2021-2022学年海南省海口某中学高一（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

2021-2022学年海南省海口中学高一（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.（）分）1.己知集合时=x|M+2x-8 W 0 ,N=x-0 ,则Mn N=()A.x|-4%3 B.x|-4 x -2C.x|-2%2 D.x2 x 0设a=/(log32)，t =f()C=/(Ve)(e 2.718),则()A.a b c B.b a c C.b c a D.a c 0,(p 1),g(x)=W-k)g2%(xl)的零点分别为a,巴以下结论a+0=a ；a+2a=口 +log?/?;a+夕 2 4；a 0 2 正确的是.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某校组织了高一年级学生进行防疫知识测试.根据测试成绩(总分100分)，将所得数据按照40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)试估计本次防疫知识测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)第4页，共23页(3)该校准备对本次防疫知识测试成绩优异(将成绩从高到低排列，排在前20%的为优异)的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？(结果保留一位小数)18.已知函数/(x)=2sina)xcosa)x+2/3sin2ajx V3(a)0)的最小正周期为(I)求函数/(x)的单调增区间；(II)将函数/(x)的图象向左平移，个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点，求b的最小值.19.如图示，边长为4的正方形4BCD与正三角形4DP所在平面互相垂直，M、Q分别是P C,力。的中点.(1)求证：PA/BDM(2)求多面体P-ABCD的体积(3)试问：在线段4B上是否存在一点N,使面PCN 1面P Q 8?若存在，指出N的位置，若不存在，请说明理由.20.记 ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知炉=a c,点。在边AC上,BDsinZ.ABC=asinC.(1)证 明:BD=b；(2)若4。=2 D C,求cos/ABC.2 1 .如图，已知三棱柱A B C-A i B i G，平面A 1/C G 1 平面A B C,/.AB C =9 0 ,.B AC3 0 ,44=a iC =AC,点E、/分别是棱月C、&的中点.(I)证明：E F 1 B C；(H )求直线E F 与平面&BC所成角的余弦值.(H I)求二面角4 -4C-B 的正弦值.2 2 .已知函数/(x)=/+a x L(a -1)2,a&R,函数g(x)=/nx.4(1)当a =5 时，记不等式/(x)0 的解集为M,求函数y=g )-g(e x),X6M的值域(e 是自然对数的底数)：(2)当a 1 时，讨论函数/i(x)=(x)+y(x)-g(x)|的零点个数.第6页，共23页答案和解析1.【答案】c【解析】解：集合M =(xx2+2 x-8 0 =x|-4 x 2,N=(X 0 =X-2 X3,则Mn N=x|-2 xW 2.故选：C.求出集合M,N,利用交集定义能求出M nN.本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.【答案】D【解析】解：z =3 5 2-1+=型=(2+)=_ 4 +2 3I7-I-I-I2.Z的虚部为2,故A错误；复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误；z的共筑复数为一4-2人 故C错误；z=4尸+2 2 =2 V 5,故 D 正确.故选：D.利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.【答案】A【解析】解：若l _ L a,1 1/3,由直线与平面垂直的性质可得。,故A正确；若a工B,I u a,m u 0,则/m或2与?n相交或1与m异面，相交与异面时也不一定垂直，故8错误；若m 1S，a 1 则z n u a或m a,故C错误；若a夕，且L与a所成的角和m与 所成的角相等，则/m或心与z n相交或 与ni异面，故。错误.故选：A.由直线与平面垂直的性质判断4由平面与平面垂直分析两平面内直线的位置关系判断B-,由线面、面面垂直分析线面关系判断C；由线面角相等分析空间两直线的位置关系判断D.本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题.4.