2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展四：立体几何的翻折问题(解析版).pdf

拓展四：立体几何的翻折问题三目标导航立体几何是高中数学的重点内容，图像的翻折是立体问题中的一类典型问题，是连接平面几何与空间几何的纽带，成为立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材，备受命题者的青睐。立体几何翻折问题是指将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系。现将翻折问题中的几类常见题型进行剖析，以其对同学们的复习备考能有所帮助。立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形。在解题过程中，往往根据问题的需要再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键。蓍高频考点之二知识梳理认知规律:画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和确定翻折前后变与不变的关系数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决确定翻折后关键点所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，的位置会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算考点精析考点一翻折后位置关系的判断解题的前提和必要步骤是分析清楚翻折前平面图形的结构特征，以及翻折前后图形中变与不变的量，特别要注意不变中的直角。【例 1-1】【多选】如图，为 正 方 形 ABC。的边OC上 异 于 点 的 一 个 动 点，将沿A/W翻折成/PA M ,使 得 平 面 平 面 A 8C A/,则下列说法中正确的有（）A.在平面P&W内存在直线与8 c 平行B.在平面P8M 内存在直线与AC垂直C.在平面PBC内存在直线与平面PAW平行D.存 在 点 使 得 直 线 PAL平面P3M【解析】对于选项A,若 在 平 面 内 存 在 直 线 与 BC平行，又因为面尸则BC平面P 8 W,而 BC与面网M7相交,故矛盾，A 错误；对于选项B,设 A C c 8 M=O,过。做 AC的垂面a,因为面a 与面P BM有公共点0,所以平面aC|平面PBA/=/,且 O e/,则 AC_L/,I u面 P B M ,故 B 正确；延长A M,8 c 交于点“连接p”，作 C K P HP”u平面 C K u 平面 P B C,C K a 平面1f t 4,所以CK平面R 4 M,故存在，C正确；对于选项D,若 P A _L 平面则 以 _L 8 W又 P N I B M ,所以8 以_L 平面所以WL/VW,可知点似在以A 8 为直径的圆上又该圆与C 无交点，所以不存在，D错误.故选：BC.变 式 1：【多选】在矩形A B C。中，4 8 =2 A O,E 为边AB的中点，将AADE沿 直 线 翻 折 成 4 O E,若点 M 为线段AC的中点，则在AADE翻折过程中，下述选项正确的是（）A.BM是定值B.点 M 在某个球面上运动C.存在某个位置，使。E1ACD.存在某个位置，使 9平面A E【解析】取 OC中点尸，连接M F，8 F,则 M F/A Q,且=F B D E a F B =E D,所以N M F B =D E=N A D E,且度数大小为定值,由余弦定理可得 M B =MF2+FB2-2 M F -FB -c o s Z M FB,由 于 户 以 及 N/0/有是定值，故 MB为定值，故 A 正确；由于8 为定点，为定值，所以M 是在以B为球心，MB为半径的球上，可得B 正确；因为 DE?=AQ2+AE2=2信 ,C E?=B C?+B E?=2 B E?,故 D E2+C E2=2 A E2+2 B E-=4A2=(2AE)2=C D2 DEICE,假设力EL A。，由于 CEnAC=C,CE，A C u 平面 AEC,故 DE_L平面 A|EC,则 D E 1 4 E,则 N D E%=90,而/。4 后=4 也 46=90,这在A AE中是不可能的，故假设不成立，即不存在某个位置，使。E_LAC，故 C 错误；由M尸 A。与 所 D E,且 时尸0 8 尸=尸，4。0。=。，可 得 平 面 平 面 A。