2021-2022学年浙江省百校高三（下）开学数学试卷（附答案详解）.pdf

2021-2022学年浙江省百校高三（下）开学数学试卷1.已知集合4=x|/+尤 一 2 W 0 ,集合B=x|y=log2（x+1），贝物DB=（）A.-2,1 B.（-1,1 C.（-1,2 D.1,+oc）2.已知i为虚数单位，若复数z=l-V i,则印|=（）A.2 B.2百 C.4 D.4/33.在 ABC中，“荏 而 0”是“AABC是钝角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件%+y 4,4.若实数x,y满足约束条件 2yW0,则z=x+y的最小值是（）y -2 x 0,b 0)与圆/+y2=非在第二象限相交于点M,a,尸 2 分别为该双曲线的左、右焦点，且sin 4 M&B =3 sin/M F 2 F i，则该双曲线的离心率为()A.V2 B.1 C.V3 D.29 .已知实数机，n,函数/(x)=/+m x +n,满足/(2)/(3)S 0,则m?+2 n m 的最大值为()A.-B.-C.-D.-3 5 3 51 0 .在数列 即 中，已知3叫 9,且0n+1 =三+；,则以下结论成立的是()0.21 4 0n+2 2A.a6 1 C.a8 1 D.a9 11 1 .已知函数/(x)=lo g a(x+1)，f(f(a-1)=2,则。=.1 2 .如图，在棱长为2的正方体4 B C D 4 iB iG D i中，E,尸分别为梭CD,DA的中点，则平面B E F 截该正方体所得截面的面积为.1 3 .在(1 2 x)8 的展开式中，第 2 项 的 系 数 为,含/项 的 系 数 是.1 4 .在Z iA B C 中，AM是N B 4 C 的角平分线，且交BC于M.已知A M =2 7 5,=2,M C =3,则4C=,co s4 A M e=.1 5 .小明上学途中共有个红绿灯，且小明遇到每个红绿灯的概率均为号 记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为卷，则n=,E(f)=.1 6 .巳知(2 a +V 4 a 2 +l)(b +旧 H)=1,则2 a +b +鬲 富 黑 韦 的 最 大 值 为，此时a +b=,1 7 .已知平面向量落3 和单位向量及，/满 足 百=-五，|五-由+五|=3|五+瓦一行 I，3 =2 1+区，2/1 +=2,当方变化时，|方|的最小值为相，则 根 的 最 大 值 为.1 8 .已知函数/(X)=V 5 sin xco sx+g-co s?%,函数y=/Q)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2 倍，再向左平移g 个长度单位，得到函数y =9(%)的图象.(1)求函数y =的最小正周期和单调递减区间；(2)当xe*引 时，求函数y =g(x)的值域.第2页，共15页19.如图，在四棱锥P-4B C 0中，PA A.AD,PA 1 CD,Z.ADC=p AD=DC=AP,ABC为正三角形.(1)证明：PD 1 CD；(2)求BP与平面PCO所成角的正弦值.20.已知数列&中科 0,且满足即_1 =2碌-30n(n G N*,n 2),数列%满足bn=2an+l,7；是数列 与 的前项乘积，数列 为单调数列.(1)求的的取值范围；(2)若数列 斯 为单调递增数列，的=：,求”的取值范围.21.已知椭圆G：5 +=l(a b 0)的左、右焦点分别为a,F2,焦距为2,离心率6=与，抛物线E：y2=2px的焦点是尸2,M是椭圆C上的任意一点，且位于y轴左侧，过点M分别作抛物线E的两条切线，切点分别为R Q.(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)求仆MPQ面积的取值范围.22.已知函数/(x)=+Inx)+n.(1)若f(x)在定义域内单调递减，求m的取值范围；(2)若“%)在点(1,令处的切线斜率是右证明：/(x)有两个极值点看,x2(xi，且31n2+In.nx2 3+nxr.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合力=xx2+%-2 0 =x|-2 x -1 ,则4 n B =x|-1 x W 1 .故选：B.求出集合4,集合8,利用交集定义能求出/D B.本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.【答案】C【解析】解：1 z =1 -V 3 i,z2=(1 -V 3 i)2=-2-2 V 3 t,z2 =1 2 2 +(-2 V 3)2=4.故选：C.结合复数模公式，即可直接求解.本题主要考查复数模公式，属于基础题.3.【答案】A【解析】解：由题意可知若“而 万0”则必有角A为钝角，可 得“A B C是钝角三角形”，而“A B C是钝角三角形”不一定角A为钝角，可能角B或C为钝角，故推不出角A为钝角，故可得“四 前0”是“A B C是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A由 希 公 0,故选：A.