2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第04讲相似三角形的判定一(解析版）.pdf

第4讲相似三角形的判定N相似三角形的定义与书写一 相似三角形的传递性与预备定理知识梳理一J相似三角形的判定定理1：简记A AJ相似三角形的判定定理2：简记S A Sr 利用判定定理三角形相似的判断与证明题型探究：选条件或添条件得到相似三角形I根据三角形相似求长度、比例等课后作业 知识梳理1.相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作AADESAABC,其中点A与点A、点。与点3、点 E与点C 分别是对应顶点：符号“S”读作“相似于”.用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“A ”后相应的位置上.根据相似三角形的定义，可以得出:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相 似 比（或相似系数）.（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.（3）设A 4 8 C 与 入4。的相似比为,A A 7 X E 与 A A 8 C 的相似比为,，当两个相似三角形的相k似 比 上 1 时，这两个三角形就成为全等三角形.全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形的特例.注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关.2.相似三角形具有传递性（判定方法）：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.符号语言：VAA2B2C2 A A A B C AA2B2C2（相似三角形的传递性）3.相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.MBCSMDE SABCADEMBCSMED4.相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.如图，在 AABC 与 A4,4G 中，如果 Z4=N A、Z B =ZB,那么 AABCS A4S G.5.相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.AR Ar如上图，在 A 4 B C 与 A 4,用G 中，N A =乙4,，-A-4-=-A-G-，那么 A A B C BtCt.常见模型:题型一、相似三角形的判定与证明【例 1】(1)根据下列条件判定AABC与ADEF是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来.(1)Z A =/O=7 0,ZB=6 0,ZE=5 0；(2)Z A =4 0,Z f i =8 0,ZE=8 0,NF=6 0.【答 案】(1)相 似，MBC s DFE;(2)相似，MBC s DEF.【解 析】(1)因为三角形内角和1 8 0。,可得 NC=5 0 o=NE,又因为 N A =ND=7 0。,在 AABC和M)FE中,4=4，所以 A A B C s ADFE;4=W(2)因为三角形内角和18()。，可得NC=60=N F,又在 AA3c和 )尸 中,4 二 4，所以 A43C s ADFE；4=4(2)如图，E 是平行四边形ABCD的边5 4 延长线上的一点，C E交A D于点、F.图中有哪几对相似三角形？【答案】3 对，AEAF s EBC,AAEF s DCF,AEBC s C D F.【解析】,.ABCDA AB/CD,AD/BC：.NE=NDCF,NEAF=NEBCZEBC=ZD在 AAEF和ADCF中,X)Qp=.由“A D C?(两角对应相等，两个三角形相似)；在 M C E 和ADFC中,Z E -ZDCF/皈1=/加8 W C (两角对应相等，两个三角形相似)；:.AAFEACFDABCE故答案为：3.(3)如图，四边形4 3 a)的对角线AC与 度)相交于点O,04=2,03=3,O C =6,8=4.求证：0 0与AOBC是相似三角形.【答案】证明过程见解析.【解析】证明：04=2,OB=3,O C =6,8=4,OA 2 O D 4 2 OA O C一 而 一 屋 工 一5 一“一 砺 历在 O A D与 O B C中，O A _ O D B A,点。是边8 c 上的一个动点（点。与点民。不重合），若再增加一个条件，就能使与 ABC相似，则这个条件可以是_ _ _ _（写出一个即可）.ABDC【答案】答案不唯一，如：N B A D=N C【解析】：Z D B A=Z C B A,根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似,添 加 的 条 件 是BA=AB：B C；根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似,添加的条件是N B A D=Z C：故答案为：D B：BA=AB-8 c 或 Nfi4D=NC.