2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展四：直线的方程大题专项训练(34道)(解析版).pdf

拓展四：直线的方程大题专项训练(3 4道)含 高频考点考点精析类型一求直线的方程(10道)1.(2022青海海南藏族自治州高级中学高二期末(文)已知三角形的三个顶点A(-5,0),3(3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.【答案】5x+3y-6=0；x+13y+5=0.【解题思路】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.【解题过程】解：过8(3,-3),C(0,2)的两点式方程为与W =工，整理得5x+3y-6=0.即BC边所在直线的方程为5x+3y-6=0,BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，(.y-0 x+5 n 过A(-5,0),M亍的直线的方程为-V；-五;，即x+M y +1=0.2)2 V 2+：)2 2 2整理得 x+13y+5=0.所以BC边上中线所在直线的方程为x+13y+5=0.2.(2022湖北监利市教学研究室高二期末)在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A(0,2)和C(4,6),A 3所在直线的方程为3x-y+2=0.求对角线B。所在直线的一般方程；（2）求 AO所在直线的一般方程.【答案】（l）x+y-6 =0（2）x-3y+6=0【解题思路】（D首先求AC的中点，再利用垂直关系求直线3。的斜率，即可求解；（2）首先求点8 的坐标，再 求 直 线 的 斜 率，求得直线AO的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解.【解题过程】由 4（0,2）和 C（4,6）得:AC中点“（2,4）6-2V 四边形 A8CZ）为菱形kAC=-=I,；.BD1AC,4 0 =-1，且 M（2,4）为 中 点，对角线8。所在直线方程为：y-4 =-（x-2）r即：x+y 6=0.由x+y-6=03x-y+2=09解得：5（1,5）,6-5 1l=，AD/BC,%=二直线AD的方程为：y-2 =；x,即：x-3y+6=0.3.（2022北京房山高二期末）在平面直角坐标系中，AABC三个顶点坐标分别为4（2,-2）,B（6,6）,C（0,6）,设线段AB的中点为，求中线CM所在直线的方程.（2）求边AB上的高所在直线的方程.【答案】x+y-6=o（2）x+2y-12=0【解题思路】（1）先 求 出 线 段 的 中 点 为 M 的坐标，再利用两点式求出中线CM所在直线的方程；（2）先求出A 8的斜率，可得A 8边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边A 8上的高所在直线的方程.【解题过程】解：入 钻。三个顶点坐标分别为A（2,-2）,B（6,6）,C（0,6）,二线段A 3的中点加（4,2）,则中线C M所 在 直 线 的 方 程 为 9=，即x+y _ 6=0；（2）解：由于直线A 8的斜率 为 泮=2,故边A8上的高所在直线的斜率为故边AB上的高所在直线的方程为y-6=-g（x-0）,即x+2y-12=0.4.（2022江苏南师大二附中高二期末）已知AABC的顶点4（1,5）,边 AB上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0,边 AC上 的 高 所 在 直 线 方 程 为 x-2 y-5 =0,求 顶 点 C 的坐标；（2）直线8C 的方程；【答案】（1）（3,1）；（2）y=l.【解题思路】（1）设出点C 的坐标，进而根据点C在中线上及AC，8”求得答案；（2）设出点6 的坐标，进而求出点M 的坐标，然后根据中线的方程及A C,3 求出点8 的坐标，进而求出直线BC的方程.2x-y-5=0 r【解题过程】设 C 点的坐标为（x,y）,则 由 题 知 y-5 1 =v_ f,即C（3,l）.x-i 2=a 设B点的坐标为（八），则 中 点/坐 标（第,等）代入中线CM方程加 一 2-5=前=7 I则由题知 c m +n+5 -1 =。或x-2 y=0【解题过程】解方程组x+y-3=02 x-3 -l=0.点P 的坐标为（2,1）,（2）直线/的斜率显然存在且不为0,设/：y-l=%（x-2）令 x=0,得 y=l-2 k,令 y=0,得 x=2-1,k所以l-2A+2=0k，2二 3&+1 =0,二 Z=1 或 4=I，得/为：x-y-l=0或 x-2 y =06.