/ftW u平面M 8F,故平面，可得D 正确；故选：ABD变式2：已知梯形ABC。和矩形C D E F.在平面图形中，A B =A D =D E =；C D =1,CD1AE.现将矩形CQE/沿 CZ)进行如图所示的翻折，满足面A3C 垂直于面。EF.设 丽=2近，E P=/d PB ,若 AP面【解 析】易得 C D L D E,C D A.D A,又面 ABC _L面 CQER 面 4 8 c o 0 面C D E F=E F,又 A Z)u 面 A B C D,则 J L 面 CDEF,又。Eu面CDE/，则A _ L E ,以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D（O,O,O）,B（1,1,O）,A（1,O,O）,E（O,O,1）C（O,2,O）,又 丽=瓦+函=瓦+|比=诙+|(觉 _ 码=3诙+|觉=(0,*;),同理可 得 而 二 诙+而=诙+仁 丽=-丽+勺丽/勺，上 一 ,设面O 8N的法向量为 =(x,y,z),n-DB=y=0/、则 一 4 1 ,，令y =l,则3 =（又 而=而+而=7,4，ft DN=y +z =0 +又AP 面O8N,则/万=-7+上7-j =。，解得=3.故答案为：3.考点二翻折后角度的计算翻折后首先要确定线段的长度与角度中不变的量，再计算变化的量，其次确定关键点的位置。【例 2-1】如图把正方形纸片ABC。沿对角线AC折成直二面角，E,尸分别为AO,BC的中点，0 是原正方形A B C D的中心，求折纸后NEO尸的大小.【解析】如图，以OB,OC,O D设原正方形的边长为1,则为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz.cos COE,7）F）1_ _OE-7）F _ 8 _ 1=T=-1-7=TI O E|-|O F|2X2.ZEO F=12 0 .【例 2-2如图(1),平面四边形ABC。中，CD=4,A B=A D=2,N3AZ)=60。，Z B C D=30,将三角形4 8。沿 8 0 翻折到三角形PBD的位置，如图(2),平 面 PBZ_L平面8C。，E 为尸。中点.（1）求证：PDCEi(2)求直线B E与平面P C D所成角的正弦值.图 图【解析】(1)证明：由题意4 3 0 为等边三角形，则 8。=2,在三角形 5C。中，CO=4,ZBCD=30,由余弦定理可求得：8 c=2巾.：.CD2=B D2+B C2,BCA.BD.又平面尸8 0,平面BCD,平面尸8Z）n平面BCD=B D,8 Cu平面BCD,：.BCJ_ 平面 PBD=BC1.PD.等边三角形尸8 0中，E为/V）中点,W B E L P D,且 B C CB E=B,平面 BCE,：.PDA.CE.（2）以8为坐标原点，BC,3 0分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系（图略），则8（0,0,0）,C（25，0,0）,0(0,2,0),P(0,1,小),(0,令,CD=(-2 3,2,0),PD=(O,1,A/3).设 m=(x,y,z)是平面”CD=0,P C D的法向量,则，mPD=0,-2 V 3 x+2 j=0,即J r 取，”=(1,小，1),U巾z=0,则 cosm,於 所以直线5 E与平面P C D所成角的正弦值为芈.变 式1:如 图（1）,A 8 C D中，4 0是8 c边上的高，且/A CD=45。，AB=2AD,E是8 0的中点，将A BCD沿AZ）翻折，使得平面AC。，平面A8Z）,得到的图形如图（2）.求直线A E与平面5 C E所成角的正弦值.【解析】（1）证明：由 图（1）知，在 图（2）中AC_L4O,AB1.AD,平面 ACO J_平面 45。，平面 4CZn平面 4BZ=A。，A5u平面 A8。，平面 4 C 0,又 CDu平面 ACD,：.AB 1.CD；由（1）可知A8_L平面AC。，又A Cu平面AC。，：.ABA.AC.以A为原点，AC,AB,4 0所在直线分别为x,，z轴建立空间直角坐标系,0),D(0,0,1),E(0,1，3)，C(1,0,.泰=(o,l,gj,%=(1,-2,0),而=3B C n=x-2 y=0设平面8CE的法向量为5=(x,y,z),由 _ 1n B E=-y+-z=0令 y=L 得 x=2,z=2,则=(2,1,2),设直线A E与平面B C E所成角为巴则 sin 6引 cos故直线A E与平面B C E所成角的正弦值为延.15【例 2-3】如 图(1),在直角梯形ABC。