2021年北京市通州区高考数学一模试卷【含答案】.pdf

2021年北京市通州区高考数学一模试卷一、选 择 题(共10小 题).1.已知集合”=-2,-1,0,1 ,B=xx-1 ,则()A.-2,-1 B.0,1 C.-1,0,1 D.-2,-1,0,1 2 .已 知(2+x)则 6=()A.1 0 B.2 0 C.4 0 D.8 03 .下列函数中，是偶函数且值域为 0,+8)的 是()1万A.f(x)=x2-1 B.f(x)=x C.f(x)=l o g2x D.f(x)=|x|4 .某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱柱的体积为()5 .已知等比数列 斯 的公比夕=-2,前6项和S 6=2 1,则 劭=()A.-3 2 B.-1 6 C.1 6 D.3 26 .已知在圆(X-1)2+产=”上到直线_ 八3=0的距离为&的点恰有一个，则r=()A.&B.V 3 C.2 D.2 7 27 .己知“，b,cER,贝I 的一个充分而不必要条件是()A.a2b2 B.a3b3 C.2a2h D.ac2bc21 4)|0,2 )的图象如图所不，则()A.函数/（x）的最小正周期是2 n（,兀）B.函数/（X）在区间 2 上单调递减3.4冗C.函数/（X）在区间L一7亍 上的最小值是-1y=f（X+）X=-D.曲线丫 1 2,关于直线*2对称9.已知点尸是抛物线产=2外（p 0）上一点，且点尸到点4 （0,-2）的距离与到y轴的距离之和的最小值为2百-2加，则 夕=（）A.2&B.4 C.3 7 2 D.W21 0.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为空气温度为。0,则犯加后物体的温度e （单位：）满足：0=0o+（6,-00）e-M （其中左为常数，e=2.7 1 8 2 8）.现有某物体放在2 0的空气中冷却，2加后测得物体的温度为5 2,再经过6 疝?后物体的温度冷却到2 4,则该物体初始温度是（）A.8 0 B.8 2 C.8 4 D.8 6 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。二 2 iI I .已知复数z=l+i,则z2=.C：x2-=l1 2 .已知丹，F 2分别为双曲线 3 的左、右焦点，过点尸2作X轴的垂线交双曲线C于P,。两点，则双曲线C的渐近线方程为；P F 的面积为.1 3 .设向量e i,e 2是两个不共线的向量，已知AB=2el-e2,A C=el+3e2,BD=2el -）le2,且8,C,。三点共线，则 正=（用e i,e 2表示）；实数火=X2+2X,xt1 4 .已知函数/(x)=l n x,x t (/0)有2个零点，且 过 点(e,1),则常数/的一个取值为.f (x)=15 .已 知 函 数 X,设曲线y=/(x)在第一象限内的部分为E,过。点作斜率为1的直线交E于81,过S点作斜率为-1的直线交x轴于小，再过小点作斜率为1的直线交E于 过 历 点 作 斜 率 为-1的直线交x轴于4,，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示.给出下列四个结论：返小%的 长 为2:点4的坐标为(2 a，)；刈当小与山生人的面积之比是(/5飞历)：(2飞向)；在直线x=5与y轴之间有6个三角形.其中，正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16 .如图，三棱锥 Z-8C O 中，C D J _平面力8C,AC-CB_ 2 CD,NA CB=90 ,点、E,F分别是力。的中点.(I )求证：ZC J _平面B C D；(I I)求 直 线 与 平 面CM所成角的正弦值.17 .在4 8 C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知6-c=l,8,再从条件 、条件这两个条件中选择一个作为已知.(I )求 Q的值；(I I )求 ta n S 的值.条件：3s i n S=4 s i n C；条件：/8C 的面积为 4 .18.我国探月工程嫦娥五号探测器于20 20 年 12月 1 日23时 11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照 3 0,4 0),4 0,50)，50,60),60,7 0),7 0,8 0),8 0,9 0),9 0,1 0 0 分组,绘制成评分频率分布直方图，如图：(I )从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于8 0 分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；(I I)在测试评分不低于8 0 分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于9 0 分的人数为X,求 X的分布列和数学期望；(I l l)观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a 和评分的中位数6 的大小关系.