（2022广西宾阳中学高二期末（文）已知“BC的三个顶点是A（4,0）,B（6,7）,C（0,3）.（1）求 AC边所在的直线方程；求经过A8边的中点，且与AC边平行的直线/的方程.【答案】（l）3x+4y-12=0（2）3x+4y-l=0【解题思路】（D利用直线方程的两点式求解；（2）先求得A 8 的中点，再根据直线与4 C 平行，利用点斜式求解.【解题过程】（1）因为4（4,0）,C（0,3）,所以AC边所在的直线方程 为 二=2 二，x-0 x-4即 3x+4y 12=0；（2）因为 A（4,0）,3（6,7）,所以4 8 的中点为：（5；）,又晨=总7 a所以直线方程为：y-j =-（x-5）,即 3 x+4 y-1 =0.7.（2022河北沧州高二期末）已知直线/过点P（3,4）.若直线/与直线4x-3y+5=0 垂直，求直线/的方程；若直线/在两坐标轴的截距相等，求直线/的方程.【答案】（l）3x+4y-25=0（2）4x-3y=（x+y-7 =0【解题思路】（1）由两条直线垂直可设直线/的方程为3x+4y+帆=0,将点P（3,4）的坐标代入计算即可；（2）当直线/过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线/不过原点时可设直线/的方程为x+y=。，将点P（3,4）的坐标代入计算即可.【解题过程】（1）解：因为直线/与直线4x-3y+5=0 垂直所以，设直线/的方程为3x+4,，+/=0,因为直线/过点尸（3,4）,所以3x3+4x4+m =0,解得，”=一25,所以直线/的方程为3x+4y-25=0.（2）解：当直线/过原点时，斜率为：4，由点斜式求得直线/的方程是y=4即4x-3y=0.当直线/不过原点时，设直线/的方程为x+y=%把点尸（3,4）代入方程得。=7,所以直线/的方程是x+y-7 =o.综上，所求直线/的方程为4x-3y=0或 x+y-7 =0.8.（2022四川成都七中高一期末）已知AABC的顶点8（5,1）,A B边上的高所在的直线方程为x-2尸 5=0.（1）求直线A B 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中.角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0B C边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0,求直线A C 的方程.【答案】（l）2x+y-ll=0；若选：直线AC的方程为2x-lly+49=0；若选：直线4 C 的方程为6 x-5 y-9 =0.【解题思路】（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线A 8 的斜率为火，再由直线的点斜式方程可求得答案；（2）若选：由求得点A（3,5）,再求得点B 关于x+2y-13=0 的对称点即 知）,由此可求得直线A C 的方程;若选：由；?二；二；，求得点A（4,3）,设点C Q,%）,由 8 c 的中点在直线2 x-y-5 =0上，和 点 C在直线x-2 y-5 =0上，求得点C（-l,-3）,由此可求得直线AC的方程.【解题过程】（1）解：因为4 8 边上的高所在的直线方程为x-2 y-5=0,所以直线4 5 的斜率为2=-2,又因为AABC的顶点8（5,1）,所以直线A 8 的方程为：y-l=-2（x-5）,所以直线4 8 的方程为：2x+y-ll=0；解：若选：角 4 的平分线所在直线方程为x+2 y-13=0,2x+y-ll=0 x+2y-13=0 x=3.y=5,解得所以点A（3,5）,设点8 关于x+2y-13=0 的对称点B.（为%）,则，解得37一529一5-七为5_29又点8 件，省在直线4 c 上，所以勉=一 言=,-5所以直线AC的方程为y-5 =1（x-3）,所以直线AC的方程为2 x-1 ly+49=0；若选：8 c 边上的中线所在的直线方程为2 x-y-5 =0,由22xx+ly-ll =00,解得彳r=4二 2,所以点 4(4,3)，y=3设点C&,x）,贝 1 1 5 c 的中点在直线2xy 5=0 上，所以2x等 一 等-5 =0,即2x y-l =0,所以点C在直线2x-y -1 =0 上,又 点 C 在直线x-0上，由x-2 y-5=0解得X=-1 /、),=_ 3,即 C(T，-3),所以矶=尧=所以直线AC的方程为y-3 =g（x-4）,所以直线AC的方程为6 x-5 y-9 =0.9.（2022重庆市青木关中学校高二期末）已知直线/过定点A（2,l）若直线/与直线x+2 y-5=0垂直，求直线/的方程；（2）若直线，在两坐标轴上的截距相等，求直线I的方程.