2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第12章概率初步(基础、常考、压轴)分类专项训练(解析版).pdf

第12章概率初步（基础、常考、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1.（2022.上海市建平中学高二阶段练习）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为6 的概率为（）,1 n 5 一 1 7A.-B.C.-D.9 36 6 36【答案】B【分析】分别求得基本事件的总数和点数和为6 的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值.【详解】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，可得基本事件的总数为6x6=36种，而点数和为6 的事件为（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）共 5 种，则点数和为6 的概率为 2=三.36故选：B.二、填空题2.（2022.上海市七宝中学高二期末）设随机事件A、B,已知尸（A）=0.4,P（B|A）=0.3,P（B|A）=0.2,则尸（B）=.【答案】0.24【分析】根据条件概率的公式即可求解.【详解】”（4）=0.4,P（A）=1 -P（A）=1 -0.4=0.6,由条件概率公式得：P（BA）=P（A）P（B|A）=0.4x0.3=0.12；P（M）=P（A）P（B|A）=0.6X0.2 =0.1 2 ,所以 P（B）=P（A4）+P（西）=0.12+0.12=0.24,故答案为：0.24.3.（2022.上海市七宝中学高二期末）新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为:，乙小组研发成功的概率为5.在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为【答案】I4【分析】根据对立事件，相互独立事件及条件概率公式直接计算即可.【详解】设事件A为“疫苗研发成功”，即甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功，其 概 率 为:=事件B为“甲小组研发成功”，则P（B）=P（A B）=j ,2所以p（用力=探=:64故答案为：4.（2 0 2 2上海闵行中学高二期末）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为3、32、1对实验甲、乙、丙各4 3 2进行一次，则 至 少 有 一 次 成 功 的 概 率 为.（结果用最简分数表示）2 3【答案】五【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式计算.【详解】记至少有一次成功的概率为事件A ,实验甲、乙、丙成功分别为事件。尸3 2 1由题意（。）=:，W=P（F）=-,4 3 2-3 2 1 2 3P（A）=1 P =1 P0E 尸）=1 尸 P =1 五.2 3故答案为：2 45.（2 0 2 2上海格致中学高二期末）同时掷3枚质地均匀的硬币，至少有1 枚硬币正面向上的概率是7【答案】7O【分析】首先根据题意得到3枚硬币全部背面朝上的概率 为:，从而得到至少有1 枚硬币正面向上的概率为O7 _8 ,【详解】同时掷3枚质地均匀的硬币，全部背面朝上的概率为则至少有1 枚硬币正面向上的概率八 1 7为 =.8 8、7故答案为：7O6.（2 0 2 2 上海市建平中学高二阶段练习）建平中学为了提升学生的学习热情，组织了一场知识竞赛，决赛中 48两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手比赛，比赛三局，除第三局胜者得4分外，其余各局胜者均得2分，每局的负者得。分，假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为（，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B队 的 得 分 的 概 率 为.【答案】【分析】依题意可得比赛结束时A 队的得分高于B队的得分的情况有2种：A 全胜，A 第三局胜，另外两局一胜一负，按照相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；【详解】解：比赛结束时A 队的得分高于B队的得分的情况有2种：A 全胜，A 第三局胜，另外两局一胜一负，比赛结束时A 队的得分高于8队的得分的概率P =（；J +C；.故答案为：.7.（2 0 2 2.上海市建平中学高二阶段练习）下 列 结 论 中 错 误 的 是.（填序号）如果尸（A）=0.9 9 9 9 ,那么A 为必然事件；频率是客观存在的，与试验次数无关；概率是随机的，在试验前不能确定；若事件A 与 B是对立事件，则 A 与 B一定是互斥事件.【答案】【分析】依据必然事件的概率判断；依据频率的性质判断；依据概率的定义判断；依据对立事件与互斥事件的关系判断.【详解】必然事件的概率为1,故判断错误；频率不是客观存在的，与试验次数有关.故判断错误；频率稳定在某个常数，这个常数叫概率.故判断错误；若事件4与 B是对立事件，则 A 与 8一定是互斥事件.故判断正确.故答案为：三、解答题8.