)=1/2)=0,所以C项不符合题意.故选D.解法二(图象法)如图,在坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意.故选D.,y，尸f【技巧点拨】暴函数yu)=正的图象和单调性可能不是很熟悉，但利用特殊值或图象都可以迅速排除A,B,C选项.5.A【考查目标】本题主要考查双曲线的方程、渐近线、点到直线的距离等知识,考查的学科素养是理性思维.【解析】由双曲线的方程知,。=4力=3,焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为产%,即3x-4y=0,由点到直线的距离公式得，点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为萼缪.故选A.【归纳总结】由双曲线的对称性知，坐标轴上的点到两渐近线的距离相等.点(孙州)到直线Ax+B)，+C=0(42+BV0)的 星 巨 离 卷:G6.C【考查目标】本题主要考查对数、指数的运算，考查运算求解能力，考查的学科素养是数学应用、数学探索.【解析】由题意知4.9=5+lg V,得lg 丫=-0.1,得V=I0磊乜).8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.7 .D【考查目标】必备知识:本题主要考查三视图.关键能力:空间想象能力.学科素养:数学探索.【解析】根据已知条件作出图形如图所示，结合多面体的正视图可知，该几何体的侧视图为D选/项中的图形.於、，必)-8 .D【考查目标】必备知识:本题主要考查解三角形的知识.关键能力:通过解三角形考查了逻辑L岂思维能力和运算求解能力.学科素养:通过解三角形考查了理性思维学科素养.【解析】解法一 由余弦定理A C2=AB2+B?-2 A B-B C c o s B,得8 G+2 B C-1 5=0,解 得B C=3或B C=-5(舍去).故 选D.解法二 由 正弦定理焉=黑，得s i n。=密，从 而co s C=C是锐角)，所 以s i n A-s i n n-(B+C)=s i n(B+C)=s i n Bcos C+co s B s i n W 8 c=3.故选 D.2 19 2 19 38 sino sinA【方法总结】已知两边一角求第三边，可以直接用余弦定理求解，也可以用正弦定理求解.用正弦定理求解时,要用到两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，且涉及角的范围等，较麻烦.9 .A【考查目标】必备知识:本题主要考查等比数列的定义、前”项和公式等知识.关键能力:通过求等比数列的和考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:通过求等比数列的和考查理性思维学科素养.【解析】通解 因 为$2=4,$4=6,且易知公比疔 1,所以由等比数列的前项和公式，得$2=54=1-Q。1(1刃4)1-Q=i(l+q)=4，两式相除，(技巧点拨:与等比数列有关的方程组，求解时通常利用两式相=1(1+?)(1+72)=6除，达到消元、降次的目的)1U 1 =4(2 -V2)a =4(2 +V 2)a .6.得“2=；,所以 夜 或：但 所 以S 6=半 以=7.故选A.优解 易知S 2 3 4-S 2 a-S 4构成等比数列，由等比中项得S 2(S 6-S 4)=(S 4-S 2)2,即4(S 6-6)=2 2,所 以5 6=7.故选A.【规律总结】在等差数列中总段卜S*,S 3 k s 2 b.(k C N*)构成等差数列，在 等 比 数 列 中&匈5圆-S 2人.(Z W N*)构成等比数列.1 0 .C【考查目标】必备知识:本题主要考查古典概型.关键能力:通过求古典概型考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:通过求古典概型考查理性思维、数学应用学科素养.【解析】把3个1和2个。排成一行，共 有1 0种排法，分别是0 0 1 1 1,1 0 0 1 1,1 1 0 0 1,1 1 1 0 0,0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,0 1 1 1 0,1 0 1 0 1,1 0 1 1 0,1 1 0 1 0,其中 2 个 0 不相邻的排法有 6 种,分别是0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,0 1 1 1 0,1 0 1 0 1,1 0 1 1 0,1 1 0 1 0,所以所求概率2=3 0.6.故选C.(古典概型的概率计算公式是P(A)=4 事件包含的基本事件数m次试验所包含的所有基木事件数n列举试验结果时要注意不重不漏)11.A【考查目标】必备知识:本题主要考查三角恒等变换，涉及同角三角函数基本关系、二倍角公式等知识.关键能力:通过三角恒等变换考查了逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:通过三角恒等变换考查了理性思维学科素养.【解析】解法一 因为tan2a=W=空 ，且t a n 2 a=/，所 以 警 誓=拜，解得s i n a W因为co s 2 a l-2 s i nza 2-s m a l-2 s mza 2-s m a 4a（0；）,所以 co s a=,t a n 二空.故选 A.2 4 co s a 1 52sina解hji 法_ _一.因为t a n C2 =工2 t an a=丁r n瓶（.=2 s布i n a co瓦s a =2中s i n a c瓦o s a ，且口 t a n 八2 k右co s京a ，所r-r H以.2 s音i n a莅co s a7=co5s a,献解得但s.m1 cos2a=誓3=9（7 为段）的最小正周期），所以7=兀,空=兀，即。