(3)(2020 上海九年级一模)如图，点 D、E 分别在AABC的 AB、AC边上，下列条件中:Z A D E-Z八 z-x AE D E 人 A D AE.八 ,、c：;(3)=.使AADE 与AACB一定相似的是()AB BC A C ABA.B.C.D.【答案】C【解析】VZDAE=ZBAC,.当A D E=/C 时，A D E s A C B,故符合题意,当 空=匹 时,AB BCV Z B 不一定等于NAED,.,.ADE与AACB不一定相似，故不符合题意，A f-）A p当 罢=嘤 时,，A A D E-A A C B.故符合题意，AC AB综上所述：使AADE与AACB 一定相似的是，故选：C.（4）（2021.陕西高新一中八年级期末）如图，。是A/WC边 上 一 点，添加一个条件后，仍不能使ACDsAABC 的 是（）A.Z4CD=ZBB.Z.ADC=ACB C.AC=AD-AB D.=AC BC【答案】D【解析】A、当NACE=NB时，再由NA=NA，可得出AA8-AABC,故此选项不合题意:B、当NADC=NACB时,，再山Z4=N 4,可得出,故此选项不合题意;ADC、当它山 他时，即 行=就，再由5可得出AA3AABC，故此选项不合题意;D、当 第=器 时，无法得出4BC，故此选项符合题意.故选：D.（5）（2021 广西九年级期末）如图，AD,BC相交于点O,由下列条件仍不能判定AAOB与ADOC相似的是（）BAA.ABCDB.Z C-Z BC丝=丝,OD OC OA ABD.-=-OD CD【答案】D【解析】A、由ABCD 能判定A A O B saD O C,故本选项不符合题意.B、tllZAOB=ZDOC,N C=N B 能判定A A O B sD O C,故本选项不符合题意.C、由 器=器、NAOB=NDOC能判定A A O B saD O C,故本选项不符合题意.n A A ftD、已知两组对应边的比相等：=,但其夹角不定对应相等，不能判定ZiAOB与aDOC相似，故本选项符合题意.故选：D举一反三1.（2021.湖南九年级期末）如图，点尸在A4BC的边AC上，要判断AABP-AACB,还请你添加一个条件:【答案】ZABP=N C【解析】-：Z A=Z A.要使得AABPSACB,只需要利用三个角都相等的方法即可可以添加的条件为：Z A B P=Z C故答案为：Z A B P=Z C.2.（2021.上海九年级一模）如 图，点D在AABC的AB边 上，当=_ _ _ _ _ _ 时，与相似.A C【答 案】瓦【解 析】由NBAC=/CAD共用,当 处=处0寸,AC AB/A C D -4 A B e.AT故答 案为：ABAR3.（2019 上海）如图所示，给出下列条件：NB=/A C D；/A D C =/A C B；（）=；CD BCAC2=A D-A B,其中单独能够判定AABCSACD的 个 数 为（)A.4B.3C.2D.1【答 案】B【解 析】解：N8=NACD,N A为公共角，/.AABCAACD；(2)V ZACB=ZADC,为公共角，Z.A B C A C D ；虽然缶AC=器AR，但N A 不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似;AR V A C2=AD.AB,又 Z A 为公共角，.MCS38.综上，单独能够判定的个数有3 个，故选B.4.（2021北京清华附中九年级期末）如图，点。在 ABC的边AC上，要判定AD3与 aABC相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（）A.ZABD=ZCB.ZADB=ZABC C.AD ABABAC、AB DBD.=AC BC【答案】D【解析】解：V ZABD=Z C,ZBAD=ZCAB,A A C 8,故 A 正确；：ZADB=ZABC,ABAD二/C A B,：.A A B D-zM C B,故 B 正确;A/A B D /A C B,故 C 正确:D 选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件.故选：D.题型三、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等瓦【例 3】（1）如图，D、E 分别是AA8C的边A B、AC上的点，且/A D=N 8.求证：AEAC=ADAB.【答案】证明过程见解析.【解析】证明：.NA E )=Z B,Z A =NA,.AAD s AABC,.A D _ A E,就 一 罚 即 AEAC=ADAB.(2)如图，&A ABC 在中，ZC=90,C D 上 AB 于点 D,且 AD:30=9:4,求 AC:3 c 的值.【答案】3:2.【解析】ZACB=90,B P Z A C D+Z B C D =90 ,又CJ_A B,可得NACZ)+NA=90.：.ZA=NBCD.又 ZADC=ZBDC=90,/.M CD s CBD，AD DC ACDCBDC：AD:BD=9:4,设 =(%0),则 比 =4 Z,代入可得：DC=6k.:.AC:BC=AD:DC=9k:6k=3:2.