中，AB/CD,A B V B C,且 8C=CO=；A8=2,取 A 8的中点O,连结0。，并 将 尽。沿着。翻折，翻折后AC=2 6,点M,N 分别是线段ARAB的中点，如图(2).(1)求证：A C 1 O M；求平面O M N与平面O B C D 夹角的余弦值.【解析】连接OC,NQAB/CD,ABA.BC,BC=CD=-A B =2,。为 A8 中点，步，四边形OOC3为正方形，.(:=2夜，:翻折后，AC=2y/3,:.OA2+OC2=22+(2/2=AC2,:.O A O C；又 OAJ_O),OCCOD=O,OC,O)u 平面OCT),:.O A O C D,;C D u平面OC,.OACD,又CDLOD,OArOD=O,O A,O D czO A D,8人平面。4。，jO M u平面。AO,:.CDVOM ；.OA=OD,为 AO中点，:.OM LA D,又 CZ)nAO=O,8,4 短，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 0(0,0,0),M(1,0,1),N(O Jl),.南=(1,0,1),丽=(0,1,1)；：z 轴 _L平面OBCD,平面0 8 8 的一个法向量w=(0,0,1)；设平面OMN的法向量 =(x,y,z),则OM-n=x+z=0.,一 /八，令 x=l,解得：y=l,z=-l,/.H=(1,1,-1)；ON-n=y+z=0 v 7g s G储 卜 器=H-H/.cos 即平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值为立3变 式 1：如图，在等腰直角三角形P A。中,4 4 =9(),A =8,4 5 =3,B、C 分别是以、户口上的点，且A D/B C,M、N分别为B P、C D 的中点，现将ABCP沿 8 c 折起，得到四棱锥P-A8C D,连接用N.(1)证明：MN 平面PA D;在翻折的过程中，当 必=4 时，求二面角B-P C-。的余弦值.【解析】(1)在四棱锥P MC D 中，取 AB的中点E,连接因为，N分别为B P,C。的中点，A D H B C,所以 M E P A,E N /A。，又 A4u平面P A。，平面PAO,所以ME 平面P A D,同理可得，E7 V/平面P A O,又 MECEN=E,M E,E N u平面MNE,所以平面MNE 平面P A O,因为MNuMNC 平面MVE,所以M N/平面P A O.(2)因为在等腰直角三角形P A。中，44 =90 ,4 9 /8 C,所以8 C _ L以，在四棱锥尸A B C O 中，B C PB,B C r A B,因为 A O/8 C,则 A Q _ L P B,A O J_ A B,又 P 8 n A 8=8,P 8,A 8 u 平面 E 3,所以 A)_ L 平面又 叫 /8(7,则 依=5,B C =5,所以 A B P A P B),LPA A.A B,所以以点A为坐标原点，分别以钻,A。,”所在方向为x 轴，)，轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xy z ,如图所示，M 3A(0,0,0),3(3,0,0),C(3,5,0),P(0,0,4),(0,8,0),所 以 而=(3,(),-4),斤=(3,5,-4),PD=(0,8,-4),设而=(X1,%,Z|)为平面PBC的一个法向量，则m-PB=0(3x,-4z.=0in-PC=0 13X|+5y-4Z1=0令占=4,则 y=0,Z 1=2,j=(4,0,3),设 方=52，%小)为平面尸8 的一个法向量，则m-PD=0 8y2-4 z2=0m-PC=0 3x2+5y2-4z2=0令)，2=1,则/=1*2=2,3=(1,1,2),设二面角5-尸C-O所成角为a,贝I Jcos a=|4xl+0 xl+2x3|10 V6-V42+02+32 X712+12+22-5 x 6-3因为二面角B-PC-。的余弦值为-也.3DE变 式2：如 图1,在等边“1BC中，点O,E分别为边AB,AC上的动点且满足OE/BC,ifi =A.A A D E沿OE翻折到 MDE的 位 置 并 使 得 平 面 平 面D E C B,连接M B,MC得到图2,点N为MC的中点.(1)当 EN平面MB。