2022-2023学年安徽省亳州市数学高三上期末经典试题含解析.pdf

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知等差数列 q 的前项和为S“，且 S 25 =5 0 ,则%+%=()A.4 B.8 C.16 D.22.设集合A =l,2,6,8 =-2,2,4 ,C =x e R|-2 x 6 ,贝!)(AUB)nC=()A.2 B.1,2,4)C.1,2,4,6)3.设全集U=R,A.x|-l x44.集合4 =卜|A.C.|x|x 2|5.已知函数/(x)=l n x +l n(3-x),贝 ij(A.函数/(X)在(0,3)上单调递增3C.函数f(x)图像关于龙=巳对称2D.x e R|-l x 0,则()C.x|-lSr4D.x|-4Srl厂x 2 4 0 ,5 =1 0 1,则 A U 8=()B.X|-1 x 1 D.x|-2 4 x l)B.函数/(x)在(0,3)上单调递减D.函数A x)图像关于仁,0)对称B.x|-4xl6.已知全集。=R,集合M=x|-3Vx/5 D.28.已知三棱锥P-A B C的四个顶点都在球。的球面上,P A，平面ABC,AABC是 边 长 为 的 等 边 三 角 形，若球。的表面积为20,则直线PC与平面RW所成角的正切值为（）A2 R 5/7 C-n n 不4 3 7 49.在 AABC 中，B D =D C,则为5=（）A.-A B+-A C B.-A B+-A C4 4 3 31 2 1 2C.-A B+-A C D.-A B A C3 3 3 31 0.已知定义在R上的函数/（x）在区间 0,+8）上单调递增，且y=/（x 1）的图象关于x=l对称，若实数。满足f lo g/（-2）,则。的取值范围是（）1 I ；D.（4,+00）11.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为3,则 该 班（）A.物理化学等级都是8的学生至多有12人B.物理化学等级都是8的学生至少有5人C.这两科只有一科等级为8且最高等级为8的学生至多有18人D.这两科只有一科等级为8 且最高等级为3 的学生至少有1人1 2.已知数列 6,的首项4=。（。工0）,且 见+产 也+乙 其 中3 t e R,n e N*,下列叙述正确的是（）A.若%是等差数列，则一定有攵=1 B.若 为 是等比数列，则一定有1=0C.若 q 不是等差数列，则一定有 E D.若 4 不是等比数列，则一定有f W O二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20 分。1 3.已知a =（l,3）,B =（2,1）,求（2a +B）-a=.1 4.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4 倍作为其奖金.若随机变量却和&分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 O （却）=,E（羡）-E （&）=.1 5.已知数列 4 递增的等比数列，若%+%T2，弓g=2 7,则%=.21 6.（5 分）已 知 椭 圆 方 程 为/+乙=1,过其下焦点F 作斜率存在的直线/与椭圆交于A 8两点，。为坐标原点，2则AAOB面积的取值范围是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 2分）（1）已知数列 4 满足：6=1,4=丸，且。.2=%+逆,1 一%“a“T （2 为非零常数，N 2,e N*）,求数列ZI N*）的前N项和;（2）已知数列也 满足:(i)对任意的 e N*,0 bn 0,Q 0,%0),且，=若=1,%=%,求 数 列 也 是等比数列的充要条件.求证：数 列 仇 也 也 也 也，九，,女,“-3 也吁2，是等比数列，其中7 N*.1 8.（1 2分）已知等差数列 q 满足=1,公差d 0,等比数列也 满足伪=q,b2=a2,/=%.（1）求数列 为,也 的通项公式；（2）若数列%满 足 曰+鲁+*+曾”用,求 匕 的前项和S,.4 “2 3丫2 211 9.（1 2分）已知椭圆C:4+方=1（。人0）与 x轴负半轴交于4（2,0）,离心率6=耳.（1）求椭圆C的方程;（2）设直线/：y =+2与椭圆C交于M（X 1,y）,N（/,y 2）两点，连接AM4N并延长交直线x=4 于后（七,必），/（“4,必）两点，若 7 +7 =T +7,直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是,请说明理由.20.（1 2 分）已知函数/（x）=（*+;二f）,其中 a e R.（1）当a =O时，求/（x）在（1,/。）的切线方程；（2）求证：/（X）的极大值恒大于0.21.（1 2分）在平面直角坐标系x O y 中，直线4 的倾斜角为3 0。，且经过点A（2,l）.以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线4：2 c o s 6=3,从原点O作射线交。于点M,点 N为射线OM上的点，满足OM-ON=n,记点N的轨迹为曲线C.（I）求出直线4的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（I I）设直线4 与曲线C交于P,Q两点，求的值.22.