【答案】2 x-y-3=0 x-2 y =0或 x+y-3=0【解题思路】（1）求出直线x+2 y-5 =0的斜率可得/的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.（2）按直线/是否过原点分类讨论计算作答.【解题过程】（1）直线x+2 y5=0的 斜 率 为 于 是 得 直 线/的 斜 率 =2,贝!y l=2（x 2）,即2x y-3 =0,所以直线/的方程是：2 x-y-3 =0.（2）因直线/在两坐标轴上的截距相等，则当直线/过原点时，直线/的方程为：y=；x,即x-2 y =0,当直线/不过原点时，设其方程为：土+上=1,则有2 +1=1,解得。=3,此时,直线/的方程为：x+y-3 =0,a a a a所以直线/的方程为：x-2y=0 x+y-3 =0.10.（2022江苏徐州高二期末）在AABC中，已知A（2,4）,B（-2,l）,C（8,-4）,D,E分别为边4 8,A C的中点，4万，8 c于点H.（1）求直线O E的方程；（2）求直线A”的方程.【答案】x+2 y-5 =0；（2）2 x-y =0.【解题思路】（1）根据给定条件求出点。，E坐标，再求出直线OE方程作答.求出直线A H的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.【解题过程】（1）在 AABC中，A（2.4）,B（-2,l）,C（8,-4）,则边 AB 中点。（0,1）,边 AC 的中点 E（5,0）,2_n 1 5直线O E的斜率”_ 5一、1,于是得y=_；x+g,即x+2 y-5 =0,=0 5=2 2 2所以直线OE的方程是：x+2y-5=0.依题意，B C/D E,则直线8c的 斜 率 为 又 A/L 3 C,因此，直线A的斜率为2,所 以 直 线 的 方 程 为：y-4 =2（x-2）,即2 xy =0.类型二两条直线平行、垂直关系的应用（6 道）11.（2022内蒙古赤峰二中高二期末（文）已知直线4：（加 4）xy+l =0 和 小（加+4）x+（m+l）y 1 =0.（1）若 4 4,求实数，的值;（2）若 4,4,求实数，的值.【答案】（1）2（2）匕 场 或 上 班2 2【解题思路】（D 易知两直线的斜率存在，根 据 由 斜 率 相 等 求 解.（2）分加=4 和加工4,根据4，3由直线的斜率之积为-1求解.【解题过程】（1）由直线4 的斜率存在 且为m-4,则直线&的斜率也存在,且为-鬻因为4 4,所以加一 4 二 一加+4 7 +1解得加=0 或 2,当加=0 时，由 7 =1 此时直线4，重合，当初=2时，此时直线4，4 平行，7+1 3综上：若 4 4,则实数，的值为2.当机=4 时，直线4 的斜率为o,此时若4 U 必有，=-1,不可能.当时，若 4必有（机-4）x（-7石）=-1 ,解得/=土,由上知若4,4,则实数，”的值为或上巫.2 212.（2022江苏泰州高二期末）已知两条直线4：（3+，）x +4y =5_ 3w,4：2x +（5+,）y =8.设m 为实数，分别根据下列条件求机的值./“公（2）直 线 在 x 轴、y 轴上截距之和等于6.【答案】，=-7；帆=-1.【解题思路】(1)由两直线平行可得出关于加的等式，求出m 的值，再代入两直线方程，验证两直线是否平行，由此可得出结果；(2)分析可知5+加 0,求出直线4在 x 轴、)轴上的截距，结合已知条件可得出关于机的等式，即可解得机的值.【解题过程】(1)解：由/“A，则(3+加卜(5+利)=42,即 病+8加+7=0,解得H=T或-7.当相=-7时，4:2x-2y+13=0,/2:x-y-4 =0,此时“儿；当帆=一1时,4:x+2y-4=0,4：%+2y-4=0,此时/1，6 重合,不合乎题意.综上所述，m=-7(2)解：对 于 直 线 由 已 知 可 得 5+2=0,则2，-5,Q令 y=。，得 x=4；令 x=0,y =-5+2Q因为直线4在 X轴、y 轴上截距之和等于6,即4+J-=6,解得加=T.13.(2022黑龙江哈尔滨市第三十二中学校高二期末)已知直线公火-2+4=。和/”(a-2)x+4y+l=0,设。为实数，分别根据下列条件求 的值：(l)i-L 4“2【答案】(1)。=4或。=-2【解题思路】根 据 4 口,由a(a-2)-2x4=0求解；(2)根据“2，由 4a=-2(a-2)求解.【解题过程】(1)解：因 为 卬 2,所以。(a-2)-2x4=0,解得a=4或a=-2.所 以 当 时，。=4或a=-2；因为“4，所以4。=2(。2),解得。=.3检验：此时 4：x-3y+6 =O：x-3 y=0,1 1/12 成立.所 以 当 时，。=|.14.(2022全国高二期末)已知直线4：法+3y +l =0,l2:x+(a-2)y+a=Q.