利用/(%)=写乎=笺 干，则f(x)=f(x),函数为偶函数，再利用/(0)0可判断.本题考查利用函数的奇偶性以及特殊值判断图象，属于中档题.6.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体是三棱锥，正方体的一个角.几何体的体积为：|x|x42 x 2 x 2 =-,3该几何体内切球的半径为r,|x|x 2 x 2 x r x 3+|x x (2A/2)2 x r =4 r +乎r，所以2 r +乎r =3 3解得r=1 一日.故选：B.判断几何体的形状，利用几何体的体积，转化求解即可.本题考查三视图求解几何体的内切球的半径，是中档题.7 .【答案】C【解析】解：由于在A 4 B C 中，O A O B=0B-0C,所 以 丽 方=0,即。B J.4 C,同理：0 4 1B C,O C LA B；所以。为 A B C 的垂心，连接80并延长交AC于点E,如图所示：由向量的投影可知：AB-AC=A0-AC=A0-AD=-.故选：C.直接利用向量的线性运算和向量的数量积运算求出结果.本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.8 .【答案】C【解析】解：在&尸 2 中，s i n/M F/2 =3sinM F2Fr,.由正弦定理得3|M F1|=|M F2|,又丫附尸2|一附&|=2 61,；.附&|=1,四尸2|=3(1,在A O M F i 中，0M =b,：.I M Fi l =a,|O F/=c,|0 M|2+|M F/2 =|O Fi，M)M F=9 0 ,设M(x o，yO),则由等面积法得：3 四 尸 小 眼&|=；|。&50,即泗=喘辔=段,z z 1*11 cv M在圆/+y2=坟上，.XQ=b2-yo=b2 号 =又 M在双曲线圣一=l(a 0,b 0)上，.鸟 整=1,即；与 一 白 号=1,即K一1=1,a 4 =0 2 c2,a2 b2 a2 c2 b2 c2 a2c2 c2 b2 a2=a2,b2=2 a2,信 二2,第6 页，共 15页故选：c.根据正弦定理得3|MFJ=MF2,结合双曲线定义可求|MF1|=a,可判断 0 M a为直角三角形，故可求M 点坐标，将 M 点坐标代入双曲线方程即可求得。与 6 的关系，故而可求出离心率的值.本题考查双曲线的几何性质，以及离心率的求法，属中档题.9.【答案】B【解析】解：f(2)=4+2m+n,/(3)=9+3m+n,又f(2)(3)=(4+2m+n)(9+3m+n)0,展开得：6m2+n2+5mn+30m+13n+36 0,mn 1(6m2-n2-30m 13n 36),m2+2mn 当且仅当m=-y,n-当 时，m2+2mn有最大值号，故选：B.分别计算f(2)与/(3),再将/(2)(3)=(4+2 m+切(9+3M+71)展开，利用二次函数性质可解.本题考查二次函数性质，属于中档题.10.【答案】C【解析】解：根据题意，在数列 册 中，与+1=彘+点则限】+1=-+*1=_ +三=迎 屿n+1 4an+2 2 4 az i+2 2 2an+lc 1 _ 3 1._ 3 1 _n+1-4 ati+2 2 -4 an+2 2 -2 an+l，则有皿 里=一3X巴1 1,an+i-1则数列 是公比为-3 的等比数列，0n-1设1=吧，则3 c t 9,a2-l则Q=吧 X (-3)n-2=t X (3)n-2,0rl-1 a 2 T 由此可得：。7 1 0,&9 一 1 0,&8 1 0,即&7 1,a9 1,。8 L故选：C.根据题意，求出an+i +1与即+1 -1,分析可得皿2=-3 x笔，由此可得数列 笔an+l_ 1 an-l n-1是公比为-3的等比数列，设=归，求出数列 安 的通项公式，由此分析可得答案.本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的性质，属于难题.1 1 .【答案】V 2【解析】解:函数/(x)=l o g a(x +1),f(f(a-1)=2,1 /(a-1)=l o g a(a-1 +1)=1.,/(/(a-l)=/(l)=l o ga2=2,可得a?=2,故a=也,(负值舍)，故答案为：V 2.根据函数的性质直接从里往外去括号求解即可.本题主要考查函数值的计算，属于基础题.1 2.【答案【解析】解：如图：连接尸公,&B,易得B 4 J/E F,贝i j&、B、E、_-0.F四点共面，故四边形&B E F为所求截面，/J x r 7|四边形4 B E F为等腰梯形，R c又由正方体AB C。-Ai B i G S中，棱长为2,则E F =V 2,=2V 2,BE=ArF=V 5,所以梯形的高九=斤I二 号故截面的面积为S =*及x乎=/故答案为：,根据题意，连接力/,分析可得四边形&8 E F为所求截面，易得四边形&B E F为等腰梯形，进而计算梯形的各边边长，由梯形面积公式计算可得答案.本题考查了截面的性质，涉及到正方体的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.1 3.