时，求 2 的值;(2)试探究：随着义值的变化，二 面 角 的 大 小 是 否 改 变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角8-加)-的正弦值大小.【解析】取例8 的中点为P,连接。尸,因为MN=CN,MP=B P,所以 N尸BC,又 OE8 C,所以NP。瓦 即 N,E,D,尸四点共面,又 EN平面 3M,ENu平面 NEZJP,平面 NEOPCI平面 MBD=DP,所以EN/P D,即 NEDP为平行四边形，所以 N P=D E,贝!jQ E=g 8 C,即(2)取 DE的中点。，连接M。，贝!MO_LOE,因为平面MDE_L平面MDEAYffi D E C B=D E,且 MO_LOE,所以 MO_L平面 OEC5,如图建立空间直角坐标系，C不妨设8 c =2,fi(l,x/3(l-/l),0),则 M(0,0,四),*0,0),所 以 砺=(2 0,-&),DB=(l-A,x/3(l-A),0),设平面即 仍 的法向量为 =(x,y,z),MD in=Ax-6九z=0则 rDB/n=(l-2)x+V3(l-A)=0即 X=J?Z,X=一岛令x=也,即，=1).又 平 面 的 法 向 量)=(0,1,0),所以8 s M/-”丽m n 飞-1工5即随着2 值的变化，二面角石的大小不变.且 sin(m,n所以二面角8-河。-的正弦值为 手.考点三翻折后距离的计算处理翻折问题时，一定要将翻折前后的图形相对照进行分析，找准翻折前后中的不变量，弄清哪些要在原平面图形中进行计算，哪些要在翻折后的立体图形中进行计算，这是处理翻折问题的一般性方法。【例 3-1】已知四边形AC8O中，A C =2EAB=2 BC=2,E 为线段4B 上靠近8 的三等分点.现沿AB将四边形进行翻折，使得平面ABOJL平面A 3 C,得到四棱锥并使。E L AC.DD(1)求证：DEBC；(2)若ND48=45。，求点B到平面D4C的距离.【解析】(D 证明：连接CE,；BC2+AC2=12=A B 2,二 ACLBC.DDCE.=-2-也-9 .-B-E-=-/-3 =-B-C-93 BC 3 AB:NEBC=NCBA,：.AfiEC:ABC4,A ZBEC=ZBC4=9(),A CEVAB.又.平面 A8J_平面 A B C,工 CE_L平面Z M 8,故EE_LCE,又：)E_LAC,ACCE=C,二 E_L平面 ABC,故 DE1.BC._ 2 77 _在R rZ 8E中，CE=y/BC2-BE2=,DC=JDE2+CE2=141=AC,3故 SADAC872-3-设8到平面D4C的距离为d,V B-D AC=D-ABC，-1-S1 .S ARr X DE fTDAC-d=-S生 DE,：.d =芳6J3 0D AC故点B到平面DAC的距离为73.变 式1：如图，已知菱形4 8 c o的边长为3,对角线9=2,将 8 8沿着对角线8 0翻折至 3DE的位置，使得A=4,在平面4BCD上方存在一点M,且M4_L平面ABC。，MA=4Io.求证：平面B_L平面求点M 到平面ABE的距离；(3)求二面角E-AB-M的正弦值.【解析】过 E 作 EO 垂直于8 0 于 0,连接A0,因为=,=3,故 E0=2&，同理 AO=2&，又 AE=4,所以 E02+40?=4 6 ,即 EO_LAO.因为48C。为菱形，所以E OLBD,又 B)cA O =O,所以E0_L面 4 8。，又 E Ou 面 EB D,所以面EBD _ 1 _ 面 4 8 0.以。为坐标原点，以 粉，0 A,灰 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则 0(0,0,0),M(0,272,710),A(0,272,0),8(1,0,0),(1,0,0),(0,0,272).所 以 而=卜 1,2夜,0),荏=(0,-2&,2&)，M4=(0,0-V10).面 的 法 向 量 为 元=(x,y,z),所以，n-AB=-x-2y/2y=0 A _ /厂 卜金-2 0+2缶=。令 10，则 丑 2 7，T又 必=(0,0,-9)，则点必到面4B E 的距离为W*由 得：面 4 8 E 的一个法向量为为=0 夜且 丽=(1,2夜,0),W =(1,272,710).,、it-B A =x.