2022-2023学年高三文科数学上学期第一次月考试卷（B卷）含答案与解析.pdf

2022-2023学年高三上学期第一次月考试卷数学(文科)(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.本试卷分第I卷(选 择 题)和 第H卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第U卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.测试范围：高中全部知识5.考试结束后，将木试卷和答题卡并交回。第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合4=M-2 XK1,5=若4|J4=X|-2xS3,()A.x|-2 x 0 B.X|OA1 C.x|l x 3 D.x|-2 x 3 2.已知i为虚数单位，若复数z=(l-i)i,W为z的共视复数，则 生=()A.-+-i B.-i C.-+-i D.-i2 2 2 2 2 2 2 23.设 向 量G是互相垂宜的单位向量，则 与 向 量 垂 直 的 一 个 单 位 向 量 是()A.a+b B.C.*(叫 D.4.在平面直角坐标系中，角。的终边过点(-3,1),角/?的终边与角a的终 边 关 于 直 线x对称，则c o s(/7-a)=()!/I/22-+-a-45.已知0.3010 怆2 0，S4m 4 0,则S“取最小时，=()A.4045 B.4044 C.2023 D.20227.敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调杳方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A;若抽到红球，则回答问题B,且罐中只有白球和红球.问题A：你的生日是否在7月1日之前？(本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为问题8：你是否在大型考试中有过抄袭？已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是“，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是()(四舍五入精确到0.01)A.0.06C.0.088.已知函数/(x)=x2+2A+1,X 0B.0.07D.0.09若关于X的不等式/(幻+1之&v+D恒成立,则。的取值范围是()B.(-co,-2 kJ 1(),-D.l-2,0 u l-,+co9.设AABC的内角A、B、C的对边分别是4、。、c,若!+!-!=.,则“ABC的形状是()a b c a+b-cA.等边三角形B.C为直角的直角三角形C.C为顶角的等腰三角形D.4为顶角的等腰三角形或8为顶角的等腰三角形1 0.若直线/：与圆。：/+/-4工-2丁-4=0交于人，B两点,则 当 周 长 最 小 时，k=()A.-B.-g C.1 D.-11 1.已知双曲线C：4-4=0,6 0)的左、右焦点分别为F,、F,过F,的直线 与C的两条渐a*b近线分别交于A,8两 点.若 质=4，质 0=(),则C的离心率为()A.2 B.x/5 C.V5+I D./5+112.若不等式。2-*-2-3.0对 11恒成立，其中，。0，则一的最大值为()mA._ 岭 B._LN3E C.In3e D.的22第n卷二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列 q 的通项公式为%=+号，从第 项起各项均大于10.14.记函数/(x)=c o s(s+w)(3 0,0 *0)的焦点F作两条互相垂宜的弦AB、C D,若.AC尸与8 D F面积之和的最小值为3 2,则 抛 物 线 的 方 程 为.(1)求P C的长；(2)求点A到平面MBP的距离.1 9.近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调杳了某市2015-2021年的家庭教育支出(单位：万元)，得到如下折线图.(附：年份代码17分别对应2015 2021年).经计算得 工=2 5 9,/=1178,=2.6 5,日 回-讨=27,“）（工-3）=126.f=li=l|=|i=l三、解答题：共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共60分.1 7.已知公差为d的等差数列 4 和公比4 0的等比数列 4 中，=4=1 M+4=3,6+4=2.敖行支出占家庭总支出的比例J，(仃分比)(1)用一元线性回归模型拟合y 与/的关系，求出相关系数(精确到0.0 1),并说明)，与，相关性的强弱；(2)建立y 关于，的回归直线方程；(3)若 2 0 2 3 年该市某家庭总支出为1 0 万元，预测20 23 年该家庭的教育支出.功泊限制附：相关系数=一“=相关系数时，认为y 与，是高度相关的，即相关性很悌-喀，厂 历强.在回归直线方程v =+a中，=；,；，S =y-%t.融可(-)选考题：共 1 0 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修44：坐标系与参数方程(1 0 分)f.v =3 +4/在直角坐标系x O x 中，直线/的参数方程为，1 为参数).以坐标原点为极点，2轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为+2 p c o s 8 =0 .(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；-.a+b b+c c+a 220 .