【答案】B【解析】解：根据题意，抽取的样本比例是黑=总，样本容量为3000 x2=300；设C 产品抽取的样本数为X,则4 产品抽取样本数为x +10,(%+10)4-x +130=300,解得久=8 0；C 产品的数量是8 0+卷=8 00(件).故选：B.先求出抽取的样本容量是多少，再列一元一次方程，求出C 产品的样本数，从而求出C 产品的数量来.本题考查了抽取样本的应用问题，是基础题目.5 .【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题.依题意，可求得c osQ?-a)与c os2a 的值，再利用a +夕=2a +(/?-a),以及两角和的余弦公式，即可求得答案.【解答】解：a 弓，扪，:.2a 6 p27r,又0 sin2a=5 2 2a G 即a W (居第8页，共23页_ a e，詈）,cos2a=“一 sin22a=;又sinQ5-a)=噜，A a 6(p7r),cos(S-a)=yjl sin2(jff a)=一，cos(a+3)=cos2a 4-(/?-a)=cos2acos(B a)sin2asin(。a)2V5 3V10 V5 A/10=_x(-cF)_Tx_ib-_ V2.2又a (居,0 6 兀,堂，.。+/?)(等,2兀),二 a+A=广，故选人6.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力，属于中档题.以。为原点，。4所在直线为x轴，以。8所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知4(1,0),设C(cos8,sin。)，根据贝?=乂？+y而 把x、y用J表示，然后可求得x+4y的取值范围.【解答】解：如图所示，以。为原点，。4所在直线为x轴，以。8所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知4(1,0),设C(cos8,s讥8),0 0 x+4y=cosO+sine=y=2 sin 0V2 W 3.1用B(2,T)C(co sftsin 0)点C在弧4 8 上由a T B运动，。在 0。,60。上逐渐变大，COS9变小，sin。逐渐变大，sind系数较大，二 当。=0。时x+4y取得最小值1,当。=60。时x+4y取得最大值cos60。+?s in 6 0。=4.x+4y的取值范围是 1,4.故选：B.7.【答案】A【解析】解：连接力N,D N,四面体力BCD的所有棱长均为2,则AN=ON=V 5,且 M N 1 AD,所以MN=VT=I =V 2,故不正确；取4 B 的中点F,CD的中点E,F M/B D S.F M=B D,NE/B D,NE =-B D,2所以F M NE,F M =NE,所以四边形FNEM是平行四边形，MN与EF相交于点G,所以此时FG与CD相交，不是异面直线，故不正确；取BD的中点，连接HN,H M,M,N 分别为棱AD,BC的中点，所以MH=：AB=1,HN=，D=1,NH/C D,所 以 为 异 面 直 线 MN和CD所成的角，又MH?+N H2=M N2,故 为 等 腰 直 角 三 角 形，所以异面直线MN和CO所成的角为j故正确；将面4B。、面4BC展开为一个平面，如下图：第1 0页，共2 3页当M,F,N 共线时，M F +F N 最小为M N =2,故正确.故选：A.连接A N,DN,易知力N D 为等腰三角形，即M N J.A D,即可求MN的长；构造平行四边形FN E M,探讨它们的关系可判断；取B 0 的中点，连接H N d,HM,可 证 为 等 腰 直 角 三 角 形，从而可得结论；将面A B。、面4 8 c 展开为一个平面，判断N F+F N 最小的情况即可.本题考查了正四面体的性质、异面直线所成的角，外接球的体积及将展面开求线段的最小值，属于中档题.8.【答案】A【解析】解：因为/(x +2)=f(x),所以x =1,是f(x)的-一条对称轴，/(l o g32)=/(2-l o g32)=/(l o g3|);又因为对任意的与，X2 G(1,+0 0),均有(%1-*2)/(%1)-/(%2)0,所以/(x)在(1,+8)上单调递增；1 =l o g33 l o g31 =l o g 3 g|)所以f(l o g3 即a b；v J f(后即3也所以/)/(代)，即b c；综上所述：a b 0,阳 ；)的部分图像，可得4 =1,=S+g 3 =2.4 (0 1 2 6再根据五点法作图，可得2x+0 =a =sin(2 x +.由y =sin 2 x的图像向左平移泠单位得到y =sin(2 x +号的图像，故A错误；令”=-詈，求得=1-为最大值，可得直线 =-詈 是f(x)的图像的一条对称轴,故2正确；若1/(与)一/(乂2)1 =2,则%-勺1的最小值为半个周期，即拉 =泉 故C错误；在 0,等 上，2 x+=e 直线y =:与函数y =f(x)在 0,等 上的图像有7个交点,故。