2021-2022学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

202L2022学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.（）分）1 .已知z i =l-2 i,则在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .某种彩票中奖的概率为 康，这是指（）A.买1 0 0 0 0张彩票一定能中奖B.买1 0 0 0 0张彩票只能中奖1次C.若买9 9 9 9张彩票未中奖，则第1 0 0 0 0张必中奖D.买一张彩票中奖的可能性是嬴3 .已知c os（a+（）=|,则s讥2 a=（）A.（B.C.D.25 25 25 254.已知两个单位向量五，方的夹角为6 0。，若2日一方+不=0,则|m|=（）A.3 B.V 7 C.V 3 D.15.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为竽，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为（）A.1 B.1D.；46.已知a,3是两个不重合的平面，m,九 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若？n 1 a,n A.0,m l n,则 a 1 /?B.若m a,n/?,m/n,则a 夕C.若m a,n u 6,aS，则m nD.若?na,a_L,则m _ L n7 .已知A B C为锐角三角形，A C =2,4=则B C的取值范围为（）OA.(l,4-oo)B.(1,2)C.(译)D.萼 2)8.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件4为“两次记录的数字和为奇数”，事件8为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件。为“第二次记录的数字为偶数”，则（）A.4与。互斥 B.C与。对立 C.4与B相互独立 D.4与C相互独立二、多 选 题（本大题共4小题，共2 0.0分）9 .对于一组数据2,3,3,4,6,6,8,8,则（）A.极差为8 B.平均数为5 C.方差为r D.40百分位数是441 0 .已知正六边形4B C 0 E F的中心为。，则（）A.O A+O B+O C+O D +O E +O F =0B.A C-A F =2D EC.存在2 e R,AC+AE =X（AB+AF）D.AD BE =AD F C1 1 .在 A B C中，内 角 所 对 的 边 分 别 为a,b,c,三条中线相交于点G.已知b =c=2,a=3,N A B C的平分线与4C相交于点。，则（）A.边4c上的中线长 为 反B.48C内切圆的面积为多C.B C D与B A D面积之比为3：2D.G到4c的距离为亚161 2 .已知函数/（x）=（s i nx -c os x）|s讥x +c os x|,则（）A.的最小正周期为2 7 rB.函数/（x -彳）在 0,自上单调递减C.当+|/（%2）|=2时，X1+X2=y,f c e zD.当函数g（x）=/（%）+a在 0,2兀 上有4个零点时,0 a b=(2sinx,cosx+V 2 c o s0)(1)若求c o s(u+0)；(2)若。=?,函数/(x)=五.石(x 6 0,兀 )，求/(x)的值域.2 0 .甲、乙两人分别对4,B 两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中4,8 的概率均为:，乙击中4 B 的概率分别为%|.(1)求4 被击毁的概率；(2)求恰有1 个目标被击毁的概率.2 1 .在四边形4 B C 0 中，/.ABC=Z.D AB.(1)若乙4 B C=p AB=2,CD =1,求四边形4 B C D 面积的最小值；(2)若四边形4 B C D 的外接圆半径为1,ABC G(0,求p=4 B B C CD Z X 4 的最大值.2 2 .如图，在直四棱柱4 B CD -4道。1 中，底面力B C D 为平行四边形,A D =BD =5AB=AAr=2.(1)证明：801平面4。遇1；(2)若点P 在棱CD 上，直线&D与平面P44所成角的大小为0.画出平面P 4 4 1 与平面B B i D i D 的交线，并写出画图步骤；求si n。的最大值.第4页，共18页答案和解析1 .【答案】c【解析】解：由zi =l-2 i,得z=0 =空 学=-2 在复平面内复数z对应的点的坐标为(-2,-1),位于第三象限.故选：C.把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2 .【答案】D【解析】解：如果某种彩票的中奖概率为嬴，则买1 0 0 0 0 张这种彩票仍然是随机事件，即买1 0 0 0 0 张彩票，可能有多张中奖，也可能不能中奖，排除4 B；若买9999张彩票未中奖，则第1 0 0 0 0 张也是随机事件，旦发生概率仍然是就，故 C错误，这里的中奖的概率为康，是指买一张彩票中奖的可能性是嬴，故力正确.故选：D.根据事件的运算及概率的性质对四个说法进行验证即可得出正确的说法的个数，选出正确答案.