请从以下三个条件中选出两个求实数。，人的值.(1)/?=3cl；/j;【答案】选 和 ,a=,b=3.6 Z =1 +/2 a /2选和，-0+后 产k 3(1 .可(3)选(2)和(3),a、b 无解.【解题思路】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-I;若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合.【解题过程】(1)若选条件和(2),3=3a和,由匕=3a,得4：3a x+3y +l =0,即 y =_ a r _；,当a =2时，4:x =-2,(：6 x+3y +l =0,乙 与4不垂直，当a =0时，/|：3y +l =0,Z2：x-2y =0,与4不垂直；故”2且a w O,得4：y =-+,2-a 2-a又 4，4，k、=-a,&=，2-a所以，=-a x一一 二 一1,解得 =1,则。=3；2-a(2)若选条件和(3),8=3a和 2，由/=3a,得 4：3a x+3y +1 =0,当 Q=0 时，4：3y +l =O,/2：x-2y=0,(与 不平行；当。=2 时，6 x+3y +l =0,/2：x=-2,(与 不 平 行；故 0且2,贝 丹=2/，解得。=1 +近 或1S1 。-2 a故 6 =3(1+0)或 3(1-伪，a=+yf2 a=i 2即b =3(l+闾 或 工=3(1-匈;若选条件和(3),4 U和“4，根据两条直线的位置关系，可得_ L 4和 2不可能同时成立，此时无解.15.(2022浙江宁波高二期末)已知三条直线ll：2x-y+=0,l2：3x+y-6 =0,l);kx-y+k+=0(火是常数)，.若4,%4相交于一点，求人的值；若 心*4不能围成一个三角形，求左的值：若乙，4,4能围成一个直角三角形，求k的值.【答案】)=1(2)k=l 或无=2 或=-3(3)=_ g 或；【解题思路】(1)由二条已知直线求交点，代入第三条直线即可；(2)不能围成一个三角形，4过二条已知直线的交点，或者与它们平行；(3)由直线互相垂直得，斜率之积为-1.【解题过程】(1)_ 2x-y +l =0,显然乙，4相交，由 A/3 尤+y-6 =0得交点(L 3),由点。3)代入4得=1所以当4，%相交时，k=l.(2)4 过定点(T，l)，因为4,4,4 不能围成三角形，所以。,3)4,或 4与4 平行，或4 与4 平行，所以=1,或=2,或=-3.(3)显然4与4 不垂直，所以(1,3)任 4,且或4 皿所以k 的值为无=-；或g16.(2022湖北武汉市第十五中学高二期末)已知直线4：3x+2y+6=0,直线4:2x-3疗+18=第 直线4：2皿-3y+12=0.若 4与3 的倾斜角互补,求机的值；(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.【答案 相=34(2)0,-1,.【解题思路】(1)根据题意得勺=-4，进而求解得答案；(2)根据题意，分别讨论4与4垂直，4与 垂直，4与4垂直求解，并检验即可得答案.【解题过程】(1)解：因为4与4 的倾斜角互补，所以夕=一心,3 3直线4：3x+2y+6=O变形为点丫=_y3,故&=：所以勺2 解3 得*士22“2 3(2)解：由题意，若 6：3x+2y+6=0 和4：2x-3m2y+i8=0 垂直可得：3X2+2X(-3/M2)=0,解得加=1,因为当加=1 时，/,:2x-3y+18=0,/3:2x-3y+12=0,l2/l3,构不成三角形，当机=-1时，经验证符合题意；故机=-1；同理，若 4：3x+2y+6=0 和 4:2，x-3y+12=0 垂直可得：6 m-6 =0,解得m =l,舍去；4若/2：2x-3，/y +18=0 和 A：2mx-3y+12=0 垂直可得：4/M+9m2=0,解得机=0或机=一,经验证符合题意；4故所的值为：0,-1,.类型三直线的恒过定点问题（2道）17.（2022江苏高二）已知直线/：（2+/n）x+（l-2 w）y+4-3w =0（m s R）.求证：直线/恒过定点P,并求点P 的坐标.【答案】证明见解析，P（-l-2）【解题思路】整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线/恒过定点P 的坐标.【解题过程】证明：原方程整理为2x+y+4+m（x-2 y 3）=0,贝（j由2x+y+4=0 x-2 y-3 =0.X=-1,y=-2-所以P 点坐标为（-1,-2）.18.（2022浙江玉环市玉城中学高二期中）已知点A（2,l）,直线/:（a l）x+y+2+a=0（a e R）.不论取何值，直线/过定点P.