(3)(2020 上海市静安区实验中学)己知：在AABC中，点 D、E 分别在AC、AB边上，且N A DE=/B,若 AE=2,BE=3,A D=3,求 CD 的长.【答案】C D 的长为g【解析】；NADE=NB,ZA=ZAAAADEAABC.AE _ AD*A C-AB.A-!AC 5(4)(2020.上海市静安区实验中学)在aA B C 中，D 为 AB上一点，过点D 作一条直线截a A B C,使截得的三角形与AABC相似，这样的直线可以作（）A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条【答案】C【解析】满足条件的直线有4 条，如图所示：如图 1,过 D 作 DEA C,则有 BDEs/xBAC；如图 2,过 D 作 DEB C,则有AADESABC；如图 3,过 D 作N A ED=N B,又N A=N A,则有AADESACB；如图 4,过 D 作N B E D=/A,又N B=N B,贝 lj有 BEDs/BAC,故选：C.（5）（2020 上海市位育初级中学九年级期中）如图，在 AABC中，AB=6cm,AC=8 c m,。是 AB上一点且AD=2 c m,当 AE=c m 时，使得 AADE与 AAfiC相似.【答案】或 1.5【解析】解：分两种情况:第一种情况：如图，过D作D E|A C于点E,则 A E =AC=2X8 =；A B 6 3第二种情况：如图，A A D E-A A C BAn 2贝lj A E =A B =-x6 =1.5A C 8Q故答案为 或1.5.（6）（2 0 2 1天津九年级期末）如图，F为四边形A B C C边C Q上一点，连接A F并延长交B C延长线于点E,已知 N =N D C E.（1）求证：A A D F s八ECF；（2）若A 8C。为平行四边形，A B =6,EF=2 A F,求尸。的长度.【答案】（1）证明过程见详解；（2）2【解析】（1）证明：V Z D =ZDCE,Z A F D=Z E F C,:.ZADF s/ECF；（2）解：四边形ABCD是平行四边形,AAD/7BE,AB=CD=6,AAF：EF=DF：CF,又,.,EF=2AF,ADF：CF=1：2,B P DF=-DC=2.3“举一反三1.如图，在矩形8中，点E 是边8C 的中点，且。E_LAC,那么 C:AD=.【答案】x/2:2.解析】四 边 形 是 矩 形,:.AD=BC,AD!IBC,ZADC=ZBCD=90.DE LAC,:.ZEDC=ADAC.,.AADCs ADCE,CD CE设 M =a,则 CE=,8 C =La,由此可得：CD=a,CD:AD=-a:a =/2:2.2 2 2 22.（2020.上海市静安区实验中学）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,点E 是DC上一点，ZDAE=Z B A C,则E C的长为【答 案】|3【解 析】解：矩形 ABCD 中，DC=AB=2,A D=B C=.又；/ZME=/8AC,Z D=Z B,：./A D E A B C,：.AB：A D=B C：DE,.：=!，：.E C=D C -D E=-.223.（2020 上海市静安区实验中学）在AABC中，D为A B上一点，且AD=1,AB=4,AC=7,若A C上有一点E,且AADE与原三角形相似，则AE=.【答 案】7I或7【解 析】解：（1）AD如图 1,当ADEsABC 时，=AC ABHr.AE即：=A E =-4A p A n(2)如图 2,当ADEsaACB 时，=一二,A B A CHnAE 1即：二 叫7.4故答案为：1或 4.(2021 四川九年级一模)在RtABC中，NC=90。，ZA=30。，点P为A C中点，经过点P的直线截 A B C,使截得的三角形与AABC相似，这样的宜线共有.条.【答案】3【解析】解：过点P作交A 8于点E,CPEs/XCAB.过点 P 作 PF/BC 交 AB 于点 F,过点。作PG_LA8交A 8于点G,h P G A s丛BCA.故满足条件的宜线有3条，故答案为：3.5.(2019 上海浦东新区)如图：四边形ABCD对角线A C与B D相交于点O,OD=2OA,OC=2OB.(1)求证：A O BsaD O C；(2)点E在线段OC上，若ABD E,求证：OD2=OEOC.D【答案】证明过程见解析【解析】证明：(1)V0D=20A,0C=20B,.OA _ 1,O D O C 2 9XZAOB=ZDOC,.,.AOBADOC.(2)由(1)得：AOBsDOC.AZABO=ZDCO.ABDE,AZABO=ZEDO.AZDCO=ZEDO.VZDOC=ZEOD,AADOCAEOD,OD OCOE OD.OD2=OEOCeu业1.（2020.