2021年数学高考真题卷--上海卷（含答案解析）.pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷数 学本试卷满分150 分，考试时间120 分钟.一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第 16题每题4 分，第 712题每题5 分)1.己知 Zi =l+i,Z2=2+3i,则 Z i+Z 2=.2.已知 4:川 况 1 乃二-1,0,1,贝 ij AHB=.3.己知圆好+)2-2_ -4)=0,则 该 圆 的 圆 心 坐 标 为.4.如图，正方形A B C D的边长为3,则 荏 而二.5.已知y u)q+2,则/(1)=.6.已知二项式(x+4)5的展开式中万项的系数为8 0,则a=.7.已知实数满足约束条件，2x-y-2N 0,则z=x-y的最大值为_ _ _ _ _.(3%+y-8 08 .已知无穷递缩等比数列 和 儿，满足。尸3,，“=痣 ,。,的所有项和为9,则数列 仇 的 所 有 项 和 为.9 .已知圆柱的底面半径为1,高为2/B 为上底面圆的一条直径,C 为下底面圆周上的一个动点，点 C 绕着下底面圆旋转一周，则 A 8 C 的面积的取值范围为10 .己知花博会有4 个不同的场馆A,8,C,。,甲、乙两人每人选2 个场馆去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为.11.已知抛物线:)?=2p x(p 0),其焦点为F,若第一象限的A,B 两点在抛物线上，依 产|=2,|B F|=4,|AB|=3,则直线A B的斜率为.12.已知 a E N*(i=l,2,9),对任意的 Zs GN*(2 K 8)/u =*.|+1 和 t=*+i-l 有且仅有一个成立，且|=6,“9=9,则。|+。2+。9 的最小值为.二、选择题(本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分)每题有且只有一个正确选项.13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A.y=-3x B.y C.y=l o g D.y=3*15.已知於)=3s i n x+2,对任意的x i e%都存在松仁吗,使得於1)+4上+3=3 成立，则0的可能取值为16.已知实数国|42,竺/3 3同时满足:0.则下列选项中恒成立的是A.2X2X|+X3C.xf XX3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分14分）如图，在长方体 ABCD-AI CID,中，已知 AB=BC=2AA=2.（1）若点P是棱A Q i上的动点，求三棱锥P-ADC的体积；（2）求直线ABi与平面A C G 4所成角的大小.18.（本题满分14分）已知在 A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,H=3,b=2c.若4号，求 ABC的面积；(2)若 2sin B-sin C=1,A ABC 的周长.19.(本题满分14分)已知某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元,2021年第一季度的利润为0.16亿元,以后每季度比前一季度增长4%.(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2)请问哪年哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%.20.(本题满分16分)丫2一如图，已知椭圆厂:尹 炉=1/户 分别是其左、右焦点，直线/过点P(机,0)(加伪 交 椭 圆 于A,8两点，且A,B在x轴上方，点A在线段BP上(1)若B是上顶点丽j =|丽j,求m的值；若瓦X或 =*且原点。到直线/的距离为书，求直线/的方程;(3)求证:对于任意,鱼，使得及了庭的直线有且仅有一条.2 1.(本题满分1 8分)若对任意X|,X 2 WR,当“X 2 C S时，均有“V I)成X 2)WS,则称外)是S关联的.(1)判断并证明4 x)=2 x-l是否是 0,+00)关联的，是否是 0,1 关联的；若於)是3 关联的，当x G 0,3)时危)=P 2 x,解不等式2 /(x)0),|(-*$,半径 r=【解析】解 法 一 根 据 圆 的 一 般 方 程 可 得 圆 的 圆 心 坐 标 为 即(1,2),故填(1,2).解法二将圆的一般方程F+V-2 r-4)，=0化为标准方程，得(*1)2+3 2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),故填(1,2).4.9【考查目标】必备知识:本题主要考查平面向量的数量积.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】解 法 一 荏 前=布(荏+玩)=荏2+荏.前=布2=9,故填解法二 以A为坐标原点,4 8,标 的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),C(3,3),所以而=(3,0),前=(3,3),所 以 超 前=(3,0(3,3)=3 x 3+0 x 3=9,故填 9.