2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义第一章空间向量与立体几何章末检测卷(一)(解析版).pdf

空间向量与立体几何章末检测卷（一）说明：1.本试题共4页，满 分 1 50 分，考试时间1 2 0 分钟。2 .答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3 .答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4 .考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第 I 卷（选择题 共 60分）一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知空间向量a =（l,2,3）,-1,7 7）,若凡贝i J/n+=（）A.-2B.TC.1D.2【解析】由m=T=g，解得机=一；，=一；则加+=一2.故 选:A.2.如图,设 OA=a OB b，O C =c 若 AN=NB,B M =2 M C，则 丽=（）A.1 _ 1r 2-a+b c2 6 3B.1 a-1 br+2c-2 6 3D._ _ _ _ _ 2_【解析】由题意 得 丽=砒+丽=:函1,1 ,2 _ _ 1-1-2.-O A+-O B-O C =-a+-b-c.故选：Ac =（0,2,1）,且向量1 一 2 6 与1 互相垂直，则左的值是（）C.-a-b-c2 6 32 6 326 33.已知向量M =外,1 -1 r 1 -2 6 3A.1 B.-2 C.-4 D.0【解析】a-2 b=（3,l92k+2）,因为向量M-潺 与 干互相垂直,故3 x 0+1 x 2+2 2 +2 =0,故=2故选：B4.如图，平行六面体A B C D-B D,的底面A8C 是边长为1 的正方形，且=60。，4A=2,则线段AG的 长 为（）B.Vio C.VH D.2/3 解析AC,=(AB+BC+C C =(AB+AD+A 4)2,=AB2+AD2+AA2+2ABAD+2AB-A+2AD-A=1 +1 +4+2x 1X2XCOS60+2x1x2xcos6 0，=10,所以AG=厢，故选：B5.四面体 A8C中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90,AB CD=-2,则/R 4 C=()A.30 B.45 C.60 D.90【解析】因 为 丽=而-沅，Za4D=90,所以明=0所 以 丽 衣=2，乂 A3=AC=2，所以 4 月亚=|通，A4cosZR4C=2，所以cosZBAC=g,因为NBACw(O,万)，所以Nfl4C=60。；故选：C 6.如图，四棱锥P-A fiC D 中，底面A8C。为矩 形 且 平 面 A 8 C Q,连接AC与8 ,下面各组向量中，数量积不一定为零的是()p/J A.而 与 通 B.而 与 方B CC.定 与 而 D,可 与 丽【解析】对于A,因为PA，平面ABC。，A 8 i平面ABCD所以因为底面A8CD为矩形，所以ABLAD.PAOAD=A.AD,AP u平面尸A),所以 4?_L平面 PAD,/3 _L 平面抬8,P B u平面P48,所以P8_LA,即 而 _L而，所 以 厢.方 X=0，故 B 不正确；对于C,因为底面ABC为矩形，所以A C 与8。不垂直，所以P C 与8。不一定垂直，所 以 卮 与 而 不一定垂直，所以 元 与 碗的数量积不一定为0,故 C 正确.对于D,因为PA_L平面ABC。，C O u 平面ABCD,所以%，8,因为底面ABC。为矩形，所以CD，A),A 4 c 4)=A.AD,AP u 平面 PAD，所以 8 L 平面 PAD,u平面PAD,所以胡 ！C,即 雨 L丽，故选：C.7.已知d=(l,O,D,B=(x,l,2),且1 石=3,A.60 B.120【解析】由 蒜=x+0+2=3，解得x=l,所以|o|=应，向=&,所以c o s =-a因为0。4,5)V180。，所以(a,5)=30。.故选：C 8.在平行六面体42C。-A B C。中则与CR所成角的正弦值为()A.叵 B.立42 42所 以 丽 =0，故 D 不正确.则向量1 与B 的夹角为（）C.30 D.150a-h 3 _/3卜 向 72x76 2,AB=2,AD=2,M =4,ABAD=Z.BA=Z.DAA,=60,后 n 5将-Lz.-14 14【解析】BC=AD+A,CA=A-A C =A-A D-A B,则 西.