+1 4 2 y,=0若面MR4的法向量为用=(4，X，z J,贝 一n,-BM=x1+272+7102,所以|cos值,用 日 喀J l=坐，故二面角M 8E-A的正弦值为 V10-V9 10变式 2：如图，在梯形 ABCQ中，A B/D C,A D =D C =2,A B =4,Pc(1)证明：C B,平面PAC；记 的重心为G,若异面直线PC与A8所成角的余弦值为:,，令x=2近，贝U4=(2应,7,0卜W现将AADC沿AC翻折成直二面角在侧面PBC内是否存在一点，使得GML平面P B C,若存在，求出点M到平面ABC的距离；若不存在，【解析】(1)证明：取A8的中点E,连接CE,因为/W=4,C D =2,则 Af=/X7,A E/D C,故四边形ADCE为平行四边形，所以 C=AD=2贝!JCE=AE=E8,故NACB=90。，即 C3LC4,又平面PACJ_平面ACB,且平面PACpI平面ACB=AC,C 8u平面ACB,故CB_L平面PAC,A K_ _ _ _ _ _ _ _ _/E /1K5/(2)解：取AC的中点0,D C请说明理由.连接O E,则OEC8,所以 O E L A C,且OPLAC,则OC,OE,OP两两互相垂直,故以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设 0。=4（。0），则 C（。，0,0）,尸（0,0,，4-勤）,A（-a,0,0）,8（a,2/4-Y,0）,故 =（a,0,通=（2 4 2 4 4-a）0）.所 以 辰 回砌=的府=噩七因为异面直线PC与A B所成角的余弦值为!,4所 以 寸=1,解得a =l,4 4故 4-1,0,0）,5（1,2石,0）,C（l,0,0）,尸（0,0,我,则重心G（0,半,亭）,假设在侧面P B C内存在一点M,设 A M =/l方+隔刃值）,0,2 +“？1）,所以M。2 房 Y 九 一岛）,因为M G _ 1 _平面P B C,又 砺=（-彳-j u,-2 也 +0+6），B C=（）,一2石,（），P B=（1,2月，-石）,3 3所以MG BC =0MG PB=0,即，_ 2 6.（竽_2回）=0 A-+2 5/3 （-2/3 ）+&+电）=0解得A=-31/=6所以在侧面PBC内存在一点M,使得G,平面P 8 C,此时点M到平面A8C的距离为回|=*考点四翻折问题的综合应用【例4-1】【多选】如图，直角梯形ABCO中,A B/CD,Z A B C=90,CO=2,AB=BC=1,E 是边 8 中点,将 A D E沿AE翻折，得 到 四 棱 锥A B CE,在翻折的程中，下列说法正确的是（B.A E 1 CD,C.三棱锥。ABC体积的最大值是；D.点C到面A 8R距离的最大值是日【解析】由题意，CE=C D =A B =,且A B/CE,二四边形A8CE是平行四边形,又V Z A B C =9 0，二四边形AfiCE是正方形.V B C/A E,且8CZ平面 AZ)E,A E u平面 ARE,.,.BC面 A R E,即 A 正确;在梯形中ABCO中，AE 1 C D,翻折过程中AE，CE,AE，E,:CE1 ED、=E,二 平面 CER,.C R u 平面 CER,；.A E CDt,即 B 正确;在翻折过程中，当平面ABCE时，三棱锥R-A 8C体积最大，所以该三棱锥体积的最大值为丫=1 5 5.3也=1*（*以1卜1 =:，故C错误；作RM_LCE于M,作仞V_LAB于N,连接RN,由4EL平面C E R,可得AEJ.RM,:A E c E C =E,且 A E,E C u平 面 A B CE,：.R M _L平面 43CE,V A B I Yffi A B C E,:.D.M A B ,又 V A B 1MN,且 M N,R M u平面 M N D、,:.A B _ L 平面 M N D、,：A B l A B C E,：.平面。MN J_平面 A B CE.在AMNR中，作MH，R N于“，平面 RMN n平面 A B CE=D、N ,二 平面4AB,由题易知C平面2 A8,可知MH即为点C到面AB2的 距离，设贝（jOcxVRE,BPOx/2 2,当x=i时，取得最大值.变 式 1：【多选】已知边长为2 的菱形A8CQ中，NARC=60。（如 图 1 所示）,将AA“C沿对角线AC折起到AAOC的 位 置（如图2 所示），点尸为棱BO上任意一点（点 P 不与8,。重合），则下列说法正确的 是（）四面体A8CD体积的最大值为1B.无论如何翻折，都有BOJ.ACC.当时，点 C到 平 面 的 距 离 为名叵5D.三棱锥P-AC/）的体积与点尸的位置无关【解析】设。是 4 c 的中点,连接08,OD,根据题意知，。J_ 4C,O B L A C,0B =0 D =y/3,当折到平面AC。