（1 0 分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了 1 0 0 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这1 0 0 人 体 重 数 据 的 平 均 值 和 样 本 方 差（结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从全校学生中随机抽取3 名学生，记 X 为体重在 5 5,65）的人数，求 X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该 校 学 生 的 体 重 丫 近 似 服 从 正 态 分 布 若P-2a-Y 0.9 5 4 4,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】25(2,+)%=-=50 n 6+傅=4 n即+阳=4.故选:A.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查基本量的计算，难度容易.2、B【解析】直接进行集合的并集、交集的运算即可.【详解】解：AuB=-2,l,2,4,6);Au B)nC =1,2,4).故选：B.【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.3,C【解析】解一元二次不等式求得集合A,由此求得gA【详解】由x2-3 x-4 =(x-4)(x+l)0,解得x T或x4.因 为A=x|x 4 ,所 以a A=x|-1 4 x4 4.故选：C【点 睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.4、C【解 析】先 化 简 集 合A,B,结合并集计算方法，求 解，即可.【详 解】解得集合 A=(x|(x-2)(x+l)0 =x-l x 2,B=xx 1所以 A u 3 =x k 2 ,故选 c.【点 睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关 键 化 简 集 合A,B,难度较小.5、C【解 析】依 题 意 可 得f(3-x)=/(x),即函数图像关于x=G对 称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性;【详 解】解：由/(3-x)=ln(3-x)+ln3-(3-x)=ln(3-x)+lnx=/(x),3.-./(3-x)=/(x),所 以 函 数 图 像 关 于 苫=彳 对 称，2 2x 3又 r*)=一一-=“X)在(o,3)上不单调.x 3-x x(x-3)故 正 确 的 只 有C,故选：C【点 睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.6、D【解 析】先 求 出 集 合N的 补 集a，N,再 求 出 集 合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详 解】由。=R,N=x|x|,I,可得dN=_ x|x 1,又 A/=x|3 v x 1 所以 Mc6N=x 3 x A D，所以3为锐角，所以COSB=M1sm%1 0 1 0c os Z A D C =c os +Bu一 旦一 5 1在A A O C中，由余弦定理可得A C?=4)2 +。2一2 4。.。a$4 4。=4,A C =2.故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.8、C【解析】设。为A8中点,先证明C D _ L平面Q 4 6,得出N C P D为所求角，利用勾股定理计算PA,得出结论.【详解】设。,E分别是AB,BC的中点A E H C D=F.Q 4,平面 ABC:.PALCD.AABC是等边三角形:.CDAB又 B4nA8=ACA平 面B46，/。F。为PC与 平 面Q46所成的角.ZVU5c是 边 长 为25/3的等边三角形2.CO=A=3,4F=-4 E =2且R为AABC所在截面圆的圆心3 ,球。的 表面积为20，球。的 半 径。4=石：.OF=yOA2-A F2=1平面 ABC:.PA2OF=2PD=y/PAr+AD2=V7CDtan ZCPD=PD3 3x/7本题正确选项：C【点 睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题.9、B【解 析】在A3,AC上 分 别 取 点 区F,使 得 衣=2万反而=一定,2_ _ _ _ 2 _ _可 知AEC不 为 平 行 四 边 形，从 而 可 得 到4方 二 店+月 户=一4豆+-耳 乙，即可得到答案.3 3【详 解】如下图，B b -D C,在AB,AC上 分 别 取 点 区 产,使 得 荏=22瓦 而=定,2 2_ _ _ 2 _ 1 _则AEDF为平行四边形，故A万=4后+而=A月+/，故 答 案 为B.BD【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题.1 0、C【解析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数y=/(x)为偶函数，又由函数y=/(x)在区间 0,+8)上单调递增，分/析可得/log/(|log2a|)/(2)=|log2a|2,解可得。的取值范围，即可得答案.【详解】将函数.y =/(x-l)的图象向左平移1个单位长度可得函数y=/(%)的图象，由于函数y=/(x-l)的图象关于直线x=l对称，则函数 =/(x)的图象关于丁轴对称，即函数y=/(x)为偶函数，由/log,a /(-2),得 川 隆2 4)/,k 2)函数y=/(x)在区间 0，+8)上单调递增，则|log2 4 2,得-2 l o g 2 2,解 得:a 4.因此，实数。的 取 值 范 围 是4).故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数y=/(x)的奇偶性，属于中等题.