(直接写出结论)1 9 .已知函数/(x)=x2ex-1,g (x)ex-ax,aG R.(I )求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程;(I I)求 g (x)的单调区间；(I l l)设函数尸(x)=f (x)-g (x),当时，求 尸(x)在区间 0,+8)上的最小值.2 2lC：y+l(a b0)返2 0 .已知椭圆 a b 的短轴长为2,离心率为2 .(I )求椭圆C的方程；(I I)点尸是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于力点，交x轴负半轴于8点，与椭圆C的另一个交点为E,且尸工=4 8,点。是 关于x轴的对称点，直线Q A与椭圆C的另一个交点为F.(i )证明：直线/P的斜率之比为定值；(i i )求直线E F的斜率的最小值.2 1 .已知有限数列/：0，念，%,为单调递增数列.若存在等差数列B：bi，bi,，b,n+i,对于/中任意一项刀,都有瓦 的-1 ,则(A.-2,-1 B.0,1 C.-1,0,1D.-2,-1,0,1解：/=-2,-1,0,1,B=xx-1,4G 3=0,1.故选：B.2.已矢口(2+X)5=0+。/+。2/+犷 3+4A4+0/5,则的=()A.10 B.20 C.403 2 3解：二 项 式(2+x)5的展开式中含R的项为C 5 2 X =40 x3,所 以 的=40,故选：C.3.下列函数中，是偶函数且值域为 0,+8)的 是()1 2A.f (x)=x2-1 B.f (x)=x C.f (x)=log2x解：根据题意，依次分析选项：D.80D./(x)=|x|对于4/G)=x2-1,为二次函数，是偶函数，其值域为-1,+8),不符合题意;1对于 8,/(x)=X2=4,不是偶函数，不符合题意；对 于 C,/(x)=log2X,为对数函数，不是偶函数，不符合题意；x,x)0对于。，/(x)=|x|=-x,x 6 的一个充分而不必要条件是（）A.a2b2 B.a3b3 C.2a2h D.ac2bc2解：对于4 与层 互相推不出是既不充分也不必要条件,对于3：a3h3a 6 0 2,得c#0,则 反 之 不 成 立，即是成立的充分不必要条件,故选：D.8.己知函数/(%)=si n (o)x+(p)IQI 0,2 ）的图象如图所示，则（)A.函数/（工）的最小正周期是2 i r（,兀）B .函数/（X）在 区 间2 上单调递减3兀 4-C.函数/（x）在区间L H 亍 上的最小值是-1y=f（x;）x=-D.曲线丫 1 2,关于直线*2对称T 5兀 冗 冗解：由函数/（X）=si n （a）x+（p）的图象知，4=1 2 -6=4,解得7=n,所以2兀3=T=2,7 1 冗 冗由五点法画图知（6,0）是第一个对应点，所以2 X 6+（p=0,解得（p=-3 ,冗所以函数/（X）=si n （2 x-飞-）；对于4函数/G）的最小正周期是m选项4错误；兀打 2兀5兀对于8,X W （2 ,7 T）时，2 x-3 3 3 ,/（X）先递减后递增，所以8错误:3兀 4兀7 1 7 7 1 7 兀对于C,4 ,3 时，2 x-3 e 6 ,3 ,/(%)先递减后递增，最小值是1 1兀f(x)=/(1 2 )=1,所以 C 正确；n K 7 1 7 1 K对于。，y=f (x+1 2 )=si n 2 (x+1 2 )-3 =si n (2 x-6),且-2 )7兀 1_=si n (-6 )=2,y=f(x)x=所以曲线丫 1 2,不关于直线*2对称，选项。错误.故选：C.9.已知点尸是抛物线产=2 px(p0)上一点，且点P到点/(0,-2)的距离与到y轴的距离之和的最小值为2y-2料，则=()A.2 V 2 B.4 C.3 7 2 D.W2P P解：抛物线俨=2/(p 0)的准线为X=-2,尸(2,0),p PP点到有y轴的距离为 尸|-2,其中|尸网=孙+2,P P：.PA vPF-2FA -2,此时点P在直线A F与抛物线的交点，.照(。言 产+(20)2=日,：FA -5=2愿-2 6，-2 -2 /-2,解得p=4、n,故选：D.1 0.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为仇,空气温度为。0 ,则例,后物体的温度。(单位：。