2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题01绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练（解析版）.pdf

专 题 0 1 绝 对 值 压 轴 题（最值与化简）专项讲练专题1.最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律,解题时能达到事半功倍的效果。题型1.两个绝对值的和的最值【解题技巧】,一。|+,一 4目的是在数轴上找一点X,使 X到“和 6的距离和的最小值：分类情况（X的取值范围）图示x-a+x-b取值情况当时k-卜区叫K a I3无法确定当时卜aNT 技 _”-4 b|x一 6?|+的值为定值，即为,一 4当x b-Ja b,无法确定结论：式子,一。|+,一可在a Wx Wh 时，取得最小值为卜一身。例 1.（2 0 2 1 珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物.有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与 形”之间的联系.在数轴上，若点A，3分别表示数a,h,则 A,8两点之间的距离为A 3 =|a-4.反 之,可以理解式子|x3 的几何意义是数轴上表示实数X与实数 3两点之间的距离.则当k+2|+|x-5 有最小值时，x 的取值范围是（）A.九 5 B.x 一 2或C.-2 x 5 D.-2 x 5【答案】D【分析】根据题意将|x+2|+|x-5|可以理解为数轴上表示实数X与实数-2 的距离，实数X与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代 数 法（借助零点分类讨论）当 x5 时，|x+2|+|x-5卜（x+2）+（x-5）=2x-3；.,.k+2|+,一5|有最小值，最小值为7,此时2 x 5,故选：D.方法二：几 何 法（根据绝对值的几何意义）卜+2|+打一5|可以理解为数轴匕发示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当2 x 2时，当-5人2时，当X V-5时去绝对值进行求解即可；（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可.【详解】解：|5-（-2）|=|5+2|=7.故答案为：7；（2）当x 2时，x+5+x-2=x+5+x-2=l,解得：x=2与x 2矛盾，故此种情况不存在；当-5r2 时，k+5|+|x-2|=x+5+2-x=7,故-5x2 时，使得仇+5|+h 2=7,故使得k+5|+|x-2|=7 的整数 是-5、-4-3、-2、-1 0、1、2；当-5 时，|x+5|+|x-2|=-x-5+2-x=-”+3=7,得 x=-5 与 x6 时，-3|+|x-6|=x-3+x-6=2x-93；当 3S区6 时,k-3|+k-6|=x-3+6-=3；当 x3.故仇-3|+仅-6|有最小值，最小值是3.【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答.例2.(2 0 2 2河南郑州外国语中学七年级期末)数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合 的基础.例如：从 形”的角度看：|3-1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3 +1|可以理解为数轴上表示3与-1的两点之间的距离.从“数”的角度看：数轴上表示4和-3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-(-3).根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示3和9的 两 点 之 间 的 距 离 是；数轴上表示2和-5的 两 点 之 间 的 距 离 是；(直接写出最终结果)(2)若数轴上表示的数x和-2的两点之间的距离是4,则x的值为；若x为数轴上某动点表示的数，则式子1+”+1犬-3|的 最 小 值 为.【答案】(1)6,7；(2)一6或2；4【分析】(1)直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；(2)根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；由于所给式子表示x到一1和3的距离之和，当x在一1和3之间时和最小，故只需求出一1和3的距离即可.(1)解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是I 9-3 I=6,数轴上表示2和-5的两点之间的距离是I2-(-5)|=7,故答案为：6,7；(2)解：根据题意，得：|x-(-2)|=4,:.I x+2|=4,，x+2=-4 或 x+2=4,解得：x=-6或户2,故答案为：-6或2；I x+1 1 +1 x 3 1表示x到一 1和3的距离之和,.