西=（而+通）（丽 _ 而 _ 画，=AD A -AD-AD-AB+A4,-AD-AA-AB-AA=6，陷=J（而 +福J =y）AD2+2AD-A+AA2=2 5,网=J（硒 一 而 叫2 ,=yjAA2+AD2+AB2-2A-AD-2 AB-X+2 AD-AB=2/3,cos（西网冷雪=T=,/陷 河|2721所以sin瓯西）=（忌）、等,故选：D二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知)=(1,0,1),万=(1,2,3),=(2,T,6),则下列结论正确的是()A.a A.b B.b/cC.G 为钝角 D.在 方向上的投影向量为(4,0,4)【解析】因为1X(T)+0X2+1X(3)=TH0,所以kB不垂直，A错，因为=一2分，所以B，B对，因为 =1X2+0X(Y)+1X6=8,所以 cos(a,c)0,所以(d e)不是钝角，C 错，因为 在 方向上的投影向量，加 但 分 口;而 加，。)，。，)，D对，故选：BD.1 0.关于空间向量，以下说法正确的是()A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面.1 .1 一 1 .B.若对空间中任意一点O,O P =-OA+-OB+-O C,则P,A,B,C四点共面c.已知向量 是空间的一个基底，若而=+3贝ij 2,反码也是空间的一个基底D.若力 0,则0用是钝角【解析】对于A,根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确：1 1 1 1 1 1对于B,若对空间中任意一点0,有O P =2 O A +；O 8 +7 O C因为2+:;+:;=1,6 3 2 6 3 2根据空间向量的基本定理，可得P,A,B,C四点一定共面，所以B正确：对于C,由于旧石,是空间的一个基底，则向量工反 不共面.浣 =+,则cm共面.可得向量五正不共面，所以,反码也是空间的一个基底，所以c正确；对于D,若力=陋 即（,/“0,即c o s（,B）0,乂力e 0,耳，所以a，3 6，J t ,所以D不正确.故选：A B C.1 1.已知斜三棱柱A B C-A B C中，底面AABC是直角三角形，且A 8 L A C,AB=3,4c =4,AAt=2,N A 4B =N A 4C =6 0,则（）A.函|=B.|麻|=3百C.襦麻=-9D.异面直线AG与B。所成角的余弦值为立11 4【解析】设入 公=a ,A C =b f c 则 a.B =0,a c=3，Z?-c =4,AC=b+c B1C =-a+b-c,A C1-BC =-a b+b-b c-a c+b c-c=9 A C，=/石 +c?+沙.二2，丽=方+江+/为 石 2尻2+2港=，所以c o s（宿，兆鸿工；1竺 尸夕以 ,困1 4.故选：B D.1 2.在长方体A 8 C Q-A S C Q中，|相|=|4力=1,|例|=2,动点尸 在 体 对 角 线 上（含端点），则下列结论正确的有（）顶点8 到平面APC的最大距离为五 B.存在点尸，使 得 平 面 APC2c.|阳+|尸1 的 最 小 值 侬D.当户为8 R 中点时，NAPC为钝角【解析】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，设 丽=2 西（04/141）,则 4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),.(0,0,2),贝 ij 西=(-1,-1,2),故 丽=ABD,=(一 九 一 九 24),则 而=通+即=(0,1,0)+(4 4 2A)=(-A,l-2,2A),CP=CB+BP=(l,0,0)+(-2,-,2A)=(l-/l,-/l,2A),对于 A,AB=(O,l,O),AC=(-l,l,O),设平面APC的法向量1=(x,y,z),n-AC=-x+y=0则有1 _ z、n-AP=-2 x+(l-2)y +22z=0可取 3=(22,24 22-1),则点B到平面APC的距离为V1222-4 2 +l当2=0时，点B到平面APC的距离为0,当0几41时,当且仅当4=；时，取等号，所以点8 到平面A P C的最大距离为 正，故 A 正确.2当8。J平面APC,因为ARCPu平面A P C,所以8。则 西 丽=2+4-1+44=0 西衣=2-1 +2+4/1=0,解得2=，6故存在点P,使得BD、平面A P C,故 B 正确;对于C,当B。iA P,B。J C P 时，|AH+|尸 C|取得最小值,由 B 得，此时2=1，所以网=同=华，即|A+|PC|的最小值 为 粤，故C正确:对于D,当P 为 B A 中点时,.