概率论和数理统计-复旦大学-课后题答案.pdf

1概率论与数理统计习题及答案习题一1 .见教材习题参考答案.2 .设A,B,C为三个事件，试用A,B,C(1)A 发生，8,C都不发生；(2)A 与 B发生，C(3)A,B,C都发生；(4)4,B,C(5)A,B,C都不发生；(6)A,B,C(7)A,B,C至多有2 个发生；(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)A B C(3)AB C(4)A U8 UC=A BCU A BC U A BC U A B C U A B C U A B C U A B C=A B C(5)A B C =A B C(6)A B C(7)A BC U A B C U A B C U A BC U A BC U A BC U A B C =A B C =A U B U C)A B U B C U C A=A B C UA BCU A B C U A B C4 .设 A,B 为随机事件，且 P (A)=0.7,P(A-8)=0.3,求 P (A B ).【解】P(A B)=1-P (AB)=1-P(A)-P(A-B)J=1-0.7-0.3 1=0.65 .设A,5是两事件,且 尸(A)=0.6,尸=0.7,(1)在什么条件下P (4 8(2)在什么条件下尸(A8【解】(1)当 A 8=A 时，P C A B)取到最大值为0.6.(2)当AU B=Q(Tt,P(A 8)取到最小值为0.3.6 .设 4,B,C 为三事件，且 P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(B C)=0,P(AC)=1/1 2,求 A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A U 8 U C)=P(A)+P(B)+P(O-P(AB)-P(8C)-P(4 C)+P(4 B C)-4 4 3 1 2 47.5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=C：3 C：3 c：3/图8.(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率；(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设 A 尸 五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1 个，故P(Ai)=二=(-)5(亦可用独立性求解，下同)75 7(2)设 4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为6 5,故,、6、6 ,P(4 2)=-y=(-)575 7(3)设 4=五个人的生日不都在星期日P(A3)=l-P(4)=l-(上)579.见教材习题参考答案.1 0.一批产品共N件，其 中M件正品.从中随机地取出n件(30.如图阴影部分所示.n3 02 1r =-=6 02 422.0,1)中随机地取两个数，求：(1)两个数之和小于的概率；5(2)两个数之积小于工的概率.4【解】设两数为x,y,则(1)x+y._ 4 4P i =-2 5 5-1 Z-0.6 81 1 2 51(2)孙=0.9即为(0.8)W 0.1故至少必须进行1 1次独立射击.3 2.P(A B)=P(A I B),则 A,B 相互独立.【证】P(A B)=P(川 即0 S B)=幽P(B)P(8)亦即 P(AB)P(B)=P(A 5)P(B)P(A B)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)因此 P(A B)=P(A)P(8)故A与B相互独立.3 3.-I,-求将此密码破译出5 3 4的概率.【解】设A尸 第，人能破译 (=1,2,3),则3 _ _ _ _P(4)=1-P(4 4 A)=1-P(A)P(4)P(A)(=14 2 3=1 x-x-=0.65 3 43 4.0.4,0.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0 2若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设4=飞机被击落),B尸 恰有，人击中飞机,i=0,1,2,3由全概率公式，得P(A)=p(A|8,)P(g)/=0=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X 0.5 X 0.7=0.4 5 83 5.为试验一种新药是否有效，把它给1 0个病人服用，且规定若1 0个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到3 5%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】(1)P =C%(0.3 5)*(0.6 5)g =0.5 1 3 8k=010(2)P 2 =ZC：o(0.2 5)(0.7 5)1 =0.2 2 4 1A=43 6.立乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)A=某指定的一层有两位乘客离开”；(2)B=没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”；(4)D=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0层楼中的任一层离开，故所有可能结果为1 0 6种.C294(1)P(A)=1k，也可由6重贝努里模型：1 Q(2)6个人在十层中任意六层离开，故(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；。种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C；种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C；C：C；种可能结果；4人同时离开，有C；种可能结果；4个人都不在同一层离开，有P；种可能结果，故p(c)=c C(c；c：c；+C；+P；)/1(4)D=瓦故P6P(D)=-P(B)=l-冬10637.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】(1)-n-(2)P23!(3)!(一1)!n 3八、，（一 1）!1 ，3!（2）!P=-=-；P2=-；-，23n n n38.a【解】设这三段长分别为x jM T-y.则基本事件集为由0 x q,0 y a-x-yx-（a-x-y）yy+（一1 _ y）x构成的图形，即。逮 x+yPA(P(AB)+P(AC)-P(BC)3 个球随机地放入4 个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3 的概率.【解】设 4=杯中球的最大个数为讣,:1,2,3.将 3 个球随机放入4 个杯子中，全部可能放法有岁种，杯中球的最大个数为1 时,每个杯中最多放一球，故(4)C：3!3而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故43 16因此3 1 9P（A2）=I-P（A）-P（A3）=I-=-0 10 l o43.2 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2 次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,A,B,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故 P (A)=P(8).所以,;等由 2 重贝努里试验中正面出现n次的概率为P故 P(A)=g Q 盘 44.”次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设 4=出现正面次数多于反面次数,B=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P(A)=P(B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P(4)+P(B)=1 得 P (A)=P(B)=0.5(2)当为偶数时，由上题知1 2 1p(A)=-i-c (-n45.”+1 次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲产甲掷出的正面次数，甲 反=甲掷出的反面次数.乙 正=乙掷出的正面次数，乙 反=乙掷出的反面次数.显然有(甲正 乙正)=(甲止W 乙：)=(+1-甲 反 乙 反)=(甲反N 1+乙反)=(甲反 乙 反)由对称性知P (甲正乙正)=P(甲反乙&)因此P(甲 正 乙I E)=246 .Su r e-t h i n g)：若 P (A|C)P(BQ,P(A C)P(B|C ),则 P (A)【证】由P(A|C)2 P(B|0,得一(AC).P(BC)P(C)-P(C)即有 P(AC)P(BC)同理由 P(AC)P(BC),得 P(AC)P(BC故 P(A)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)47.一列火车共有n节车厢，有 伏)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A尸 第i节车厢是空的),3=1,)，则P(4)=(l%n np(A A)=(i-/n_ 1p（4 A A,/i n其中i i/2,Z i是1，2,中的任-1个.显然节车厢全空的概率是零，于是SI=P（A）=（I-4=c（i-%/=i n noS?=p（4 4）=c：（i-l j ns,i=z P（4 4 A .,xr（i-0 i2 *o.试证明：不论e o 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中，A至少出现一次的概率为1 一 (1 )”-1(一8)49.袋中装有，“只正品硬币，只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只，将它投掷/次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 4=投掷硬币，次都得到国徽8=这只硬币为正品m-n由题知 P(B)=-,P(8)=-m+n m+n1 P(AB)=,P(AB)=则由贝叶斯公式知P(例 A)=乜 些=P(B)P(4|B)P(A)P(B)P(A B)+P(B)P(A B)m 1_ m +2 _ mm n m+2rnm+n 2r m+n5 0.