概率论与数理统计第四版_习题答案_第四版_盛骤__浙江大学出版.pdf

概率论与数理统计第四版一习题答案.第四版一盛骤浙江大学出版完全版(一到八章)概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤(浙江大学)浙大第四版(高等教育出版社)第 一 章 概率论的基本概念1.-写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一 1)n 1 0 0 o l S ,n表小班人数n n n(3)生产产品直到得到1 0 件正品，记录生产产品的总件数。2)S 1 0,1 1,1 2,n,(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的 盖 上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。(-(3)S=0 0,1 0 0,0 1 0 0,0 1 0 1,1 0 1 0,0 1 1 0,1 1 0 0,0 1 1 1,1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 1 0,1 1 1 1,2.-设 A,B,C为三事件，用 A,B,C的运算关系表示下列事件。(1)A发生，B与 C不发生。表示为：A B C 或 A-(A B+A C)或 A (B U C)(2)A,B都发生，而 C不发生。表示为：A B C 或 A B-A B C 或 A B-C表示为：A+B+C (3)A,B,C中至少有一个发生(4)A,B,C都发生，表示为：A B C (5)A,B,C都不发生，表示为：A B C 或 S 一(A+B+C)或 A B C(6)A,B,C中不多于一个发生，即 A,B,C中至少有两个同时不发生相当于A B,B C,A C 中至少有一个发生。故 表示为：A B B C A C。(7)A,B,C中不多于二个发生。相当于：A,B,C 中至少有一个发生。故 表 示 为：A B C 或 A B C(8)A,B,C中至少有二个发生。相当于：A B,B C,A C 中至少有一个发生。故 表 示 为：A B+B C+A C6 .三设 A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7.问(1)在什么条件下P (A B)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P (A B)取到最小值，最小值是多少？解：由 P (A)=0.6,P (B)=0.7即知ABW6,(否则A B =依互斥事件加法定理，P(A U B)=P(A)+P (B)=0.6+0.7=1.3 1 与 P (A U B)W l 矛 盾)从而由加法定理得P (A B)=P (A)+P (B)-P (A U B)(*)(1)从 0 W P(A B)W P(A)知，当 A B=A,即 ACB时 P(A B)取到最大值,最大值为P(A B)=P (A)=0.6,(2)从(*)式 知,当 A U B=S 时,P(A B)取最小值,最小值为P(A B)=0.6+0.7-1=0.3 o7 .四设 A,B,C 是三事件，且 P(A)P(B)P(C)求 A,B,C至少有一个发生的概率。解：P (A,B,C 至少有一个发生)=P (A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(B C)-P(A C)+P(A B C)=IIP (A C),P(A B)P(B C)0).8 4 3 1 5 0 4 8 88 .五在一标准英语字典中具有5 5 个由二个不相同的字母新组成的单词，若 从 2 6 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记 A表“能排成上述单词”2V从 2 6 个任选两个来排列，排法有A 2 6 种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：5 5 个P(A)5 5A 2 6 2 1 1 1 3 09.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2,9)记 A 表“后四个数全不同”：后四个数的排法有1 0 4 种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有A 1 0二 4 P(A)A 1 01 0 4 4 0.5 0 41 0.六在房间里有1 0 人。分别佩代着从1 号 到 1 0 号的纪念章，任意选3 人记录其纪念章的号码。(1)求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A1 0 1 0 人中任选3人为一组：选法有 3 种，且每种选法等可能。5 又事件A相当于：有一人号码为5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有1 25 1 1 2 P(A)1 2 1 0 3(2)求最大的号码为5的概率。10记“三人中最大的号码为5”为事件B,同 上 1 0 人中任选3 人，选法有 种，且 每 种 选 法 等 可 34 能，又事件B相当于：有一人号码为5,其 余 2人号码小于5,选法有1 种2 4 i 1 2 P(B)2 0 1 0 31 1.七某油漆公司发出1 7 桶油漆，其中白漆1 0 桶、黑漆4桶，红 漆 3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4 桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A,在 1 7桶中任取9 桶的取法有C 1 7种，且每种取法等可能。