当x在一1和3之间时距离和最小，最小值为|一1 一3|=4,故答案为：4.【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键.变 式2.(2 0 2 2思明区校级期末)同学们都知道|5 -(-2)|表示5与(-2)之差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：(1)求|5-(-2)|=.(2)找出所有符合条件的整数x,使得卜+5|+仇-2|=7成立的整数是.(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x,l x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.【分析】(1)直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了.(2)要x的整数值可以进行分段计算，令x+5=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.(3)根 据(2)方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.【解答】解：(1)原式=|5+2|=7故答案为：7；(2)令 x+5=0 或 x-2=0 时，贝!J x=-5 或 x=2当 x V-5 时，-(x+5)-(x-2)=7,-x -5 -x+21,x5(范围内不成立)当-5 x -3,-2,-1 .0,1当 x 2 时，(x+5)+(x -2)=7,x+5+x-2=7,2 x=4,x2,x2(范围内不成立)二综上所述，符合条件的整数x有：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2；故答案为：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2；(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+k-6|有最小值为3.【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性.题型2.两个绝对值的差的最值【解题技巧】,一。|卜一耳目的是在数轴上找一点工，使x到。和的距离差的最大值和最小值：分类情况(X的取值范围)图示卜-4-卜-1取值情况当x a时k-卜k一4_,_闿的值为定值，即为_卜一4x a b当。%人 时1a*3 技 一 况3一 5不 b卜_q 一4-1%-4 b-J卜*b|1a bTk_一,一。|的值为定值，即为,一4结论：式子卜一卜4在xWa时，取得最小值为卜。|：在 上人时，取得最大值,一目。例1.(2 0 2 2.浙江温州七年级开学考试)代数式仅-1|-卜+2|的最大值为“，最小值为4下列说法正确的是()A.a3,b0 B.a0,b-3 C.a3,b-3 D.a3,b 不存在【答案】C【分析】分三种情况：当 夜1时;当-2 x 1 时,|x -1|-|x+2|=x -1-x -2=-3：当-2 x V l 时，|x -1|-|x+2|=-(x -1)-(x+2)=-2 x -I ；当 x W-2 时，|x-l|-|x+2|=-(x -1)+(x+2)=3.代数式l x -1|-|x+2|的最大值为a,最小值为b,；.a=3,b=-3.故 选:C.【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；当a是零时，a的绝对值是零.注意分类思想的运用.变 式1.(2 0 2 2.上海七年级期中)代数式|x-1|-次+2 ,当x -2时，可化简为；若代数式的最大值为。与最小值为匕，则必的值_.【答案】3 -9【分析】当x -2时，可得x-l 0,x+2 l时，根据当一2 4 x 4 1时，3 4 2 x 1 4 3,求出a,b即可.【详解】解：当x 2时，x-K O,x+2 1 时，|x-l|-|x+2|=(x-l)-(x+2)=-3 .当一2 4 x 4 1 时，-3 -W 3,，代数式|x-l l T x +2|的最大值为3,最小值为-3,，a=3,b=-3,.a b=-9,故答案为:3,-9.【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式.例2.(2 0 2 2.湖北十堰.七年级期中)设-1 3,贝也-3 1 g|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为_.【答案】8.5.【分析】先根据-1 W烂3,确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可.