=信，别则YU，-/4 D P A P C 1 八所以8 s 4=网悯=所以NAPC为锐角，故 D 错误;故选：ABC.第n 卷（非选择题 共 90分）三、填 空 题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20分）1 3.已 知 空 间 四 边 形 的 每 条 边 和 对 角 线 的 长 都 等 于1,点E,尸分别是8 C,A。的中点，则A瓦C户的值为.【解析】根据题意A 3C 7）为正四面体，阮，丽，丽 两两成6 0角，所 以 衣=丽-丽=1 1-新，2CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,2 2所以 荏 存 =（1及-丽）（丽+丽 一枝）2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1=-X|X-X|=4 2 4 2 2 2 2 2 2 2,故答案为：1 4 .己知向量2,B满足=（1，1，W =2,且|+q=网 -4.则2+B在公上的投影向量的坐标为【解析】2+4 =码 -.两边平方化简得：2承8必5+2 5 2=0,因为=所以|a =J l +l+2=2,又忖=2,代入得：8-8 0石+8 =0，解得：a b =2,所以2+万在 上的投影向量坐标为（衣 +5）万 a a2+a h（1/，0）4 +2 （1,1,7 2）（3 3 3 0-j a j 同-一2 2-2 2-2,2，2）故答案为:3 3还、9 2 2 21 5.正方体A 8 CO-A向C/Q的棱长为1,点M在线段CG上，且=2。而.点P在平面4向。功 上，且A P，平面/8功，则线段AP的长为.【解析】如图，分别以OAOCOq为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 4 1,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),D.(0,0,1),C,(0,1,1),M Ct=2 C M,则M是靠近C的线段CG的三等分点，M(0,l,1),国 =(-1,-1/)，B M=(-l,0,1),P在平面)3 送上,设尸(x,y,l),则 丽=(x-l,y,l),A P B D =l-x-y+l=0由A P_ L平面M B D/,得 _ _ _ _ _ _ _A P B M=l4x=3解得：所以 A P =(；,g,l),|A?|=(1)2+(|)2+12=-故答案为：叵.3己知P是AABC所在平面外一点，P M=2 M C，且B M =x A B+y A C+z A P,贝l j实数x+y+z的值为.【解析】因为2时=2比，则 丽-丽=2(而 一 的 )，所以，B M=B P+B C =(AP-AB)+(A C-A B)=-A B+A C +AP,2 1所以，x =-l ,y=-,z=-,因此，x+y +z =().故答案为：0.四、解 答 题（本题共6 个小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1 7.已知、最 公是不共面的向量，J L OP=2e e2+3e3,OA-et+2e2-e,OB=-3e,+e2+2e,OC=et+e2-e).判断P、A、B、C四点是否共面；（2）能否用0日、而、丽 表 示 而？并说明理由.【解析】（1）假设R 4民C四点共面，则存在实数x、*z,U l l l U U L1LU L11UU使Q P =x Q 4 +y Q 5 +z O C，且x+y +z =l，即 2e-e2+3q =x(q +2e2-e3+e2+2e3+z+e2-q).x-3y+z=2比较对应的系数，得到关丁r、y、z的方程组上工+丁+2 =-1,-x+2 y-z=3x=17解得,y =-5 ,这与x+y +z =l矛盾,z =-3 0故P、4民C四点不共面;（2）能 用 次、砺、反 表 示 而，理由如下：若 方、而、反 共面，则存在实数，入，使 函=加 而+湎？，同（1）可证，方、而、元 不 共面，即 历 是向量场、场 与 反 的线性组合,令 OA=a，OB=b,OC=c q+2e2-e3=ae=3a-b-5c由 -3e+/+2 g =5 ,=3,A 8=8 C =2,尸A J_平面A B C ),且 PA =3 ,点 在 棱 PZ)上，点 N为 B C 中点.(1)若 M=2M P,证明：直线M N平面也8：(2)线段P O上是否存在点M,使NM与平面PC Z)所成角的正弦值为亚？若 存 在 求 出 型 值；若不存在,1 8PD说明理由【解析】(1)如图所示，以点4为坐标原点，以A8为x轴，A。