解 法 三 由 题 意 可 知 荏|=3,|而|=3或,且荏与前的夹角为:所以而前=|荏H m|co s E=9,故填9.4 45.-3【考查目标】必备知识:本题主要考查反函数的概念与求值.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】解 法 一 心1+2,即 产 2,函数於)的值域为 丫|羽2,于 是 所 以r(x)=0r(l)=-3,故填-3.x x y-L x-c.解法二 函数;(x)的图象与其反函数r(x)的图象关于直线)，=x对称，不妨令尸=，,则点(1J)关于直线y=x的对称点Q,l)在函数1 x)=：+2的图象上，即犬f)+2=l,解得f=-3,故填-3.6.2【考查目标】必备知识:本题主要考查二项式定理的应用.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】解 法 一(x+“)5展开式的通项心产居4优”玛 卢 什 割 山 令5-r=2,得r=3,所以项的系数为苏髭=8 0,解得q=2,故填2.解 法 二(x+a)5可以看成是5个因式(x+a)的乘积，要得到/项,则可在5个因式中从2个因式选出x,其余3个因式选 出 即 髭003=10。3 K，则i o/=8 o,解得=2,故填2.7.4【考查目标】必备知识:本题主要考查线性规划.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示，作出直线x-y=0,并平移，由图可知，当平移后的直线经过点A(3,-l)时,z取得最大值，即Z m a x=3-(-l)=4.8.y 【考查目标】必备知识:本题主要考查无穷递缩等比数列所有项和的公式.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【核心问答】师:公比为4（0 0|1）的无穷递缩等比数列 知 所有项和的公式是什么?生:5=乌.1-q【解析】设无穷递缩等比数列 斯 的公比为我0|切 1 ,3 2,6f 4 l,2,6 1 ,7 2,8=9-1 =8,x 0=6,所以此时+能+。9 的最小值为3 2.综上,+他+。9 的最小值为3 1.1 3.A【考查目标】必备知识:本题主要考查初等函数的奇偶性与单调性.学科素养:理性思维.【解析】y=-3 x为奇函数，且是R上的减函数，故A正确;y=x产1。8汽），=3 均是增函数,故BCD都不正确.故选A.14.B【考查目标】必备知识:本题主要考查参数方程、函数的图象.学科素养:理性思维.【解析】令x=0,则r=0或，当?=0吐y=0,当/邛时,丫邛,当f=-*y=*因此应该选B.1 5 .D【考查目标】必备知识:本题主要考查三角函数的性质.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】由於1）+2”2+。）=3得加2+。）=上磬.易知以 昨 2,5,则 上 等 所 以 由 题 意 可 知,外1 W废 1上 及+。）/2 W 0岁 .及+柒吗+处 当。哼 时，尹支答告,不符合题意;当，空 时，/崇=答告,不符合题意;当。=等时，等 一，且等+K等,不符合题意;当心一时用+，口？,等，符合题意.故选D.556526 5 5 101 6 .A【考查目标】必备知识:木题主要考查函数的图象与性质.关键能力:逻辑思维能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】记x i+y i=X 2+y 2=*3+y 3=。,则 Xy+xyy3=2xiy2 即即（。-制）+才3（。-冷）=2息（。-必）.当。0 时，由，知X|p X 2 p X 3 加；必）=依），又函数段）在（-0 0,今上单调递增，所以为 必 X 2,即2 X 2（尤|+*3.当4 0时，同理可得2 X 2 c,所以C一定为锐角，所以c o s C=竽，由余弦定理 ababcos C,得好=9+4,2-2乂3、2，乂手，解得当 =生|2 时力=巴甘1 5,此时 A 8 C 的周长 l=a+h+c=a+3 c=3+4/2-y/5;当 c=42；5时/=8、.；2，5,此 时A B C 的周长 l-a+b+c-a+3 c-3+4j2+/5.故4 4BC的周长为3+4 e 公.1 9.【考查目标】必备知识:本题主要考查等差数列的求和公式，数列的性质.关键能力:数学建模能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.解:(1)2 02 1年起前2 0个季度营业额是以1.1为首项,0.05为公差的等差数列.因此2 02 1年起前2 0个季度营业额的总和为 2 0 x 1.1 +殁2 x 0.05=3 1.5(亿元).(2)假设2 02 1年第一季度往后的第“(“G N*)个季度的利润首次超过该季度营业额的1 8%,则需要求解 O.1 6 x(l+4%)(1.1 +0.05/1)x 1 8%.令人)=0.1 6 x(1 +4%)-(l.1 +0.05 n)x l 8%,则 n2 时m7/O D nO.1 6 x 1.04。