2022-2023学年辽宁省鞍山市高三上学期第一次质量监测数学试题（解析版）.pdf

鞍山市普通高中2022-2023学年度高三第一次质量监测数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 i1.如 果 z-i 5,那么在复平面内，复数z 所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合4 =%/?|l x W 3,8 =x e N|2*4 ,则 集 合 的 子 集 个 数 为（）A.1B.2C.3D.43.“黑函数/（x）=（+L 1）x在（0,+8）上为增函数”是“函数g（x）=2、一 .2 T 为奇函数，的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要B.72百4.抛物线 =1/的焦点坐标为（）人 R O B.加 C.（0导）JT5.函数y=sin（2尤）的单调减区间是（）4jr 37rA.左一百，攵 +至 ,（攵 Z）B.2k7v-3 乃 77r 3C.2左乃+千，2攵 4+七 ,（左e Z）D.4左+6.如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具,则能截得直三棱柱体积最大为（）aD.（用q,2k 兀+,（A:e Z）-,k 7r+,（k&Z）8已知该圆柱底面圆面积为16兀，高为6,C.96月A 54百D.108A/37 .标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形字视标，且从视力5.1 的视标所在行开始往上，每一行“歹的边长都是下方一行 E 的 边 长 的 顺 倍，若视力4.0 的视标边长为“，则视力4.9 的视标边长为（）4.0E m a9D-1 0 一 历 a4C-IQa8 .权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,/（c t+h a bx,y 0,则 幺+幺小“十町，当且仅当一=一时等号成立.根据权方和不等式，函数x y x+y x y2 9 1/（幻=一 +hk（x 二）的最小值为（）x 1-2%2A 1 6 B.2 5 C.3 6 D.4 9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数“X）在x =2 处的导数存在，则.A|（2+3-2）B.nm/（2）-/（2+A x）以 一。2 A x&t。2 A x/（2-A x）-/（2）/（2）-/（2-A r）C.h m -i-1D.I n n -1-2 Ar2。2 Ax1 0.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关 做了一次调查，其中被调查的男女4 3生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的不，女生喜欢抖音的人数占女生人数的g,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）附：犬=_ _ _ _ _ _ _吗一 _ _ _ _ _ _ _ _（a +b）（c+d）（a +c）（b+d）P（K 2*）0.0500.010k。3.8416.635A.25B.45 C.60D.401 1.在平面直角坐标系x Q y 中,P A 1A（l,0）,B（-2,0）,点 p满 足 局=彳，设点P的轨迹为C,则（I”2）A.C的周长为4万B.O P（。,不重合时）平分NAPBC.A A BP面积的最大值为6D.当A P _ L A B 时，直 线 与 轨 迹 C相切1 2.已知函数x）=e-m cos x,7 （%）为/（x）的导函数，则下列说法正确的是（）A.当加=1 时，“X）在（0,+功单调递增B.当加=1 时，/（x）在（0,/（0）处的切线方程为y =xC.当m=一1 时，,f （x）在 0,+8）上至少有一个零点D,当m=-1 时，/（X）在（-,一）上不单调三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .（x y）5的展开式中炉3 的系数为,.2 cos 50-百 s i n 1 0 1 Vl川 一 衣1 4.-的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.cos 1 0 1 5.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件”试验反应为阳性“，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（A|C）=0.9,尸（X，）=0.9.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.0 1,即2（。）=0。1,则尸（C|A）=.1 6 .若实数。，b,c,d 满足（8 4+仙4 7+m 。-2）2=0,则（。y+S d）2 的最小值为四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .已知等差数列 a,J 满足首项为I og3 1 5 l og3 1 0+gl og3 4的值，且 为+。7=1 8.（1）求数列%的通项公式；(2)设a=一,求 数 列 也 的前项和7；.anan+1 8.在 AABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,h,c,cos 5(&(+bs i n C)+Os i n B cos C =0.(1)求角B；(2)若 2 c=a,AABC的面积为28,求AABC的周长.31 9.如图，已知正三棱柱A B C A g G中，所有棱长均为2,点 E,P分别为棱8 月，4 G的中点(1)求 4 E与平面4E 尸所成角 正弦值;(2)过 4、E、尸三点作一个平面，则平面AE 尸与平面A 4G有且只有一条公共直线：这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实(也称为公理)得出，请写出该基本事实的内容；求这条公共直线在正三棱柱 底 面 内 部 的 线 段 长 度.2 0.北京时间2 0 2 2 年 7月 2 5 日3 时 1 3 分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2 0 2 2 年 7月 2 5日 1 0 时 0 3 分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8 月，中国空间站第 2 个实验舱段梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计 划 1 0 月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等1 0 个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从1 0 个不同的题目中随机选择3 个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2 个及以上程序正确即为闯关成功.现已知1 0 个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6,每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.2 1.在平面直角坐标系X。)，中，点 B 与 点 关 于 原 点 对 称，P 是 动 点,且直线A P与 B P 斜率之3积等于一二.4(1)求动点P 的轨迹方程，并注明X的范围；(2)设直线AP与 BP分别与直线x=3 交于，N,问是否存在点P使得与APMN面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.2 2.已知函数./(x)=ln x-A x(Z e R),g(x)=x(e*-2).(1)求函数/(x)的极值点；(2)若 g(x)x)21恒成立，求)的取值范围.鞍山市普通高中20222023学年度高三第一次质量监测数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 _ i1.如 果z-l 5,那么在复平面内，复数z所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先计算出z,然后判断其所 象限，即可求解【详解】由=!可得z l=-,z=l 2i,复数z所对应的点（1,-2）位于第四象限.z-1 2 1故选：D2.已知集合4 =%/?|l x W 3,8 =x e N|2*4 ,则 集 合 的 子 集 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先解指数不等式得到8 =0,1,即可得到4口3 =0,1,再求子集个数即可.【详解】8 =x eN|2 4 =x eN|x +2 -1卜”在（0,+8）上为增函数”是“函数g（x）=2、一.2一、为奇函数”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函数/（6=（苏+加-1）是嘉函数，且在（0,+8）上为增函数，求 出 机=1,可得函数8（力为奇函数，即充分性成立；函数g（x）=2 -2 r为奇函数，求出?=1,故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数/（%）=（+加-1）才 是塞函数，且在（0,+8）上为增函数，（2m+m -1 =1 八 一则 ，解得：/篦=1,当2=1 时，g（x）=2-2,xe R ,m 0则g（-x）=2T 2=（2-2f）=g（x）,所以函数g（x）为奇函数，即充分性成立；“函数g(X)=2-m2-2 T为奇函数”，则 g(%)=_ g(_ 力，即 2 -m2-2T =(2-”nr-2)=m2-2-2-x,解得：m =ly故必要性不成立，故选：A.4 .抛物线y =4 9的焦点坐标为()A.(0 4)B.加 C.唱【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【详解】由题意，抛物线2=的焦点坐标为(。