=2.函数y=2 c o s 2 的图象与x 轴的一个交点是（*0）,对应函数加）=2 c o s（2 r+3）的图象与X 轴的一个交点是（扣）,所以段）=2 c o s（2 x+0）的图象是由y=2 c o s 2 x 的图象向右平移若咤个单位长度得到的,所以段）=2 c o s（2 x+0）=2 c o s 2（x*）=2 c o s（2 x-所以/（9=2 c o s（2 x 共）=-2COS?=-VTO Z Z O O16.8【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的几何性质和几何图形面积计算等知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.【解析】解法一 由椭圆C:=l可知|FF2|=4A&.由 P,Q 为 C上关于坐标原点对称的两个点，且16 4|P Q I=|F E|,得|P O|=|Q O|=2 旧（0为坐标原点），所以P,Q 既在椭圆盘用=1 上,又在圆x2+y2=1 2 上.不妨设点P在16 4y2第一象限，则 由 森+了=1，可得P 畔，乎)，所以由对称性，可得四边形P B Q F 2 的面积(x2+y2=1 2 3 3S 四 边 形 P F Q F 2=2 S A P F i F 2=2 x g x|F|F 2|x y p=2 x g x 4V 5 x 手=8.解法二 由椭圆方程知,a=4,b=2,则 c=V =2 8.由点P在椭圆上，得|P B|+|P F 2|=8,(易错警示:不要与双曲线定义混淆)所以|PBF+|PF2F+2|PFIH P F 2|=64.由椭圆的对称性及|PQ|=|FR|知,四边形PBQF2 是矩形，在 R t A P F R中，由勾股定理得|PFIF+|PF2|2=|FF2|2,所以|PFIF+|PF2|2=48.由-得|PBH PF2|=8,所以S 四 边 形 PF】QF2=IPFIHPF2|=8.光速解 由椭圆的对称性及|PQ|=|FR|知,四边形PBQF2 是矩形，且NBPF2 4结合b?=4,及椭圆焦点三角形的面积公式，得 S 四 边 形 PFiQF2=2 SA PF1F2=2 b2t a n:-=8.2 2【二级结论】已知椭圆a+左=1 3 0)的 焦 点 为 为 椭 圆 上 一 点，则焦点三角形P F i B 的面积SAP&FZ4 2 t a n*其中。利用此结论可实现快速解题，如本题光速解.【解后反思】本题求四边形面积时，可将四边形面积转化为三角形面积来求解，而三角形面积的求解则需要利用坐标系这个特殊环境，转化为SAP&F2=：X|E F2|X W，这里面既包含了利用椭圆的对称性，又给出利用坐标系计算图形面积的特殊性.1 7 .【考查目标】必备知识:本题主要考查样本频率、独立性检验等知识.关键能力:通过求频率和计算群考查了运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解题思路】(1)利用公式求解频率;(2)利用K2的计算公式求出烂,结合临界值表，得到结论.解:(1)根据表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是黑=0.7 5,乙机床生产的产品中一级品的频率是=0.6.200(2)根据列联表中的数据可得群=把 黑 黑 黑 料=詈 1 0.2 56.因 为 1 0.2 56 6.6 3 5,所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.1 8.【考查目标】必备知识:本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的证明等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】由已知求出数列 店 的公差，写出数列 图 的通项公式，得到S“,利用 =二：2 2 求出数列 如 的通项公式，最后利用等差数列的定义即可得证.解:由题意可知，数列 遥 的首项为何，设等差数列 店 的公差为d,则 d=ylS2-yli=V 1 a2V 7=V 1，所以 7 =7+(-1)7 7 二 7 7,艮 口 Sn=ai,所以“=；(2 n-l)a i,n 2,即 斯押)心所以如+斯=2 即所以数列 “)是以s为首项2“为公差的等差数列.1 9.【考查目标】必备知识:本题主要考查空间中点、线、面位置关系，直三棱柱的性质等知识.关键能力:通过几何体体积的求解和线线垂直的证明考查逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.【解题思路】取 8 c的中点M,连接EM由三角形中位线性质结合8 尸，4 8 1 推出8 b，EM进而推出平面B C F,将求三棱锥尸-E 8 C 的体积转化为求三棱锥E-F8 C 的体积，再利用三棱锥的体积公式求解即可;(2)要证明线线垂直只需证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，连接证明平面EMBA 即可证得结果.解:如图，取 B C的中点为M连接EM,由已知可得 E M A B,A B=8 C=2,C 尸=l,E M=l 8=l,A B 4 B i,由 B F_ L A E M _ L B F,又 EMCF,BFCCF=F,所以E M _ L 平面8 C F,故 V:梭 徘 F-EBC=y 滋 他E-FBC=!xT8CxC7?XEM=!xTx2xlXl=1.(2)连接 A|E,B|例，由(1)知 EM AB,所以 在平面EMBA内.在正方形CCiBiB中，由 于 分 别 是 C G,8 c 的中点，所以由平面几何知识可得又 8 F_ L A|8 i 囚所以 B F_ L 平面 EMBA,又 O E u 平面E M B/i,所以BF1DE.