上海市静安区实验中学）如图，Z A D E=Z A C D=Z A B C,图中相似三角形共有（）A.1对B.2 对C.3 对D.4 对【答案】D【解析】试题分析：V ZADE=ZACD=ZABC,，DEBC,/.AADEAABC,VDE/7BC,/.ZEDC=ZDCB,V ZACD=ZABC,.E D C A D C B,同理：ZACD=ZABC,NA=NA,A A B C A A C D,ADE ABC,AA B C A A C D,.A D E s a A C D,共 4 对，故选 D.2.（2019上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在四边形ABC。中，AD/BC,如果添加下列条件,不能使得 A B C sO C A 成立的是（）A.ZBAC=ZADC B.ZB=ZACDC.A(?=ADBC一 DC ABD.-AC BC【答案】D【解析】解：A.VAD/BC,：.ZDAC=ZBCA9 当N5AC=NAC时，则AA3 c sB.VAD/BC,:/DAC=/BCA,当N B=/A C D 时，则A B CS/XO C A；C.:AD/BC,：.ZDAC=ZBCAfAC An由 A d=A O 8C 变形为一-=,则/WCSAOCA；BC ACD.,:ADBC,：.ZDAC=ZBCA,当-=-时，不能判断 ABCsOCA.AC BC故选择：D.3.（2019 上海九年级期中）如图，在ABC与aA D E中，Z B A C=Z D,要使aABC与ADE相似，还需满足下列条件中的（)EAC ABA.-AD AE AC BCB.-AD DE AC AB(-=-,AD DEc AC BCL).-AD AE【答案】CAr AR【解析】解：.Z B A C N D,-AAABCAADE.故选C.4.（2019上海市嘉定区怀少学校）下列命题中，错误的结论是（）A.如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100%那么这两个三角形相似B.如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似C.如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似D.如果两个直角三角形都有一个内角等于30。，那么这两个三角形相似【答案】B【解析】解：A.两个顶角为100的等腰三角形是相似三角形，故正确，B.两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误,C.两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，D.有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，故选：B.5.（2019 上海九年级期末）如图，如 果/84）=/。1 ,那么添加下列一个条件后,仍不能确定人/18。和449相似的是（）.A.ZB=ZD-(-A-B-=-D-E-AD BC【答案】CB.ZC=ZAED-AB ACD.=AD AE【解析】V ZBAD=ZC4E,A ZZM=ZBAC,:,A,B可由两角对应相等的三角形相似，判定A B CSA D E,D可据一角对应相等夹边成比例判定aABCs ADE.选项C中不是夹这两个角的边，所以不能判定相似.故选：C.6.（2018 上海九年级期中）如图，在AA B C中，点。、E分别在边48、AC上，DE/BC,ZA C D=ZB,那么下列判断中，不正确的是（）A.ADEs/MBC B.AC D E A B C D C.AA D E A A C D D.LADE/DBC【答案】D【解析】.,点D、E分别在边AB、AC上，DEBC,.-.ADEAABC,故 A 正确：DEBC,.,.ZBCD=ZEDC,VZB=ZDCE,.,.C D E A B C D,故 B iE确；VZACD=ZB,ZA=ZA,.ACDAABC,.A D E-A A C D,故 C 正确；AD E与ADBC不一定相似，故 D 不正确；本题选择不正确的，故选D.7.(2020 上海市静安区实验中学)已知一个三角形的两个内角分别是30,70,另一个三角形的两个内角分别是70。,80,则这两个三 角 形()A.一定相似 B.不一定相似 C.一定不相似 D.不能确定【答案】A【解析】解：一个三角形的两个内角分别是3(T，70。，/.另一个内角的度数是i8(r-3(y-70=8(y,.一个三角形的三个内角分别是30。,70。,80。,这两个三角形有两角对应相等 这两个三角形一定相似.故选：A.8.(2020 上海市静安区实验中学九年级专题练习)如图：在 AAfiC中，点。在边A 3上，且 NACD=N 8,过点A 作 A。交 CO的延长线于点E,那么图中相似三角形共有（)A.6 对B.5 对C.4 对D.3 对【答案】C【解析】解：依题意得NEAD=NACD=NB,VAE/7CB,.,.AED-ABCD,VZCAD=ZBAC,.,.ACDcoAABC,VZAED=ZCEA,.,.AEDACEA,由相似三角形的传递性，得/kBCDsCEA.故有4 对相似三角形.故答案为：C.9.（2018上海黄浦区中考模拟）如图，在AABC中，ZB=80,Z C=40,直线1平行于B C.