巴 拿 赫(B a n a c h)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又【解】以 8、电记火柴取自不同两盒的事件，则有尸(4)=尸(鸟)=；.(1)发现一盒己空,另一盒恰剩r 根，说明已取了 2一次，设次取自B i 盒(己空)，次取自治盒,第 2-r+l 次拿起场，发现已空。把取2-/次火柴视作2”-/重贝努里试验，则所求概率为式中2 反映5 与 B 2盒的对称性(即也可以是星 盒先取空).(2)前 次 取 火 柴，有-1次取自用 盒，次取自&盒，第 2-r 次取自於盒，故概率为5 1.P2=2 0二 _I(；)T g)1 =W)2 iTn重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由一+py=CPqn+Cpqn-+CH2p2qn-2+C：pg。=1(q-P)=C W +C；p尸 +C 2/-2 _+(一i)c：pZ以上两式相减得所求概率为Pi=C：pqT+C：p3q-3+=g i-(q-p)”=:口 _(1_2)若要求在重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p2=1 i+(i-2Pr i.52.设A,B是任意两个随机事件，求 口(,+8)(4+B)(,+7)(A+豆)的值.【解】因 为(AUB)n(A U B)AB U A fi(A UB)n(AU 耳)=ABU 而所求(4+fi)(A+B)(A+B)(A+B)=(A否 AB)(AB+AB)=0故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A,B和CABC=D,尸(A)=P(B)=P(O 1/2,且 P (AUBUC)=9/16,求 P (A).【解】由尸(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),9=3P(A)-3P(A)2=161 3 1 1故P(A)=1或力按题设P(A)（4 瓦 I 4）P（4）/=i故1 3 77 8=一(X 3 10 9H-X-1-15 145 20、2_ X_ _25 24-9P（4 瓦）P（B2）20一61-2一9一61一9058.设 A,B为随机事件，且 尸（B）0,P（A|B）=l,试比较P（AUB）与 P（A）的大小.（2 0 0 6 研考）解：因为P(A B)=P(A)+P(8)P(AB)P(AB)=P(B)P(AB)=P(B)所以P(A B)=H A-R 母 R 瑜习题二1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3 只，以X表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5P（X=3）=P（X=4）=P(X=5)=1一c3一cccl-6故所求分布律为X345p0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；(3)1 3 3P X -,JP 1 X -,P 1 X -,P 1 X 2 .故X的分布律为【解】X =0,1,2.C：,2 2P(X=O)=*=三.C：5 35C!C2 1 2P(X=I)=EH，.C:35p(X =2)=WC1 =-1 kC：5 35(2)当 x0 时，F(x)=P(XWx)=0X 01 2P 22351 2 J _35 352 2当 0Wxl 时，F(x)=P(XWx)=P(X=0)=3534当 lWx2 时，F(x)=P(XWx)=P(X=O)+P(X=1)=35当尤2 时，F(x)=P(XWx)=1故X的分布函数,0,x0,0 x1,1 x 2P(x4)=吗=H，P(1 X.|)=F(|)-F(1)=|1-|1 =O3 3 12P(1 X 1)=P(X=1)+P(1 X 1)=34 1P(1 X 2)=F(2)-尸 -P(X=2)=1 -石-石=0.3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为0.8,求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中2 次的概率.【解】设 X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.p(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C*0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C；(0.8)20.2=0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故 x的分布律为X0123p0.0080.09 60.38 40.512分布函数0,x 00.008,0 x lF(x)=J0.104,l x 20.488,2 x3PX 2)=PX=2)+P(X=3)=0.8964.(1)设随机变量X的分布律为PXa,K.其中4 0,1,2,，儿 0 为常数，试确定常数乙(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,H I,21，N,试确定常数.【解】(1)由分布律的性质知s kl=p(X=%)=a =a e k=0 k=0 k!