2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第20讲正多边形与圆（解析版）.pdf

第20讲正多边形与圆匚 正多边形的相关计算 求中心角、半径、边心距、边数正多边形有关的周长与面积正多边形与圆_ 正多边形的概念：廿、门小工田 正多边形、中心角、半径、边心距知识梳理题型探究课后作业卷知识一、直线与圆的位置关系1.正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.有 条边的正多边形（是正整数，且2 3）就称作正边形.2.正n边形的对称性正边形是轴对称图形，对称轴的条数=.当”为偶数时，正 边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点.3.正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点.正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心.正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距.正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.3 6 0 0每一个中心角=它的每一个外角4.正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2 n个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.5.正多边形的画法（1）用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可 以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.（2）用尺规等分圆对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.正四、八边形。在。中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4 等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧（即作NAOB的 平 分 线 交 于 E）就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。十二边形的作法通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在。0 中，任画一条直径A B,分别以A、B 为圆心，以。O 的半径为半径画弧与。O 相交于C、D 和 E、F,则 A、C、E、B、F、D 是。O 的 6 等分点。显然，A、E、F（或 C、B、D）是O O 的 3 等分点。同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把。0 12等分。要点诠释：画正n 边形的方法：（1）将一个圆n 等份，（2）顺次连结各等分点.,题型探究瓦【例 1】（1）正十边形有 条对称轴，它不仅是 对称图形，还是 对称图形，它的中心角是_ _ _ _ _ _【答案】10；轴；中心：36.【解析】正”边形是轴对称图形，对 称 轴 的 条 数=小 如 果 为偶数，则正边形也是中心对称图形，中心后 360角 tz=-.n(2)正九边形的中心角等于。.【答案】40【解析】正九边形的中心角等于：=40.9故答案为：40.(3)一个正边形的中心角等于18。，那么=.【答案】20【解析】正n 边形的中心角为18。，：18n=360,n=20.故答案为20.(4)如图，A3、AC分别为。的内接正方形、内接正三角形的边，3 c 是圆内接正边形的一边，则的值为.【答案】12【解析】解：如图所示，连接AO,BO,CO.TAB、A C分别为。的内接正方形、内接正三边形的一边,3600 360A ZAOB=-=90,ZAOC=-=120,4 3ZBOC=30,.=弛=12,30故答案为：12.知识二、正多边形的相关计算设 正 n 边形的半径长为Rn、中心角为an、边长为知、边心距为h则利用等腰三角形O A B,通过解直角三角形O A H,可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n 边形的周长及面积.题型探究风【例 2】(1)若正六边形的边长为4,则此正六边形的边心距为【答案】2 6；【解析】由题知，依据正六边形的性质，如图：A C B构造等边三角形O A B:O C为等边三角形O A B的高；OC即为正六边形的边心距；又Q4=O8=4,.A C =B C =2；由勾股定理可得：o c =y/OA2-A C2=273：故填：2 6；(2)如图，正六边形A8COEF内接于。，若AB=3 c m,则。的半径为B【答案】3cm【解析】VOA=OB,/f、/N、卜-解：连接AO,B0,:正六边形ABCDEF内接于0O,，/A O B=60。，.,.ABO是等边三角形，,.AB=3,的半径为：3.故答案为：3.(3)已知正六边形的外接圆的半径是5cm,【答案】5cm.【解析】解：如图，A B为。内接正六边形的一边;Q则 NAOB二 四 二 60。，6则该正六边形的边长是OAB为等边三角形,/.AB=OA=5(c m).故答案为5cm.