本题考查概率的意义及事件的运算，属于基本概念题.3 .【答案】A【解析】解：1,c os(a +9 =I，sin2a=c os(2 a +1)=-2 c osz(a +)1 =故选：A.由已知利用诱导公式及倍角公式求解.本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题.4 .【答案】C【解析】解：因为2 2 匕+口=0，即E =b 2 方，所以|七=|3一2 矶=一4 五 B +4 五 2 =Jl-4xl xl x|+4 =6，故选：C.根据2U-b +c=0 可得3=石 一 2五,再由模的运算公式计算即可.本题考查平面向量数量积的运算性质，考查向量模的计算，属于基础题.5 .【答案】D【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为a,高为心斜高为九，E 为C O 的中点,P则由题意得：”;四 台 二 四 小a 4 4则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为S1，S1=/=一?=（等a）2-9=1+/5 7-a，8设该四棱锥侧面积为52=4=2 a 四 a =&a 2,N242所以*=1 =;.Si 5 4故选：D.设正四棱锥的底面边长为a,高为八，斜高为儿 E 为C。的中点，则由题意得，=牝 1 a，4分别用a 表示出以该四棱锥的高为边长的正方形面积和该四棱锥侧面积，即可得出答案.本题主要考查了四棱锥的表面积有关的计算问题，属于基础题.6 .【答案】A【解析】对于4,若7 nl.a,n i p,m l n,可将m,TI平移至相交直线，由公理3 推论2,确定一个平面y，由线面垂直的性质可得a,0 的交线 垂直于平面y,进而得到 垂直于y 和a,0 的交线,第6 页，共1 8 页且y 和a,0 的交线与m,n或其平行线能围成矩形，由面面垂直的定义，可得al。，则A正确；对于8,若ma,n/p,m/n,当z n,n都平行于a,0 的交线，则条件满足，则a,/?相交成立，则B 错;对于C,若rna,n u ,a/?,则m,兀可能平行、可能异面、可能相交，所以C错：对于D,若ma,n0,a 10,则m,凡可能平行、可能异面、可能相交，所以D 错.故选：A.根据线面、面面及线线关系逐项判断即可.本题考查线面关系，考查学生的推理能力，属于中档题.7.【答案】C【解析1 解：由于力B C 为锐角三角形，(.7 TA=-6故 0 B三 ,整理得；8今0 -B -6 2故由正弦定理得：各=等，整理得B C =*，sinB stnA sinB由于遗 si nB 1，2所以1 又因为 c osB =|贝|J4乔之=4+9+2X2X3X：=2 2,贝=苧.故 A 不正确；因为cosB=11-=设力B C内切圆的为r,4 q 16 4SABC=I acsinB=；(a +b +c)r,则3 x 2 x 勺=(2 +2 +3)r，则r =，NN 4 14 4 B C内切圆的面积为：7T(亚Z)2=也，故8正确.14/28对于C,由角平分线定理知：产=*=器=|，所以c正确；BAD AD AB C 对于D,因为b =c =2,在三角形B/M和三角形B F C中,c o s4AF B=-c o s/BF C,则2BF =_12BF 2,解得：BF =2，所以GF=：X =隼，所以CO S N BR 4=上些=中=蟀，3 2 6 2BF yf22 44所以si n/BF A=空亘，44所以G到A C的距离为：G F si n 4B凡4=皿*叵=先，故力不正确.44 6 4故选：BC.如图，取4 B、AC.B C边上的中点N、F、E,则边4 C上的中线 为 乔=*瓦？+前)，两边同时平方结合向量数量积即可判断4设 4BC内切圆的为r,由S A4BC=：a c si n B=i(a +h +c)r,求出r即可判断B；由角平分线定理，产=累=器，可判断C；G到AC2SABAD A。4 8的距离为G F s讥N B F 4 求出G F,si n/B/M代入可判断0.本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题.12.【答案】AC【解析】解：依题意，/(%)=c o s 2 x,+2kn%+2kn cos2x,-4-2kn%4-2kn4 4(k e Z),函数/(x)部分图像如图:若函数/。-令 在。申上单调递减，则“X)在-久 上单调递减，从图中可知，B不正确.因，(X l)|W l且，(X 2)|S l,则当+|/(%2)1 =2 时，|c o s2%i|=1 且|c o s2%2 l =1，第1 0页，共1 8页则Xi=等，不=等，的，k2&Z,因此，与+%2=迦=拶，ki+0 =k e Z,故 C 正确；函数g(x)=f(x)+a在 0,2兀 上有4个零点时,即/(x)=-a,则y=/(尤)与y=-a 的图像在 0,2兀 上有四个交点，所以0 -a ,或一 1 -a 0,所以-l a 0,或0 a 所以五在方的投影向量为|a|cos 卷=需 石=等 石=(2,4).故答案为：(2,4).根据投影向量的定义计算即可.本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题.15.