故a=e(2)由分布律的性质知N Ni=p(x=%)=力 荷=。即a=l.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、V表示甲、乙投中次数，则X (3,0.6),Y 6(3,0.7)(1)p(x =y)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y =i)+p(x=2,y=2)+p(X=3,Y=3)=(0.4)3(0.3)3+C；0.6(0.4)2C；0.7(0.3)2+C；(0.6)2 0.4C；(0.7)2().3+(0.6)3(0.7)3=0.32 076(2)p(xy)=p(x=i,y=o)+p(x=2,y=o)+p(x=3,y=o)+p(x =2,y=i)+p(x=3,y=i)+p(x=3,y=2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3+C*0.6)2().4(0.3)3+(0.6)3(03)3+C*0.6)2().4C；0.7(0.3)2 +(0.6)3C；0.7(0.3)2+(0.6)3C3(0.7)20.3=0.2 436.设某机场每天有2 00架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X6(2 00,0.02),设机场需配备N条跑道，则有P(X N)0.0 1200即Z C：000 0 2y (0.98严 0.01k=N+利用泊松近似入=np=2 00 x 0.02 =4.,2SL 己 一4 4”P(X N N)-2)=l-P(X=0)-P(X=l)=1-8 .已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足口X=1=P X=2,求概率P X=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则GP(1-P)4=C 2(1 P)3故P-3所以 P(X=4)=C；()4 2 =W.5 3 3 2439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3 次时，指示灯发出信号，(1)进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设 X表示5 次独立试验中A发生的次数，则*6 (5,0.3)5P(X 2 3)=Z C；(0.3)(0.7)5-*=0.16 308&=3(2)令 y 表示7次独立试验中4 发生的次数，贝 I(7,0.3)7P(y 3)=Zc；(0.3)“0.7)7 T =0.3529 3k=310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)r 的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3 时没收到呼救的概率；(2)求某一天中午12时至下午5 时至少收到1 次呼救的概率.3_5【解】(1)P(x =0)=e-5(2)P(X 1)=1-P(X=0)=1-e-211.设 P X=Z =Cp (l p)2:D,l,2P y=m =C；p (l -p)J,机=0,123,4分别为随机变量x,y的概率分布，如果已知P X 21=焉，试求【解】因为尸(X 2 1)=5 j,故 P(X 1)=4.而 P(X 1)=1-P(y=0)=1-(1-/?)4=0.802478112.某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5 册错误的概率.【解】令 X 为 2000册书中错误的册数，则 X6(2000,0.001).利用泊松近似计算，A=np=2000 x 0.001 2e 得P(X =5卜-=0.00185!3 113.进行某种试验，成功的概率为巳，失败的概率为一.以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】X=l,2,k,P(X =2)+P(X=4)+P(X =2k)+I14.有 2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月 1 日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在 1 月 1 日，保险公司总收入为2500X I2=30000元.设 1年中死亡人数为X,则 X(2500,0.002),则所求概率为P(2000X 30000)=P(X 15)=1-P(X 1 5)。1-；-0.0 0 0 0 6 9*=o k!(2)P(保险公司获利不少于1 0 0 0 0)=P(3 0 0 0 0-2 0 0 0 X 1 0 0 0 0)=P(X 2 0 0 0 0)=P(X 5)5 e-0.6 1 5 9 6 1 k!即保险公司获利不少于2 0 0 0 0元的概率约为6 2%1 5.已知随机变量X的密度函数为/O c）=A e-E,-o x+o,求：（1）A 值；（2）P O X 1;（3）F（x）.【解】由 /（x）c h =l得J-001 =A eH v|d x=2Ae dx=2 AJ-o o J o故A=.2(2)f X 1 1(3)当 x 0 时，F(x)=f e d x=eAJ-2 2当 x2 0 时，F(x)=e-wd x=-evd x+e-J td xJ-o o 2 J.2 J。