(4)一个正六边形的边心距为迈，则这个正六边形外接圆的周长为2【答案】6兀【解析】解：如图，连接0 A,过。作 OMJ_AB于 M,正六边形为圆内接正六边形，且 OM=述，2，OA=AB,NAOM=30,AOM=OAcos30=,2OA=3,即该正六边形外接圆的周长为2兀 x 3=6兀,故答案为：6兀.(5)如图，。的半径为1,作两条互相垂直的直径AB、C D,弦 A C是 的 内 接 正 四 边 形 的 一 条 边.若以 A 为圆心，以 1 为半径画弧，交。于点E,F,连接AE、C E,弦 EC是该圆内接正n 边形的一边，则该正n 边 形 的 面 积 为 一.B【答案】3【解析】解：如图所示，连接E 0,作 EFLCO交 C O 于点F由题意可得=12ZEOC=30/.EF=-EO=y/SA EOC=-EF-CO=-x xl=2 2 2 4，该 正 12边形的面积=12 SA EOC=3故答案为：3举一反二1.如果一个正多边形的中心角为72。，那么这个正多边形的边数是（）.A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360+72=5.2.如图，半径为1 且相外切的两个等圆都内切于半径为3 的圆，那么图中阴影部分的周长为7【答案】3 n【解析】如图所示：设三个圆的圆心为A,B,O,连接AD,AC,BO,则 A D 过 B,AC过 O且 AB=BO=AO=2,即三角形ABO是等边三角形，ZA=ZABO=Z AOB=60,AZOBD=ZBOC=120,皿 人 /口 120乃x 1 2两个小弧长是：二 三 方1 oO 3rm iz,i 60;TX3弧 DC长是=n1 o()2 7阴影部分的周长是 2 乂 铲=铲7故答案为：3.六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求中间正六边形的面积【答案】史.2【解析】解：如图所示，连接 AC、AE,C E,作 8GJ_AC、DILCE,FHA.AE,AILCE,在正六边形A8CDEF中，直角三角板的最短边为1,.正六边形ABCCEF为 1,.A8C、CDE,AEF为 以 I 为边长的等腰三角形，AACE为等边三角形,V ZABC=CDE=ZEFA=120,AB=BC=CD=DE=EF=FA=l,：.NBAG=NBCG=ZDCE=Z DEC=ZFAE=ZFEA=30,：.BG=D1=FH=；,由勾股定理得：A G =CG=Cl=EI=EH=A H =此,2:A C=A E=C E=6,3 由勾股定理得：A I=-f.3Q x -1 x-Wj j x 1 +上 1 x 7W3 x -3 =3下 2 2 2 2 2故答案为：.24.若圆内接正方形的边心距为3,则这个圆内接正三角形的边长为【答案】3底【解析】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长.正方形边长为6,.正方形的对角线长为6夜，外接圆半径为3 v L如图所示：作 0 D _ L 8C 于。，连接则 NBOD=60,在放 B O 0中，0 8=3 应，/0 80=3 0,：.BD=cos30 xOB=-.2,:BD=CD,:.BC=2BD=3瓜.故答案为：3限 5.一个边长为4 的正多边形的内角和是其外角和的2 倍，则这个正多边形的半径【答案】4【解析】解：设正多边形的边数为n,由题意得(-2).180=360 x2,解 得 n=6,正多边形为正六边形，边长为4 的正六边形可以分成六个边长为4 的正三角形，.该正多边形的半径等于4.故答案为：46.如图，正六边形A8CDE户的边长为2,则AACE的周长为【答案】64【解 析】作B G L A C,垂 足 为G.如图所示:则 AC=2AG,AB=BC,AG CG，六 边 形ABCDEF是正六边形,.-.ZABC=120,AB=BC=2,：.ABAC=30,AG=AB cos30=2x=,2AC=2 x 6 =2后,AACE的周长为3x=673.故答案为6 G.7.如果正n边 形 的 中 心 角 为2 a,边 长 为5,那 么 它 的 边 心 距 为.（用 锐 角a的三角比表示）【答 案】|c“a（或 高）【解 析】分 析：根据正多边形的边数，确定正多边形的中心角，然后构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形即可.o解析：如图所示:.正n边形的中心角为2 a,边长为5,边心距。（或就）,故答案为（或就8.已知正三角形ABC外接圆的半径为2,那么正三角形ABC的面积为【答案】近【解析】解：如图所示：连接O A、O B、0C,过。作8人8。于。，正三角形A 8C外接圆的半径为2,:.OA=OB=OC=2,ZABC=60,，=3 0 ,.ODLBC,；.NODB=90,OD=-OB=-x2=,:.BD=gOD=&2 2BC=2BD=2 g ,51V tr=-CXAD=-B CX(AO+OD)=-X2/3X(2+1)=-X25/3X3=35/3,2 2 2 2故答案为：3百.QJ课后作业1.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的亚倍，那么这个正多边形的边数是（）A.3 B.4 C.5 D.无法确定【答案】B【解析】如图，OA、0 C 分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，AOCIAB,ZOCA=90,.