【答案】一1 6-4 4 8【解析】解：(1 一 2x)8的展开式的通项公式为：Tr+1=q (2x)r,.第2项的系数为：Cl-(-2)=-1 6,含一项的系数是：盘(一2)3 =-4 4 8,第 8 页，共 15页故答案为：-16,-448.由二项展开式的通项公式即可求解.本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.14.【答案】3百 6【解析】解：在AABC中，AM平分4 B Z C,由角平分线定理可得登=器=；,AC MC 3设力8=2x,AC 3%,LAMB+Z.AMC=180,cosZ.AMB=-cos44MC,由余弦定理得,8 M 2+/M 2-_ 四2+3 2-心2BMAM-2MCAM即4+12-4%22X2X2行9+12-9/2X3X2行解得=V3,AC=3V3,AB=2V3,cosZ-MAC=1 M 2+4C2-M(722AMAC12+27-92X2V3X3V35一,6故答案为：3%；6由角平分线定理可得第=|,设4B=2x,AC=3 x,由cos乙4MB=-COSNAMC结合余弦定理可求出x 的值，进而得到A C,再在A4MC中利用余弦定理即可求出COSNMAC的值.本题主要考查了角平分线定理，考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.15.【答案】吗【解析】解：由题意可得，f B(n*),7122且/7*,某次小明上学途中遇到红灯的次数为f,且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为捺,C耙)2(|厂 2=*解得n=4,1 4E(f)=4 x-=-.故答案为：4；g.根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及二项分布的期望公式，即可求解.本题主要考查二项分布的概率公式，以及二项分布的期望公式，属于基础题.16.【答案】-20 解析】解：2a+b+.-.-4 eL=2a+b V4a2+1 y/b2+1=2a-74a2+1+b-y/b2+1,=_(_ _|_ 2_2a+V4a2+l b+Jb2+r令m=2a+74a2+1,n=b 4-y/b2 4-1,得nm=l,m 0,n 0,：2a+b+市；+1 k+1 =_ C +;=一(巾+n)W 2师=2,当且仅当m=n=1时，取等号，则a=b=0,a+b=0,故答案为：-2,0.禾 I 用 2Q+b+.4ar=2a yjd21 +1+b Vb2 4-1=(-；?+7/=T=)，V4a2+1-Vb2+1 v2a+V4a2+l b+W+i，令m=2a+、4/2+1,九=b+7b2+1,得2a+b+/:恒=一(工+1)，再利V4a2+1-Vd2+1 ny用基本不等式可解.本题考查基本不等式的运用，属于较难题.17.【答案】|【解析】解：不妨设 瓦(=(1,0),a=(x,y),则 由 题 知/=(-1,0),a-et+e2=(x-2,y),a+-e2=(x+2,y),又|五 一 击+芍 1 =3|五+再 一 之|,所以-2年 +y2=3/(%+2)2+y2,整理得(x+|)2+y 2=,所以 4 S X S 1,又 b=Aa+/ie1,2A+=2,所以另=Aa+(2-24)诙=(Ax+2-22,Ay),而|E|=V(Ax+2-2A)2+(Ay)2=y/A2(x2+y2)+22(2-2A)x+(2-2A)2,将代入整理得：b=y/-9xA2+(4%-8)A+4,令/(4)=-9x4?+(4x 8)A+4,%6 4,-1)-9 x 0,有最小值，/.、16X(-9 x)-(4 x-8)2 4x,16.20八，min 一 36X 9 9x 9.7*.I4X,16,20】7n=Imin=+9x+G-4,-1,又 +义 工？咯W=?，当且仅当=-2 时等号成立，9-9x 7 9-9%9所以。m =I，当 =2时 in有最大值|.故答案为：|.不妨设 瓦*=(1,0),五=(%/)，则由题知孩=(-1,0),由已知条件得(x+|)2+y2=-4%-1,将曲坐标表示，并求模，代入22+=2及。+1+、2=整理得13 1 =J-9%乃+(4%-8)2+4,构造函数，求出最小值，表示出机的解析式，用均值不等式求其最大值即可.本题考查函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题.第10页，共15页1 8.【答案】解：(1).,函数/(%)=Bs i n xc o s x+1 c o s 2%=?s i n 2 x c o s 2 x=s i n(2 x-),6把函数y=f(x)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2 倍，可得y=s i n(x 一9的图象，6再向左平移弓个长度单位，得到函数丫 =9(乃=5 访0+刍的图象，显然，它的最小正周3 6期为2 7 r.令2kli+-%+-2ku+,求得2/CTT+-x 故函数y=g(x)=s i n(x+停,1 ,即g(x)的值域为E，l .