_L平面ABC时，四面体4BCD的体积最大,此时四面体4 8 c o 的最大体积丫=gsAMcO=g x；x 2 x 6 x G =l,故 A 正确;因为。J_AC,O B V A C,OBCOD=O,OB,0u平面 8 0 0,所以AC_L平面5 0。，因为班u平面5 0。，所以AC_LB,故 B 正确.当 8。=时，因为。外+。0=（6 尸+（6）2 =8。2,所以a 5 _ L 8,所 以。4,OB,0。两两垂直，以。为原点，OA,0B,0。所在直线分别为x,y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A（1,O,O）,B（0,V3,0）,C（-1,O,O）,。（0,0,6）,贝!而=（-1,6,0）,4 5=（-l,O,G）,AC=（-2,0,0）,设庆=（x,y,z）为平面A B D的一个法向量,/3y=0V3z=0所以点。到平面D4B（即平面A 80）的距离d =仲 臼 卜2四j后闷-J3+1 +1 5令 y=L 得玩=（/）,-X +则一X+故 C 正确;对于选项D,显然随着点P 的移动，该三棱锥的高（点 P 到平面ACO的距离）发生变化，因而其体积也发生变化，不是定值，故 D 错误，故选：ABC.变式2：【多选题】如图，四边形ABC。中，A B=B C=A C=2,D A=D C=42,将四边形沿对角线AC折起，使点。不在平面A 8C 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）TT 7TA.两条异面直线4 8 与 CD所成角的范围是rrB.P 为 线 段 上 一 点（包括端点），当 CO_LAB时，Z A P B/3,0j,CD-AB=0,解得：y=A,又因为V+Zj 所以z M,所以3 3 I 3 3尸为线段CO上 一 点（包括端点），设 方=2 （0 4 注 1）解得P 1,而 序=2-A,-A,-A,PB=4 +1,退 一 乎 九 一 半 兀，E4-PB=223+2-4 2 =2（A-l）2 0,所以 故 B 正确；对 于 C,当平面D4C_L平面A8C时，三棱锥D-4B C的体积最大，且连接。,DOAC,则 DO_L平面A B C,所以V=1 S。=x 走 x4xl=走.3 3 4 3故 C 正确;对 于D,取 AC中点0,连接。B,取AABC的外心q,过。作一条垂线垂直平面DA C,过。2作一条垂线垂直平面A 8 C,两条垂直相交于点H,则”为三棱锥D-48C 的外接球的球心，且二面角O-4 C-6 的大小为M即所以在直角三角形O/O,中，o o,=3，所以tan生=毁=正，662 3 6 02H 3则Q”=l，所以B42=R2=O2B2+O2“2=()+1=1,所以三棱锥O-ABC的外接球表面积为故选：BCD.变式3：【多选】在矩形A8C。中，AB=28C=2,E 是 CQ的中点，将ABCE沿 的 翻 折，直至点C 落在边AB上.当ABCE翻折到P8E 的位置时，连接A R D P,如图所示，则下列说法正确的是()PDECA.四棱锥P-A 5ED 体积的最大 值 为 变4B.设 A 8的中点为F,当=：时，二面角P 8E 。的余弦值为1C.不存在某一翻折位置，使得PALPED.M 是尸B的中点，无论翻折到什么位置，都 有 平 面 PAO【解析】对于A,当平面P3E_L平面45ED 时，四棱锥P-A BED 的体积最大，此时四棱锥P-A fi即 的 高为点C到B E的距离.直角梯形A B E D的面积为；（AB+E）X AO=|,四棱锥P-A fiD 体积的最大值为、，也=老，故选项A 正确.3 2 2 4对于B,取 照 的中点G,连接PG FG,族，则/G_L3E,PG，8 E,所以NPGF为二面角P 3E 。的平面角.在 APGF 中，PF=-,PG =FG =,c o s/P G F =一一+/G-P尸=3 故选项 B 正确.2 2 2 P G F G 4对于C,设 抬 J _ P E,在 4 中，PE =1,A E =6,PA 7 A E。-PE =1，即当P与A 8的中点重合时,PA PE.故存在某一翻折位置，使得PA PE,故选项C 错误.对 于 D,当尸与A 3的中点重合时，E M u 平面PAD,故选项D 错误.故选：AB工?分 层 提 分题组A基础过关练1.如图，将一张三角形纸片沿着8C 边上的高AO翻折后竖立在桌面上，则折痕4 0 所在直线与桌面a 所成的角等于（）【解析】依题意可知AD工BD,AD上CD,BDc CD=D,所以AD_L平面a,所以折痕AD所在直线与桌面a 所成的角等于90.