2021研究生考试数学一真题及答案解析.pdf

2021考研数学真题答案解析2021考研数学真题及答案解析数学(一)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)(1)函数/(x)=.e*1 ,在 x =0 处l,x =0(A)连续且取极大值.(C)可导且导数为0.【答案】D.(B)连续且取极小值.(D)可导且导数不为0./-1【解析】因为lim/(x)=lim-=1=/(0),故/(x)在x =0 处连续;X TO X TO x因为=limeI-1-X=-,故/(0)=,，正确答案为 D.(2)设函数 x,y)可微，且-=x(x+l)2,f(x,x2)=2x2nx,M#(l,l)=(A)公+方.(B)dx-dy.(Qdy.(D)-dy.【答案】C.解析】f；x+1,/)+exf x+1,/)=(x +1)2 +2 x(x +1)(x,x2)+2xf(x,x2)=4x I n x +2 x x =0 x =1 _分别将 八，带入式有y=0 1 y =1加,1)+月(1,1)=1,工 (1,1)+2/(1,1)=2联立可得工 (1,1)=0,.4(1,1)=1 ,df(,1)=f；(,)dx+(1,)d y d y,故正确答案为 C.(3)设函数/(x)=网=在x =0处的3 次泰勒多项式为6+加？+“3,则1 +X,7(B)。=1,6=0,c=.6 1 7(D)a =-l,/?=-1,c=.6【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有小)=表=吟+。(好.-2+而)1-3+。(/)2021考研数学真题答案解析7故Q=0,C =-q ,本题选A.(4)设函数/(x)在区间 0,1 上连续，则/(xg =12n(B)-y I 2”(Q WO/k=2n【答案】B.【解 析】由 定 积 分 的 定 义 知，将(0,1)分 成 份，取 中 间 点 的 函 数 值，则.1 (2左 一1f(x)dx=lim S /-，即选 B.J(*=1 2(5)二次型/(x x2,x3)=(项+X2)2+(X2+X3)2-(X3-X1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)l,l.(C)2,l.(D)l,2.【答案】B.(解析】/(x(,x2,x3)=(x,+x2)2 +(工2 +x3)2-(x3-x,)2=2X22+2XJX2+2 x2x3+2 xtx3 0 1 1、所以力=1 2 1 ,故特征多项式为J 1 0 2 -1 -1 AE-A=-1 -2 -1 =(2 +1)(2-3)A-1 -1 2令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.1 (3、已知区=0 .2=2 .a3=1 ，记 =%，=a2-k/31,pi=ai-12/32若4，%A两两正交，则小 乙依次为5 1(A)2 25 1(B)2 252-5 1(C)-2 2(D)2【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知故4=M=5 综 -220 3=%冉=1他，勾 一2跖 综闻%,J 3血 V，闻 电，即,故选A.(7)设4 8为阶实矩阵，下列不成立的是22021考研数学真题答案解析(A)r(C)rrA、。、oOATABAA A17【答案】C.=2尸(%)2r(B)r(D)r7、。AA BATOAT=2尸(4)=2尸(力)【解析】(A)ro、/4AO=*4)+4 7)=2尸(4).故力正确.(B)/8的列向量可由4的列线性表示，故r(AABI。刀7 O、0=r(A)+r(AT)=2r(A).(C)BA的列向量不一定能由A的列线性表示.(A(D)BA的行向量可由A的行线性表示，厂B 4、O7 。、0 A=r(A)+r(AT)=2r(A).本题选C.(8)设4，8为随机事件，且0 尸(6)P(N),则 P(1|月)P(彳)(C)若 PA B)P(A B),则 PA B)P(A).(D)若 P(川 Z U 8)尸(牙M U 8),则 P(A)P .【答案】D.【解析】P(A A B)=P(Z(/U B)P(/U 8)P(N)P+P(B)P(AB)P(A A U B)=P(H.U 8)=P(初)=P(B)-P(明P(AJ B)P(AJ B)P(A)+P -P(A B)因为。