2021-2022学年陕西省安康市高二（下）期末数学试卷（理科）（附答案详解）.pdf

2021-2022学年陕西省安康市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题(本大题共12小题，共 60.0分)1.设集合4 =-2,1,0,1,B=(x|x2 0）个单位得到函数g（x）=c o s g x的图象，则*的最小值是（）Aj B-C”D.2 兀8.已知直线2x y +l =0与曲线y =a e+x相切（其中e为自然数的底数），则实数a的值是（）A.1 B.1 C.2 D.e9.设（1+3x）n =劭+%久+a 2/H-1-anxn,若（25=。6，贝M=（）A.6 B.7 C.10 D.1110,若函数/（x）=s in（x +w）+2c o s x的最大值为V 7,则常数租 的一个可能取值为（）A.*B-?C.=D j11.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作 儆书九章/中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜辕并大斜基减中斜幕，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是s =2c 2 _（当；.）2,其中a,b,c是 A BC的内角4 B,C的对边为.若sinC=2 sinA cosB,且/+c2=4,则4 4 BC面积S的最大值为（）A更 B.延 C.辿 D.延5 5 5 512.已知双曲线C：5一5=l（a 0,b 0）的左，右焦点分别为&,F2,A为C的左顶点，以QB为直径的圆与C的一条渐近线交于P,Q两点，且NPAQ=,则双曲线C的离心率为（）A.更 B.V 2 C.V 3 D.叵23二、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）1 3.已知函数/(x)=01 4.已知x,y 满足约束条件,x-y+2 S 0,则2 =-x +y 的 最 大 值 为.%+y -3 fc0)0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.6352 0.已知椭圆C：5 +=l(a b 0)的短轴长为2,离心率为争(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C上任意一点4 作两条直线与C的另外两个交点为M,N.0为坐标原点，若直线AM和4N的斜率分别为七和七，且七/2=-/证明：M,0,N三点共线.21.已知函数/(x)=x/nx-ax+a.(1)若x N l 时，/(x)0,求a 的取值范围；(2)当a=1时，方程f(x)=6有两个不相等的实数根X1，x2,证明：1.22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为卜=：+几”戊为参数，。(戊 兀).以(y=tsina坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=黑.(1)写出直线/与曲线C的直角坐标方程；(2)设直线/与曲线C交于2,B两点，且48|=8,求a.第4页，共17页2 3.已知函数/(x)=|2x a|2x+3|,g(%)=|x-2|.(1)当Q=1时，求不等式/(%)N 2的解集；(2)若不等式f(x)Wg(x)在 0,1 上的解集非空，求实数Q的取值范围.答案和解析1 .【答案】c【解析】解：X2 1,-1%1.5 =x|-1%1 ,CRB=xx 1 .则ACICRB=-2,1,1 .故选：C.先求出集合B,再求集合B 关于全集R 的补集，再跟集合4 取交集即可.本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题.2 .【答案】A【解析】解：.z =曳 幽=M的2 =2_=2(1)=1+i5 1+i 1+i(l+i)(l-i)复数Z 的虚部为-1.故选：A.根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.3 .【答案】B【解析】解：函数的定义域为x|x 0 ,/(%)=x2-ln|x=x2-ln|x|=/(%),则f(%)是偶函数，则图象关于y 轴对称，排除D,由/(X)_。得|制1,即X 1 或X 1,当x l 时，/(x)0,排除C,当0 x 1 时，/(%)因为(m五+nK)1 b/3 7 r.故 选:A.求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积.本题考查了长方体外接球的体积计算，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：对于4若抛掷骰子出现的结果为2,2,3,4,6时，此时中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故A错误；对于B,若抛掷骰子出现的结果为1,1,2,5,6时，此时平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故B错误；对于C,若抛掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时，此时中位数为3,方差s 2=p(l-3)2+(2 3)2+(3-3 +(3 3)2+(6 -3沟=2.8,可以出现点数6,故 C错误；对于D,若投掷骰子出现结果的平均数为2,且出现点数6,则方差s 2-2=3.2 2.4,平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故。正确.故选：D.根据众数、中位数、平均数、方差的公式计算即可.本题考查了求众数、中位数、平均数与方差的问题，是基础题.7.【答案】C【解析】解：由已知可得g(x)=co s,x =s in ger +兀)，.