2021贵州考研数学一真题及答案.pdf

祝您考上理想学校加油！2021贵州考研数学一真题及答案一、选择题(本题共1 0 小题，每小题5分，共 50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)ev-1函数/(%)=,二 ,在 x =0 处I l,x =0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为l im/(x)=l im gt-1=1 =/(0),故/(x)在 x =0处连续;x-0 X TO XF一 1一/(0)-1 ex-1-x 1因为 l im=l im-=l im-=x-0 z x-0 1 X-2,1故/鲂=2，正确答案为D.(2)设函数/(x,y)可微 且/(x+l,e、)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x2nx,则#(1,1)=(A)dx+d y.(B)dx-dy.(C)力.(D)-dy.【答案】C.【解析】/a+l,e*)+e a +1,/)=(X+1)2+2X(X+1)/；(x,x2)+2X/2，(X,x2)-4 xnx+2x 分别将(x =?，卜=1 ,带入式有,=0 y=1/(1,1)+力(1,1)=1 ,工(1,1)+2-(1,1)=2联立可得工(1,1)=0 ,欣,1)=1,或(1/)=(2k-1j f(x)d x =l im/_，即选 B.%T 8l 1 2 J 7?(5)二次型/(X ,X ,X )=(X +x )2 +(x +x1 2 3 I 2 2(A)2,0.(B)l,l.【答案】B.【解析】/(x ,x ,x )=(x +x +(x +x )2-(x -1 2 3 1 2 2 3r o i n(B)l imZ/-|_.用(D)l im Z/一TA=I 2n)n分 成 份，取 中 间 点 的 函 数 值，则丁 -(x -x 了的正惯性指数与负惯性指数依次为3 3 1 2,1.(D)l,2.-x I=2 x 2 +2 x x +2 x x +2 x x3 1 2 1 2 2 3 1 3好好学习天天向上所以/=1 2 1 ,故特征多项式为J 1 0 A-1 -1A E-A|=-1 -2 -1 =(2+1)(/1-3)2-1 -1 2令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,已知a=0 ,a-2,a-1 ,记 夕=/P-a-k p,1 2 3 112 2W I d 若0,发，及两两正交，则。依次为5 1 5 1 5 1(A)(B)-.(C),2 2 2 2 2 2【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知 =a 一口 用 2 I”2 2 O 1.1 1 2 2故/=囹冽=,1 =1 2 _故选A.原用 2%，由 2(7)设48为阶实矩阵，下列不成立的是负惯性指数为1.故应选B.p,1 3 3 1 1 2 25 1(D)2 2祝您考上理想学校加油！1(A O (AAB(A)ro心(B)rl01BA 1I)Ao(C)r|A A l=2 )(D)rlBA丁尸)【答案】C.、(A O y Ti mi (A)rl 屋/=r(4)+N N 普.(B)/3 的 列 向&可 由/列 线 性 表 示，故尸=r=/)+/(/)=2.Arj 0 j J(C)氏4 的列向量不一定能由/的列线性晒 B A(A o(D)氏4 的行向量可由N的行线性表示，r=r =/)+(w)=2，).O AT j 10 AT本题选C.(8)设 3,8 为随机事件，且0 P(8)P(A)，则 P(A I B)P(A)(C)若 P(A B)P(A|B)，则 P(A B)P(A).(口)若尸(川幺口3)。(彳|/8),则尸(2)尸(B).【答案】D.2(/(/口3)【解析】P(*Z 图-P(A Q B)_ P(Z)-P(A)+P-P(AB)/?)=/(不/口 为)=P B)P -P(AB)P(A D B)P(A D B)P(A)+P(B)-P(A B)因为 P(N|Z B)P(A A Q B),固有 P(A)P(B)-P(A B),故正确答案为 D.