(川/118)。(彳|/0 8),固有P(/)尸(8)P(Z 8),故正确答案为D.设 区 片),(乙,),为 来 自 总 体N(4 M O；;p)的简单随机样本，令6=从一,灭=，才 工,=上,匕/=又 一1则,=|n,=|(A)。是。的无偏估计，)俗)=兀+%)n2 2(B)。不是6的无偏估计，(1=/+%.(C)。是e的无偏估计，。伍)=左 上 二 泗生(D)。不是6的无偏估计，0回=可十%=2。0.%.【答案】C.【解析】因为x,y是二维正态分布，所以又与歹也服从二维正态分布，则反一也服从二维正态分布，即凤。)=E(X-Y)=E(灭)-E(力=4 一2 =。，32021考研数学真题答案解析D(0)=D(X -Y)=(%)+。(力-co v(元 F)=6+吆-2西 巴,故正确答案为 cn(1 0)设 乂,入2,乂6是 来 自 总 体 N(,4)的 简 单 随 机 样 本，考 虑 假 设 检 验 问 题：:1 0.(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域 为 =灭其中元则=1 1.5 时，该检验犯第二类错误的概率为1 6 ,=1(A)l-(0.5)(B)l-O(l)(C)l-0)(1.5)(D)1-【答案】B.-1【解析】所求概率为尸 X 1 1 X N(1 1.5,),4PX =P-U-5:.2 2.故本题选B.二、填 空 题(本 题 共6小 题，每 小 题5分,共3 0分.请将答案写在答题纸指定位置上.)f g dx(1 1)-J。x2+2 x +2【答案】-4 解 析 -=-；=a r ct a n(x+1)=-=J。X2+2X+2 J。(x +l)2+l 1 0 2 4 4(1 2)设函数y =y(x)由参数方程|x =2e*+l,：0 dx2【答案】3r 皈始1 山右 4 t e，+2 t 俎 d2y(4 d +4 b +2)(2/+1)-(4 改+2 f)2 e L 解斫 J 田=-;-，得 y -;-;-，dx 2e+dx2(2e+将，=0带入得巴N LO=4.dx2 1,-0 3(1 3)欧拉方程/+肛，_ 4 y =0满足条件y(l)=l,y(l)=2得解为y =.【答案】x2.【解 析】令 工=,则 W=虫,2/=邑 三-空，原方程化为 4-4 歹=0,特征方程为dt dx dx dx22-4 =0,特 征 根 为 4 =2,4 =2 ,通解为=。仃2+。2 厂2,将初始条件X I)=1,/(1)=2带入得C,=1,C2=O,故满足初始条件的解为歹=x2.(1 4)设 Z 为 空 间 区 域(x,y,z)x2+4 y2 4,0 z 2)表 面 的 外 侧，则 曲 面 积 分J J x2dydz+y2dzdx+zdxdy.E【答案】4 乃.42021考研数学真题答案解析【解析】由高斯公式得原式二JJJ(2x+2y+Y)dV=J：dzjj dxdy=4).D(15)设4=因 为3阶 矩 阵，4为代数余子式，若 力 的 每 行 元 素 之 和 均 为2,且|/|=3,4 i +4 i +4 1=-3【答案】【解 析】,A.ci 4a,见2,a *M l,A a=a 而 A4Ln12d l 341422“2341，32“33对应的特 征 向 量 为a=111(A44 1+4 1 +4=-.(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个 数，则x与丫的相关系数.5【答案】(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)10 1、0 1【解答】联合分布率(x,y)31 _3,X _ _Y-1 15 2cov(x,y)=A，0/=；,。丫 =：,即2*丫=；三、解 答 题(本 题 共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本 题 满 分10分)1 +e dt 1求极限lim 久-1。ex-1 sinx 7【答案】2【解析】解:XTO ex-1 sinx X 2sin x-1-e1 dt=lim-X T O(ex-l)sinx又因为J；J力=工(1+/+0 2)劝=工+$3+0 0 3)，故(x-+o(x3)(l+x4%3+o()x-x+o(x)原式=lim-X TOxX2+6(x2)=lim-=.XT。