求点尸的坐标，及点A（2,l）到直线/距离的最大值;（2）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求 的值.【答案】尸（-1,-3）；5(2)a=2 或 a=2【解题思路】（1）方程化为。（x+i）-+），+2=0,联立方程组二二=0可求出定点，点 A（2）到直线/距离的最大值即为|幺|;（2）分别求出两坐标轴上的截距，建立方程即可求出.【解题过程】（1）由(a-l)x+y+2+a=0整理可得a(x+l)-x+y+2=0,令x+1=0T+y +2=。解得 x=T =3所以直线/过定点P（1,一3）.点 4（2,1）到直线/距离的最大值为|以|=反 正=5.c i 2令 y=0,得工=-；令 x=0,得 尸 一一2依题意，-=-a-2f解得。=2 或。=2a 类型四求两点间的距离（2 道）1 9.（2 0 2 2 四川乐山高一期末）已知直线/过点尸（2,1）交圆C:f +y2-2 x-6 y=0 于 4、3两点.当直线/的倾斜角为4 5。时，求 A8的长；（2）当|A B|最小时，求直线/的方程.【答案】（1）疟 x 2 y=0【解题思路】（1）利用垂径定理去求A8的长；（2）利用过圆内一点的最短弦长求法去求直线/的方程.【解题过程】（1）圆 C:x2+9-2 x 6 y=0 的圆心C（l,3）,半径r =J IU因为直线/的斜率为&=345。=1,则过点P（2 1）的直线/的方程为尸 l =x-2,即x-y-l =O,则圆心C（l,3）到直线/的距离d=|1 U=述，V 2 2所以|A B|=2 x J 1 0-3 =后.（2）由题知，当直线/LCP时，|A B|最小，此时勺=-1-=5，故直线/的方程为y-l =；（x-2）,即x-2 y=0.2 0.（2 0 2 2 全国高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形A 3 C。的长为2,宽为1,AB,AO边分别在x轴、y 轴的正半轴上，点 A与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使点4落在线段。C上.（1）若折痕所在直线的斜率为%试求折痕所在直线的方程;（2）当-2 +百 4 k 4 0 时，求折痕长的最大值.【答案】（1）y=a+y +1；（2）2（C 0）.【解题思路】（1）当=0 时，此时A点与。点重合，折痕所在的直线方程 =3.当k#0 时，将矩形折叠后A 点落在线段。C 上的点记为G（a,l）,可知：A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有*4=-1,解得a=-k.故 G 点坐标为G（-4,1）,从而折痕所在的直线与。G 的交点坐标即线段0 G 的中点为即可得出.（2）当左=0 时，折痕长为2.当_2+限&=当/0 时，将矩形折叠后点A 落在线段。C 上的点记为G（a,l）,0 2,所以点A与点G 关于折痕所在的直线对称，有自6M=-1 n L k =-1=a=-女，a故点G 的坐标为（-太1）,从而折痕所在的直线与OG的交点（线 段 OG的中点）为 P g g 故 折 痕 所 在 直 线 的 方 程 为=x+q），即y=.综上所述，折痕所在直线的方程为 2 2（2）当=0 时，折痕的长为2;l（立 2 1、（42.|当-2+g会 0 时，折痕所在的直线交直线8 c 于点M 1 2,2 万+之，交y 轴于点N10,（-V 0 公 4（-2+6=7-4 6，；.3 1 4 =2（2 6）2*3=1,贝!%在4 0 上，.2k+与+:=：伏+2-,-2+y/3k 2,故折痕长度的最大值为2（遥-应）.=4+4公 4 4 +4X(7-4=3 2-1 6 G,类型五求点到直线的距离(3道)21.(2022湖南省临湘市教研室高二期末)直线/经过两直线：3X+4)，-2 =0和/z：2x+y+2=O的交点.(1)若直线/与直线3 x+y-l=O平行，求直线/的方程；若点A(3,l)到直线/的距离为5,求直线/的方程.【答案】3x+y+4=0(2)x=-2 或 12x-5y+34=0【解题思路】(1)由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出/的方程.(2)分类讨论直线/的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线/的方程.【解题过程】(1)曲山 声+-2=0 Jx=-2解：由3上八 解得1 2x+y+2=0 y=2所以两直线4：3x+4 y-2 =0 和 32x+y+2=0 的交点为(-2,2).当直线/与直线3 x+y-l=O平行，设/的方程为3x+y+m=O,把点(-2代入求得机=4,可得/的方程为3x+y+4=0.