【详解】：-1人3,当-1小0时，k-3|-：国+卜+2|=3 -x+；x+x+2=；x+5,最大值为5,最小值为4.5；当 0勺3 时，|x -3|-x+x+2=3-x-x+x+2=-x+5,最大值为 5,最小值为 3.5,最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5.【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键.变式2.(2 0 2 2湖北武汉.七年级期中)我们知道，1。1的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A,B在数轴上分别表示数a,b,那么A,B之间的距离可表示为|a-b|,请根据绝对值的凡何意义并结合数轴解答下列问题：(1)数轴上的数*与1所对应的点的距离为一，数x与-1所对应的点的距离为一；(2)求|x+l|-|x-I|的最大值；(3)直接写出|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|l x ”|x 2|x-3|一|x 4|的最大值为_.【答案】(1)|x-l|,|x+l|；(2)2；(3)2 0【分析】(1)根据题意即可列式解答；(2)由x的取值范围分三种情况：当烂-1时，当-1 M X W 1时，当它1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；(3)根 据(2)得到规律，依次进行计算即可.【详解】(1)由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为卜-1|,数x与-1所对应的点的距离为|x-(-l)|=k+l ,故答案为：x-l,|x +l|；(2)|x-l|表示x到1之间的距离，|x+l|表示x到-1之间的距离，当 x W-1 时,|x-l|=l-x,|x+l|=-l-x,|x+l|-|x-l|=(-1-x)-(1-x)=-2；当-1 0 x W l 时，|x-1|=1 -x,|x+l|=x+l,；.|x +1 1 x-1 1=(x+1)-(1-x)=2 x 2；当 x多 时，k+l|=x+l,|x l|=(x+l)-(x-l)=2,.|犬+1|-|犬 一1|的最大值为2(3)由(2)知：|x+l|x-l|的最大值为2,由此可得：I x+2|-|x-2|的最大值为4,|x+3|-|x-3|的最大值是6,七+4|-|*-4|的最大值是6.|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|-|x-l|-|x-2|-|x-3|-|x-4|的最大值是 2+4+6+8=2 0【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式.题型3.多个绝对值的和的最值【解题技巧】最小值规律：当有两个绝对值相加：若已知ab,卜a|+|x 的最小值为八一a,且数x的点在数a,b的点的中间；当有三个绝对值相加：若已知ah c,卜一+,一4+,一4的最小值为c a,且数x的点与数。的点重合;当有2 +1 (奇数)个绝对值相加：|x-Z|+|x-a2|+.+|%一。2|+,一4 2 +1|，且 6 2 V.。2“则取中间数，即当x =a“+iB 寸，,一。|+,一 局+.+卜一%|+|%。2 +|取得最小值为(。2 +1 -4 )+0 2 -2)+.+(a,+2 -6,)+0 ；当有2(偶数)个绝对值相加：x-Q|+|x%|+.+|x-a2_l|+|x-t z2|,且q a2.a2n_t a2 n,则 x 取中间段，即当a”4x4。“+时，,一+,一a j+.+,+,一a),J 取得最小值为(。2“一 q )+(。2 -1 2)+.+(4,-2 -6I)+(凡+1 a)例1.(2 0 2 2.天津初一月考)若*是有理数，则卜一2|+上一4|+打一6|+卜一8|+.+,一2 0 1 8|的最小值是【答案】5 0 9 0 4 0【分析】首先判断出卜-2|+仅-4|+卜-6|+.+,-2 0 1 8|就是求数轴上某点至1 1 2、4、6.2 0 1 8 的距离和的最小值；然后根据某点在。、8两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在 2与 2 0 1 8 之间时，到 2和 2 0 1 8 距离和最小；当点在4与 2 0 1 6 之间时，到 4和 2 0 1 6 距离和最小；，所以当 1 0 1 0 之间时，算式|x -2|+|x -4|+lr-6+.+x-2 0 1 8 的值最小,据此求出 x -2 H x -4|+1-6+.+x-2 0 1 8|最小值是多少即可.【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当A 1 0 1 0 时，算式仇-2|+k-4|+伏-6|+,-2 0 1 8 的值最小，最小值是:(2 0 1 8-2)+(2 0 1 6-4)+(2 0 1 4 -6)+.+(1 0 1 0-1 0 1 0)=2 0 1 6+2 0 1 2+2 0 0 8+.