取得4白 3黑 2红的取法有C IO C 4 C 3 4 3 2 9故 P(A)C IO C 4 C 36C 1 74 3 2 2 52 2 4 3 11 2 .八在 1 50 0 个产品中有N O O 个次品，1 1 0 0 个正品，任意取2 0 0 个。(1)求恰有90 个次品的概率。记“恰有90 个次品”为事件A1 50 0 在 1 50 0 个产品中任取2 0 0 个，取法有 种，每种取法等可能。2 0 04 0 0 1 1 0 0 2 0 0 个产品恰有90 个次品，取法有 种 90 1 1 04 0 0 1 1 0 0 90 1 1 01 50 0 2 0 0 Z.P(A)(2)至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”1 1 0 0 B 0 表“不含有次品”，B 1 表“只含有一个次品”，同上，2 0 0 个产品不含次品，取法有 种，2 0 04 0 0 1 1 0 0 2 0 0 个产品含一个次品，取法有 种 1 1 99:A B O B l 且 B 0,B l 互不相容。1 1 0 0 2 0 0 P(A)1 P(A)1 P(B O)P(B 1)1 1 50 0 2 0 0 40 0 1 1 0 0 1 1 99 1 50 0 2 0 01 3 .九从 5 双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记 A表“4只全中至少有两支配成一对”则 A表“4只人不配对”1 0 .从 1 0 只中任取4只，取法有 种，每种取法等可能。44 5要 4只都不配对，可 在 5 双中任取4双，再 在 4双中的每一双里任取一只。取法有 2 4P(A)C 5 24 C 1 0 4 4 8 2 18 1 3 2 1 2 1 P(A)1 P(A)11 5.十一将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少？记 A i 表“杯中球的最大个数为i 个 i=l,2,3,三只球放入四只杯中，放法有4 3 种，每种放法等可能对 A 1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放 法 4 3 3 3 2 种。(选排列：好 比 3个球在4个位置做排列)P(A 1)4 3 24 3 6 1 62对 A 2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C 3 4 3种。(从3个球中选2个球，选法有C 3,再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1 球放入其余的一个杯中，选法有3种。2P(A 2)C 3 4 3 4 3 2 9 1 6对 A 3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4 个杯中选1 个杯子，放入此3个球，选法有 4种)P(A 3)44 3 1 1 61 6.十二50 个聊钉随机地取来用在1 0 个部件，其中有三个抑钉强度太弱，每个部件用 3只钾钉，若将三只强度太弱的钏钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记 A表“1 0 个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去硼完1 0 个部件(在三个钉的一组中不分先后次序。但 1 0 组钉钏完1 0 个部件要分先后次序)对 E：钾法有C 50 C 4 7 C 4 4 C 2 3 种，每种装法等可能3 3 3 3对 A：三个次钉必须钾在一个部件上。这 种钾法有(C 3 C 4 7 C 4 4 C 2 3)X 1 0 种3 3 3 3P(A)C 3 C 4 7 C 4 4 C 2 3 1 0C 50 C 4 7 C 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 0.0 0 0 51 1 960法二：用古典概率作把试验E看作是在50 个钉中任选3 0 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件钏完。(钾钉要计先后次序)对 E：钾法有A 50 种，每种钾法等可能对 A：三支次钉必须加在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，或“2 8,2 9,3 0”位置上。这种钾法有A 3 A 4 7 A 3 A 4 7 A 3 A 4 7 1 0 A 3 A 4 7种3 2 73 2 73 2 73 2 73P(A)1 0 A 3 A 4 7A 50 3 0 3 2 7 1 0.0 0 0 51 1 9601 7.十三 已知 P(A)0.3,P(B)0.4,P(A B)0.5,求 P(B|A B)解一：P(A)1 P(A)0.7,P(B)1 P(B)0.6,A A S A(B B)A B A B 注意(A B)(A B)故有P(A B)=P(A)-P(A B)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A B)=0.7+0.6-0.5=0.8 于是 P(B|A B)PB(A B)P(A B)P(A B)P(A B)0.2 0.2 5 0.8解二:P(A B)P(A)P(B A)0 5 0 7 P(B|A)P(B|A)0.50.7 57 P(B|A)27 故 P(A B)P(A)P(B|A)1P(B A B)1 8 .