(2)解：斜率不存在时，直线/的方程为x=-2,满足点43,1)到直线/的距离为5.当/的斜率存在时，设直限/的方程为y-2 M(x+2),即H-y +2A+2=0,则点A 到直线/的距离为国 一；，欠：2：+2 1=5,求得左 邛，+1 512故/的方程为 X y+2%+2=0,即 12x 5y+34=O.综上，直线/的方程为x=-2 或 12x-5y+34=0.22.(2022内蒙古阿拉善盟第一中学高二期末(文)在平面直角坐标系内，已知AA B C的三个顶点坐标分别为 A(0,2),5(4,0),C。).(1)求 A3边的垂直平分线所在的直线/的方程；(2)若AA B C的面积为5,求点C 的坐标.【答案】(D 2 x-y-3 =O;(2)(9,0)或(-1,0).【解题思路】(D 由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出/的斜率，再用点斜式求直线/的方程.(2)根据AABC的面积为5,求得点C 到直线心的距离，再利用点到直线的距离公式，求得加的值.【解题过程】解：4 0,2),8(4,0),A8的中点M的坐标为A(2,l),T 7 .k,祥=-0-2=I.4 8 4-0 2设A B边的垂直平分线所在的直线/的斜率为k,则仁/=T，:.k=2,可得/的方程为y-l =2(x-2),即 2 x y 3 =0.A3边的垂直平分线所在的直线/的方程2 x-y-3 =0(2)A 8边所在的直线方程为x+2 y-4 =0.|A B|=7(0-4)2+(2-0)2=2底 设 边 上 的 高 为4即点C到直线lA B的距离为d=华言=嚼，且 凡”|以=5=；.2行 以=5,解得d=氏解得“2 =9或机=-1,.点C的坐标为(9,0)或(T,0).23.(2022重庆市万州第二高级中学高二期末)已知直线/：依-+l+2 Z =0(k c R).已知P(l,5),若点尸到直线的距离为d,求d最大时直线的方程.若直线/交x 轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点5,求 面 积 的 最 小 值.【答案】(l)3 x+4 y+2 =0(2)4【解题思路】(D将直线化成点斜式，由垂直关系可求出左值，进而得解；(2)由直线方程分别求出A 8,表示出川人加，结合基本不等式可求AAOB面积的最小值.【解题过程】(1)由-y+l+2 A=0变形得y=k(x+2)+l,则设直线过M(-2,l),要使点到直线距离最大，则满足八 财,=-14 贝必=一3 巳 直线方程为-3-x y+l-39 =0,即3 x+4 y+2 =o；3 4 4 2由题知，0,y=Z(x+2)+l,令 x=o 得 y=2 左+1,即 8(0,24+1),令 y=0 得 x=_：-2,即 -6 +2O),则 以3=3 +2卜 2%+1)=乂 4+4&)4(4+2 4)=4,当且仅当衣=(时等号成立，故 S,的最小值为 4.类型六求两平行直线间的距离（4道）24.（2022吉林长春市实验中学高二期末）已知直线-2），+3=0与直线3x+y+2=0交于点尸.（1）求过点P 且平行于直线3x+4y-5=O的直线乙的方程，并求出两平行直线间的距离；（2）求过点户并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线12的方程.4【答案】3x+4 y-l=0；x+y=0 或 x-y +2=0.【解题思路】（1）首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，再根据两平行直线之间距离公式即可计算距离；（2）根据截距式方程的求法解答.【解题过程】（Dx-2y+3=0,3x+y+2=0,得尸(T,l).设直线/.的方程为3x+4），+4=0,代入点p 坐标得2=-1,二直线 的方程为3 x+4 y-1 =0.A两平行线间的距离d=|（2）当直线4 过坐标原点时，直线4 的方程为了=-,即x+y=0；当直线4 不过坐标原点时，设直线4 的方程为三+*=1，代入点尸坐标得。=-2,a 一。直线4 的方程的方程为:1 +5=1,即x-y +2=0.综上所述，直线4 的方程为x+y=0或x-y +2=0.25.（2022四川凉山高二期末（理）已知直线/过点。（2.3）,且被两条平行直线4：3x+4 y-7=0,4：3+4+8=0 截得的线段长为.（1）求”的最小值；（2）当直线/与x 轴平行时，求 d 的值.【答案】（1）3；（2）5.【解题思路】（1）由题可得乙和4 的距离即为d的最小值；（2）可得此时直线/的方程为y=3,求出交点坐标即可求出距离.【解题过程】（1）由 题 可 得 当 且 时，d取得最小值，即4 和 4 的距离，由两平行线间的距离公式，得仆根 一（切=3,V 32+42所以d的最小值为3.