现将直线1绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB和 AC于点M、N,若AAMN与ABC相似，则旋转角为（）A.20B.40C.60D.80【答案】B【解析】因 为 旋 转 后 得 到 与 3 C 相似，则/C=40。,因为旋转前/4MN=80。*所以旋转角度为40。,故选B.10.（2020 上海九年级三模）如图，已知与ABOE都是等边三角形，点。在边AC上（不与点A、C重合），OE与 AB相交于点F,那 么 与 相 似 的 三 角 形 是（）A.&BFE；B.xBDC；C.aBDA；D.&AFD.【答案】C【详解】解：AABC与ABOE都是等边三角形，/.ZA=NEDB=60,NDBF=ZABD,:.BFDBDA,故选C.11.（2019.上海市育才初级中学九年级月考）已知“ABC中，D、E 分别在A8、AC上，下列条件中，能推断AADE与AASC相似的有（）个An A R N6OE+NC=180。；ADAB=AA C；A D BC =A B D E；ZA=90,且一=一DE BCA.1 B.2 C.3 D.4【答案】c【解析】由图可知,Z A 是AADE与4ACB的公共角，：NBDE+NC=180,NADE+NBDE=180,ZADE=ZC,利用“两组角对应相等，两三角形相似得到AADE与AACB相似;由AD-AB=AEAC得 到 通=益，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到“ADE与 ACB相似：AR由AD.BC=ABD E可得到5r前，公共角不是夹角，不能得到AADE与AACB相似;.噌ABBCZA=90,利用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”得到AADE与AACB相似,综上所述，能判断AADE与AACB相似的是，共 3 个.故选：C.12.（2021 天津九年级期末）下列条件中可以判定ABC 的 是（）AB AB,A-就=后DAB ABB-AC=ACa”AB ABAC A C、AB ACD.AB A C【答案】A【解析】A、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定M C s/x A B C 相似，故选项正确；B、对应边成比例，但DB不是4 3、AC的夹角，不 能 判 定 相 似 故 选 项 错 误;C、只有对应边成比例，但夹角不确定，不 能 判 定 相 似 故 选 项 错 误;D、只有对应边成比例，但夹角不确定，不 能 判 定 相 似 故 选 项 错 误:故选：A.13.（2021,河北九年级一模）已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中48、CD交于。点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A.只 有（1）相似 B.只 有（2）相似 C.都相似 D.都不相似【答案】C【解析】解：对 于 图（1）：180。-75。-35。=70。，则两个三角形中有两组角对应相等，所 以（D图中的两个三角形相似；对 于（2）图：由于 =。，2=2=。，=NAOC=NZ）O B,所以AO Cs/）OB.OD 3 OD O 5 U U UD故选：c.14.如图，。是AABC的AB边上的一点，在直线AC上找一点E,使得与AABC相似，则满足这样条件的E 点 有（）A.0 个B.1个 C.2 个 D.1个或2 个【答案】D【解析】解：情 况（1）：如图，当A3RAC时,D根据题意得：当OEBC时，丛 D E s A R C .当 NAQE=N C 时，由 NA=N A,可得所以当A3 K A e时，满足这条件的E 点有2 个.情 况（2）：当 相=A C 时，情 况（1）中两点重合，此时满足这条件的E 点只有1 个.综上所述：使得AADE与“8C 相似，则满足这样条件的E点 有 1 个或2 个.故选：D.5 （2021.北京九年级期末）如图，点。，E 分别在AABC的AB,AC边上.只需添加一个条件即可证明、ADES/A C B,这 个 条 件 可 以 是.（写出一个即可）An Ar【答案】NADE=NC或/A E D=N B 或 一=A C AB【解析】V ZA=ZA,当 NADE二 NC 或NAED=NB 时，A D E A C B；An AF当 就=而 时 3 s 人;An AF故答案为：ZADE=ZC ngZAED=ZB =A C AB16.（2020 上海市静安区实验中学）点D在AABC的边A B上，且A C A O A B,则A45CAAC。，理由是.【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】依题意，画图如下:,用 A8 A C -=A D A B,即 就=而X-.-ZA=ZA,:.ABCACD（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）,故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.17.（2021 上海九年级二模）如图，在矩形ABC。