十四P(A)由已知1 5P(B A)定义P(B A B B)5 0.2 5P(A B)P(A)P(B)P(A B)0.7 0.6 0.51 1 1,P(B|A),P(A B),求 P(A B)4 3 21 1 P(A)P(B|A)定义P(A B)1 1 4 3 由已知条件 有 P(B)解：由 P(A B)P(B)P(B)2 P(B)6由乘法公式，得 P(A B)P(A)P(B A)1 1 21 1 1 1 4 61 2 3 由加法公式，得 P(A B)P(A)P(B)P(A B)1 9.十五掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1 点的概率(用两 种 方 法)。解：(方法一)(在缩小的样本空间S B 中求P(A B),即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率)。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y)(x,y=l,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为 S=(x,y)(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)每种结果(x,y)等可能。A=掷二骰子，点数和为7 时;其中有一颗为1 点。故 P(A)2 1)63方法二：(用公式P(A|B)P(A B)P(B)S=(x,y)x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6 每种结果均可能A=掷两颗骰子，X,y 中有一个为“1 点”，B=掷两颗骰子，x,+y=7。贝 ljP(B)662 1 2,P(A B)2,662故 P(A B)P(A B)P(B)6162 2 1 632 0 .十六据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P 孩子得病 =0.6,P (B A)=P 母亲得病|孩子得病 =0.5,P (C|A B)=P 父亲得病|母亲及孩子得病 =0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P (A B C (注意：)由 于“母病”“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求 P (C|A B)P (A B)=P(A)=P(B|A)=0.6 X 0.5=0.3,P (C|A B)=1-P (C|A B)=1-0.4=0.6.从而 P (A B C)=P (A B)P(C A B)=0.3 X 0.6=0.1 8.2 1 .十七己知1 0 只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。(1)二只都是正品(记为事件A)法-：用 组 合 做 在 1 0 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。P(A)C 8C 2 21 0 2 8 4 5 0.6 2法二：用 排 列 做 在 1 0 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。P(A)A 8 2 A 1 0 2 2 8 4 5 法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记 A l,A 2 分别表第一、二次取得正品。P(A)P(A 1 A 2)P(A)P(A 2|A 1)(2)二只都是次品(记为事件B)8 1 0 7 9 2 8 4 5法一：P(B)C 2 2C 1 0 2 1 4 5法二：P(B)A 2 2A 1 0 2 1 4 5法三：P(B)P(A 1 A 2)P(A l)P(A 2|A l)2 1 1 1 0 9 4 5(3)一只是正品，一只是次品(记为事件C)法一：P(C)C 8 C 2C 1 0 2 1 1 1 6 4 5法二：P(C)(C 8 C 2)A 2A 1 0 2 1 1 2 1 6 4 5法三：P(C)P(A 1 A 2 A 1 A 2)且 A 1 A 2 与 A 1 A 2 互斥 2 8 8 2 1 6 1 0 9 1 0 9 4 5P(A 1)P(A 2 A l)P(A 1)P(A 2 A l)(4)第二次取出的是次品(记为事件D)法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二：P(D)A 9 A 2A 1 0 2 1 1 1 5法三：P(D)P(A 1 A 2 A 1 A 2)且 A 1 A 2 与 A 1 A 2 互斥P(A 1)P(A 2 A l)P(A 1)P(A 2 A l)8 2 2 1 1 1 0 9 1 0 9 52 2.十八某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记 H表拨号不超过三次而能接通。A i 表 第 i 次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。H A l A 1 A 2 A 1 A 2 A 3 三种情况互斥P(H)P(A 1)P(A 1)P(A 2 A l)P(A l)P(A 2|A l)P(A 3|A l A 2)11 0 91 0 19 91 0 89 18 31 0如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下，求 H 再发生的概率。