（2）当直线/与x 轴平行时，/的方程为y=3,设直线/与直线，4 分别交于点（鼎3）,（电,3）,典 3%+1 2-7 =0,3 +1 2 +8 =0,所以3（%一）=1 5,即占 一%=5,所以4 =他=|X一 X z|=5.2 6.（2 0 2 2安徽芜湖高二期末）直 线 人 x+（l +机）y 2 =0 和4：mx+2y-2=0.若两直线垂直，求机的值；（2）若两直线平行，求平行线间的距离.2【答案】（1）加=一；逑2【解题思路】（D 由直线一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直线一般方程的平行公式，求得加=-2,再由平行线的距离公式，即得解.【解题过程】（1）.两直线垂直，.机+2（1 +机）=0,解得比=-1.（2）两直线平行，.加。+，/）-2 =0,解得加=-2 或 1,经过验证机=1 时两条直线重合,舍去.机=-2 .可得:直线乙：x-y-2 =0 ,/?：x-y+1 =0 .|2 1 1 3 5/2两直线间的距离=不 二.27.（2022广东揭阳高二期末）已知直线（：o r +2 y+6 =0 和直线Gx+y-JO.若 U时，求“的值；（2）当4 1平行,求两直线4,4 的距离.【答案】。=-2 2 万【解题思路】（D 由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数”的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数。的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线4 与4 之间的距离.【解题过程】（1）：a r+2 y+6 =0 ,/2:x+y-1 =0 ./,/2,a xl+2 xl=0,解得a =-2.（2）V /,:ax+2y+6 =0,:x+y-1 =0,j ./,H l2,a xl=2 x1 且-a w 2 ,解得a =2,/./,:2 x+2 y+6 =0,4 ：x+y-1 =0 ,即：x+y+3 =0,4 ：x+y-1 =0直线/间的距离为=2&./l2 ,i2类型七与面积有关的问题（7道）28.（2022广东佛山福二期末）已知AM C的三个顶点的坐标分别为A（0,l）,3（1,4）,C（6,3）.（1）求边A C 上的中线所在直线方程；求AABC的面积.【答案】x+y-5=o（2）8【解题思路】（1）先求得A C 的中点，由此求得边A C 上的中线所在直线方程.（2）结合点到直线距离公式求得AABC的面积.【解题过程】（1）A C的中点为（3,2）,所以边A C上的中线所在直线方程为:二|=w,+打5=0.4 2 1 3（2）直线 A 8的方程为y-l=g（x-0）,y=3 x+l,3 x-y+l =0,C到直线A B的距离为7=一-=，Vio vio|Afi|=V l2+32=V i（j,所以 SAHC=x/i o x-y=8.2 9.（2 0 2 2安徽宣城高二期末）已知直线/经过直线/1：2 x+y-4 =0,4 ：4 x+3 y-1 0 =。的交点若直线/与直线 ：x-2 y+l=0平行，求直线/的方程；若直线/与X轴，y轴分别交于A,B两 点,且M为线段A 8的中点，求“08的面积（其 中。为坐标原点）.【答案】x-2 y+3 =0（2）4【解题思路】（1）求出两直线的交点M的坐标，设直线/的方程为x-2 y+7 =0代入点M的坐标可得答案；（2）设A（a,0）,B（0,b）,因为M（l,2）为线段A 8的中点，可得a,b,由dOB的面积为9|。小|0目可得答案.【解题过程】（1）j 2 x+y-4 =0 J x=l 4 x+3 y-1 0 =0,得 y=2 所以点M的坐标为（1,2）,因为/4,则设直线/的方程为x-2 y+r =0,又/过点0,2）,代入得y3,故直线/方程为x-2 y +3 =0.设A（a,0）,8（0,。），因为M（l,2）为线段AB的中点，则。+0 1=1.,所以0+b八-=24 =2,故 A（2,0）,B（0,4）,b=42则 AAOB 的面积为gx|OAHO8|=gx2x4=4.30.（2022全国高二期末）在平面直角坐标系xOy中，已知“ABC的三个顶点A（m,），B（2,l）,C（-2,3）,求 8 c 边所在直线的方程；BC边上中线4）的方程为2x-3y+6=0,且AA B C的面积等于7,求点A 的坐标.【答案】x+2 y-4 =0 4(3,4)或 A(-3,0)【解题思路】（1）利用两点式求得8 c 边所在直线方程;（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线8 c 的距离，根据面积%ABC=7以及点A 在直线2x-3y+6=0上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【解题过程】（1）解：由矶2,1）、C（2,3）得 BC边所在直线方程 为?