为)，轴，AP为z轴建立空间直角坐标系,则 P(0,0,3),8(2,0,0),0(0,3,0),C(2,2,0),N(2,1,0)若则 M(0 4,2),丽=(2,0,-2)因为 PA J_平面 A 8 C ,又因为 A _ L A B,PA c A S =A所以45，平面以8平面附8的其中一个法向量 为 而=(0,3,0)所 以 丽.而=0，即A D _ LM?V乂因为M V c Z平面所以脑V平面抬8(2)不存在符合题意的点M,理由如下:丽=(0,3,-3),丽=(一2,1,0),丽=(2,-2,0),设平面 PCD 的法向量用二(玉,y,z J则PD n=3乂 -3 Z1 =0tCD-n=-2%+%=0不妨令3=1,则%=(1,2,2)设 需=4,B PPA 7 =2 PD,/l e 0,l P M=(0,3 2,-3 2)则 M (0,3/1,3-3 4)丽=(2一 3 4 3 2 3),si n =卜 o s(丽,4)|=2+2(1-3 2)+2(3/1-3)7 12+22+22-7 22+(1 -3 A)2+(3 A -3)23 7 1 8 22-2 4 2+1 4=半 解 得4 =:或4 =不满足4e0J,故不存在符合题意的点机1 o 3 32 0.已知三棱柱ABC-AgG的侧棱垂直于底面，Z B A C =90,AB=A C =AAt=,E、F分别是棱G。、BC2的中点.BF(1)求证：4尸，平面A E尸:(2)求点A到直线与E的距离.【解析】(1)：三棱柱ABC-AgG的侧棱垂直于底面，N B 4 c =9 0。,.以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系,1 12-1 i-1 ,A =0,1 1 ,A F=1 1 0 ,V AB=AC=AA=,E、/分 别是棱G。、3C的中点,2 2V BFAE=G,BFAF=0,：.BFrAE,BF LAF,AcAF=A.Au平面 AAAFu平面 AF,，B/J.平面 A 尸.(2)；A(0,0,l),.,.通 =(1,0,0),庭=卜,1,-3).:昂 同 =J +1+，=一，Si n(宿码=.故点A到直线BE的距离为d =|耳耳,3 丽,庭)=坐.2 1.已知正方体A B C。-4/8/C/Q中，E为棱CG上的动点.(1)求证：A/E1BD；(2)若平面平面E B。，试确定E点的位置.【解析】以。为坐标原点，以D 4,DC,DQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为，则 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,0),Ai(a,0,a),C/(0,a,a).设 E(0,a,e)0ea).,ny DB=0 nx-D =0，n2-DB=0，勺 DE 0-(ax+ay=0,f ox2+ay2=0,+az=0,ay2+ez2=0.取 x/=K 2=l,得 =(1，1，1)，7=(1，1，).1 2 e由平面A遣O,平面E8O得1.*.2 =0,即 e=N.e 2 当七为C O 的中点时，平面平面E8D2 2.如图，在四棱锥P-A8CO中，平面B4DJ_平面A 8C Q,点七为PC 的中点，AB/CD,CDLAD,CD=2AB=2,PA=AD=19 PA1AD.pk-E(1)证明：8E_L平面 PC；(2)求二面角P-8D-E的余弦值.【解析】(1)证明：取 P。的中点R连接A凡EF,EF=-CD.2又 ABI ICD,AB=-C D,所以 EFAB,EF=AB,2所以四边形A8EF为平行四边形，所以AF/BE.因为 F4=AT=1,PF=F D,所以 AF_LP.所以因 为 平 面 出 力 平 面 A8C,PAA,AD,所 以 以，平面A 8 C/),所 以 以 J_A8,所以 P B=B C =又点E 为尸C 的中点，所以BE_LPC乂 P C c P D =D,所以 8E_L平面 PCD(2)以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(2,1,0),E(1,1).于是/=(1,0,_1),8方=(-1,1,0),丽=卜,；,；,、n.PB=0设平面PB D的法向量为4=（与,%，4）,贝ij;B D-0得X -z.=0 .，一,、,1八.取为=1.得勺=1,1,1）F +y=0设平面E8 O的法向量 为%=（WJ2 Z2），则n2-BE=0n2 B D=0得j_ ,1,=o5%+产-取七=1.得M=（U,-I）.-七+必=/一 小所以 COS 2=3 T%II 213 1所以二面角P-8 D-E的余弦值为