中，AB=3,8 c=4,点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于A P与直线C。相交于点Q,当8P=5时，C Q=【答案】|【解析】解：如图,*：BP=5,BC=4,：.CP=,/PQ1.AP,：.ZAPQ=90=ZABCf：.NAPB+/BAP=900=/APB+NBPQ,:/B A P=/B P Q,又；ZABP=ZPC（2=90,:.XABPsXPCQ,.AB BP 而 一&3 5AI=ce.c e=|,故答案为：g.18.（2019上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）AABC中，AB=10,AC=6,点。在AC上，且 =3,若 要 在A 8上 找 一 个 点E,使A W E与A4BC相 似，则A E=_.【答 案】5或（9【解 析】NA是公共角,Ap An Ap q.把=把即 生 二三时 AAOKSA4c 5AB AC 10 6解得：AE=5当 会=当，即 丝=二时，MDEM BCAC AB 6 10Q解得：AE=|故答案为：5或（19.（2021吴江市实验初级中学八年级月考）如图，四边形ABEG、GEFH、HF、C都是正方形.请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由.【答案】A E F s a C E A,理由见详解【解析】解：/AEF/CEA，理山如下：:四边形ABEG、GEFH,8都是正方形,AAEB=45,BE=EF=CF,：.AE=历BE=&EF,CE=2EF,.AE y/2EF _ y/2 EF EF 42 E C-2EF l，AEyl2EFr，.AE EFECAE,：ZAEF=ZCEA,/AEF/CEA.20.（2020上海市静安区实验中学）如图，ZC=90,AC=CD=DE=BE,试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.C D E B【答案】AADEABDA【解析】ZC=90,AC=CD=DE=BE,/.AD=yflCD，BD=2 CD,.ED AD _ 1VZADB=ZADB,.,.ADEABDA.21.(2017.上海九年级期中)已知：如图，在“8C 中，点/入 E 分别在边AB、AC上，且BE、CQ交于点G.(1)求证：AEZ)sZABC；(2)如果BE平分/A B C,求证：DE=CE.BGC【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】解：（1）V Z A B E=Z A C D,且NA是公共角,.-A-E-=-A-B，即nn-A-E=-A-D,AD AC AB AC又,NA是公共角，A A E D A A B C.（2）在B C上截取B F=B D,连接E F,在DE 与B F E 中，B D=B F,Z D B E=Z F B E,B E=B E,/.B D E A B F E,A D E=F E,Z B D E=Z B F E,A Z A D E=Z E F C,V A Z A D E=Z A C B,/.Z E F C=Z A C B,A E F=E C,：.DE=CE,2 2.如图，在汝A 4 B C 中，AB=AC,Z Z M E =4 5 .求证：（1）ABE M X：A x（2）BC?=2BE CD.【答案】证明过程见解析【解析】证明：(1).ABAC,NW C=90。，.NB=NC=45。./ZDAE=45,ZAED=ZAEB，:.AABE s ADAE,同理可证 M)AE s ADC4.AABE s ADC4.4 P RF(2)ADC4.=,CD-BE=AB-AC.CD AC-,-AB=AC,ABAC=90,BC2=AB2+AC2=2AB-AC=2CD BE.23.如图，AA8C中，Afi=A C,点。是 AB上的动点，作AEZX?SAABC.求证：(1)M CE ABCD；(2)AEHBC.【答案】证明过程见解析【解析】证明：（1）.,AEDC s .B C ,EC DCACBCZDCE=ZACB,即赛嚏ZACE+ZACD=ZACD+ZBCD,ZACE=ZBCD,M CE s ABCD.(2)AB=AC,/.Zfi=ZACB.MCE s ABCD,:.ZCAE=ZB.:.ZCAE=ZACBf AE/BC.24.如图，在 AABC 中，AB=AC,A0J_AB 于点 A,交 BC 边于点 E,Z）C_L5c 于D.（1）求证：MCE s AADC；（2）如果 CE=1,CD=2,求 AC 的长.点C,与 4）交于点D【答案】（1）略；（2）AC=.3【解析】（1）证明：A D LA B,DCLBC ZAEB=/CED,.AAEB s bCED,.ZB=ZD.AB=AC,:.ZB=ZACE,:.ZD =ZACE.ZCAE=ZCAD,MCE s AADC.（2）解：由（1）可知 AA3 s CED,AE ABCE CDv CE=b CD=2,AB=2AE=AC,DE=E M C s AA/X?，AC CE而一而即_ 些 _-A C +V52_2解得：AC=-3