P(H|B)P A I B A 1 A 2|B A 1 A 2 A 3|B)P(A 1|B)P(A 1|B)P(A 2|B A 1)P(A l|B)P(A 2|B A I)P(A 3|B A I A 2)1 4 1 4 3 1 3 5 5 4 5 4 3 52 4.十九设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少？(此为第三版1 9 题(1)记 A l,A 2 分 别 表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=A 1 B+A 2 B 且 A L A 2 互斥 P (B)=P (A l)P(B A l)+P (A 2)P (B|A 2)二 n N I m N n m N M I n m N M 1 十九(2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记 C 1 为“从第一盒子中取得2只红球”。C 2 为“从第一盒子中取得2只白球”。C 3 为“从第一盒子中取得1 只红球，1 只白球”，D为“从第二盒子中取得白球”，显然C l,C2,C 3 两两互斥，C 1 U C 2 U C 3=S,由全概率公 式,有 P (D)=P (C 1)P (D|C 1)+P (C 2)P (D C 2)+P (C 3)P (D|C 3)C 5C 2 29 5 1 1 C 4 C 2 2 9 7 1 1 C 5 C 4 C 2 9 1 1 6 1 1 5 3 9 92 6.二 十 一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.2 5%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：A l=男人,A 2=女人,B=色盲,显 然 A 1 U A 2=S,A l A 2=。由已知条件知P(A 1)P(A 2)1 P(B|A 1)5%,P(B A 2)0.2 5%2由贝叶斯公式，有1P(A 1|B)P(A 1 B)P(B)P(A 1)P(B A l)P(A 1)P(B|A 1)P(A 2)P(B|A 2)2 0 2 1 0 0 1 5 1 2 5 2 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0 0 5 二十二 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次P及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为(1)若至少有一次及格则他能取得某种2资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：A i =他 第 i 次及格,i=l,2已知 P (A 1)=P (A 2|A 1)=P,P(A 2 l A l)P(1)B=至少有一次及格所 以 B 两次均不及格2 A 1 A 2.*.P(B)1 P(B)1 P(A 1 A 2)1 P(A 1)P(A 2|A 1)1 1 P(A 1)1 P(A 2 A l)1 (1 P)(1 P2 )32 P 12 P 2(2)P(A 1 A 2)定义 P(A 1 A 2)P(A 2)(*)由乘法公式，有 P(A l A 2)=P(A l)P(A 2|A l)=P 2由全概率公式，有P(A 2)P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 1)P(A 2|A 1)P P(1 P)P2PP 2 2 2将以上两个结果代入(*)得 P(A 1|A 2)P2 2 PP 2 2 2 P P 12 8.二十五某人下午5:0 0 下班，他所积累的资料表明：某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:4 7 到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设 A=乘地铁”，B=“乘 汽 车 ，C=5:4 5 5:4 9 到家”，由题意,A B=6,A UB=S已 知:P(A)=0.5,P(C|A)=0.4 5,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5由贝叶斯公式有P(A|C)P(C|A)P(A)P(C)0.5 0.4 5 0.4 5 9 0.6 9 2 3 1 1 0.6 5 1 3 P(C A)P(C B)2 2 2 9.二十四有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其 中 1 0 只一等品；第二箱3 0 只，其 中 1 8 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设 B i 表 示“第 i 次取到一等品 i=l,2A j 表 示“第 j 箱产品”(1)P(B 1)j=l,2,显然 A 1 UA 2=S A 1 A 2=4 1 1 0 1 1 8 2。0.4 (B l=A 1 B+A 2 B 由全概率公式解)2 5 0 2 3 0 51 1 0 9(2)P(B 2 B l)P(B 1 B 2)P(B 1)2 5 0 4 9 25 1 1 8 1 7 2 3 0 2 9 0.4 8 5 7(先用条件概率定义，再求P(B 1 B 2)时，由全概率公式解)3 2.二十 六(2)如 图 1,2,3,4,5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器闭合与否相互独立，求 L和 R 是通路的概率。记 A i 表 第 i 个接点接通记 A表从L到 R 是构成通路的。