(9)设(乂,匕),(丫2，丫 2),口，(入”匕)为来自总体N(4，*d，；方曲简单随机样本，令-1 -1 一 _心 4 4,x=Z x/=g z 先 x 丫，则 ,=i -o W(A)源 儆 无 偏 估 计，-2(B)亦是儆无偏估计，D 6(=)US,nq/人、+-20T b(C)族 儆无偏估计，D 二)工一二 u n(D)所 是 4 勺无偏估计，D 4=)2 一二2【答案】C.【解析】因为x,y 是二维正态分布，所 以 又 与 也服从二维正态分布，则又工厂也服从二维正态分布，即 E =E(a。=E(X)_ (y)=4 _ 4=e,好好学习天天向上祝您考上理想学校加油！G c r +c r-2pocyZ)C)=D(X F)=。(刀)+。(F)-c ov(N,F)z-u,故正确答案为 C.n(1 0)设&,丫2口,6是来自总体N(,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：“0：庐1 0,口：4 1 0.(X)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为%=灭2 1 1 ,_ 1 1 6其中文=出5万,，则=1 L 5时，该检验犯第二类错误的概率为(B)l-(1)(D)1-0(2)(A)l-(0.5)(C)l-0 (1.5)(【答案】B.【解析】所求概率为P X W 1 1 万 口%(1 1.5),4Jl-1 1.5 1 1-1 1.5 1 ,占八、PX 1 1 =；=,2 2 .故本题选B.二、填 空 题(本 题 共6小题，每 小 题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(1 1)r 0 dxJ。x2+2 x+271【答案】一4 解析f 半 -=P -=a r c ta n(x+1)二Jo X2+2X+2 J o(x+l)2+l 1 0f x=2 e +t+,x 0【答案】n n 715 了 了d2y确定，则k I，=。=_.dy 4 te+2t d2y(4 e +4 f e +2)(2 e +l)-(4 f e +2 f )2 e【解析】由 一=-得 一=-dx 2e+次(2 e +i yd2 V 2将 带 入 得”|二3(1 3)欧 拉 方 程+孙，_ 4 y=0满足条件M1)=1,j/(1)=2得解为y=3.【答案】X2.【解析】令X =d ，则 孙 =4二2/=0_?，原方程化为 北 一4 y=0,特征方程为dt dx2 dx dx244 =0,特征根为4=2,4 =2 ,通 解 为 歹=。2 1+。2/=。1 2+。一2,将初始条件1 2 12 12X I)=1,/(1)=2带入得C=l,C =0 ,故满足初始条件的解为y=x2.1 2(1 4)设X为 空 间 区 域 a j,z)F+4 V 4,0 z V 2 表 面 的 外 侧，则 曲 面 积 分j j x2dydz 4-y1 dzdx+zdxdy=.【答案】4九好好学习天天向上祝您考上理想学校加油！【解析】由高斯公式得原式=JJf(2x+2y+)dV=J。dz dxdy=4%D(15)设A=4为3阶矩阵，4为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且|旬=3,4l +421+431=-3【答案】一.2则/的特征值为 A,对应的特征向量为1M Lr41+A+A“2 1+4 1 1J2,1A+A21322+/23 2323 37即4I+2I+4=(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令x,y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与y的相关系数_ _ _ _ _.-1【答案】5I(0,0)(0,1)(1,0)(I,in (0 n (0 1)【解答】联合分布率(X,y g 3 1 1 3 丫口 1 1 a口1 1 cov(X,Y)=_,D X-20-52即，-4O1-1-IKy，-451一5三、解 答 题(本 题 共 6 小题，共 70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本 题 满 分10分)求极限lim 1十%,_ 5 -sin x【答案】1.21+cxe2dt【解析】解：lim 1。io e 1又因为一 =(1 +/+。(/)辿=X+1/+O(x3),故0 0(x-L r3+o(x3)(l+x+原式:lim显-X f 01 X2+o(x2)=lim-12 sin x-1-edt3产 +o(x3)_ X 一 尸 o(x2)x2好好学习天天向上祝您考上理想学校加油！