（2 0 2 2 上海市青浦高级中学高二阶段练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m 以 上（含9.5 0 m）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；乙：9.78,9.56,9.51.9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E（X）.2 7【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率；（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.（1）设事件A 为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”,其概率为尸（A）弋4=?；3 1 设事件B 为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故尸（3）=彳6 2?1事件C 为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故P（C）=，320P（X=）=PABC）+P（ABC）+P（ABC）=尸（X=2）=尸（板）+尸（质 C）+P（ZBC）=|x；x（l 一|+|x（l-g）x；+（l-3H 号O 1 1 1P（X=3）=P（ABC=x x=一v）7 5 2 2 10所以其分布列为X0123P32027201W3 2 7 1 7+lx-+2x +3x =-V 7 20 5 20 10 59.（2022上海市建平中学高二阶段练习）某校高二年级一个班有6 0 名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：40,50）、50,60）、60,70）、70,80）、8（）,90）、90,100）,得到如图所示的频率分布直方图,（1）求a 的值;（2）用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为2 0 的样本，已知甲同学的成绩在 7 0,8 0）,乙同学的成绩在 8 0,9 0）,求甲乙至少一人被抽到的概率.【答案】（1）=0。3；（2）1【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1 即可求出”的值；（2）设甲被抽到的事件为A ,乙被抽到的事件为8,求出相应的概率，然后可以根据对立事件求解.（1）解：由题意可得（Q 0 1 +0.0 1 5 x2 +a +0.0 2 5 +0.0 0 5）xl 0 =l,解得 a =0.0 3；（2）解：因为总体共6 0 名学生，样本容量为2 0,因此抽样比为名2 0 =16 0 3其中 7 0,8 0）分数段有0.0 3 x1 0 x 6 0 =1 8 人，8 0,9 0）分数段有0.0 2 5 x1 0 x 6 0 =1 5 人，所以在 7 0,8 0）分数段中抽取0 必1 0 乂 6 0*；=6 人，8 0,9 0）分数段抽取0.0 2 5 xl 0 x6 0 x；=5 人，设甲被抽到的事件为A ,乙被抽到的事件为3,则 =卷 ，尸（5）=；，则甲乙至少一人被抽到的概率为P（M +P 网+P（砌=1-尸（碉=l-|x|.【常考】一.选 择 题（共 1小题）1.（2 0 2 1 秋黄浦区校级月考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A.工75【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C 62,再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解.【解答】解：甲从这6 个点中任意选两个点连成直线，共 有 C6?=15条，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，共 有 C6?=15条，甲乙从中任选一 条共有15X15=225种不同取法，因正方体6 个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对 一，这是一个古典概型，所以所求概率 为 卫=_ 匕，225 75故选：D.【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6 个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解.二.填 空 题(共 5 小题)2.(2021秋奉贤区校级期中)从分别写有1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则 抽 得 的 第 一 张 卡 片 上 的 数 大 于 第 二 张 卡 片 上 的 数 的 概 率 为 .【分析】先求出基本事件总数“=5 X 5=2 5,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件(见)有 10个，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.【解答】解：从分别写有1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数=5X5=25,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件(?，)有 10个，分别为：(2,I),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),.抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为0=坨=2.25 5故答案为：1.5【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题.3.