由/(x)=s in 只需向左平移兀个单位，即可得到y =g(x)的图象，*.(p=71.伊的最小值是：7 T.故选：C.先将g(x)化正弦，然后根据左加右减求出w的最小值.本题考查三角函数的图象变换以及三角恒等变换，属于基础题.8.【答案】B【解析】解：设切点坐标为(m,n)y x=m aem+1 =2,2 m -n+1 =0,n aem+m,解得，m=0,n =1,切点(0,1)而切点(0,1)又在曲线y =aex+x 上 a =1,故选：B.先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，再根据切点既在曲线y =&+；的图象上又在直线2%-丫 +1 =()上，从而求出切点横坐标，即可求出a 的值.本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基本知识的考查.9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.因为分别为”项的系数，然后根据二项式定理求出a s，。6,进而可以求解.【解答】第8页，共17页解：因为。5,。6 分别为逆,”项的系数，则&5 =若-35,a6=C-36,所以 C Q 3 5 =C 上 3 6,解得 n =7,故 选:B.1 0.【答案】D【解析】解：函数/(x)=s in(x +0)+2 cosx=coscpsinx+(s in 所以4s in p =2,故 s in 9=(根据选项只有。符合条件，故选：D.直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.1 1 .【答案】B【解析】解:由 s in C =2 sinA cosB,则 s in(A +B)=2 sinA cosB,则s in A co s B 4-cosA cosB=2 sinA cosB,贝！|s 讥 4co s B -cosA cosB=0,即 s in(A-B)=0,又4 B e(-7 T,7 r),即4-8 =0,即 A =B,即 a =b,则S =J；a 2c2 d+；_ L _)2 =V 4b2c2-c4=5 c4+1 6 c2=J1=等，当且仅当。2=|,即c=平时取等号，即4 4B C 面积S 的最大值为卓，故选：B.由两角和、差的正弦公式，结合二次函数最值的求法求解即可.本题考查了两角和、差的正弦公式，重点考查了二次函数最值的求法，属基础题.12.【答案】D【解析】解：设以招 尸2为直径的圆的方程为/+y 2 =。2,因为该圆与C的一条渐近线交于P,Q两点，由对称性可知，P,Q关于原点对称，设(&，%)，则。(一殉,一0)，解得；爹-a-bf P(a,b),Q(a,b),-A -a,0),P A Q =y,/.P A F2=6A ta n zP/lF o =3=,/3 2a 3 b 2=4a2,即3(c2 a2)=4a2,.r2c _ -Z-na2 ,._ c _ 怎e=-=,故选：D.由圆的对称性，并联立渐近线方程求P、Q坐标，结合已知易得4 P A F 2=g根据Otan4PAFz 得到齐次方程求参数关系，即可得离心率.本题考查了双曲线的离心率的计算，属于基础题.13.【答案】2【解析】解:函 数 十)=偿 10g22=1,/(-6)+f(log26)=log2(a+6)+2sg26=9,二 log2(a+6)=3,可得a=2,故答案为：2.判断自变量的范围，再结合函数解析式即可求解结论.本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.14.【答案】3第10页，共17页%0【解析】解：作出约束条件%-y+2 o,表示,X +y-3 0的可行域，如图所示：目标函数z=-x +y可化为y=x+z,平移目标函数知，当直线y=x+z过点4时，直线在y轴上的截距最大，瞰;3=。，解得4(。，3)，z=-x +y的最大值为3.故答案为：3.作出约束条件表示的可行域，平移目标函数,找出最优解，即可求出z的最大值.本题考查了简单的线性规划的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题.1 5.【答案】4【解析 解：设点M在准线上的射影为D,由 抛 物 线 的 定 义 可 知=|MD|,则问题可转化为求|MP|+的最小值，所以当D,M,P三点共线时|MP|+|MD|最小，最小为3-(-1)=4.故答案为：4.设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|M D|,进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D,M,P三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得.本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D,M,P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键，属于中档题.1 6.【答案】当【解析】解：已知正方体ABCC-4/传1必 的棱长为2,M为CG的中点，点N在侧面4。遇1内，如图，取BC中点E,连接&E,由BiB=8C,BE=CM,Z.BBXBE=Z.BCM,可得ABiBEmABCM,:乙B、EB=LBMC,A BrEB+AMBE=9 0,即取AD中点F,连接E F,则四边形为B1 EF为平行四边形，AF/BiE，:点N在侧面4。出 内，且B M 1&N,N在4F上，且N到4 8的最小距离为爷=型,V5 5Z B N面积的最小值为三x 2 x步=独.2 5 5故答案为：独.5取8 c中点E,连接&E,由A/BE三A B C M得到取A C中点F,连接E F,易得A】F BiE,结合题设知N在4/上，进而求出N到AB的最小距离，即可求A/I B N面积的最小值.本题考查了正方体中三角形面积的计算，属于中档题.1 7.【答案】解：(1)设等差数列 四 的公差为d,又 S?