C)满足：e =6 o+(6 1 -0 0)e-R(其中为常数，e=2.7 1 8 2 8).现有某物体放在2 0 的空气中冷却，2 机 山后测得物体的温度为5 2 ,再 经 过 后 物 体 的 温 度 冷 却 到 2 4 ,则该物体初始温度是()A.8 0 B.8 2 C.8 4 D.8 6 解：由已知可得第二次冷却：&=5 2 C,0 o=2 Oo C,Z=6,0=2 4 C,-6 k _ l l n8即 2 4=2 0+(5 2 -2 0)e-6*,所以 e -8 ,贝 i J-6 k=-/8,解得后=6 ,第一次冷却：0=5 2 C,Oo=2 O C,t=2,n-X/l n8-所以 5 2=2 0+(仇-2 0)-e 6，即(&-2 0)3=3 2,*告+2。至所以 e 3=0.5 +2 0=8 4。C,故选：C.二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分。_ 2 i1 1.已知复数z=l+i,则z 2=2i.2 i _解：因为z=l+i (1+i)(l-i)i(1 -+i,所以z 2=(1+i)2=2 3故 2 i.2r2 yL：X T-11 2.已知Q,分别为双曲线 3 的左、右焦点，过点出作x轴的垂线交双曲线C于P,。两点，则双曲线C的渐近线方程为；尸为。的面积为 1 2C._ I解：双曲线*3 的a=i,b=F,c=2,渐近线的方程为y=J&；令x=2,可得y=4 T=3,则/。|=6,PF 的面积为2 X 4 X 6=1 2.故尸土1 2.1 3 .设向量e i,e 2是两个不共线的向量，已知A B=2el e2,A C=el+3e2,BD=2el -e2,且 8,C,。三点共线，则 氏=-e i超e 2 _(用e i,e 2表 示)；实 数 仁8 .解：因 为 向 量e 2是两个不共线的向量，且 屈=2 ee 2,A C=el+3e2,所 以 正=正-屈=-el+4e2,又 而=2 e i-%e 2,且-c,。三点共线，所 以-I X(-k)-4 X2=0,解得k=8.故-81+4 62；8.X2+2X,xt1 4 .已知函数/(x)=l nx,x t (Z o)有2个零点，且 过 点(e,1),则常数/的一个取值为 2 (不 唯 一).解：当x Wf时，令N+2 x=0,解得x=0或x=-2,当工，时，令上x=0,解得x=l,因为/(x)只有2个零点且Z 0,所 以 当 时，取不到x=l,故L又/(x)过 点(e,1),则有/(e)=1,所以f e,故,的取值范围为 1,e),所以常数/的一个取值可以为2(不唯一).故2 (不唯 一).f (x)=-1 5.已知函数 X,设曲线y=/(x)在第一象限内的部分为E,过。点作斜率为1的直线交E于S，过西点作斜率为-1的直线交x轴于小，再过小 点作斜率为1的直线交E于&，过4点作斜率为-1的直线交x轴于4,，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示.给出下列四个结论：小 A2返小当 的 长 为2 ；点小的坐标为(2点，)：生当儿与B4A 4的面积之比是(加-V 2):(2-加)：在直线x=5与y轴之间有6个三角形.其中，正确结论的序号是.解：Bi(1,1),小(2,0),y=x-2,解得&(V2M,V 2 -1),A2(2 V 2,0)，y=x-2 V 2,解得 B3M近,A i(2愿，0),y=x-2 V 3,解得 以y+V F-V l,A4(2 4,0),以此类推，BV n W n-l V n-V n-1,A （24，0）,返对于，小殳 的长为2-&W 2 ,所以错；对于，点 儿 的 坐 标 为 屹 会，）,所以对；对于，4 8送3与小8/4的相似比为（V 3-V 2）：（2-我），面积之比不是（我-近）：（2-我），所以错；对于，因为2&5 _ L平面 Z 8 C,AC-CB_ 2 CD,NA CB=90,点、E,F分别是N 8,的中点.（I ）求证：N C J _平面8s（I I）求 直 线 与 平 面C E尸所成角的正弦值.(I )证明：因为O C _ L平面N 8 C,Z C u平面Z 8 C,所以4 C _ L C D因为/C 8=9 0 ,所以 ZC_LC8.因为 CDCC8=C,COu平面 8 8,C8u平面 BCD,所以4C_L平面BCD.(II)解：因为C0_L平面ABC,所以CBCD.6 分以点C 为坐标原点，分别以直线C8,CD,CA为x,y,z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.设 N C=8 C=2,则 DC=4.因为点E,F 分别是N8,/的中点，所以 Z(0,3 2),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,4,0),E(1,0,1),F(0,2,1).