正确，故选：B D.由函数的图像的顶点坐标求出4,由周期求出3,由五点法作图求出3的值，可得函数的第1 2页，共2 3页解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论.本题主要考查由函数y=Asin(3x+(p)的部分图像求解析式，由函数的图像的顶点坐标求出4由周期求出 ,由五点法作图求出9 的值，正弦函数的图像和性质，属于基础题.1 1.【答案】ACD【解析】解：如图，取MN中点F,易得AF J.M N,由于四边形BCNM的面积为定值,要使四棱锥4-M N C 8 的体积最大，即高最大，当AF _1面8。2”时，此时高为A F最大，二面角4-M N-B为直二面角，A 正确；若B N，平面4 N C,则B N L 4 W,又BN=一 32=3 AN=3,则 4B =/AN2+NB2=6，又ZB=6,AB 0(12,0)【解析】解：命题p：”存在x 6 R,使/一 一 3a W 0”为特称命题,所以命题P的否定为：任意x e R,使M-a x-3a 0；第14页，共23页由P为假命题，则P为真命题，所以/=a 2 -4 x (3 a)0,解得 1 2 a 0；(-1 2,0).根据特称命题的否定为全称命题即可写出命题P的否定，p为假命题，则p为真命题，从而可得出答案.本题考查命题的否定，属于基础题.1 4.【答案】1 5 0 0【解析】【分析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题.AB C中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；在力M C中，利用正弦定理求得A M；再在R t/k AM N中，根据M N =4 M-s i n 4 M AN,计算求得结果.【解答】解：在 AB C中，Z.B AC =4 5 ,/.AB C=9 0。,B C =1 0 0 0,AC =IOOOA/2,Sin45又因为在4 4 M C中,4 MAe=7 5 ,/.MC A=6 0 ,/.AMC=4 5 ,由 正 弦 定 理 可 得*-=幽 史，sin600 sin450解得4 M =1 0 0 0 V 3.所以在R t A A M N中，M N AM-sin MAN=1 0 0 0 V 3 x sin600=1 5 0 0.故答案为1 5 0 0.1 5.【答案】2 1 7 r【解析】解：依题意可知，当侧面S 4 B 1底面力B C D时，四棱锥S 4 B C D的体积最大.设球心为。，半径为R,正方形4 B C D和S 4 8外接圆的圆心分别为。2，正方形4 B C D外 接 圆 半 径 为 则。/I平面4 B C D,。？J平面S 4B.因为ASAB和正方形4B C D的边长均为3,设4B的中点为E,所以0 0 1=02E=1 S E =争 0B=q=由勾股定理得R 2 =0B2=001+疗=(当)2 +(誓)2 =?所以球。的表面积S =4TIR2 2 1 7 r.故答案为：2 1 7 r.根据题意可知侧面S AB I底面力B C D,然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的距离和球的半径满足勾股定理可得.本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.1 6.【答案】【解析】解：因为函数y =W的图象关于直线丁=x对称，a,0是函数y =2才 和y =l o g 2%的图象与函数y =三的图象的交点的横坐标，X1因此易知a =l o g 2 0,0 =2 a.又0 =合=1 +三，(a-1)0 5-1)=1,即a/?=a +。，因而，均正确；又a +/?=a +-j =a-l +-L+2 2 4,当且仅当a -1 =二二，即a =2时等号成立，厂 a-1 a-1 a-1但 2)=a-22=-2 ，因而a#2,上式等号不成立，所以a +/?4,不正第16页，共23页确.记/(|)=3 2 5=3 遮 0，f(2)22=2 0,因此|a /1(|)=:一 2 -2,所以正确.故选：.函数=W 的图象关于直线旷=对称，戊，0 是函数y =2 和y =l o g 2%的图象与函数y =六 的 图 象的交点的横坐标，则有a =l o g 2 0，0 =2%0 =三=1+三,直接变形判断 ；利用基本不等式判断；由零点存在定理，可得|a x =2 s i n(2 a)x 函数的最小正周期为兀，.普=?r,解之得3=1.23由此可得函数的解析式为f(x)=2 s i n(2%-=).令 2kn 2%2kn+三,解之得 ZC T T-x 1(舍)；当c=|a 时,cosZ-ABC=综上所述，cos乙4BC=W【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大.(1)利用正弦定理求解；(2)要能找到隐含条件：NBD4和4 8 0 c 互补，从而列出等式关系求解.21.