2故1 Xe2 ，/(%)=l-ex 021 6.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为1 0 0 、八x 1 0 0,x0,x 150)F=(|)3=：彳令J(3)当 x 1 0 0 时 F (x)=0当龙21 0 0 时 F(x)=f(t)dtJ-00f 100 f xTJ.+LK/(,粒故,1 0 01-F(x)-1 0 0 x 01 7.在区间 0,a 上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在 0,中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知*口0,0,密度函数为f(x)=,0 xaa0,其他故当x a 时，F(x)=1即分布函数0,x0 xF(x)=,0 x a1 8.设随机变量X在 2,5 上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X U 2,5 ,即/(%)=10,2 x 3)=-d x=-1 9 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E).某顾客在窗口等待服务，若超过1 0 分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y 的分布律，并求P yi.【解】依题意知乂 即其密度函数为0,x 1 0)=f -e 5 d x=e-2J i。5Y 6(5,e-2),即其分布律为p(y=幻=C e-2 /(I-e-2 )5-*,k =0,1,2,3,4,5P(y 2 1)=1 -尸(Y =0)=1 -(1 -e-2 )5 =o.5 1 6 72 0 .某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从 N (4 0,1()2)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N (5 0 ,42).(1)若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有4 5 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，X-N(4 0,1 02),则P(X 6 0)=尸、6。渭)=0(2)=0.9 7 7 2 7若走第二条路，X-N(5 0 ,42),则P(X 6 0)=P X-5 0 6 0-5|=0(2.5)=0.9 9 3 8 +故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若 X N (4 0,1 02),则P(X 4 5)=P X-4。=I 1 0 1 0 )若 X N (5 0,42),则P(X 4 5)=P(上也 4 5-5 01 4 40(0.5)=0.6 9 1 51=。(一1.2 5)=1-0(1.2 5)=0.1 0 5 6故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN(3,22),(1)求 口 2XW5,P-4X2,PX3;(2)确定 c 使尸Xc=PXWc.【解】(1)P(2 X W 5)=P(=七之二I 2 2 2 )=0(l)-0 -l =0(l)-l +0=0.8 4 1 3-1 +0.6 9 1 5 =0.5 3 2 8-4-3 X-3 1 0-3、P(-4 X 2)=P(X 2)+P(X 3)=P(-)=1-0(0)=0.52 2(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062)，规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(|X-1 0.0 5 1 0.1 2)=PX-1 0.0 50.0 60.1 2 1-0.0 6 J=1-0(2)+0(2)=2 1-0(2)=0.0 4 5 623.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,r),若要求尸 120 0.8,允许。最大不超过多少？【解】P(1 2 0 X 2 0 0)=P1 2 0-1 6 0 X-1 6 0 2 0 0-1 6 0-0.81.292 4.设随机变量X分布函数为F(x)=A+BQX,X0,0,x o),(1)(2)(3)求常数A,B；求口X W 2,P X 3；求分布密度f (x).【解】(1)由，lim F(x)-1X-+oOlim F(x)=lim F(x)得4A=1、x-0+.-0-B=-(2)P(X 3)=1-F(3)=1-1-e-3 2)=e-3A /(x)=F(x)=00,x 02 5.设随机变量X的概率密度为f (x)x,2 x,0,0 x l,1 x 2,其他求X的分布函数/(x),并画出f(x)【解】当x 0 时尸(x)=0及尸(x).r0 r-v当 0 W x l 时 F(x)=jxf(f)dt=J/由+f(t)dtJo 2当 1 W x 2 时 F(x)=fJ-00=)d f =+J；=JW +J；(2 T)dt1x2 3=I-2x-22 2-+2 x-l2当 x2 2 时 F(x)=/(/)d r=1J-00故0,X22，-F 2.x-1,21,x Q0 x l1 x 22 6.