【解析】根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为8的学生人数以及物理等级为8,化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为3的学生1 0-5+8-5=8人(其中物理A化学3的有5人，物理8化学A的有3人)，表格变为：ABCDE物理1 0-5-5=01 6-3=1 3910化学8-5-3=01 9-5=1 4720对 于A选项，物理化学等级都是3的学生至多有1 3人，A选项错误；对 于B选项，当物理C和。，化学都是3时，或化学。和。，物理都是8时，物理、化学都是3的人数最少，至少为1 3-7-2=4（人），B选项错误；对 于C选项，在表格中，除去物理化学都是3的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为3的学生，因为都是3的学生最少4人，所以一科为3且最高等级为3的学生最多为1 3+9 +1-4=1 9 （人），C选项错误；对 于D选项，物理化学都是8的最多1 3人，所以两科只有一科等级为8且最高等级为8的学生最少1 4-1 3=1 （人）,D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.1 2、C【解析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当A =O,f=。时，显然符合%是等差数列，但是此时左=1不成立，故本说法不正确；B：当&=0,/=。时，。加=&,显然符合 4 是等比数列，但是此时f=0不成立，故本说法不正确；C；当=1时，因此有4=履”+，4=，=常数，因此%是等差数列，因此当%不是等差数列时，一定有 左。1,故本说法正确；D：当/时，若 攵=0时，显然数列 4 是等比数列，故本说法不正确.故 选:c【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3、21【解析】求出向量2“+的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.【详解】v =(l,3),=(-2,1),/.2+=2(1,3)+(-2,1)=(0,7),因此，(2a +B j a =0 xl+7x3=21.故答案为：21.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.1 4、2 0.2【解析】分别求出随机变量酊和a的分布列，根据期望和方差公式计算得解.【详解】设 a,bel,2,1,4,5,则 p (却=a)=,其前分布列为：E(第)=1 x (1+2+1+4+5)=1.612145P5525515D(3)=|x (1 -1)2+(2-1)2+(1 -1)2+(4-1)2+(5-1)2=2.第=1.4|a-A|的可能取值分别为：1.4,2.3,4.2,5.6,4 2 3 3 2 2 1 1尸二，尸=2.3)飞=历，尸(2 4.2)=娶=历，尸&=5.6)飞=历，可得分布列.1.42.34.25.6P231 021 011 0E (Q)=1.4x F 2.3x-F 4.2x-F 5.6x 2.3.5 1 0 1 0 1 0：.E(却)-E(晶)=0.2.故答案为：2,0.2.【点睛】此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.1 5、3 i【解析】a”=a2 a3=2 7 ,建立的,%方程组，且&/，出+%=1 2解得1。2=3q=9所以 q 的公比为3,a“故答案为：3 一【点睛】本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.1 6、（0,孕【解析】由题意，a=&b =,则,=2 _。=,得/（）,_ 1）.由题意可设/的方程为丁=丘-1,4%,）|）,3（工 2，%），联立方程组.八，消去）得（炉+2）产-2日-1 =0,/0恒成立，不 马=京 7，玉+为=令 7,则2x+/-2 =0 -k-+2 -k+2I A B|=1(1 +，)(7+4)2 4与=；D，点 0(0,0)到直线 I 的距离为 d=-=,则_ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _$/空 心 ，=耳手=不左下，又的十卷N2g=2,贝 IJ7 k+1V 2 b5=bq,2对任意的e N*,0 篇,如，可得0 0,5 0),%,=2 k(k w N)当左=2m,bA m_i也“+=q：,=,“_3=,可 得 约=f,即 得 灯 以仇为首项、7为公比的等比数列;同理可得 仇，“一 2 以&为 首 项、q；为公比的等比数列；对任意的 e N*,0 b b ,可得配-效耳 如山，即有如莽-啜打媪修b砂,所以对 Y m w N*,-()2 m 2 1,b2 12.(更)2 吁 2“q?%可得 2(?一l)/g +lgy-0 ,2(/M-l)lg +lg-2 lgq2 0 ,%b2%a即外，外 且%”0,有1,I +d,l +4 d成等比数列，所以(l +d)2=l x(l +4d),解得d =2.进而求出数列 4 ,也 的通项公式；当 =时，由?=。2,所以q=3,当.2时，由?+?=用，会+晟 +=见，4 4 A b3 bn 仇 b2&%可得C,=2-3 T,进而求出前项和S”.【详解】解：(1)由题意知，4=1,公差d 0,有1,l +d,l +4 d成等比数列，所以(l +d)2=l x(l +4d),解得。=2.所以数列 的通项公式凡=2 -1.数 列 也 的公比9=3,其通项公式d=3 T(2)当=1时，由 亍=出，所以G=3.当2 2时，由+詈+卷+.+鲁=。向，b b2 4 b两式相减得?=%+,h.,幺+8+幺+如=瓦瓦4%所以C,=2-3T.