外接圆半径是其内切圆半径的0倍，cos Z AOC=,OA 2：.NAOC=45。，ZA O B=90,即此多边形的中心角为90,.此多边形的边数=360+90=4,BA故选：B.2.若一个正边形（为大于2 的整数）的半径为八则这个正变形的边心距为（）D.幽nB.，3曾nc.i幽nA.r.sinZn【答案】D【解析】解：由题意可得如图:假设A B为正n 多边形的一条边，OCJ_AB,.4 ,幽=幽2 n nOA=r,I Q Q OOC=OA-cosZAOC=r-cos-；故选D.3.。是一个正边形的外接圆，若。的半径与这个正边形的边长相等，则的值为（）A.3B.4C.6D.8【答案】c【解析】。是一个正边形的外接圆，若。的半径与这个正 边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60,360 4-60=6n的值为6,故选C4.已 知 在 正 六 边 形 中，A B=6,那么正六边形A8C0EF的面积等于【答案】54技【解析】解：连接。、O D,如图所示：六边形A B C D E F是正六边形,：O E=O D=6,.ODE是等边三角形，a作 O H L E D T H,则 O H=OEsinZ O E D=6 x=3+,2 SA ODE=y DE OH=g x6x3 6=9 G ,:S 卜六皿 ABCDEF=6SA ODE=54 6 .故答案为：54道.5.如图，。的半径为6,如果弦4 8 是。0 内接正方形的一边，弦 4 c 是。内接正十二边形的一边，那么弦3 c 的长为.【答案】6百【解析】解：连接0 4、OB、0 C,作。J_8C于点。，是。内接正方形的一边，弦 AC是。O 内接正十二边形的一边,A Z A O B=-=9 0 f Z A 0 C=30,4 12，ZB0C=ZA0B+ZAOC=900+30=120,:OC=OB,NOCD=NOBC=30。,OC=6,：.CDOCcos 30?=3 6,二 BC=2CD=66,故答案为：673 .6.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他 在 九章算术中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积Si 来近似估计。的面积S,设的半径为1,贝 U S-S 尸.（兀取3.1 4,结果精确到0.0 1）【答案】0.1 4【解析】解：如图，过 A作:。的半径为1,.。0的面积5=%，3 60 圆的内接正十二边形的中心角为 亏 =3 0。,二圆的内接正十二边形的面积，=1 2 x；.O 8SC =1 2 x g x l x g =3,二 S-St=-3 0.1 4,故答案为：0.1 4.7.正六边形的边长、半径、边心距之比为.【答案】2:2:6【解析】解：如图所示,边长A B=2；QA G B又该多边形为正六边形，故/O B A=6()。，在 R S B O G 中，B G=1,O G=5/3 ,所以A B=2,即边长、半径、边心距之比为2：2：C.8.如图，正五边形A B C D E内接于。O,点尸为3 c上一点，连接A F,若N A F C=1 2 6。，则/B A F的度数为.【答案】1 8 .【解析】解：；正五边形4BCOE内接于。，/4 8 C-（5-2）x180。5V ZAFC=126,：.ZBAF=ZAFC-ZABF=260-108=18.故答案为：18。.9.如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.【答案】；【解析】连接 OA、O F,设 OA=R,OF=r；,AB 与 OO 相切，五边形 ABCDE 是正五边形，AB=1,.NAFO=90,=-.在中，AF2=AO2-FO1 W =六 一/=；又：S圆 环=乃（代-/），-s圆 环=i 万.故答案为了.410.一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4,那么该正多边形的边长等于【答案】2石-2.【解析】根据题意作图，：一个正多边形的对称轴共有10条，这个正多边形为正十边形，故每个内角为144。，则图中 Z OAB=ZOBA=72,故/AOB=36。，在 BO 上找一点 C,使 AC=CO,贝 Ij/OAC=/AOB=36。，ZBAC=ZOAB-ZOAC=36,二 Z ACB=180-ZCAB-ZABC=72.ACO、ABC都为等腰三角形.ZBAC=ZAOB=36,.ABOABCA,设 A B=x,可知 OC=x,BC=4-x,.AO AB 01.4 xAB BC x 4-x解得x=26-2 ,（-2非-2舍去）则正多边形的边长2石-211.已知正多边形的边长为“，且它的一个外角是其内角的一半，那 么 此 正 多 边 形 的 边 心 距 是.（用含字母。的代数式表示）.【答案】22【解析】设这个正多边形的一个外角为x,则正多边形的一个内角为2x,x+2x=180,解得x=60即这个正多边形的一个外角为60。，这个正多边形的边数为：毁=6,60即这个正多边形为六边形.己知这个正多边形的边长为a,即可求得此正多边形的边心距 是 立2故答案为Y I小21 2.已知正方形的边长为2 c m,那么它外接圆的半径长是 cm.【答案】a【解析】.正方形的边长为2,由中心角只有四个可得出：幽=90,二中心角是：90,A T正方形的外接圆半径是：sinO C=M，：AC=2 =1,ZAOC=45。,2OA=L=-=V2.夜故答案为正.1 3.如图，AB,A C分别为。