【规律总结】(1)三棱锥体积计算一般都要用等体积法,本题通过转换三棱锥的顶点将求解三棱锥F-EBC的体积转化为求解三棱锥E-FBC的体积.(2)证明线线垂直的思路:可通过证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，即证线面垂直，要证明线面垂直可通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直.20.【考查目标】必备知识:本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识.关键能力:通过讨论函数的单调性和求参数的取值范围考查逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【思维导图】(1次x)T(x)的定义域/QOTt v)的单调性(2)由(1)知 X)的 最 小 值 为”色的图象马,“轴没有合共点次 0 恒成立”的取值范围解:由题意内0 的定义域为(0,+8),、3 2a2x2+ax-3(ax-l)(2ax+3)f (x)=2a-x+a-=-=-,则当x3 时/(x)0於)单调递增;当0 74时/(x)0恒成立，故於(2+4.；_ 3|若+1 0,得 6 7 p所以。的取值范围为&+8).e【难点突破】将 y=K x)的图象与x 轴没有公共点进行等价转化是解决本题的难点，也是关键点，利用第(1)问函数兀v)的单调性将问题转化为Ar)的最小值恒大于0,归结为函数最值问题.21.【考查目标】必备知识:本题主要考查抛物线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.【解题思路】(1)根据题意得出P,Q 的坐标，由 P在 C 上得到p 的值，即可得到C 的方程，由。M与/相切得到。M 的半径，即可得到0 M的方程;(2)设出AI/2 4 3的坐标，分两种情况判断直线4 必3 与。M 的位置关系.解:(1)由题意，直线x=l 与 C 交于尸，。两点，且 O PLO。,设 C 的焦点为广尸在第一象限，则根据抛物线的对称性,N P O F=N Q O F=4 5。，所以尸设 C 的方程为 y=2 px(p 0),则 1 =2p,p=g,所以C 的方程为产=工由题意，圆心M(2,0)到/的距离即。例的半径，且距离为1,所以O M:(X-2)2+)2=I.(2)设 A 1(X1 方1)A(X 2,y2)A(X 3,y3),当4,A 2,A 3 中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3 时AA2AA3 均与。M相切，此时直线A 2 A 3 与。“相切.当即孙2次 尤3 时，直线 AAr.x-(y+y2)y+yiy2=0,则|2+尸的1（%+尸2）2+1=1,即（yf -O yz +2 y i”+3 资=0,同 理 可 得1）资+2 yi y.3+3-yi =0,所以)明”是方程(y%l)a+2 yi/+3-y/=0的两个根,则 yi+j 3 =-7 7 3 =TTT-直线4 2 A 3的方程为无-+乃川+丁2 y3=0,设 到 直 线 回 的 距 离 为4则 理 喘 喘Q+普】+(郛=1,即（1=1,所以直线A 2 A 3与0 M相切.综上，直线A 2 A 3与。加相切.2 2.【考查目标】必备知识:本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、根据已知条件求曲线的参数方程、判断两曲线公共点存在与否等知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(1)直接根据极坐标方程与直角坐标方程的转化公式进行转化;(2)根据轨迹转移法求出新轨迹的普通方程，再将其转化为参数方程并判断出C与G没有公共点.解：(1)根据 j O=2 V2 co s 仇得 p2=2/2pcos因为 x2+y2=/?2A=pco s 3,所 以/+产=2夜x,所以曲线C的直角坐标方程为(心血)2+)2=2.(2)设 尸(x,)，),M(x,y),贝I J有 而=(x-1,)，),前=(x-1 ,y),(x-1因 为 祚 女，所以 卜 仁 学 。即广歹1,又M为曲线C上的动点,所以以+1-企 产+(专户=2,即(x-3+迎)2+产4,所以P的轨迹C,的参数方程为2=：一四+2 co s a(其中0为参数,ae血2兀).易得|CG|=3-2夜，圆G的半径n=2,圆C的半径片鱼,所以|CG|/w,所以C与Ci没有公共点.【方法点拨】曲线的极坐标方程、直角坐标方程、普通方程、参数方程的使用要结合题目条件有效地选择，使问题解决起来方便.2 3.【考查目标】必备知识:本题主要考查绝对值函数的图象与性质.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(1)根据零点分段法写出函数.尸g(x)的解析式，画出产形)和产g(x)的图象;(2)根据图象平移,利用数形结合求解4的取值范围.f34,%-*21解:(1)由己知得 g(x)=44%4-2,-I2所以y寸x)与 产g(x)的图象为(2)尸 危+。)的图象是由函数y=/u)的图象向左平移(心0)个单位长度或向右平移3V 0)个单位长度得到的,根据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到y x+a)的图象的右支过产g(x)的图象上的点$4)时为临界状态，如图所示，此 时 的 图 象 的 右 支 对 应 的 函 数 解 析 式 为y=x+a-2(.x2-a),贝ij 4=：+-2,解得 a=y.因 为%+a)却(X),故a岑所以a的取值范围为 ,+8).【方法总结】零点分段法是处理绝对值函数问题的基本方法，要注意每一段的情况是否满足条件,如果在某一段内无法统一说明，那么可以将这段继续分类讨论研究.