+0 =(2 0 1 6+0)x 5 0 5 2=2 0 1 6 x 5 0 5 2 =5 0 9 0 4 0 A|A-2|+|x -4|+|A-6|+.+|x -2 0 1 8|W最小值是5 0 9 0 4 0.【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：H表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：k囹表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离.变 式1.(2 0 2 2 武侯区校级月考)|x -l|+|x -2|+|x -3|+|x -2 0 1 4|的最小值为,此 时 x的取值为.解：原式可转化为在数轴上找一个点到1,2,3,，2 0 1 4 对应的点的距离和最小，故 当 1 0 0 7 W X W 1 0 0 8 时，距离和最小,可取x=1 0 0 7,则此时距离和为：1 0 0 6+1 0 0 5+1 0 0 4+.+0+I+2+.+1 0 0 6+1 0 0 7=2 x （1+2+3+1 0 0 6）+1 0 0 7=1 0 1 4 0 4 9,即原式的最小值为1 0 1 4 0 4 9;当x=1 0 0 8 时，最小值也为1 0 1 4 0 4 9,故 1 0 0 7 x 1 0 0 8.例 2.（2 0 2 2 北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A,8分别表示数a,b.A,B两 点 间 的 距 离 可 以 用 符 号 表 示，利用有理数减法和绝对值可以计算A,8两点之间的距离|A 却.-A-B C D a 例如：当 4=2,6=5 时，.A B.5 23；当a b c 0 da=2,人=5时，|钻|=卜5-2|=7；当 a=-2,b=5时，=卜 5-（-2）|=3,综合上述过程，发现点 A、B之间的距离|A 6|=b-a|（也可以表示为卜-4）.请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数。和一2的两点间距离是6,则。=；（2）如果数轴上表示数a的点位于一4和 3之间，贝 lj|a+4|+|a-3|=（3）代数式|。-1|+|”2|+卜-3|的最小值是.（4）如图，若点A,B,C,。在数轴上表示的有理数分别为a,4 c,，则式子|a-x|+|x+b|+|x-c|+|x+M的最小值为（用含有a,b,c,的式子表示结果）【答案】（D 4 和-8；（2）7；（3）2；（4）c+d-b-a【分析】（1）根据题意可得：|-2-4=6,解出即可求解；（2）根据题意可得：-4 a 0,-3 0,进而得到|a+4|=a+4,|a-3|=3a,即可求解；（3）根据题意可得：当 a=2 时，代数式存在最小值，化简即可求解：（4）根据题意可得：原式表示X 对应点到d 对应的点的距离之和，从而得到当时，|a-x|+|x+勿+|x-c|+k+d|有最小值，即可求解.【详解】解：（1）根据题意得：|一 2-4=6 ,A -2-a=6 或-2-a=-6,解得：a=4 或-8；（2）;表示数。的点位于一4 和 3 之间，-4 a 0,a 3|+|x c|+k+|=|“-x|+|x-(-6)|+1x c+|x(,.原式表示X 对应点到a,q,c,-d 时应的点的距离之和，如图所示，_ _ _ _ _ _ _ _：1I ,1 T A .当一 d 4 x V c 时，a b-d e 0 d-b|a-x|+1 x+/?|+|x-c|+|x+d|有最小值，*.原式=x-a-6-x+c-x+x+4=c+d h a.【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键.变 式 2.(2022龙泉驿区期 中)我们知道，在数轴上，表示数。到原点的距离.进一步地，点 A,B在数轴上分别表示有理数a,b,那么A,B两点之间的距离就表示为|a-例；反过来，|a-加也就表示A,8两点之间的距离.下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题.例，若|x+5|=2,那 么 x为：以+5|=2,即 仇-(-5)|=2.文字语言：数轴上什么数到-5的距离等于2.图形语言：,一 个2、一 个2、-8 -7-6-5 -4-3-2-1 0 答案：x 为-7 和-3.请你模仿上题的，完成下列各题：(1)若扰+4|=卜-2|,求 x 的值；文字语言：图形语言：答案：(2)lx-3|-团=2时，求x的值：文字语言：图形语言：答案：(3)|x-l|+|x-3|4.求 x 的取值范围：文字语言：图形语言：答案：(4)求卜-l|+|x-2|+|x-3|+k-4|+|x-5|的最小值.