(1 8)(本 题 满 分1 2分)S00M+1设“(x)=e +%“+(=1,2,口)，求级数X”,(x)的收敛域及和函数.【答案】S(x)=【解析1 Br_S(X)=E,(X)=ZIF+n=1 n=l _f e-+-+G (1 x”n(l x)x,x(0,1)e ，八一1 e-11 1 8=e-x(+l)x J 收敛域(0,1,SQ)=1=,x(0,1 J n=lS (%)=X-_ 0，+1 =-x l n(l -x)-l n(1 -x)-x h n,J=i n+1=(l-x)l n(l-x)+x,x e(0,1)S,(l)=xl-i rm S2(x)=1Z*+-+e1 _*(1)l n(l x)(0,1)_ _ _,X =1e-(1 9)(本题 满 分1 2分)x2+2 y-z-6已知曲线C：4 ,求C上的点 到x o歹坐标面距离的最大值.r.|4 x +2y+z=3 0【答案】6 6 1 ,【解析】设拉格朗日函数 L(x,y,z,4)=z?+A(x 2+2 y 2-z -6 )+/(4 x +2 y +z -3 0)；=2 x 4+4 =0Ly=4 y2+2 w =0L=2z A+u=0 x2+2 y2-z=64 x +2 y +z =3 0解得驻点：(4,1,1 2),(-8,-2,6 6)C上的点(-8,-2,6 6)至Ix o y面距离最 大 为6 6.(2 0)(本 题 满 分1 2分)设D u K是有界单连通闭区域，1(D)(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D.求/(0 J的值.(x e?4+y)dx+(4 j；e+4 r-x)dy a 八 1Vlp后小奥(2)计 算f -其 中 是 的 正 向 边 界.a “y【答案】-九【解析】(1)由二重积分的几何意义知：Z(D)=|J(4-x2-y2)J c r,当且仅当4f /在。上大于0时，/(D)达到最大，故。：f+j?4且/(D户 产r)汨尸=8乃.补 分 与+仅 二 公 很 小,，取。的方向为顺融 也 向，人2J (xex+4 y +y)dx+(4 yex+4 y -x)dy叫 x2+4 y2好好学习天天向上祝您考上理想学校加油！幽+az)2(x J4 4,4-y)dx+(4 y er+4 v-x)dyx*2+4y20(2)PTC2P=PTa+3)一 /)尸=(a +3)E -A好好学习天天向上(xeA+4 v+y)dx+(4 yex+4y-x)dyx2+4y2=一-j xdx-4ydy-j ydx-xdy=BD2 BD2 D2-Id CP=一 4.(2 1)(本题满分 a已知/=1-1(1)求正交矩阵P,使 得 为 对 角 矩 阵;求正定矩阵C,使得C 2=(a +3)E 4153、1531【答案】(1)P；(2)C =-1忑12水)03升53；【解析】由 回/卜-11-1九 一 a1112-a(丸 +1)2(4 2)=0得 4 =a +2,4 =4 =a 1当 =Q+2时 3-211口 r n61o01I1的特征向量为a W112)0 00 JI-1;当4=4=所I1忸-r I 0100(1)E /)=-1一0的特征向量为a1Ga：3072(11令Pa a a、2-3|_,则 P7P=A102。+2447祝您考上理想学校加油！PrC PPrC P=4 l n P C P=2(22)(本题满分1 2分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y1 令 ZX(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度.求 七 臼.f 2f 1,0 x 1【答案】X/(%)=o,其 他；(2)(z)=(/z(z)=(z+l)2.(3)1 0,其他fl,0 x 1【解析】(1)由题知：f(x)=；0,其他2-X 由y=2 X,即2=-先求Z的分布函数：F (z)=P Z z =P 2 J z J =p1 2-l z|-1+2 I n 2.当 z 1 时，Fz(z)=0 ；当z Nl时 f 2B(Z)=PL14Z1 X r=1-P2,A13z+l jn21-J=+ll tZ v=l-2z+1/z(z)=(R z(z)=(z+l)；J 1、0,其他 =E _ lx-dx 1+2 I n 2.好好学习天天向上