【答案】一号+孝出答案不唯一)【解析】解：设z=a+bi,(a,b G /?),:z的实部小于0,a 0,取2=-四+包 i,2 2则 Z，=(一曰+争 尸=(_/+争)2(一曰+争)2=A z4+1=0.,V2.V2.z=-1 i.2 2故答案为：z=+争（答案不唯一）.设2=。+抗，根据题设条件求出a,b,由此能求出结果.本题考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16.【答案】n2【解析】解：如图1,过点P作PF 1 C。交C。的延长线于点F,贝 Ij/POF=60。,PB图1因为菱形ABC。的边长为2,DAB=60,所以PO=V5,PF=P0sin60=j,故四面体 P BCO 的体积为%SADBC,P F=5 x 2 x 2 x d 5 x 3 =;33 2 2 2当四面体P-B C O 的体积为1时，止匕时落.尸=2*百*9=1,解得：PF V3，OF=!0P2 PF2=V3 3=0,即。，F两点重合，即P。1底面B C D,如图2,P以P为球心，PB=2的长为半径的球面被平面BC。所截得的曲线为以。为圆心，半径为7 PB2 P02=的圆，落在 BCD内部的长为圆周长的一半，所以长度为:x 2兀x 1=.第12页，共18页故答案为：叵,7 1.2画出图形，求出四面体P-B C D的高，从而求出四面体P-B C D的体积；通过分析得到PF =y/3,O F =y/O P2-P F2=V 3 3 =0.即。，F两点重合，画出图形，得到落在 B C D内部的长为半径为1的圆周长的一半，从而求出答案.本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.1 7.【答案】解：(1)因为a e(0,，口 叫 中),所以a +6 4,因为 si n(a +口)=所以 c os(a +?)=因为c osS =芥所以s讥0 =高，sina=si n(a +0)0 =si n(a +0)c os.sin。cos a+?)=|x(-1|)x(-3 =组l 5，65，r i 2(2)因为si n(a -)=sinacosp-sinpcosa=又 si n(a +S)=sinacosp+sinficosa=所以si na c os =一 条 sinpcosa=京，所以四竺=sinacosB=_ 9tan0 sin/?cosa【解析】(1)由已知结合同角平方关系先求出c os(a+。)，sin。,然后结合两角差的余弦公式可求；(2)由已知si n(a 一 口)=sinacosp-sin(3 cosa,si n(a +/?)=sinacosp+sinpcosa,然后结合同角基本关系即可求解.本题主要考查了同角平方关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题.1 8.【答案】解：(1)由频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1可得：(0.0 0 4 +0.0 1 2 +0.0 1 6 +a+0.0 2 0 +0.0 0 6 +0.0 0 4 +0.0 0 4)X 1 0 =1,解得 a =0.0 3 4.(2)平均数为：0.004 x 10 x 70+0.012 x 10 x 80+0.016 x 10 x 90+0.034 x 10 x100+0.020 x 10 x 110+0.006 x 10 x 120+0.004 x 10 x 130+0.004 x 10 x 140=100.8.(3)v 0.04+0.12+0.16 0.5,.中位数落在区间95,105),设中位数为X,则0.004 x 10+0.012 x 10+0.016 X 10 4-(X-95)X 0.034=0.5,解得x x 100.29,即中位数的估计值为100.29.【解析】(1)利用频率之和为1,求出a的值；(2)根据频率分布图的平均数的运算规则计算即可；(3)根据中位数的定义计算即可.本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了平均数和中位数的估计，属于基础题.19.【答案】解：(1)因为日/方，所以2cosx(cosx+VcosO)=2sinx(sinx+&s 讥0),即 2 e(cosxcos。sinxsind)2(sin2x+cos2x)则75cos(x+。)=1，所以 cos(x+0)=(2)因为。=%所以五=(2cosx,sinx+1),b=(2sinx,-cosx+1)，所以/(x)=4sinxcosx+(sinx+1)(cosx+1)=3sinxcosx+(sinx cosx)+1=|(sinx cosx)2+(sinx cosx)+1,设t=sinx-c o s x,则t=V2sin(x 因为所以t c -1,曲,设9 =一|12+1+|,1 _ 1,企,由二次函数性质可得：g(t)max=9。=p-g(-l)=0，故/(x)的值域为【解析】根据向量共线定理的坐标形式可得2&(cosxcos。sinxsind)=2(sin2x+cos2%),整理后即可求得结果；第14页，共18页(2)求出。=?时/(%)=|(sinx cosx)2+(sm x cosx)+1,利用换元法设t=sinx-cosx,转化成一元二次函数g(t)=-|/+c+|,即可求得结果.