【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin(cox+(p)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论.(2)由题意，利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.本题主要考查三角恒等变换，函数y=A s i n x+)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.1 9 .【答案】证明：(1)由P 4 1 4 D,P A 1 CD,RADCCD=D,贝|J P 4 _ L 平面 A B C D,又CD 二平面 A B C D,贝 U C O 1 P A,由=p 则4。1 CD,y.ADCP A=P,所以CD J L 平面A P D,且P D U 平面AP D,所以P D 1 C D；解：(2)由(1)可得P 4 J 平面A B C Q,以A P,A。分别为y,z轴，在平面A BC。内过A点作A D的垂线为x 轴建立空间直角坐标系：设4 D =CD=1,则4 P =2,AC=V LA.ADC=,AD=D C,贝IJN/MC=45,则NCAx=90-45=45,BAx=60-45=15,由ABC为正三角形，W OXfi=AC=y/2,所以4=|4B|cosl5。=节更,ys=|AB|sinl5=与叵，即B(等，与更,0),所以4(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),C(1,1,0),所 以 而=(喑 1，-2),同=(1,1,-2),CD=(-1,0,0),设平面PCQ的法向量为元=(x,y,z),则伊.生二,即:爹2z=。，取五=(0,2,1),设BP与平面PCD所成角为。，则，也”四 伍，丽)=|懿|=舍=中,【解析】(1)先证明CD 1 P 4结合条件证明CD 1平面A P D从而得证；(2)以AP,A。分别为y,z轴，在平面ABCQ内过A点作AC的垂线为x轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)由与-1 =2吗-3an(n e N*,n 2 2),得册_1 =an(2%i-3),an 0且数列 册 为单调数列，.仁?二W ：I则 即 5且 斯牛2(n G N*,n 2),当九=2时，%=2al 3a2，又。2 ,且。2。2,可得%0且 H 2,Qi的取值范围是(0,2)U(2,+8)；(2)an_=2-3an=(2an+l)(an 2)+2,2an+1=个 三，.Tn=b1-b2 bn=(2%+1)-(2a2+1)(2Q+1)C 、al-2 a2-2 an-l _ 2 m 、al-2=(2Q1+1)-5 -5 -5-=(2。1 +1)-0.2 2 03 N dn-L C Ln L3v ai 29*T-，2 -an an-i=an(2an-3),数列 即 为单调递增数列，,哈 an,即。2 a n-3 l,得|a n 6.7；的取值范围是(6,+8).【解析】(1)由册-1 =2成-3册(7 1 6 N*,n 2 2),得M-=an(2an-3),结合题意可得1望则册 1且 厮.2,则。2|且。2#2,在已知递推式中，取九=2,得的=2匿一 3a2，进一步可得的的取值范围；(2)由与-1 =2吗 3即=(2即+1)(即-2)+2,二2(1+1=臭4，利用累积法得=意，再由数列 即 为单调递增数列，得|an 0,所以切线MP的方程为y0=2(%+/)，切线MQ的方程为y 2 y =2(%+犯)，-得，y(y i -y2)=2(%i -次)，即y =之区一)=2 ayi-yz+得，y(y i +丫2)=4%+2(%1 +%2)即2 t 4 t =4%+2(4 t2+2 m),所以=m,故点M的坐标为(-m,2),因为点“在椭圆上，且位于y轴的左侧，所以?!?+1 2 t 2=1,且一再 0,/z(x)=1 +I n x m x 0 m -1+n x.令g(x)=上詈，乂 o，求导得g (x)=-,，当0 x 0,当 1 时，“(X)3当0 x 0,当x 2 时，/i (x)0,因此，尸。)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，而(*=/0,f(e2)=3?0,即(x)分别在区间g,2)和(2,e 2)内有零点%1,x2,当0 x 不时，/(X)0，当*1 x 0所以，函数/(x)在,2)和(2,e 2)内各有一个极值点与，小，即/(X)有 两 个 极 值 点 x2,第14页，共15页而，(工)=2 ln2=InVe+-InVe ln2 lnl.6+lnVL6 ln2 lnl.6+lnl.25 ln2=0,/0,则有:%i 0,f(e2)0,则有4 x2 e2,于是得-1 Inxj ln2,21n2 lnx2 2,则31n2 lnx2 lnxx 3,所以31n2+lnxx lnx2 3+lnxx.【解析】(1)求出函数/(%)的导数，由导函数值恒小于等于0求解作答.(2)利用导数结合函数零点存在性定理探讨函数f(x)有两个极值点，再求出两个极值点的范围即可推理作答.本题考查了利用导数研究函数的极值问题，属于难题.