，年)故选：cD.7T5 .函数y =s i n(-2%)的单调减区间是()4【答案】A【解析】rf7t.3冗、八A.KT T-,K.7l d-,(K Z)8 8n 3 7 rB.2 -,2 +,()t eZ)8 83 7 r 7 4C.2b r +,2 +G Z)8 8r.37c.7 7T.j _D.伙乃H-,k兀-,(攵EZ)8 8【分析】要求函数y =s i n(?-2 x)的单调减区间，即求函数y =s i n (2 x-的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.【详解】y =s i n(-2 x)=-s i n 2 x 要求函数y =s i n(?-2 x)的单调减区间，即求函数y =s i n 2尤一()的单调增区间.T T 7T T C令-2kjr 2x-卜 2k7T,k G Z ,2 4 2JI 3冗所以-F k?i x -F kji,k G Z.8 8故 选:A.6.如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为16兀，高为6,则能截得直三棱柱体积最大为（）A.545/3 B.72G C.9 6 6 D.10873【答案】B【解析】【分析】根据直三棱柱的定义及三角形的面积公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】由题意可知，设底面圆的半径为R,则S=7t/?2=16兀，解得R=4.因为直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只需要圆的内接三角形面积最大即可，S=La0sinC=.2Rsin A-2Rsin B sin C=2R2 sin A-sin B sin C2 2 .4.9.5.1.5J4 9 4 9A，10%B.10匹 C.O D.0【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式计算.【详解】设第行视标边长为4,第 一1行视标边长为由题意可得a,i=啊%(2 2),则 匚=10而(2 2),则数列 a,为首项为a,公比为京吊的等比an-数列，0,则 二+二J 3一 ,当且仅当=2 时等号成立.根据权方和不等式，函数x y x+y x y2 9 1/(%)=-+-h(0 v x 0,则+生 Ja+3,当且仅当色=时等号成立，x y x+y x y又0 c x e，即 l 2 x 0,2于是得/(%)=22+=3 3一2 2 (2+3”/2x l-2 x 2x+(l-2x)2 3 1=2 5,当 且 仅 当 一=-,即=一时取2x 1 -2x 5所以函数/（x）=2+二9 一（0%1-）的最小值为25.x 1-2%2故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数/（力 在x=2处的导数存在，则；/（2）=（）.2+心）4 2）./（2）-/（2+Ax）A.lim -1B.lim -以TO 2 AX-2 ArC.（2 一 词 一 2）D.-2 Ax-2 Ax【答案】BC【解析】【分析 1由导数的定义得出lim/（2）/（2 +AX）_ _,.2 一 词 一 ,a 2 At 2 2 Ax 2 ,【详解】因为函数/（x）在x=2处的导数存在，所以/（2）-/（2+Ar）1/（2+Ar）-/（2）1lim -=lim -=/（2）,故 B 正确.2 Ax 2 Ax 2 又.i.m/（2-A x）-/（2）=_ li i m/（2-A x）-/（2）=_ l 所以。正确.AD 2 Ax 2 z o -A r 2故选：BC.10.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女4 3生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的不，女生喜欢抖音的人数占女生人数的w，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）nad-bcy附：K1(a+)(c+d)(a+c)(b+d)尸（心 次）0.0500.01()卜03.8416.635A.25 B.45 C.60 D.40【答案】BC【解析】【分析】先设男生人数为5，(e N*),列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案.【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5n,(e N*),由题意可列出2 x 2 列联表：男生女生合计喜欢锻炼4n3nIn不喜欢锻炼n2n3n合计5n5nlOnK?_-be)?