【答案】解：(I)证明：连接&E,如图所示，因为=&C,点E是棱AC的中点，所以&E 1A C,又平面AACC1 1平面ABC,&E u 平面/“1，平面4 遇 1 n平面ABC=AC,所以&E J_平面4BC,又4c u 平面力B C,所以&E 1 AC,以E点为坐标原点，平面ABC内过点E作AC的垂线为x轴，EC、E公所在直线分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z,第20页，共23页X由题意知/AB C=90 ,N B4C =30,AtA=41c =A C,点E、F分别是棱4 C、力】当的中点，设4遇=ArC =AC=4,则4E =E C =B E =2,AB -AC cos3 0-2A/3&E=V42-22=2V3.所以点B到x轴的距离为BE s i n30。=1,点B到y轴的距离为A Bs i n30。=6，则4(0,-2,0),C(0,2,0),%(0,0,2 B(V3,l,0).B式祗 3,2百)，F除|,2百)，所 以 乔=(今|,2我)，B C =(-7 3,1,0).因 为 而-BC =y x(-V3)+|x 1+2A/3 x 0=0，所以 E F 1 B C.(n)设直线E F与平面&B C所成角为。，由(I)得 前=(-7 5,1,0)，曜=(0,2,-2百)，F =(y,|,2V3).所以I 前 I=j(y)2+(j)2+(2V3)2=7 15-设平面4 B C的法向量五=Q,y,z),则 修 三 二一 百 苇：0,令则元=(,可),(41。n=y V3z =0所以I元I=J 12+(遮)2+12=a F F.n =y Xl+|x V 3 +2 V 3 x l =4V3.所以sin I c o s =制=恙I =?又。e 0,9 0。,所以c o s。=J l-(1)2=I，故直线E F与平面&B C所成角的余弦值为|.（皿）由（I ）知平面A&C的法向量为记=（1,0,0）,设二面角Z-4 C B的平面角为，由图知0为锐角,因为c o s 9 =|c o s（记，元|=繇=点=?，又W为锐角，所以sing=yjl-cos2(p=卓，故二面角力-&C -B的正弦值为华.【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法、平面与平面所成角的向量求法、线线垂直的向量表示、面面垂直的性质、由一个三角函数值求其他三角函数值,属于中档题.(I)连接&E,证明&E 1 A C,利用面面垂直的性质定理推出&E 1平面4 B C,以E点为坐标原点，平面力BC内过点E作AC的垂线为x轴，EC、E a 所在直线分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-孙z.分别求出炉和府 的 坐标，通 过 求 出 前 BC=O即可得证EF 1 BC.(U)求出平面4 B C 的法向量元，利用向量法求出直线E尸与平面418c所成角的正弦值，由同角三角函数基本关系求出其余弦值.(皿)求出平面7L41c的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，由同角三角函数基本关系求出其正弦值.22.【答案】解：(1)当a=5时，/(%)=-*2+5%-4 0 的解集时=(1,4),函数y=93)，=ln ln(ex)=(Inx 3)(2nx+1)=ln2x 2lnx 3,当%E(1,4)时,令t=I n x,则y=t2 2t 3f t E(0,2Zn2),：,y的值域为 一 4,一 3).九(X)_ r(%)+g(x)+l/(K)-g(%)l _ 1(%)，/(%)2 5(x)i 八 J 一 z 一 J O)g(XV,。(1)=0，x=1为g(x)的一个零点，f (1)=a-1-1(a-1)2,a 1,/(l)1.时，g(x)0,九(%)g(x)0,：九。)在(L+8)上无零点.当0%1 时，g(x)0,g(x)在(0,1)上无零点，九(%)在(0,1)上的零点个数是/(%)在(0,1)上的零点个数，v/(0)=-i(a-l)2 0,/(l)=a-l-i(a-l)2 0,A=2 a-1.(i)当2a-1 0,即l a:时，凭)=午0,函数f(x)在(0,1)上有两个零点，即函数九。)在(0,1)上有两个零点.综上所述，当a a 时，九。)有3个零点.【解析】当a=5时，/(X)=-/+5%一 4 0的解集M=(1,4),函数数丫 =。琮)，(ex)=ln2x 2lnx 3,当 W (1,4)时,令C=)n=,则丫 =产一 2t 3,t E(0,2Zn2)由此能求出y的值域；我 =出 土 幽 乎 触 郑 初=J 9(由此利用分类讨论思想能求出函数的零点个数.本题考查函数值、函数的值域的求法，考查函数的零点个数的讨论，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，属于中档题.