文字语言：图形语言：答案：【分析】运用数形结合思想：-图-5-4-3-2 彳 0 1 2 3 4 5 图二-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5图三-5 -4-3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 图四-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5【解 答】解：(1)文 字 语 言：数 轴 上 什 么 数 到-4的 距 离 等 于 到2的 距 离.图 形 语 言:-_J-1-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 答案：x=-I.(2)文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点(0)的距离大2.图形语言：-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 答案：x=(3)文字语言：数轴上什么数到I的距离和它到3的距离大于4.I_I_1_1_I.I_I 1 图形语言：-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 答案：4,x o.(4)文字语言：数轴上什么数到1,2,3,4,5距离之和最小值.图形语言：-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 答案：6.【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题.课后专项训练：1.(2022全国七年级课时练习)|x-4|+|x+2的最小值为；此时x 取值范围是.【答案】6-2 x 4 时:+|尤+2=x 4+冗+2=2%2,V x 4,2x-2 6；当一 2 x 4 时，|x-4|+|%+2|=4 x+x+2 =6；x c 2 时，41 +|x+2|=4 x x 2=2 x+2,V x 6；综上所述：|x-4|+|x+2|的最小值为6,此时取值范围为-2M xM 4.故答案是：6；2 x 0 ,当 P 在点 8 右侧时-，|x+4|+|x-6|=4+PB=(A B+PB)+PB=A B+2 P B=1 0+2 P B 1 0,当尸在 A、B之间时，x+4+x-6=P A+P B =A B=1 0,；.卜+4|+卜一6|的最小值为 0.【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，有理数绝对值计算，正确理解题中两点之间的距离计算是解题的关键.3.(2 0 2 2.全国.七年级课时练习)阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数人h,A、B两点之间的距离表示为I A 8 I,当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点4在原点，如 图1,A B O B b=a-b ；当A、B两点都不在原点时：0.(/)BO ABBA OB O A0b0 ab，ba 0b 0 a图1图2图3图4如图2,点A、8都在原点的右边：I A B I =I OB I-I OA I=I I -|-b-a-I a-b I ；如图3,点A、B都在原点的左边：I A B I =I OB I -I OA|=I i I-|a|=-b-(-a)=I a-b I ；如图4,点A、8在原点的两边：I A B|=|OA I +|OB|=|a|+|6|-a+(-/?)=I a-b ,综上，数轴上A、8两点之间的距离A B=a-b .回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的 两 点 之 间 的 距 离 是,数轴上表示-2和-5的 两 点 之 间 的 距 离 是,数轴上表示1 和-3 的 两 点 之 间 的 距 离 是；(2)数轴上表示x 和-1 的两点A和 8之 间 的 距 离 是,如果1=2,那么x 为.(3)当代数式I x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是.【答案】(1)3,3,4|x+l|,1 或-3(3)-1 4 x 4 2【分析】(I)根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离，紧紧抓住在数轴上4、8两点之间的巨离I A 8|=|a-b|解题即可.(2)根据数轴上两点之间的距离得到k-(T)|=2,然后根据绝对值的意义求出工的值.(3)把原题看成点x 到点-1 和点2的距离之和，即可得到答案.(1)解：数轴上表示2和 5的两点之间的距离为|5-2|=3,数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离为卜2-(-5)|=3,数轴上表示1 和-3 的两点之间的距离为|1-(-3)|=4；故答案为：3,3,4；(2)解：数轴上表示x 和-1 的两点4和 8之间的距离是,一(T)|=|x +l|,根据题意得卜+1|=2,即x+l =2,所以户1 或-3,故答案为|x+l|,1 或-3；(3)解：代 数 式 I x+1 I+I x-2 I 可以看成x 到-1 和 2的距离和，只有在-1 和 2之间才会有最小距离3,所以x的取值为-1 4 x 4 2,故答案为：-l x l时，/.