A=A 1 A 2+A 1 A 3 A 5+A 4 A 5+A 4 A 3 A 2 四种情况不互斥P(A)=P(A 1 A 2)+P(A 1 A 3 A 5)+P(A 4 A 5)+P(A 4 A 3 A 2)-P (A 1 A 2 A 3 A 5)+P(A 1 A 2 A 4 A 5)+P(A 1 A 2 A 3 A 4)+P(A l A 3 A 4 A 5)+P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5)P(A 2 A 3 A 4 A 5)+P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5)+P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5)+(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5)+P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5)-P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5)又由于A l,A 2,A 3,A 4,A 5 互相独立。故 P(A)=p 2+p 3+p 2+p 3 p 4 +p 4 +p 4 +p 4 +p 5 +p 4+p 5 +p 5+p 5+p 5 p 5=2 p 2+3 p 3-5 p 4 +2 p 5二十 六(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4。它们的可靠性分别为Pl,P2,P3,P 4,将它们按图(1)的方式联接，求系统的可靠性。记 A i 表示第i 个元件正常工作，i=l,2,3,4,A表示系统正常。A=A 1 A 2 A 3+A 1 A 4 两种情况不互斥:.P(A)=P(A 1 A 2 A 3)+P(A 1 A 4)-P(A 1 A 2 A 3 A 4)(加法公式)=P(A l)P(A 2)P(A 3)+P(A l)P(A 4)-P (A l)P(A 2)P(A 3)P(A 4)=PI P2 P3+P1 P4-P1 P2 P3 P4 (A l,A 2,A 3,A 4 独立)3 4.三十一 袋中装有m只正品硬币，n 只次品硬币，(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解：设“出现r次国徽面”=B r 任取一只是正品”=A由全概率公式，有P(B r)P(A)P(B r|A)P(A)P(B r|A)m l r n r 0 I m n 2 m n mI r ()P(A)P(B r|A)m m n 2 P(A|B r)r m l n P(B r)m n 2 r()m n 2 m n(条件概率定义与乘法公式)3 5.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7 o 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：r W i H i 表小飞机被i 人击中，i=l,2,3。B l,B 2,B 2 分别表小甲、乙、丙击中飞机H l B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3,三种情况互斥。H 2 B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 三种情况互斥 H 3 B 2 B 2 B 3又 B l,B 2,B 2 独立。:.P(H 1)P(B 1)P(B 2)P(B 3)P(B 1)P(B 2)P(B 3)P(B 1)P(B 2)P(B 3)0.4 0.5 0.3 0.60.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.3 6P(H 2)P(B 1)P(B 2)P(B 3)P(B 1)P(B 2)P(B 3)P(B 1)P(B 2)P(B 3)0.4 0.5 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7=0.4 1P(H 3)=P(B 1)P(B 2)P(B 3)=0,4 X 0.5 X 0.7=0.1 4又因：A=H 1 A+H 2 A+H 3 A 三种情况互斥故由全概率公式，有P(A)=P(H 1)P(A H 1)+P(H 2)P(A|H 2)+P(1 1 3)P(A I I 3)=0.3 6 X 0.2+0.4 1 X 0.6+0.1 4 X 1=0.4 5 836.三十二 设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%(这一事件记为A1),10%(事件 A2),90%(事件 A 3)的概率分别为 P(Al)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.0 5,现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的(这一事件记为B),试分别求P(Al B)P(A2|B),P(A3 B)(这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地)B 表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三种情况互斥由全概率公式，有P(B)=P(A1)P(B Al)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.8 X(0.98)3+0.15X(0.9)3+0.05X(0.1)3=0.8 6 24P(A1 B)P(A1B)P(B)P(A2B)P(B)P(A3B)P(B)P(Al)P(B|Al)P(B)P(B)P(A3)P(B A3)P(B)0.8 (0.98)0.8 6 2430.8 7313P(A2|B)P(A3|B)P(A2)P(B|A2)0.15(0.9)0.8 6 240.05(0.1)0.8 6 240.126 8 0.000133 7.