本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量坐标运算性质，函数最值问题，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)4被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故 概 率 为=gZ 3 o(2)B被 击 毁 的 概 率 为|=:,则4被击毁，8不被击毁的概率为1 x(1 -=2，o 5 15B被击毁，A不被击毁的概率为；x(l-?=g5 o o则恰有1个目标被击毁的概率为2+”15 o 1U【解析】(1)求出甲、乙两人均要击中目标的概率，即为4被击毁的概率；(2)求出4被击毁，B不被击毁的概率，再求出B被击毁，A不被击毁的概率，相加后得到恰有1个目标被击毁的概率.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用.21.【答案】(1)解:延长ID,B C相交于点E,EDL_L-V 4 ABe=乙D AB=,AB=2,.1.Z E2B是边长为2的正三角形，;4 B的面积为在x 22=V 3，4在ECD 中，Z.CE D=p CD=1,由余弦定理得，CD2=CE2+D E2-2CE -D E -c os z CDE,即 1=CE2+D E2-CE D E 2CE -D E -CE -D E =CE D E,则I N C E D E,当且仅当CE=DE=1时，等号成立)ECD 的面积 S=-CE-DE-sinzCED .2 4.ECD的面积的最大值为遗，4四边形ABCD面积的最小值为百-乎=乎.(2)解：四边形力BCD存在外接圆，4DAB+乙DCB=7T,v Z.ABC=Z.DAB,Z.ABC+Z.DCB=7 1:ABCD,四边形ABCD为等腰梯形.连接4 C,设N4BC=。，4 BAC=x,O x 0,-、B 4BC的外接圆半径为1,4B 在AABC中，由正弦定理得,sin(7i-x-0)BCsinx AB=2sin(x+6),BC=2sinx.同理可得，在 ACO中，由正弦定理可得，-=2,CD=2sin(e-x),p=AB BC CD DA=16sin2x-sin(0+%)sin(0 x)=16sin2%(sindcosx+cosdsinx)(sindcosx cosdsinx)=16sm2x (sin20cos2x cos20sin2x)=16sin2x sin20(l sin2%)cos20sinzx=16sin2x (sin20 sin2%),设sin?%=t,得p=16t(sin20 t),v 0 x 0 p 0 t sin20,p=16t(sin20 t)16广+7。2=4s讥4仇(当且仅当t=gsin?。时，等号成立),第 16 页，共 18页V e e（0争 二 sin20 a （当且仅当。=轲,等 号 成 立），.当 e=l,sin x=乎时，P取得最大值4 x（净 4=2.【解析】（1）延长4D,BC相交于点E,结合题意可知EAB是边长为2的正三角形，进而利用余弦定理即三角形面积，基本不等式即可求得结果；（2）由四边形4BCD存在外接圆，进而得出四边形4BCD为等腰梯形，连接4 C,设/ABC=3,BAC=x,利用正弦定理，表示4B,BC,C D,进而利用基本不等式得出结果.本题考查了正余弦定理、基本不等式的应用，用到了换元的思想，属于综合题.22.【答案】解：（1）证明：因为40=BD=2,AB=AAr=2,+BD2=AB2,所以BDJ.AD,因为四棱柱A8CD-力道1 6。1为直四棱柱，所以1平面4 B C C,又B O u平面4B C C,所以DD11B0,又。1。40=。，D D,力。=平面4 0。141，所以BD，平面（2）过P作PQ 1 GDi于Q,连接为Q,4P分别交B】Di，BD于M,N,连接MN,则直线MN为平面PAAI与平面B&DiD的交线；由可知&B/D P,故 A1，B i，D,P四点共面，设&P n 8 i。=0,则直线ON为平面P44与 平 面 的 交 线,故M,0,N三点共线，过当作L&Q 于 连 接 0H,又BH 1 DDi，且根据线面平行的性质可得MNDD故MN _ L平面4B1GD1，所以B iH，MN,又AiQ C i MN=M,8阳 J_平面4PQ 4,故直线当。与平面P A 2所成角为NB1。”，当M,H不重合，即P与。不重合时，易得sinJ=%皿=sinN/OM=s iM/D D i，BO BO又 依NBIODI均为锐角，故8 CBiDDi，当M,H重合时，有P与。重合，此时由(1)BD JL平面4。送1，故 匹 名，平面4。0遇,故4/D D 1为 与 平 面4DD14所成角，故当P与。重合时，。取得最大值4BiDDi，此时s讥。=如=在，B1D V2+22 3故Si。的最大值为更.3【解析】(1)证明BO _ L AD,B D ID D i即可；(2)根据面面平行的性质，过P作PQ 1 G A于Q,连接&Q,AP分别交当小，BD于M,N,再连接M N即可；过当作1&Q于,连接。H,可得直线&D与平面P441所成角为4 a 0/,再根据正弦值的大小关系，得到当P与 重合时，8取得最大值N B iO Q,然后求出最大值即可.本题考查了线面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.第 18页，共 18页