(x-1)+(x+5)=6,x-H-x+5=6,2x=2,x=l,A-1(范围内不成立)综上所述，符合条件的整数x有：-5,-4,-3,-2,-1,0,1;(3)令心2=0或x+3.5=0时，则x=2或k3.5当xv 3.5时，|x-2|+|x+3.5|=-x+2%3.5 2.x 1.5 5.5当 一3.5 V x W 2 时，|x 2 1 +1 x+3.51 =x+2+X+3.5=5.5当 2时，|x-2|+|x+3.5|=x-2+x+3.5=2x+1.55.5，对于任何有理数x,式子|x-2|+|x+3.5也有最小值，为5.5【点睛】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性.6.(2022浙江杭州七年级期末)同学们都知道，R-(-2)|表示4 与-2 的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理Ix-3|也可理解为x 与 3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：(1)14-(-2)|=.(2)找出所有符合条件的整数x,使|x-4|+|x+2|=6成立，并说明理由(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.【答案】(D 6；(2)-2,-1,0,1,2,3,4,理由见解析；(3)有最小值为3【分析】(1)直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了.(2)要 x 的整数值可以进行分段计算，令片4=0或 x+2=0时，分为3 段进行计算，最后确定x 的值.(3)先得出上3|+k-6|的意义，从而得到x 在 3 和 6 之间时(包含3 和 6)有最小值.【详解】解:(1)原式=|4+2|=6,故答案为：6；(2)令 4=0或 x+2=0时，则 4 4 或=-2,当x 4时，/.(x-4)+(x+2)=6,.,.x-4+x+2=6,.x=4(范围内不成立)，.综上所述，符合条件的整数x 有：-2,-1,0,1,2,3,4；(3)M3|+|x-6|表示数轴上到3 和 6 的距离之和,.当x 在 3 和 6 之间时(包含3 和 6),M3|+k-6|有最小值3.【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运f f l.难度较大.去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性.7.(2022.山西七年级阶段练习)A、8 两点之间的距离表示为A 8,点A、B 在数轴上分别表示有理数。，b,在数轴上A,8 两点之间的距离A8=|a-q.A B-X-A 请用上面的知识解答下列问题：a 0 b(1)数轴上表示2 和 6 的 两 个 点 之 间 的 距 离 是,数轴上表示-1和-3 的两点之间的距离是,数轴上表示2 和-3 的 两 点 之 间 的 距 离 是.(2)数轴上表示x 和一 2 的两点C 和。之间的距离是；如果|8|=3,那么x 为.(3)求|x+l|+k-2|的最小值.【答案】4；2；5；(2)|x+2|；1 或-5(3)3【分析】(1)直接利用数轴上两点之间的距离公式：=计算即可；(2)先利用数轴匕两点之间的距离公式：计算C 和。之间的距离，再解绝对值方程即可；(3)由卜+1|+卜-2|表示x 到T的距离加上x 到 2 的距离和，再画出图形，利用两点之间，线段最短可得答案.【详解】解：(1)数轴上表示2 和 6 的两个点之间的距离是：6-2 =4：数轴上表示-1和-3 的两点之间的距离是：-1-(-3)=2；数轴上表示2 和-3 的两点之间的距离是：2-(-3)=5；故答案为：4：2；5(2)数轴上表示x 和_2的两点C 和O之间的距离是：|x-(-2)|=|x+2|;当|C/=3,即|x+2|=3,.,%+2=3或+2=-3,=1 或 x=-5.二。对应的数可能是1或-5(3)|x+l|+|x 2|表示x 至 IJ-1的距离力n上x 至 IJ 2 的距离和，如图,k+U I _ I_ 1 _ I 目 I 1。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I_ I_ I_ 当-14x42时原式有最小值为-3-2-1 0 x 1 2 3 4 5AB+BC=2-(-1)=3.【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，掌握利用数形结合的方法解题是解题的关键.8.(2021 湖南邵阳七年级期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合.