=7 a 4 =7(即+3 d)=3(%+9 d),又%=3,则 d 2,则 a n =3 +2(n-l)=2 n +l；由 得“=2披=2 2 7+1,即比=8,则蜉=募=4，即数列%是首项为8,公比为4的等比数列，则 =8 x：n)=8(7).【解析】(1)由题意可得S7 =7gzl=7 a 4 =7(&+3 d)=3(%+9 d),结合%=3,求出通项公式即可；(2)由(1)得 勾=2即=2 2 4+1,即数列 5是首项为8,公比为4的等比数列，然后求和即可.本题考查了等差数列的性质及通项公式的求法，重点考查了等比数列前n项和公式，属第12页，共17页基础题.1 8.【答案】解：(I)证明：在四棱柱4 B C D -4 出 6?也 中，叫 _ L 平面2 B C D,底面A B C D 满足A D B C,且4 8=A D=A A=2,BD=DC=2 V2.A B 1 A Alt A B2+A D2=B D2,A B 1A D,V A A t C i A D=A,二 AB 1 平面(U)解：以A 为原点,4 B 为x 轴,A D 为y 轴,4 4 i为z 轴，建立空间直角坐标系，4(0,0,0),B(2,0,0),(2,0,2),C(2,4,0),D1(0,2,2),A B=(2,0,0),西=(0,-4,2)，西=(一 2,-2,2),设平面B iC D i的法向量为H =（x,y,z）,则 pT 9=-4 y +2 z =0(n CD；=-2 x-2 y +2 z =0,取y =1,得元=(L l,2),设直线4 8 与平面8停。1所成角为仇则直线4 B 与平面B i C Q 所成角的正弦值为:.Q A B-n 2 x/6sm 南丽飞=不【解析】（I）推导出4 B _ L/Mi，A B L AD,由此能证明SB J _ 平面（口）以4 为原点，4 8 为x 轴，4。为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线4 B 与平面&C D 1 所成角的正弦值.本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，得分在 2 0,4 0）的频率为0.005 x 2 0=0.1,故抽取的学生答卷总数为=6 0,0.1 y =6 0 X 0.2 =12,x =6 0 6 12 -2 4 =18,性别与合格情况的2 x 2 列联表为:60X(14X20-10X16)2 10,c-=应用点差法可得纥=-：，结合的-卜2=-：有邛=鬻，即得%)与 N重合，再由M与M(一 为,一月)关于原点对称即可证人 0一 42 人 0T4结论.本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识,属于中等题.21.【答案】解：(l)：x 2 1,/()2 0,即，n x-a +2 0,设g(x)=In x-a +tO N 1),=：_ 爰=詈,当a l 时，令gQ)=0得X=Q,当IWXVQE I寸，g(X)v 0；当工AQ时，gQO 0,g(x)在l,a上单调递减，在a,+8)上单调递增，g(a)g(l)=0,与已知矛盾.当a W l时，g(%)2 0,.g(x)在1,+8)上单调递增，.g(%)z g(l)=0,满足条件；综上，a 的取值范围是(一 8,1.(2)证明：当Q=1时，/。)=)无，则f(x)在区间(1,+8)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，不妨设与%2，则0%1 1%2，要证%2 1，只需证 (X)在区间(1,+8)上单调递增，.只需证/。2)代)./(X1)=/(必)，.只需证/(/)/().设尸(x)=f (x)x 0,F(x)在区间(0,1)上单调递增，F(x)F(l)=0,/(x)-/(i)0,即/(匕)1),g x)=工一9=苛，X X X X X判断导函数的符号，得到函数的单调区间，然后求解a 的取值范围是(-8,1.1(2)不妨设与%2 则0%1 1%2，要 证%2 1，只需证 1 V%2 V 1，设F(%)=X1f(x)f(0 x l)，利用函数导数判断函数的单调性，推出结果.本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.22.【答案】解：直线1 的参数方程为“=/t c o s a(t为参数，0 戊 0,设Q,以是方程的根，则“+弓=2cosasin2a1也=-高|4B|=|t i-t2|=J(ti+t2)2-4 tt2 =J 端+品=高=8,sin2a=4v 0 a 7T,1*e StT L C C =一,2n ix 57ra=工 或 1o 6【解析】(1)根据直线2的参数方程，消去参数t,即可求解直线I的直角坐标方程，根据曲线C的极坐标方程，结合极坐标公式，即可求解.(2)将直线I的参数方程代入曲线C的方程得t2sin2a-2tcosa-1=0,再结合韦达定理,以及参数方程的几何意义，即可求解.第 16页，共 17页本题主要考查简单曲线的极坐标方程，以及参数方程的应用，属于中档题.(,34,x V 22 3.【答案】解：(1)当a =1 时，/(X)=|2 x -1|-|2 x +3|=-4%-2,x|Z当X 2 恒成立；当一,%：时，由一 4%2之2 得一日三工工一1,当 N况寸，-4 2 2,无解，综上，不等式f(x)22 的解集为(一8,-1 ；(2)/(%)5(x),即|2%可一|2%+3|%-2|,x G 0,1 ,A|2 x -a|-2%-3 2 -%,整理得|2 x -a|%+5,A x 5 2 x a%+5,即 5 W a W 3%+5 在 G 0,1 有解，一 5 W a W 8.实数a 的取值范围是-5,8 .【解析】(1)代入a =1,去绝对值，将函数f(x)整理为分段函数形式进行求解即可；(2)在区间 0,1 上去绝对值整理不等式为一%-52x-ax+5,根据x 的取值范围即可求解a 的取值范围.本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题.