(2021秋浦东新区期末)我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为0.97,有 20个车次的正点率为0.98,有 10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为.【分析】利用加权平均数公式直接求解.【解答】解：.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为0.9 7,有 2 0 个车次的正点率为0.9 8,有 10个车次的正点率为0.9 9,经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：彳=-1-（10X 0.9 7+20X 0.9 8+10X 0.9 9）=0.9 8.10+20+10故答案为：0.9 8.【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.4.（2021秋奉贤区校级期末）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1 获 胜 的 概 率 是.【分析】甲队以4：1 获胜包含的情况有：前5场比赛中，第 场负，另外4场全胜，前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，前 5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1 获胜的概率.【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1 获胜包含的情况有：前 5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：pi=0,4 X0.6X0.5 X0.5 X0.6=0.03 6,前 5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：/?2=0.6X0.4 X0.5 X0.5 X0.6=0.03 6,前 5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：/?3=0.6X0.6X0.5 X0.5 X0.6=0.05 4,前 5场比赛中,第四场负，另外4场全胜,其概率为：04 =0.6 X 0.6 X 0.5 X 0.5 X 0.6=0.05 4,则甲队以4：1 获胜的概率为：p=p+P 2+P 3+P 4=0.03 6-K）.03 6+0.05 4+0.05 4=0.18.故答案为：0.18.【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.（2021秋杨浦区校级月考）先 后 2 次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,6,将 m b,5的值分别作为三条线段的长，这 三 条 线 段 能 围 成 等 腰 三 角 形 的 概 率.【分析】一一列举所取所有的可能的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率计算公式计算即可.【解答】解：先后2 次抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为a,b,则 小b 有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)3 6种，满足条件”，h,5的值分别作为三条线段的长，即+6 5,三条线段能围成等腰三角形共有(1,5),(5,1),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4),(5,5),(6.5),(5,6),(3,3),(4,4),(6,6)共 14 种,所以三条线段能围成等腰三角形的概率p=2 鱼 _36 18【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键不重不漏的列举满足条件的基本事件.6.（2021秋黄浦区校级期末）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是.【分析】分别求出基本事件数，”点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可.【解答】解析：基本事件共6 X6 个,点数和为4的 有（1,3）、（2,2）、（3,1）共 3个,31故6X6 12故填：工.12【点评】本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现，种结果，那么事件A的概率P（A）=蚂.n【压 轴】一.选 择 题（共 2 小题）1.（2 0 2 1 秋黄浦区校级月考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率 等 于（）A.-L B.2 C.D.75 75 75 75【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成宜线的条数共有C 62,再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有2 2 5 种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共1 2 对，代入古典概型的概率公式求解.【解答】解：甲从这6 个点中任意选两个点连成直线，共 有 C62=15条，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，共 有 C62=15条，甲乙从中任选一条共有15X15=225种不同取法，因正方体6 个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率 为 卫=_ 左，225 75故选：D.