设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),z n-CE=0,+1=0.）上的最(I I )因为g (x)-ax,定义域为R,所以 g G)-a.当时，g*(x)0.所以g (x)在R上单调递增.当 4 0 时，令 g(X)=0,得 X =/(7,所以当0 0时，g(X)与g(X)在(-8,+O O)上的变化情况如下:X(-8,ma)I naUna,+8)g(X)-0+g(x)极小值/所以g (x)在(-8,内单调递减，在(I na,+)内单调递增.由可知，当 W 0时，g(x)在R上单调递增.当a 0时，g (x)在(-8,in a)内单调递减，在 加,+)内 单 调 递 增(I I I)因为尸(x)f(x)-g (x),所以产(x)=(x2-I)a x -1,所以 F(x)=(x2+2x-1)e+a.令 h(x)=F(x),所以(x)=(x2+4x+l)er 0.所以(x)在区间 0,+8)上单调递增，即 产(X)在区间 0,+8)上单调递增.所 以 尸(x)2尸(0)=-+a.因为所以户(x)0.所以尸(x)在区间 0,+8)上单调递增.所以 F(%)，尸(0)=-2.所 以 当 时，F(%)在区间 0,+8)上的最小值是-2.2 2C：三号l(a b o)返20.已知椭圆 a b”的短轴长为2,离心率为2.(I )求椭圆C的方程；(I I)点尸是椭圆C上一点，且在第一象限内，过户作直线与交y轴正半轴于4点，交x轴负半轴于8点，与椭圆C的另一个交点为E,且4=4 8,点0是 关于x轴的对称点，直线Q A与椭圆C的另一个交点为F.(i )证明：直线Z。，/P的斜率之比为定值；(i i )求直线E F的斜率的最小值.2b=2,cGW ra=V 2，9 9 9 4解：(I )由题意得【a =b +c、解得 b=l.2x ,2 1T-+y =1所以椭圆C的方程为2.(I I)(i)设P点的坐标为G o,泗)，因为点0是P (x o,泗)关 于x轴的对称点，PA=A B,A(0 -yn)所以。(x(),-泗)，2 .1-y0 0 -3y0k Q A=3=2 x-所以直线Q I的斜率为 x0 Z x(j,p/的斜率1y。-y。y0为 一 石.=-3所以k p A.所以直线/。，Z P的斜率之比为定值.(H)设直线P 4的方程为歹=履+加.y=k x+m,fx m耳夸6k二 k班 返当且仅当 k,即6时，七产有最小值2 .后所以直线小的斜率的最小值是2 .2 1.已知有限数列出可，念，%,为单调递增数列.若存在等差数列B-.bi，历，bm+i,对 于/中 任 意 一 项 即 都 有b j W a,V 6+i，则称数列N是长为加的。数列.(I)判断下列数列是否为Q数列(直接写出结果)：数歹U 1,4,5,8；数 列2,4,8,1 6.(I I )若 a b c(a,b,cR),证明：数列 a,b,c 为 Q 数列；(I I I)设例是集合 xN 1 0 W xW 63 的子集，且至少有2 8个元素，证明：A7中的元素可以构成一个长为4的。数列.解：(I )根据题意可得，数 列1,4,5,8是Q数列；数列2,4,8,1 6是。数列.(I I )证明：当 6-a=c-6 时，令 bi=a,b2b,b3c,b4lc-b,所以数列仇，b2,b3,a为等差数列，且仇所以数列a,b,c为Q数列.当 b-a V c-b 时，令 bi=2b-c,bi=b,bjc,b42c-b,所以数列仇，b2,b3,以为等差数列,且 biWab2Wbb3Wc c-b 时，令 b=a,?2 ,bic,4 2 ,所以数列伉，b2,bi，d 为等差数列，且仇W a 3 W cV b 4.所以数列a,b,c 为。数列.综上，若 a b c,数列a,h,c 为 Q数列.(I I I)证明：假 设 中没有长为4的 Q数列，考虑集合必=1 6%,1 6A+1,，1 64+1 5 ,k=0,1,2,3.因为数列0,1 6,3 2,4 8,64 是一个共有5项的等差数列，所以存在一个上使得他中没有一个元素属于对于其余的k,再 考虑 集 合 必 =1 6k+学，1 6+4/+1,1 6W/+2,1 6W/+3 ,j-0,1,2,3.因 为 1 6什勺，1 6%+年+4,1 6依W/+8,1 6左+少+1 2,1 6A+q+1 6是一个共有5 项的等差数列,所以存在一个),使得河*一中没有一个元素属于用.因为弧,/中4个数成等差数列，所以每个4 4 1 中至少有一个元素不属于M.所以集合 xN|0 W x 63 中至少有1 6+4 X 3+1 X 9=3 7个元素不属于集合A/.所以集合M中至多有64 -3 7=2 7个元素，这与M中至少有2 8 个元素矛盾.所以假设不成立.所以M中的元素必能构成长为4的。数列.