故选：C2.如图所示AM R 为等腰直角三角形，C 为斜边 鸟的中点，P H=4亚,B、。分别落在边相、偿 上,且 满 足=若分别将ACBP、沿着CB、CO翻折时点 1、?能 重 合（两个三角形不共面），则x 满足条件（）A.0 x 1 B.0 x 2C.0 c x 3 D.1X/3,二点。到 AC的距离d=4AQXcosNAOC,2当N 40C=，=90。时，d 取得最大值4.=4行、孝=2#,当N4O C=，=120。时，d 取得最小值4 向=4百 xg=2 G,.点到直线AC的距离的取值范围为 2 6，2 1 .故选：B.4.如图，已知四边形ABC。，BCD是以8。为斜边的等腰直角三角形，A3。为等边三角形,将 沿 对 角 线 BO翻折到 比在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）BD=2,BDA.PCB.1Pp与 8 c 可能垂直C.直 线 勿 与 平 面 BCO所成角的最大值是45。D.四面体尸5 8 的体积的最大是g【解析】如图所示，取 BO的中点M,连接8CZ）是以为斜边的等腰直角三角形,.BZUCM A B D为等边三角形,.次）J_ PM面 PMC,:.B D PC，故 A 正确对 于 B,假设O P L B C,又 BCL C D:.B C V P C D,:.B C PC,又？8=2,8C=&,P C=0 g-l,G +l ,故 DP与 3 c 可能垂直，故 B 正确当面 形）_L面 BCO时，此时PMJ_面 BCD,NPD3即为直线DP与平面BCD所成角此时NPB=6 0 ,故 C 错误当面面BCD时，此时四面体PBCO的体积最大，此时的体积为：V=-5 gm-PM =-x（-xy/2 x 2）xy/3 =,故 D 正确3 包 3 2 3故选：C5.已知正方形A 3Q 9中 E 为 4 3 中点，”为 4。中点，尸,G 分别为BC,CD上的点，C F =2 FB,C G =2 G D,将 ABD沿着8。折起得到空间四边形A/C。，则在翻折过程中，以下说法正确的是（）.A.E F/G H B.E f 与 GH相交C.E尸与G”异面 D.与 FG 异面2【解析】由 CF=2EB,C G =2GD,则 FG/CD且 FG=C。由 E 为 A 8 中点，/为 4 0 中点，则 E H/C D 且 EH=；C D所以E H/FG 且 EH丰F G,则四边形EFG”为梯形.梯形E F GH的两腰E F,HG延长必交于一点所以E F,G 相交，EH 与/G 平行故选项A,C,D 不正确，选 项 B 正确.故选：B6.在矩形ABC。中，A3=6,3C=8,现将4M C沿对角线AC翻折，得到四面体D 4 5 C,则该四面体外接球的体积为（）196 1000 c 400 500A.7t B.-n C.7i D.43 3 3 3【解析】设A C的中点为O,因为48。是矩形，所以B 4 C、AD A C是共斜边的直角三角形,因此有OA=OC=O8=O）AC=B2+BC2=口36+64=5,2 2 2所以该四面体外接球的体积 为4三万 5 =学500万，7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/&4。=60。，现将44电）沿 15。翻折至4或），使二面角A-B O-C的大小为6 0%求 CD和平面A BD所 成 角 的 余 弦 值 是；【解析】连接AC交8。于点0./ABCD为菱形，AC 5）,.即 A O L B D,CO B D.NAOC即为二面角4 3。一（7的平面角,即4 4,0。=60.A B C D为菱形，N B A D=60且边长为2,所以AO=CO=6.AAOC为边长为百 的正三角形.取4。的中点E,连接CE.AO JL B）,CO _1 8,4 O c CO=O,3 _L 面 A OC,CE u 面 A OC,.8。_L CE,.A/OC为正三角形,且E 为 A，O 中点，.CE_LA，O,.A,Oc8=O,.CE，面 4%,D E 为8 在面A BD内的射影，,NCDE即为线8 与 面 8。所成的角.在Rt CDE中 C D =2,CE=6sin60=1,_ _ _ _ _ _ _ _ _ 万 也:叩核。吟,：.cs/cDE=些=立.C D 2 4所以CD与面4 8 D 所成的角的余弦值为 也.48.如图A3CD为平行四边形，A B =5,A D=4,B D =3,将 M）沿 8。