三十四将 A,B,C三个字母之输入信道，输出为原字母的概率为a,而输出为其它一字母的概率都是（1 一 a）/2。今将字母串A A A A,B B B B,C C C C 之一输入信道，输入A A A A,B B B B,C C C C 的概率分别为p l,p 2,p 3 （p l +p 2+p 3=l）,已知输出为A B C A,问输入的是A A A A 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设 D表示输出信号为A B C A,B l、B 2、B 3 分别表示输入信号为A A A A,B B B B,C C C C,则 B l、B 2、B 3 为一完备事件组,且 P（B i）=P i,i=l,2,3。再设A发、A收分别表示发出、接收字母A,其余类推，依 题 意 有 P （A收|A发）=P（B 收|B 发）=P （C 收|C 发）=a,P （A 收 B 发）=P （A 收 C 发）=P （B 收|A 发）=P （B 收|C 发）=P （C 收|A 发）=P（C收|B发）=1 a2又 P （A B C A|A A A A）=P （D|B 1）=P （A 收|A 发）P （B 收 A 发）P（C 收|A 发）P（A 收|A 发）=a（21 a 2）,21 a 3）2同样可得P （D B 2）=P （D|B 3）=a（于是由全概率公式，得3P（D）P（Bi 121)P(D|B i)p l a(1 a 2 1 a 3)(P 2 P 3)a()2 2由 B ay e s 公式，得 P (A A A A|A B C A)=P (B 1|D )=P(B 1)P(D|B 1)P(D)2 ap i2 a P l (1 a)(P 2 P 3)二十九设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球;第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。(1)求至少有一只蓝球的概率，(2)求有一只蓝球一只白球的概率，(3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记 A l、A 2、A 3 分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B l、B 2、B 3 分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。(1)记 C=至少有一只蓝球C=A 1B 1+A 1B 2+A 1B 3+A 2 B 1+A 3 B 1,5 种情况互斥 由概率有限可加性,得P(C)P(A 1B 1)P(A 1B 2)P(A 1B 3)P(A 2 B 1)P(A 3 B 1)独立性P(A 1)P(B 1)P(A 1)P(B 2)P(A 1)P(B 3)P(A 2)P(B 1)P(A 3)P(B 1)3 2 3 3 3 4 2 2 2 2 57 9 7 9 7 9 7 9 7 9 9(2)记口=有一只蓝球，一只白球,而 且 知 D=A 1B 3+A 3 B 1两种情况互斥P(D)P(A 1B 3 P(A 3 B 1)P(A 1)P(B 3)P(A 3)P(B 1)3 4 2 2 167 9 7 9 6 3P(C D)P(C)P(D)P(C)163 5(3)P(D|C)(注意到 C D D)三十A,B,C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A,B,C的电话的2 2 11,。他们三人常因工作外出，A,B,C三人外出的概率分别为,5 5 5 2设三人的行动相互独立，求概率分别为14 1,4(1)无人接电话的概率；(2)被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了 3个电话，求(3)这 3个电话打给同一人的概率；(4)这 3个电话打给不同人的概率；(5)这 3 个电话都打给B,而 B却都不在的概率。解：记 C l、C 2、C 3 分别表示打给A,B,C的 电 话 D I、D 2、D 3 分别表示A,B,C外出注意到 C l、C 2、C 3 独 立,且 P(C 1)P(C 2)2,5P(C 3)1 5P(D 1)1,2 P(D 2)P(D 3)1 4(1)P (无人接电话)=P (D 1D 2 D 3)=P (D 1)P (D 2)P (D 3)=1111 2 4 4 3 2(2)记 6=“被呼叫人在办公室”，G C 1D 1 C 2 D 2 C 3 D 3 三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式P(G)P(C 1D 1)P(C 2 D 2)P(C 3 D 3)由于某人外出与P(C 1)P(D 1|C 1)P(C 2)P(D 2 1c 2)P(C 3)P(D 3|C 3)否和来电话无关故 P(D|C)P(D 2 12 3 13 13 k k k 5 2 5 4 5 4 2 0 )(3)H 为“这 3个电话打给同一个人”P(H)2 2 2 2 2 2 11117 5 5 5 5 5 5 5 5 5 12 5(4)R为“这 3个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A,B,C的三个电话，每种情况的概率为2 2 14 5 5 5 12 5于是 P(R)6 4 2 4 12 5 12 51,4 (5)由于是知道每次打电话都给B,其概率是1,所以每一次打给B电话而B不在的概率为且各次情况相互独立于 是 P (3 个电话都打给B,B都不在的概率)=(第 二 章 随机变量及其分布13 D 4 6 41.