的内接正六边形，内接正方形的一边，B C是圆内接边形的一边，则等于.【答案】12【解析】连接AO,BO,CO,如图所示:AB、A C分别为。的内接正六边形、内接正方形的一边,.,.Z A O B=6 0 ,Z A O C=9 0 ,60 4./B O C=30,故答案为12.14.正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于 度.【答案】540【解析】解：正多边形的中心角为72度，二边数为:360。+72。=5,.这个正多边形的内角和=(5-2)180=540.故答案为：540.15.正十边形的中心角等于 度.【答案】36【解析】正十边形的中心角等于360。+10=36。故答案为：36.16.一个正边形的一个内角等于它的中心角的2 倍，则”=_.【答案】6【解析】二正”边形的一个内角和=(n-2)-180,.正边形的一个内角二180 x(n-2)n.正边形的中心角=随,n180 x(n-2)360 x 2-=-,n n解 得:n-6.故答案为6.17.如果一个正多边形的中心角为36。，那 么 这 个 多 边 形 的 对 角 线 条 数 是.【答案】35【解析】解：由题意可得：边数为 360。+36。=10,所以这个多边形的对角线条数是吆*2 =35(条)，故答案为：35.18.据 汉书律历志记载：“量者，畲(yue)s 合、升、斗、斛(h u)也”斛是中国古代的一种量器，斛底，方 而 圜(huan)其外，旁 有 庞(tia o)焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示.问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“魔旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的周长为_ 尺.(结果用最简根式表示)【答案】4&【解析】解：四边形CDEF为正方形，ND=90,CD=DE,，CE 为直径，/ECD=45。，由题意得AB=2.5,.CE=2.5-0.25x2=2,/.CD=CE.cos ZECD=2 x =/2,2二 ECD=45。，正方形CDEF周氏为4&尺.故答案为：4夜19.我们规定：一个正n 边 形（n 为整数，n4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为心，那么址=.【答案】迫2【解析】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、C F交于点O,连接EC.B（易知BE是正六边形最长的对角线，EC 的正六边形的最短的对角线,VAOBC是等边三角形ZOBC=ZOCB=ZBOC=60,VOE=OCAZOEC=ZOCE,ZBOC=ZOEC+ZOCE ZOEC=ZOCE=30 ZBCE=90,BEC是直角三角形.生 3 3 0。3,BE 22 0.如图，已知圆。是正六边形A 8CO E F外接圆，直径B E=8,点G、”分别在射线C。、E F (点G不与点 C、。重 合)，且 N G B H=6 0。，设 CG=x,EH=y.(1)如图，当直线B G经过弧C 的中点。时，求N C B G的度数；(2)如图，当点G在边C O上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)联结A、E G,如果 A F H与A D E G相似，求C G的长.图(备用图)【答案】(1)/CB G=1 5。；(2)y=-(0 x 4)；(3)CG 的长为 1 2【解析】解：(1)如图，连接O Q.六边形ABCDEF是正六边形,:,BC=DE,ZABC=120.BC=DE，N EBC=I ZABC=60.点。是c o 的中点，CQ=DQ.:.BC+CQ=QD+DE,即 BQ=EQ.：.ZBOQ=ZEOQ,又:N3OQ+NEOQ=180。，：.ZBOQ=ZEOQ=W0.又：BO=OQ,NO8Q=N8QO=45。，/.ZCBG=60o-45o=15.(2)如图，在 BE上截取M二 连 接 六边形ABC。是正六边形，直径8E=8,：.B0=0E=BC=4,ZC=ZFED=120,ZFEB=y ZFED=60.:EM=HE,”是等边三角形，：.EM=HE=HM=yf NHME=60。,NC=NHMB=120。.*/NEBC=NGBH=6。,ZEBC-ZGBE=ZGBH-/GBE,即 NGBC=NHBE.:,/BCG s 丛 BMH,BC 二 CG*又：CG=x,BE=8,BC=4,4 _ x,后 二J与x的函数关系式为y=-7(0 x 4).(3)如图，当点G在 边CO上时.由于 且NCOE=NAFE=120。，当 空=色 时，E D D G,:AF=ED,:,FH;DG,：.CG=EH,即：=丫=，解分式方程得x=4.经检验x=4 是原方程的解，但不符合题意舍去.当 竺=必 时，DG DE即：,解分式方程得x=12.4-x 4经检验x=12是原方程的解，但不符合题意舍去.如图，当点G 在 CZ）的延长线上时.HA由于?1尸S/XEOG,K Z E D G=Z A F H=6 0,舒 副，；AF二ED,:FH=DG,：.CG=EH,即：户白，解分式方程得经检验x =4是原方程的解，但不符合题意舍去.当 釜 噜 时，即：三=子，解分式方程得X经检验x=1 2是原方程的解，且符合题意.，综上所述，如果月 厂”与4 D E G相似，那么CG的长为1 2.