_ 1 0 n x(4 nx2n-3nx ri)2 _ 1 0(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)5nx5nx7nx3n 21由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以3.84L,竽6.635；解得：8.066L,0 时，exb T W sinxW l,.,./（X）O,./W 在（0,+8）上单调递增，故 A正确;V A O)=o,r(O)=l，/(x)在(O，O)处的切线方程为y=x，故B正确；当,=1 时，/(x)=eA 4-c o sx,/(x)=e*-sinx,令夕(x)=7(x),则 o (x)=e*_c o sx,当尤 0时，ev 1.-I W c o sxW I,.,.夕(x)0,(x)=/(x)在(0,+8)上单调递增，.当x 2 0时，/(x)r(0)=l,./(x)在(),+0,A(p(x)=e -c o sx 0,.(x)=r(x)在(一与，一万)单调递增，又 尸 当 卜 e寺 一1 (),.由零点存在定理可知，存 在 唯 一(-芸，-兀),使 得/(内)=0，当xw(售,玉)时,r伉)O,/(X)单调递增，.”X)在(-弓,一万)上不单调，故D正确.故选：A BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.(x的 展 开 式 中 的 系 数 为【答案】-1 0【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解.【详解】(X y)5的展开式中第四项为C；f(y)3=c；x 2 y3=一 0*2,3,故/y 3的系数为：_ 0,故答案为：1 0.2 c o s 50 -G sin 1 0 1 V l/吉 班1 4.-的值为_.c o s 1 0【答案】1【解析】【分析】把50 拆成60-1 0,然后利用公式进行化简.【详解】因 2 c o s(60-1 0)=2 c o sl O 0 +-sinl O =c o s 1 0 +/3sin 1 0 ,2 cos50-/3 sin 10 cos 100 1m 以-=-=1;cos 10 cos 10故答案为：1.15.根据以往 临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性“，以。表示事件“被诊断者患有癌症”，则有（A|C）=0.9,r）=0.9.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.0 1,即尸（C）=0.01,则P（C|A）=.【答案】【解析】【分析】先求P（A|C）=0.1,P（C）=0.9 9,根据条件概率和全概率公式可得尸（C|A）P（A|C）P（C）P（A|C）P（C）一 P（A）P（A|C）P（C）+P（A|C）P（C）代入计算即可.【详解】因 为 尸 回。）=0.9,所以（A|e）=l-C（X|e）=l 0.9=0,因为 P（C）=0.01,所以 P（C）=0.99,所以由全概率公式可得P（A）=P（A|C）P（C）+P（A|C）P（C）,因为P（AC）=P（C A）P（A）=P（A|C）P（C）所以H C|A）=P（A P（C）=_ P（AIC）P C）_ _ 。叫。1V J P（A）P（A|C）P（C）+P（A|C）P（C）-0.9x 0.01+0.1 x0.999 1-W8-12-故答案为：.1216.若实数“，b,c,d满足（8 a2+ina+（c d 2）2=0,则（a c+（d-的最小值为【答案】2【解析】【分析】把问题转化为曲线/（x X/T n x上的点（a,。）与g（x）=x-2上点（c,d）的距离的平方，进一步转化为点到直线的距离公式求解.【详解】解：因为（8一a2+ina7+（c d 2）2=0,所以6 片+ina=o，c-d 2=0，即 b=a2-n a，d=c 2，令 f M=x2-Inx,g(x)=x-2 ,设直线y =x+m与曲线/(x)=i nX相切于点P(x0,ya),由/(x)=/一 Inx ,得/(X)=2X-Lx则（%）=2面-,，由2%-1 =1,解得玉）=1或1（舍去），所以xo x（）2 尸(1,1),则P到直线y =x 2的距离d =42.而（。一。/+3一所的几何意义为曲线y =/（x）上的点（力）与直线g（x）=x 2上点（c,d）的距离的平方，则（a c）2+（匕的 最 小 值 为=2 .故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列 a,J满足首项为Io g 3 15 l o g 3 10+；l o g 34的值，且 为+。7=18.（1）求数列%的通项公式；,1 ，,（2）设 瓦=77一，求 数 列 出 的前项和小【答案】（1）=2-1n(2)-2 +1【解析】【分析】（1）利用对数的运算法则求得,的首项外,再利用等差数列的通项公式代入。3+%=18即可求解；,1（2）将（1）中%=2”1代 入 勿=-,利用裂项求和法即可求得却。/+】【小 问1详解】I 53根据题意得，=l o g315-l o g310+-l o g34=l o g3 +l o g3V?=l o g3-+l o g3 2 =l o g3|x 2=1,因为数列 凡 是等差数列，设公差为d,则 由%+%=1 8,得q+2 d +q+6d =18,解得d =2,所以 c in=1+(1)x 2 =2 1.