研究数轴我们发现了很多重要的规律.譬如：数轴上点A、点 8 表示的数分别为a、b,则 A、B 两点之间的距离AB=|“-b|,线段A 8 的 中 点 表 示 的 数 为 审.如 图，数轴上点A 表示的数为-4,点 B 表示的数为2.i-402(1)求线段AB的长和线段A 8的中点表示的数.(2)找出所有符合条件的整数x,使得仅+1|+,-2|=3.(3)并由此探索猜想，对于任意的有理数x,|x-2|+卜+4|是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由.(4)点 C 在数轴上对应的数为x,且 x 是方程2 x-l=x+l的解.数轴上是否存在一点P,使得以+PB=P C,若存在，写出点P 所对应的数；若不存在，请说明理由.【答案】(1)A B=6,线段A 8的中点表示的数为-1；(2)2,1,0、-1；(3)它的最小值是6；(4)存在，p 点作对应的数为-6 或-2.【分析】(1)根据点A 表示的数为-4,点 8 表示的数为2,代入q 运算即可：(2)根据绝对值的几何意义：x 表示在数轴上，到-1和 2 两点之和为3 的点，运算求解即可；(3)根据绝对值的几何意义：x 表示在数轴上，到 2 和-4两点之和的最小值，运算求解即可；(4)先解方程，算出x 的值，然后根据题意计算即可.【详解】解：(1)由题意得：A B=|-4-2|=6,-4+2线段A 8 的中点表示的数为：(2)x 表示在数轴上，到-I 和 2 两点之和为3 的点，这些点在-1和 2 及其之间的数都满足，所以符合条件的整数点有：2,1,0,-1.(3)k-2|+|x+4|在数轴上一点x 到 2 与-4 距离之和，设 x 表示的点为E当 E 在 A 的左边时，此:时距离之和=A8+AE=6+AE6同理当E在B 的右边时，此时距离之和=A8+8E=6+AE6当上与A 或 8 重合时，此时距离之和=AE或 E8=6当 E 在 A B 之间时，此时距离之和=AE+EB=AB=6所以它的最小值是16.(4)当 P 点在A 点左侧时，PA+PB=PC,(-4-x)+(2-%)=4-x,x=-6.当尸点在AB之间时，PA+PB=PC,|-4-2|=4-x,x=-2.当 尸 点 在 之 间 时，PA+PB=PC,(x+4)+(x-2)=(4-x),x=|(不合题意，舍去).当 P 点在点C 右侧时，PA+PB=PC,(x+4)+(x-2)=(x-4),x=-2 (不合题意，舍去).所以P 点作对应的数为：-6 或-2.【点睛】本题主要考查/数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键.9.(2022.浙江七年级阶段练习)代数式lr T|一卜+6|-5 的 最 大 值 是.【答案】2【详解】试题解析：|xjHx+6|的最大值为1-(-6)=1+6=7,则代数式的最大值为7-5=2.点 睛:|xHx+6|表示数轴上表示x 的点到1 与-6之差，最大值为1-(-6).10.(2022湖南长沙市怡海中学七年级阶段练习)如图1,点 A,B,C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5,b,4.某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的数字0 对齐数轴上的点A,发现点B对齐刻度1.8 c m,点 C对齐刻度5.4 c m.a B-ro（1）求数轴上点B所对图1图2应的数也（2）点尸是图1 数轴上一点，P到 A的距离是到2的距离的两倍，求点尸所表示的数；（3）若点。在数轴上表示的数为x,则仅+5|+仅-4 的最小值为,仅+5|-仅-4|的最大值为.【答案】（1）-2；（2）1 或-3；（3）9,9【分析】（1）根据AC的距离求得单位为多少c m,再根据A 8氏度求得A B 的距离即可求解；（2）设户点表示的数为x,求得P 到 A 的距离和P 到 8的距离，列方程求解即可；（3）对 点。在数轴上表示的数x,分情况讨论求解即可.【详解】解：（1）根据题意得A C的距离为4+5 =9,A C的长度为5.4c m,A B 的长度为1.8 c m由此可知一个单位长度 为5守 4=0.6 c m则 A B 的距离为1.8+0.6 =38在A 的右边，.数轴上点8所对应的数为-5 +3 =-2 ；（2）设尸点表示的数为x,贝 I J P至 的 距 离 为|x+5|,P 到 8的距离为|x +4由题意可得：|x+5|=2|x+2|,即x+5 =2(x+2)或x+5 =-2(x+2)解得x =l或x =-3 故答案为1 或-3(3)当x v-5 时、x+5 v O,x-4 9k+5|-|1-4|=-(工+5)+(工-4)=-1 当工4 时，x+5 0,x-4 0.二|x+5|+1%4 1=(x+5)+(x-4)=2 x +1 9|x+5 卜|x 4|=(x+5)(x-4)=9 当一5 x W 4 时，x+5 0,x-4 0/.|x+5|+|x-4|=(x+5)(x-4)=9卜+5|-|%-4|=。