=三 工，即x+2 y-4 =0,3 1 2 2故 边 所 在 直 线 的 方 程 为 x+2 y-4 =0.解：因为4 到 BC边所在直线x+2 y-4 =0 的距离为 4=|/H+2/?-4|又|BC|=j 4 +22=2/,17所以山“=5 忸C|M=7,所以d=忑,所以|加 +2-4|7A/5-石贝！J 机+2 =11 或 6+2 =一 3,由于A 在直线2 x-3），+6=0 上，故m+2n=11+2 =32加-3 +6=0 1-3 +6=0解 得:二;或（丁.所以4 3,4）或 A（-3.0）.31.（2022湖南华容县教育科学研究室高二期末）已知直线4：2 x-y +6=0 和 4：x-y +l=0 的交点为尸.若直线/经过点尸且与直线，3：4 x-3 y-5 =0 平行，求直线/的方程；若直线历经过点?且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线?的方程.【答案】（l）4x 3y+8=0 2x-5y 10=0 或8x-5y+20=0【解题思路】（D由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；(2)设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.【解题过程】(1)解：联立4,4的方程 八，解得/即P(-5 T)x-y +l=O y=-4设直线/的方程为：4x-3y+c=0,将 P(-5,T)带入可得。=8所以/的方程为：-3)，+8=0；(2)解：法：易知直线加在两坐标轴上的截距均不为0,设直线方程为：-+=1,a b-5-4-1 =1则直线与两坐标轴交点为440),8(0,份，由题意得:b,5 圈=5r v f 5解得：L G 或 2I 也=4x y_所以直线用的方程为：2+3 =1或=13 2.-2即：2工 一 5)，-10=0或81一 5丁 +20=0.法：设直线加的斜率为MAwO),则的方程为y+4=Z(x+5),当x=0 时，-4当y=0 时，x=-5ki A o R所以奉5左 一 4|工一5=5,解得：k 或 k=?Z K D J9 Q所 以，的方程为 y+4=：(x+5)或 y+4=(x+5)即：2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.32.(2022浙江绍兴高二期末)已知直线/过点P(l,2),与两坐标轴的正半轴分别交于A,8 两点，。为坐标原点.25 若0 3 的 面 积 为 求 直 线/的 方 程；4(2)求AOAB的面积的最小值.【答案】(l)/：x+2y-5=0或8x+y-10=0(2)4【解题思路】(1)设直线方程为2+1=1(。,人 0),根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线/：），-2=%。-1），利用面积求出左后可得直线方程.（2）结 合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.【解题过程】（1）法 一:（1）设直 线 弓+卜（如0）,则1 2,I =1a b1 ,25ab=.2 4解得a=5,5 或,b=25a=4Z?=10所以直线/：x+2y-5=0 或 8x+y-10=0.法二：设直线/：y 2=M x l),女 2 J-,：.ab S,：.S =-a b 4,此时a=2,b=4.a b a b 2AA B C面积的最小值为4,此时直线/：2x+y=4.法二：,：k 0,=4此时上=-2,.ABC面积的最小值为4,此时直线/：2x+y=4.33.（2022湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为y+2=M x+l）.（l）若直线的倾斜角为135,求*的值；（2）若直线分别与x 轴、轴的负半轴交于A、B两点，。为坐标原点，求AA O B面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）%=1;AA Q B面积的最小值为4,此时直线/的方程为2x+y+4=0.【解题思路】（D由直线的斜率和倾斜角的关系可求得出的值；（2）求出点A、8 的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出AA O B的面积关于%的表达式，利用基本不等式可求得AA O B面积的最小值，利用等号成立的条