设随机变量X的密度函数为(1)J(x)=ae 叫 X 0;b x,0 x 1,(2)加)=士，1 x 0/(幻=彳-eZ i x 0 时 E(x)=/(x)d x=J|eZ vd x+1 e-1 A(i r1 I 4 T x=1-e2故其分布函数/(x)=0 x 0由 1 =匚/(力 心=J x k +J：J d _ r=g +；得b=l即X的密度函数为x,0 x 1/(x)=-4，i x 2X0,其他当x WO时/(x)=0当 0 a 1 时 F(x)=j /(x)d x=j f(x)dx+f(x)dx2fA.厂=xdx=J o 2当 1 W x 2 时 F(x)=J f(x)d x=J O d x+xd v+-4-d r_ 3 _J _2 x当x 22时 尸(x)=1故其分布函数为0,x 0 x2,0 x lF W=32 1-,l x 22 7.求标准正态分布的上a 分位点，(1)a=0.0 1,求 z；(2)a=0.0 0 3,求 zza/2.【解】P(X Z a)=0.0 1即 1 G(z“)=0.0 1即0(za)=O.O 9故Z a=2.3 3(2)由 P(X Z a)=0.0 0 3 得即l-0(za)=0.0 0 30(za)=0.9 9 7查表得Z a=2.7 5由 P(X Za/2)=0Q015 得l-0(za/2)=0.0015即0(za/2)=0.9985查表得 Z&/2 =2.9628.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/3 0求y=x2的分布律.【解】y可取的值为0,1,4,9p(y=0)=p(X =0)=1 1 7p(y=1)=p(X=-l)+P(X=1)=-+=6 15 30p(y=4)=P(X=-2)=|P(y=9)=P(X=3)=故 丫的分布律为Y0 1 4 9Pk1/5 7/3 0 1/5 11/3 029.设 P X=Jt=(L；仁 1,2,，令2V f 1,当X 取偶数时-1,当X 取奇数时.求随机变量x的函数y的分布律.【解】P(y=l)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=2 Z)+吴夕+5+p(y=_ l)=l_ p(y =l)=g3 0.设 X N(0,1).(1)求丫=6*的概率密度；(2)求r-2X2+l的概率密度；(3)求y=i x i的概率密度.【解】(1)当 yWO 时，FY(y)=P(Y0 时,FY(y)=P(Y y)=P(e y)=P(X 0dy y y 72 T t(2)=2X2+121)=1当 yWl 时4(y)=P(y Wy)=0当)1 时 耳(y)=P(y4 y)=P(2X2+l Ky)1J(yT)/2J-y/(y-l)/2fx(x)dx+fx当 yWO 时(y)=P(y 0 时 FY(y)=P(|Xy)=P(-y X 0J2TI3 1.设随机变量X U(0/)，试求:(1)Y=eX的分布函数及密度函数；(2)Z=-21nX的分布函数及密度函数.【解】P(O X 1)=1故 P(l y=ex e)=l当 y 1 时 FY(y)=P(y y)=0当 l )e 时 4(y)=P(ex y)=P(X In y)当 y2 时 4(y)=P(ex y)=l即分布函数Q y iK(y)=,1 y e故 y 的密度函数为A(y)=i y，o,1 y e其他(2)由 P(O X 0)=1当 z WO 时，B(z)=P(ZKz)=O当 z 0 时，Fz(z)=P(Z z)=P(-21n X z)P(l n X e-z/2即分布函数%(z)=0,z 0故 Z 的密度函数为3 2.设随机变量X 的密度函数为*)=,0 x 兀,0,其他.试 求y=s inX的密度函数.【解】p（o y i）=i当 ywo 时，K(y)=P(y4 y)=o当 0勺 1 时,Fy(y)=P(Y y)=P(s in X y)-P(O X ar cs in y)+P(7 t -ar cs in y X n)arcsin y 2 x,广 兀 2 x,=-z-dx+-r dxJO 兀 J兀-arcsin j 兀=4(ar cs in y)2 ar cs in j)27 I 7 t-2=ar cs in y兀当)，时，4。)=1故y的密度函数为 2 1 ,、，一 i7,o y i/r(y)-,7 1o,其他3 3.设随机变量X的分布函数如下：1 小E V ；-T，x (3).试填上，,项.【解】由l im 0 x)=1知填1。由右连续性l im F（x）=E（Xo）=1知/=0，故为0。从而亦为0。即-v,x 03 4.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设4=第i枚骰子出现6点。（i=l,2）,P（4）=L且4与4相互独立。再设C=每次6抛掷出现6点。则p（c）=p（A A2）=p（A）+/,（A）-m）（A）故抛掷次数X 服从参数为一的几何分布。3 63 5.随机数字序列要多长才能使数字0 至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令 X 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含个数字，则X b(n,0A)P(X 1)=1-P(X=0)=1-C(0.1)(0.9)n 0.9即(0.9)“0.1得 22即随机数字序列至少要有22个数字。3 6 .