+5)+(1-4)=2%+1 9综上所述+5|+|1-4 的最小值为9,|x+5|+|x 4 的最大值为9。故答案为9,9【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质.1 1.(2 0 2 1湖北咸宁七年级期末)我们知道W的几何意义是表示在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0,这个结论可以推广为：国-司表示在数轴上数玉、巧对应点之间的距离.如图，数轴上数4对应的点为点A,数匕对应的点为点8,则A,8两点之间的距离48=卜-可=”b.(1)k+1|可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；(2)请根据上述材料内容解方程,+1|=1；(3)式子|x+l|+|x-1的 最 小 值 为；(4)式子k+1|-忸-2|的 最 大 值 为.4 rt-2-a *3 3 J_2【答案】(1)x,-；(2)2或0；(3)2；(4)3丁 P(备用图)【分析】(1)把|x+l|变形为|x-(-l)|可以得到解答.(2)画出到-1对应的点距离为1的点，再找出其所对应的数即可；(3)根据|x+l|+|x-l|表示x到-1对应的点和I对应的点的距离和进行求解；(4)|x+l|-|x-2|表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差求解.【详解】解:(l)V|x+l|=|x-(-l)|,.,.|x+l|可以表示数x对应的点和数-1对应的点之间的距离；故答案为x,-1；(2)由(1)知，|x+l|表 示 数x对应的点和数-1对应的点之间的距离，.-.|x+l|=l的解即为到-1对应的点距离为1的点所表示的数，所以由下图可得x=-2或x=0；f；1 5 A(3)Vlx+1 1+lx-ll表示x到/对 应 的 点 和I对应的点的距离和，又当X表示的点在-1和1表示的点之间(包括-1和1)时，|x+l|+|x-l|取得最小值，最小值即为-1和1表示的点之间的距离，为2：(4)V|x+l|-|x-2|表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差,.,.当 x-l 时，|x+l|-|x-2|=-3,当 x N 2 时，|x+l|-|x-2|=3,当lx 2时，-3|x+lH x-2|3,.式子|x+lH x-2|的最大值为 3.【点睛】本题考查绝对值算式的几何意义，利用绝对值算式的几何意义把绝对值算式的计算转化为数轴上两点距离的求法是解题关键.1 2.（2 0 2 1浙江七年级期末）|x+l|+|x-l|+|x-3|的最小值是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【分析】根据M3表示数轴上x与“之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到-1,1和3距离的和，当x在-1和3之间的1时距离的和最小.【详解】解：|x +l|+|x-l|+|x-3|表示：数轴上一点到-1,1和3距离的和，当x在-1和3之间的I时距离的和最小，是4.故 选：B.【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解唇3表示数轴上x与 之间的距离，是解决本题的关键.1 3.（2 0 2 2重庆一中七年级阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作时。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作|a-4如|3-5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3 +5|=|3-（-5）|表示数轴上表示数3的点与表示数一5的点的距离，|。-3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离.根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程）（1）若|x-l|=|x+l|,则*=；若|x-2 =|x+l|,则*=（2）若|x-2|+|x+l|=3,则x能 取 到 的 最 小 值 是,最大值是（3）当|x-2|+|x+l|+|x+3|取最小值时，则x的值为（4）当|x-2|-|x+l|取最大值时，则x的取值范围是【答案】（1）0,y；（2）-1,2；（3）-1；（3）x-l.【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；（2）|x-2|+|x+l|=3表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；（3）根据|x-2|+|x+l|最小值为3,可以得到答案；（4）根据卜-2|-卜+1