【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6 个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解.2.（2021秋杨浦区校级期末）如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点A 到 8,乙从点C 到。，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为（）7 7 14 21【分析】先求出甲从点A 到 8,乙从点C 到。总的路径的对数，再计算甲从点到到8,乙从点C 到。的相交的路径的对数，其等于甲从点4 到。，乙人点C 到 8 相交的路径的对数，进而可得甲、乙行走路线没有公共点的路径的对数，再利用古典概型概率率计算公式求解即可.【解答】解：首先考虑甲从点A 到B,乙从点C 到。总的路径的对数，甲从点A 到 8,需要向上走4 步，向右走4 步，共 8 步，.甲从点A 到 B 有 种 走 法，乙从点C 到点。，需要向上走4 步，向右走4 步，共 8 步，.乙从点到。有 种 走 法，由分步乘法计数原理得：甲从点A 到 8,乙从点C 到。,有 C；C 加;煜=4900种方法,下面计算甲从点A 到B,乙从点C到。的相交路径的对数，证明：甲从点4 到 8,乙从点C 到力相交路径的对数等于甲从点A 到力，乙从点C 到 8 相交路径的对数，事实上，对于甲从点A 到 8,乙从点C 到 8 的每一组相交路径，他们至少有一个交点，如 图 1,设从左到右，从小到上的第一个交点为尸，如图2,实线路径表示甲从A到B的路径，虚线路径表示乙从点C到D的路径，将P点以后的实绩路径改为虚线，虚线路径改为实线，就得到一组甲从点A到D,乙从点C到B的相交路径，如图3,反之，对于甲从点A到4，乙从点C到8的任意一组相交路径，也都可能用同样的方法将之变换成甲从点A到8，乙从点C到D的一组相交路径,即这两者之间的相交路径是一一对应的，甲从点A到D,乙从点C到B的任意一组路径都是相交路径，甲、乙行走的没有公共点的有4900-3150=1750种方法，甲、乙的行走路线没有公共点的概率为4900 14故选：C.本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是难题.二.填 空 题（共3小题）3.（2021秋长宁区期末）某古典概型的样本空间。=mb,c,d,事件A=，b,则P（A）=.【分析】直接利用古典概型的概率公式求解即可.【解答】解：,某古典概型的样本空间。=a,b,c,d ,事件A=m b,则 P（A）=典=2=_1,n 4 2故答案为：1.2【点评】本题考查了古典概型的概率求法，是基础题.4.（2021秋黄浦区校级月考）一颗标有数字1 6的骰子连续掷两次，朝上的点数依次记为、b,使得复数（。+从）（h-4ai）为实数的概率是.【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有6 X 6种结果，满足条件的事件是使复数（a+bi）（-4出）为实数，进行复数的乘法运算，得到h=2 a的结果，列举出所有情况，得到概率.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有6 X 6=3 6 种结果，满足条件的事件是使复数(a+bi)(h-4ai)为实数，/(a+bi)(b-4ai)5ab-(4 a2-b2)i,要使的这是一个实数，有 4 次-后=0,.,.4a2b2,：.b=2a,有“=1,b=2；a=2,b=4；a=3,b=6,共有3种结果，由古典概型得到P=_=_ L,3 6 1 2故答案为：一12【点评】本题考查古典概型的概率公式，考查复数的基本概念和复数的乘法运算，考查利用列举法来做出事件数，本题是一个基础题，注意对复数部分的考查.5.(2 0 2 1 秋黄浦区校级月考)假设抛质地均匀的硬币时只有正面向上或反面向上两种情况，甲、乙各抛掷若干枚硬币，甲抛掷的硬币总数恰好比乙少一枚，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是.【分析】假设甲抛掷的硬币总数为“(6 N”)枚，则乙抛掷的硬币总数为”+1 枚，设甲得到的正面数为k,则 0W&W1且 依 N,利用独立重复试验的概率公式结合二项式定理可求得结果.【解答】解：假设甲抛掷的硬币总数为(，N )枚，则乙抛掷的硬币总数为”+1 枚，设甲得到的正面数为h 则 0 W Z W”且 A W N,此时，甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率为(工)(C0+Cl+C2+.+ck)Ck+l.(l)+1,2 n n+1 211n因此，所求概率为p=(A)(Un+ly(c+c1+c2+-+ck)cktbN N k=0n因为 2 工(C+C1+C2+.,+Ck)ck+lJ nz vn+lk=0n-1-”y+c：+c “+c.喘+y+c：+$+喘 r)c*+(喘+c*)k=0 c 0+c1+c2+*+cn)n n n n.=m y+c：+舟+c c储+(C料+宵2+噌3+喘)端 +(喙 产 喘)c：+c：+c +喟n-1=3或+4+c +喈 c猾+（4+1+c*）（c：+c：+c“+喈K=1n+1=2 hZ 3C n+1=2 R喙|+，3+嗑+嘲)=2n 2w+1 =22+1,n *心 喘 3,11nn 2n.所求概率为2=()()n+y(CO fl r2 rk)rk+l=_2_=工2 2M%+%+%+%Ln+1 22nH 2故答案为：1.2【点评】本题考查独立重复试验概率的求解，在正面求解较为复杂时，本题充分利用对二项式系数的对称性，结合二项式定理进行求解，是难题.