【小问2详解】,1 1 (1 1 )由(1)可得2=-=-,(2 n-l)(2 n+l)2 n+l J2 +2 +118.在 AABC中，角 4,B,C的对边分别为 a,b,c,c o s B(g a +b s i n C)+Z?s i n B c o s C =0.(1)求角B：(2)若2 c =a,AABC的面积为2更，求AABC的周长.32兀【答案】B=y(2)2国区里3【解析】【分析】(1)根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得t a n8 =-百，进而可求解,(2)根据三角形面积公式以及。=2 c可得。，J由余弦定理可求进而可得周长.【小 问1详解】V c o s B /3(7 4-/?s i n c j +/?s i nB c o s C =0,/.yf3a c o s B+/?(s i n C c o s B+c o s C s i n B)=0,/.6。c o s B=-/?s i n(B +C)=-hsinA.由正弦定理得 y/isinA c o s 3=-s i n 3 s i n A，vs i nA O,At a nB =-V 3 V BG(0,TI),=【小问2详解】AABC的 面 积 为 亚，即a c s i nB =G ac-,日 83243 3/=2 c,，.2 c 2 =,V c 0,c =-,_ o -47 3.Q =2.C=-333由余弦定理可得。2=a 2+c 2 2 a c c o s B =，：b 0,：.b=-3 3.三角形的周长为a +b +c =2百+2叵319.如图，已知正三棱柱A B C A与G中，所有棱长均为2,点E,尸 分 别 为 棱A C的中点.小,B（1）求A E与平面AE F所成角的正弦值；（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AE F与平面4 4 G有且只有一条公共直线：这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；求这条公共直线在正三棱柱底面4 gG内部的线段长度.【答案】（1）-10（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；姮3【解析】【分析】（1）取A C中点。连接O B,O F,以。为原点，O A,OB,O F 为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值；（2）由基本事实3可得，延长4 E交 延 长 线 于 点M,连 接 且FMcg G=P.则F P即为所求，确定P点位置，由余弦定理求得EP的长.【小 问1详解】取A C中点。连接。8,O F,因为正三棱柱A B C A g C，F为4 a的中点，O F与三棱柱的侧棱平行，所以O A,OB,O F两两垂直，以。为原点，OA,OB,O F 为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，所以 A(1,O,O),E(O,V 3,1),尸(0,0,2),4(1,0,2),所以4七=(一1,6,-1)，A =卜 1,6,1),A F =(-1,0,2).设平面AE F的法向量”=(x,y,z),则n-A E =Q一，即，n-A F =0-x+j 3 y +z=Q x+2 z 023)令x=2,则z=i,所以万3设A E与平面A E F所成角为8,则s in 0=|c o s 0时，“X)有极大值点L 无极小值点，1,4 0恒成立，构 造 函 数 相(幻=也-H +2,利用x x导数研究函数m(x)性质，求解皿x)的最值，即可得到左的取值范围【详解】解：(1)函数的定义域为(0,+8),1|一 kx由/(x)=l n x_依，得/(x)=k=-,x x当左 0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增，函数无极值点，当%0时，由/(x)=0,得x=7，k当0 五 0,当时，/(x)0时，/(X)有极大值点,，无极小值点，k(2)因为g(x)二/恒成立，即x(e，2)(l n x 京)2 1恒成立,所以攵2上也二e，+2对0恒成立，X令人 皿/幻 =丁1 +In一 x e t+2 贝m.叽(x)=一 x (L1+In x)i 靖XX2令(x)=-In x-x2ex,则 n(x)=-(2xex+x2ev)=-ex(2 x+x2)0),x x所以(x)在(0,+o o)上单调递减，因为(，=l-e，2 0,”(l)=-e 0,所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点/,使得(毛)=0,即-In /=,两边取对数可得l n(-l n x0)=2 1n x0+x0,即 l n(-l n x0)+(-l n x0)=x0+In x0,因为函数y =x+l n x在(0,+8)上单调递增，所以X o=-l n xo，所以当0 x0,当%/时,n(x)0恒成立，然后构造函数加0)=11吧 一 产+2,利用导数求出?(x)的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难X