翻折到PBZ）位置使（1）求异面直线P D 与3 c 所成的角：求点D到平面P B C的距离.【解析】（1）延长4?到 E,使 AD=DE=4,连接EC,P E.由已知得5CEZ）为平行四边形，所以8EC,B C/DE,故 PD,OE所成的角就是异面直线PD与 8 c 所成的角又/、人 犷+身 兄 所 以 如 J.4）,由已知3Z）_LP。,P DCA D=D,P D,AO u 平面 P D E,故 8O_L平面PE,所以E C,平面R 4 E,而 P E u 平面P D E,所以E C 上P E又 EC=BD=3,P C=5,所以 PE=y/PC?-EC，=4.又PD=DE=4,所 以 为 等 边 三 角 形，所以NP E=6 0 故异面直线P D 与 8 C 所成的角60、(2)由(1)知 P 4F 为等边三角形，取。E 中点。，连接OP.则 O P 1.O E,且 OP =2 后.又 8 D _ L平面灯),PO u平面P 0 E,所以 O P J.3 Z),BD c ED=D,BD,ED u 平面 BDEC,所以Q P _ L 平面BDEC.故三棱锥P-BCD的体积为VP_BCD=1 S.BCD 尸 0 =g x 6 x 2 6=4 石由已知尸3 =P C =5,8 C =4 ,所以4PBe的面积为S=：8 C 小 8-(1 叼=2 万.设点D 到平面PBC的距离为h,故VB S=%一啄=；S.P B L h=马 h所 以 酒 =46，解得h=8且.故点。到平面P 8 C 的距离为 逆.3 7 79.在梯形4 8CD 中，ABCD,AB=2,CD=4,AD=BC=3,B。与 AE交于点G.如图所示沿梯形的两条高4 E,B 厂所在直线翻折，使得N E F=N C F E =9 0。.(2)求三棱锥C-8D G的体积.【解析】证明：-.DEA.EF,DEAES.EFCAE=E,E F,AEu平面他 正，.r)E _ L 平面庄:，同理C F-L 平面的,.)7/。/；又；DE=C F,：.四边形DCFE为平行四边形，则有DC/EF S.D C =E F；又.ABHEF 且 AB=EF,/.AB/CD B.AB=CD二四边形A BC。为平行四边形.:.ADHBC.2(2)解：在梯形A BC。中，ABZ/DE,S.A B =2DE,:.AG=2 G E,则有A G =A E,又 治 皿=；*2*1 =1 ,BF7BC2-CF?=2也VC-B D G VG-H C D VE-B C D =VB-D C E=3-3-S D C E B l?1 0.如 图1,在矩形ABC。中，点E在边8 上，B C =D E =2 E C,将DAE沿AE进行翻折，翻折后。点到达尸点位置，且满足平面P4E_L平面A B C E,如图图1图2p p若点尸在棱承上，且 族 平 面 求 前(2)求二面角3-P C-E的正弦值【解析】如图，在P5上取点G,使得尸GA 8,连接FG,G C ,则 FGABCE.因为EF 平面P B C,平面EPGCc平面尸3C=C G,所以E F C G,所以四边形M G C是平行四边形，所以尸G=EC.PF FG 1又因为 A B =D E +E C =3 E C,所以-=-=.PA A B 3z八P-(2)在平面 ABC 内,A X/H B过E作E H L AB,垂足为H.以E为坐标原点，E H,EC所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系，如图所示.设EC=1,则氏0,0,0),C(0,l,0),P(l,-1,72),8(2,1,0),所以 PC=(-1,2,-夜)，C=(0,1,0),CB=(2,0,0).设平面PC 的法向量为a=a，x，z j,则m-PC =0加 辰 二 0，即 卜+2%-四=0,令 ,则正=（o f.y=。设平面咏 的 法 向量为f），则鬻二;即产第2m令*（0,1,伪.所以cos(加n)-竺匕=_*,|/|/J|3设二面角8-P C-E 的大小为6,所以sin6=题组B 能力提升练1 1.【多选】如图，在菱形ABCD中，A B=2,ZBAD=60,将 4 3 0 沿对角线8。翻折到A 尸 8。位置,连接尸C,在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.任取三棱锥P-8CZ）中的三条棱，它们共面的概率为0.2B.存在某个位置，使得尸C与 3 0 所成角为60。C.PC与平面BCO所成角为45。时，三棱锥尸心CZ）的体积最大D.当二面角尸-8 6 C 大小为90。时，点 O