已知0,xQ,F(x)=x 4 ,0 4x 一,2 2则 F (x)是()随机变量的分布函数.(A)连续型；(B)离散型;(C)非连续亦非离散型.【解】因 为/(x)在(-8,+8)上单调不减右连续，且 l im F(x)=Ql im/(x)=l,所以尸(x)是一个分布函数。但 是 F (x)在 x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)3 7 .设在区间 a,加上，随机变量X的密度函数为_/(x)=s inx,而在 a,例外，段)=0,则 区 间 a,b 等 于()(A)0,n/2;(O -)2,0;(B)0,n ;3(D)0,-7 T .【解】在 0,上 s inxO,且 I s inxdv=1 .故|工)是密度函数。2J()在 0,兀 上 J。s inxdv=2。1 .故段)不是密度函数。7T在 一E，。上s i n x W O,故人x)不是密度函数。3 3在 0,兀 上，当兀x 兀时，s inxvO,大彳)也不是密度函数。2-2故 选(A)。3 8.设随机变量X N（0,。2）,问：当。取何值时，X落入区间（1,3）的概率最大？【解】因为 X N（0Q2）,P（1 X 3）=P（L X ）b b b=o）（a）一（工）令g（b）y a 利用微积分中求极值的方法，有,3 3 1,1g（b）=（-7）（一）+f （）b a （j a3 1 -9/2T2 1 1 -l/2c r21V2 c r2令e-l/2a2 1_3 e-8/2a J =0得加4-厕I n 3又g (b o)。2故5）为极大值点且惟一。Vl n 32故当 0 x0)=1,故 0 l-e-2x i,Bp p(0 r l)=1当 y W O 时，Fy(y)=0当 y 2l 时，Fy(y)=1当 0)l 时，(y)=P(y 1 -y)=j j ”2eNdx=y即 y的密度函数为fl,0 y l/r(y)=o,其他即 Y U(0,1)41.设随机变量X的密度函数为,0 x 1,y(x)=3 x 6,0,其他.若 k 使得P X 2Z =2/3,求人的取值范围.2 1【解】由 P(X k)=一知 P(Xk)=-3 3若 kO,P(Xk)=O(2000研考)若 0 W A W 1,尸(X k)=C *=:g当上1 时 P (Xk)=-3若 1WZ W3 时 P(Xk)=f I-d x+O d x =一J。3 Jl 3若 3 k W 6,则 P (X6,则 P(Xk)=12故只有当1 W k W 3时满足P(X N k)=一.342.设随机变量X的分布函数为0,x 1,0.4,一 1 x 1,尸(x)=0.8,1 x 3.求 X的概率分布.(19 9 1研考)【解】由离散型随机当量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X|-1 1 3P 0.4 0.4 0.243.设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率为19/27,求 A在一次试验中出现的概率.【解】令 X为三次独立试验中4 出现的次数，若设P (4)=p，则X b(3,p)19 8由尸(X N 1)=知 P (X=0)=(1-p)3二一27 27故p=g44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程V+X y+b O 有实根的概率是多少？【解】0,其他,4P(X2-4 2 0)=P(X 2)+P(X -2)=P(X N 2)=g45.若随机变量 X N(2,。2),且尸2 X 4=0.3,则PX0=.2 2 Y _?4 2【解】0.3=P(2 X 4)=P(-)a a a2 9=o(-)-0(0)=0()-0.5(J a故(2)=0.8(JX _ 2 0 2?因此 P(X 0)=P(-)=0(一一)(J(T (T=1-0)()=0.2a46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(22)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1)全部能出厂的概率。；(2)其中恰好有两台不能出厂的概率；(3)其中至少有两台不能出厂的概率0.【解】设 4=需进一步调试,B=仪器能出厂,则.=能直接出厂,AB=经调试后能出厂由题意知B=A U A B,且P(A)=0.3,P(B|A)=0.8P(AB)=P(A)P(B|A)=0 3 x 0.8=0.2 4P(B)=P(A)+尸(A3)=0.7 +0.2 4=0.94令 X为新生产的台仪器中能出厂的台数，则*6(，0.94),故a =P(X =)=(0.94)=尸(X =-2)=C；(0.94)”96)=P(=i-(竺)1 (T 7)(T2 4故0()=0.97 7(T2 4查表知 =2,即。=1 2从而 X-N (7 2,1 2 2)故 P(60 X 84)=P60-7 21 2X-7 2 84-7 21 21 2=一(-1)=2一 1=0.68248.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和 0.2(假设电源电压X 服从正态分布N(220,2 5?).试求：(1)该电子元件损坏的概率。；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率【解】设解=电压不超过200V,A2=(电压在2