X 252021考研数学一真题答案解析(1 8)(本题满分1 2分)18设明()=+x i(=l,2,)，求级数“(x)的收敛域及和函数.【答案】【解析】-+(l-)I n(l-x)+x,xe(0,l)S(x)=-,X =1l e-1s.所苧口磊山收敛域(。川 巨 斗 力 1&+1.n+1s2(x)=；-r+l=-%二7=-v l n(l -x)-l n(l -x)-xZ T (w +l)M Z F/J +1=(l-x)l n(l-x)+x,x e (0,1)S2(l)=l im S2(x)=lX T ex-+(1 -x)l n(l -x)+x,x e(0,1)S(x)=J e,x=l,e-l(1 9)(本题满分1 2分)y2 i 2 v2 7 =6已知曲线C：1 ,一 ,求C上的点到x o y坐标面距离的最大值.4 x +2y+z=3 0【答案】6 6【解析】设拉格朗日函数(x,y,z,Z )=z2 +A(x2+2/-z-6)+/(4 x+2y+z-3 0)Lt=2 x2 +4 =0L y =4yA+2 =0Lr=2 z 2 +w =0 x2+2y2 z=64 x+2 y+z=3 0解得驻点：(4,1,1 2),(-8,-2,6 6)C上的点(-8,-2,6 6)到x o y面距离最大为6 6.(2 0)(本题满分1 2分)设 D U R?是有界单连通闭区域，1(D)=j j(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为,.(1)求/(OJ的值.计 算 明(xex+4 r+y)d x +(4 ye x)d yx2+4 y 2其中SR是。的正向边界.【答案】一 乃.【解析】(1)由二重积分的几何意义知：/(D)=J J(4 2 当且仅当4一x 2-必 在。上D大于。时，/(D)达到最大，故D：丁+/4 4且/0)=，。：(4一/诵=8 1.补3 2 2+4/=/(厂很小)，取。2的方向为顺时针方向,r (xev +4 r+y)dx-h(4yex+4v-x)dyL x、4-62021考研数学真题答案解析(xev +4v+y)dx+(4ye+-x)dy r (xev+4v y)dx-v(4yex 44 -x)dyx2+4y2 2 x2+4y2，5D|+0D 1CL)2 JJ xdx+4ydy-er j ydx-xdy=dD2 r dD2 r D2-2d a=-7i.(2 1)(本题满分1 2 分)1已知力a-1-1 a)(1)求正交矩阵P ,使得P 7/P 为对角矩阵;(2)求正定矩阵C,使得。2 =5+3)-A.【答案】(1)P=c=1一f店2国Ipl正。1耳1一百【解析】九一Q 1(1)由 4|=1 A c i11 =(2 t z +1)2(A a 2)=0A,-c i得 4=Q+2，4=4 =a 当4=0+2时2-1(a+2)E-A)=-1 2J 1当 4=4=a-l 所-1-1(a-)E-A)=-1-12,0 1(1、1 1的特征向量为e=1o o)T-vlvi1国131=-73-J1a及2Ja及/kp=令(1 1 1)的特征向量为。2=110 000 00;、。1一 正1 )飞1正01忑2瓜，,则尸=AaX)110(2)PTC2P=PT(a+3)E-Z)P=(a+3)E A=472021考研数学一真题答案解析(、1、=PTCPPrCP=14n PCP=4 Jr5322 故C =尸22,-15323353(2 2)(本题满分1 2分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y丫,令2 =一.X(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度.求 亨.2【答案】(I)X-/(%)=.1,0 x l.(3)1 +2 I n 2 .0,其他【解析】(1)由 题 知:X /(x)=1,0 x 10,其 他：(2)由 y=2 X,即 Z2 -Y二 七，先求z的分布函数:Fz(z)=PZ z=P-X2-XX Z-=P -1 ZX当 z l2-z+12=1-3=12Z+10,其他 EXE 2-X)=f-k Zx=-l+2 1 n 2.0 2-x8