故3,n=12-3n-,n2所以%的前项和 S“=3+2x3+2x32+2x3、+2X3T=3+23 x(l-3n-)1-3=3,n 2.又”=1时，S 1=4=3 l也符合上式，故S“=3.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题.19、(1)?+=1 二 或 厂 不7 c 12/,c 6 r-8 =6 -8 _ I2t2x.=t,y.2.=t.-2=-,同理工2=-1-%-71 11 3r,2+4 3 彳+4-3 g+4 3 片+4，6 f 6)当X3 =4时，由 七=4%-2有为 4,-6 I 1)6同 理 尸4,I L又 一+=+y%乂.3 f+4 3片+4/J ,=&+幻(3仙+4)/+.12f)12/2 6 6 12不2 6当4+右N 0时，=-4 直线M N的方程为y-M=一 一 (X-X,)X X212r,Ut2I6彳-8-3彳 +4 6 4-8 _ 6片-8 1 3彳 +4)3彳+4-3%+44 _ _ 4_ 6彳_8 12/,4 4(3彳+4)44+，2 4+芍 3，；+4 3/；+4 tx+t2(3t；+4)(：+L)A+马.直线MN恒过定点(1,0),当4+弓=0时，此时也过定点(1,0)“综上:直线MN恒过定点(1,0).【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题.20、(1)y=-x (2)证明见解析e【解析】(1)求导，代入“=0,求出在x=l处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程;(2)分类讨论得出极大值即可判断.【详解】/(X)=x (a 2)x+2a (x+a)(x 2)当a=0时，/,(1)=-,=e e则/(x)在(1,/(I)的切线方程为y=%；(2)证明：令/2时，令/(x)0,解得a x 2,令/(x)0,解得工2,.函数/(X)在(一。,2)上单调递增，在(f,-a),(2,笆)上单调递减,a+4二 /(*)极 大 值=/(2)=0当a 2时，令/(力 0,解得2 x -a,令/(x)0,解得x 一。,.函 数/(X)在(2,-。)上单调递增，在(-8,2),(-2+8)上单调递减,/(力极大值=/()=/。，综上，函数/(X)的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.x =2 +2 1、(I )y =1+乌2(t 为参数)，x2-4 x+y2=0(x 0).；(I I)1.-t2【解析】用=12，即(I)直接由已知写出直线人的参数方程，设 N(p,0),M(p,5),(p0,P1 0),由题意可得*=4 co s0,然后化为普通方程(I I)将人的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于，的一元二次方程，再由参数f 的几何意义可得lAPHAQI的值.【详解】(I)直线h 的参数方程为x =2 +Z c o s 30,(t 为参数)y =1 +t s i n 30即x =2 +g2(t 为参数).设 N(p,0),M(pi,0i),(p(),pi0),y =1+/2pp、=12 3则 4 7 八,即夕 =1 2 即 P=4cos9,，=CO S 0二曲线C 的直角坐标方程为x2-4x+y2=0(X 邦).(I I )将 h 的参数方程代入C 的直角坐标方程中,得(2+亭-4 2 +亭+(1+$)2=0,即 t 2+t 3=0,t2为方程的两个根,*tit2=-l,A|AP|AQ|=|tit2|=|-l|=l.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数f的几何意义的应用，是中档题.22、(1)60；25(2)见解析，2.1(3)可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解析】(1)根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差er?；(2)由题意知X服从二项分布3(3,0.7),分别求出尸(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),进而可求出分布列以及数学期望；(3)由第一问可知y服从正态分布N(6(),25),继而可求出尸(5 0 4 y 7 0)的值，从而可判断.【详解】解：(1)u=(47.5+72.5)x0.004 x 5+(52.5+67.5)x 0.026 x 5+(57.5+62.5)x 0.07 x 5=60cr2=(60-47.5)2+(72.5-60)2x 0.02+(60-52.5)2+(67.5-60)2 x0.13+(60-57.5)2+(62.5-60)2 x 0.35 a 25(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在55,65)的概率为0.7.随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X服从二项分布3(3,0.7),则尸(X=0)=C x 0.7 x 0.33=0.027,P(X =1)=C；x 0.7 x 0.32=0.189,p(X =2)=C；x0.72 x0.3=0.441,P(X =3)=x0.73x0.3=0.343,所以X的分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343数 学 期 望=3x0.7=2.1(3)由题意知丫服从正态分布N(60,25),则 P(-2cr W 丫 M+2cr)=P(5 0 r 0.9544,所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.