1 8(1.1+0.0 5 )-0 1 6 x l.0 4 T+0.05(-1)=0.006 4 x l.04 L 0.009,令/()-加-1)0,解得佗1 0,因此当1 9 W 9时次”)递减，当佗1 0时次”)递增.由于犬1)0的解只有可能在n 1 0时取得，经检验4 2 4)0,因此2 02 1年第一季度往后的第2 5个季度，即2 02 7年第二季度的利润首次超过该季度营业额的1 8%.2 0.【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的几何性质，点到直线的距离公式,向量平行的充要条件.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(1)直接从题干入手,构建关于，的方程求解;(2)利用及不用三以及点A在椭圆上，可求出点A的横坐标，再用点斜式方程设出直线方程，结合。到直线的距离求出斜率，可确定直线方程;(3)可设出直线方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系，而 与”平行的充要条件，得到斜率与m的关系，便可得证.解:由题意可知FI(-1,0),F2(1,0),B(0,1).因为|瓯|=|丽*|=或，因此-1加=鱼,故切=-1-我.(2)设 A(xojo),因为 Q(-1,O),尸2(1,0),所以瓦?布=(xo+ljo)Go-l jo)=琮-1+羽三,又胃+诏=1A 8在x轴上方，因此解得泗=日.由于4在线段3P上,因 此 昕-当 设/:/=总+手）（Q 0）,即kx-y+4t+4=o,原点O到直线1的距离为4则=穹 篓1=警，解得左W或k=3.若=3,则P（-乎,0）（舍），若M=；,则P（-3 3+l 15 o 7 3因此，直线/的方程为片3），+殍=0.设/:尸攵/+左10）,将其与犬+2炉=2联立，得（1+2嫁）/2+4 6+2产-2=0,设A（xi,yi）,3（x2,力）,则即+初二-1篝内也二三看,凡?二（修+1 ,yi）瓦=8-1 ,竺）,因为瓦？方及所以（即+1 ）%3-1 加=（X|+1）出12+0-3-1 ）（左 内 +。=攵1（乃 +X2）+Xl-X2）+2/=-与3+Xi-X2）+2r=烈 三|殍卫+心|-X 2）=0,1+N/C 1+N R 解得小心=-3.又|朴 刈=/产4普 二 反 雷 斗 七|,l+2kl 9 l+2k“l+2kf 7（1+2硝2 1+2好”整 理 得4幅-2产+1 =0.将t=-k、m代入，得4好-2蜉序+i=o,则蜉=，对于任意机声,均有唯一的木与之对应.因此使得耳其布的直线有且仅有一条.21.【考查目标】必备知识:本题主要考查函数的性质，新定义问题.关键能力:逻辑思维能力，运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.解:(1)若对任意 x g C R jiH G O+oo),则 xx2,此时加2皿也)=2(箱2心0,所 以 式X 2)e 0,+8),所以共外是0,+8)关联的.若对任意X|,X2 e R,XX 2 w 0,1 ,则於|)次=2(X1-X 2)e 0,2,所以段)不是0,1 关联的.因为段)是 3关联的，所以对任意x g G R,若X IF=3,则 加)次0)=3,所以对任意 xGRx+3)-_/(x)=3.因为当 xG0,3)时 1Ax)=/2vG-l,3),所以当 xe-3,0)时,x+3 e 0,3)次x)可(x+3)-3 e -4,0),所以当x0时 x)0.当 xC 3,6)时用3C 0,3)x)Mx-3)+3=(x-3)2-2(x-3)+3=P8x+18C 2,6),当 x e 6,9)时内-3 e 3,6)6时 於a5.所以只需考虑x e 0,6)的情况即可.当 xC0,3)时，由 2s?-比3,得g+lSr3,当 xC3,6)时，由 2S?”8x+18W3,得 3t5.综上,不等式2f（x）3的解集为 6+1,5 .（3）先证必要性.由段）是1 关联的，得对任意x e R次x+1 ）处）=,由於）是 0,+8）关联的，得於）为单调递增函数.所以若对任意 X I J 2 G REE G 1,2 ,则 外I）处2）=/5-1 +1）处2）=/（五 1）+1 -J（x2）,因为朴1 -X 2 e 0 ,所以於“）成检心0,所以府1）加2巨1,又 於i M X x i-l+D TC M x i-D+f刈mxi-Z+D+fyxif+ZT X|-2-X2G-1,0,所以应q -2）力 於0,所以XX!）X2）2.所以凡次6 1,2 ,所以1 x）是 1,2 关联的.必要性得证.再证充分性.若K0是1,2 关联的，则对任意xg e R,当x i-M e 1,2 时次为）力X 2）e 1,2 ,所以对任意x e R,有1勺口+.）次 2,小 1,2 ,所 以1汰 什1）次次2,1勺（;叶2）於+1注2,两式相加，得 2/（x+2）-fix）4,又 加+2）次次2,所以於+2）力x）=2,所 以/+1）於）=1,所以段）是1 关联的.若 X 1-X 2 K）,则 总 存 在N,使得 kx-X2 2）K）,所以火X）是0+8）关联的.充分性得证.综上是1 关联的，且是 0,+o o）关联的”,当且仅当 汽0是 1,2 关联的”.