一袋中有5 只乒乓球，编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只，以 X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3,4,5,分布律为P(X 3)P(一球为3号,两球为1,2 号)1 C 23 C 52110 1 C 33 C 52P (X 4)P(一球为4号，再 在 1,2,3 中任取两球)23 10 6 10P(X 5)P(一球为5 号，再 在 1,2,3,4中 任 取 两 球)也 可 列 为 下 表 X：3,4,5 P：1 C 4 C 5313 6,10 10 103.三设 在 15 只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X表示取出次品的只数，(1)求 X的分布律，(2)画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0,1,2个。P(X 0)C 13 C 151332 23 52P(X 1)C 2 C 13C 15 C 2 C 13C 153 21312 3 5P(X 2)1 3 5再列为下表X：0,1,2 P：2 2 12 1,3 5 3 5 3 54.四进行重复独立实验，设每次成功的概率为p,失败的概率为q =1-p(0 p Y)=P(X=l,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=l)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)=C3 0.6 (0.4)(0.3)C3(0.6)0.4(0.3)C3(0.6)0.4 C3 0.7(0.3)(0.6)22123123228(0.3)(0.6)C3 0.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3 0.2439.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4 杯。如果从中挑4 杯，能招甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。(1)某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成 功 3 次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。)解：(1)P(一次成功)=22331231C8 4 1 70136 973)()707010000(2)P(连续试验。次,成功 3 次)=C10(理，就认为他确有区分能力。3。此概率太小，按实际推断原 九 有 一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5 件，仅当 5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%,求(1)这批产品经第次检验就能接受的概率(2)需作第二次检验的概率(3)这批产品按第2 次检验的标准被接受的概率(4)这批产品在第1 次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解：X 表 示 10件中次品的个数，Y 表 示 5 件中次品的个数，由于产品总数很大，故 XB(10,0.1),Y*B(5,0.1)(近似服从)(1)P X=0=0.9100.349(2)P XW2=P X=2+P X=l=C100.10.9 C100.10.9 0.58 1 228 19(3)PY=0=0.9 5 M).590(4)P 0 XW2,Y=0=P 0 XW2P Y=0)=0.58 1X0.590 0.343(5)P X=0+P 010)=P(X 11)=0.0028 40(查表计算)十 二(2)每分钟呼唤次数大于3 的概率。PX 3 PX 4 0.56 6 530 十六以 X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计)，X的分布函数是1 e 0.4 x,F X(x)0求下述概率：x 0 x 0(1)P 至 多 3分钟；(2)P 至少4分钟;(3)P 3 分钟至4分钟之间;(4)P 至 多 3分钟或至少4分钟;(5)P 恰 好 2.5分钟解：(1)P 至多 3 分钟=P X W 3 =F X(3)1 e(2)P 至少 4 分钟 P (X 2 4)=1 F X(4)e 1.2 1.61.2 (3)P 3 分钟至 4 分钟之间=P 3 X W 4 =F X(4)F X(3)e e 1.6(4)P 至 多 3分钟或至少4分钟 =P 至 多 3分钟+P 至少4分钟=1 e(5)P 恰好 2.5 分钟=P (X=2.5)=0 1.2 e 1.60,x 1,1 8.十七设随机变量X的分布函数为F X(x)I n x,1 x e,1,x e.求(1)P (X 2),P 0 X W 3 ,P (2 X 5)；(2)求概率密度 f X (x).解：(1)P(X W 2)=F X (2)=l n 2,P (0 X W 3)=F X (3)-F X (0)