已知函数/(x)=a s in x+b co s x+a,且./+=(1)若a =l，且/(x)在 R上单调递增，求 c 的取值范围若/(刈图像上存在两条互相垂直的切线，求a+b+c 的最大值21 .已知点3是圆C:(x iy+y2=i6 上的任意一点，点 尸(_ ,0),线段8 尸的垂直平分线交8C于点P.(1)求动点尸的轨迹E 的方程；(2)设曲线E 与x 轴的两个交点分别为4,人，。为直线尸4上的动点，且。不在x 轴上，与 E 的另一个 交 点 为。必与 的另一 个 交 点 为 乂 证 明：AW N 的周长为定值.文科数学全解全析123456789101112BBCBBDCCDCAA6.【答案】D【分析】由已知，利用等差数列前项和公式及其性质得小皿。，&H2+%）2 3 0,儿阳。，O1.【答案】B【分析】根据题意，由A U 8=x|-2 v x 3 求出。的值，进 一 步 求 出 得 答 案.【详解】因为A=X _ 2 xW l,5=x|0 A-fl,并且AU8=X|-2V XW3,所以。=3,所以A n8=x|0 o,40 44（“；+刖）=2022（喙+峻），a2 0 2 2 +/2 3 0，公差d 0,则当=2022时S,最小.号故选：D：7.【答案】C：【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题4 8的人数，从而可机别计算出回答问题4 8的人中答“是”的人数以及比例.心【详解】从袋子中随机抽一个球，抽到红球的概率为 人 看=:：抽到白球的概率为右一方=（,所以回答问题A的人数是1583x:=633.2633（人），添回答问题8的 人 数 是1583x：=949.8x950（人）.：回答问题A的人中答“是”的 人 数 是6 3 3 xl=316.5317,；所以回答问题8的人中答“是”的 人 数 是389-317=72,j72:所以估计该校该年级学生有过抄袭的比例为 嬴=0.075789。0.08.（四舍五入精确至IJ 0.01）.:故选：C.：8.【答案】Ci【分析】构造函数g（x）=f（x）+l,由题可知直线y=a（、+1）要在函数丫=8 3的图象的下面，利 用 数 形 结 字 扁.游二国4.【答案】B【分析】得到点P关于y=x的对称点，即可求得Sin/?,c o s/7,再结合余弦的和差角公式即可得到结果.【详解】由题意得角夕的终边过点（L 3）,所以sina=*,c o s a =-噜,sin6=-噜，cos4=噜，【详解】V/（A）=设 g(x)=/。)+1 =x2+2.x+l,x 0 x2+2x+2,x0|2t-l-2|+l,.v0,则g(x)2 a*+l)恒成立,O35故 cos(#一 a)=cos，cosa+sin?sina故选:B.作出函数y=g（X）与y=a（X+D的大致图象,由 产a*+1）可知过定点A（T 0）,则过4（7.0）的直线要在函数.y=g（、）的图象的下面,5.【答案】B【分析】根据3+lg 2 lg 2 0 2 2 lllg 2结合换底公式,代入计算即可.【详解】V 2000 2022 2048,A 1g2000 1g2022 1g2048,A 3+lg2 lg2022 1 llg 2,.卷管，口 小詈 5 5故选：B.21g2 Ig4 2 lg4O由图象可知当y=a(x+)与 y =g(x)相切与C 点时为一个临界值，4 巴_ v =a(x+l)代入 y =F+2 x +2,可得F+(2-a)x+2-a=0,由 A=(2-a y -4(2-a)=0,可得 a =-2 或a =2(舍去)，当过4(-1,0)的直线经过8 时为另一个临界值，此时=忘生=5，所以a w 卜2.：.故选：C.9.【答案】D【分析】将式子去分母整理即可得到(。+取。-八。)=0,即可判断:所以直线/恒过定点。(1,2),H Jl2+22-4 xl-2x4-4 =-l l 0所以点。在圆内，由圆的性质可得当CO _ L/时，|A 8|最小，AA B C 周长最小，又C(21),D(l,2)所以&m=T，此时左=1 .故选：C.1 1.【答案】A【分析】已知条件得O A _ L 1 8、。再=O 6 =c 及 直 线 为 y =W(x+c),联立直线左8 与渐近线方程求区坐标，根据b得=3,最后及离心率计算公式即可得出结果.【详解】如下图示，因 为 品=而，耶币=0,O是 6鸟中点,/.bc(a+b-c)+ac(a+b-c)-aba+b-c)=abc,即 abc+trc-bc1+a2c+abc-ac2-a2b-alr+abc-abc=0,合并得：c-bc2+a2c-ac2-a2b-ab2+2abc=0，(a2h-a2c)+(-abc+ac2)+(ab2-abc)+(-bc+be2)=0,a2(h-c)-ac(b-c)+ah(b-c)-bc(b-c)=0 ,(a2-ac+ab-bc)(b-c)=0 ,(-c)+b(a-c)(/?-c)=0 ,/.(a+b)(a-c)(b-c)=0,=仁或6 =0,所以AA B C 为以A为顶角的等腰三角形或6为顶角的等腰三角形；故选：D.1 0.【答案】C【分析】由直线方程可得直线/恒过定点。(1，2),由圆的几何性质可得当。_ L/时，回周长最小，由此可求k 的值.【详解】直线/：去一什2 T=0 的方程可化为y 2=A(.L1)所以 A 是 8 中 点 且 鸟 8,则。4 J.R 8,O Ft=O B =c,因54=为 直 线 是 双 曲 线1 的渐近线,所以即八=一2,3直 线 的 方 程 为 y =*.r +c),a b b 不 (R 阪、/a2b2c2，联立，解得8 卢y,产,则1 0 例-=市+市 一 不 整 理 得 从=城，_&r b (r b-a)(ft-a)(Z r r)a因 为/一/=从，所以加2=2,e =2.故选：Aa1 2【答案】A【分析】先求导，研究函数的单调性，根据参数不同的取值，分类讨论，求得函数的最小值，再利用分离参数，构造新函数，求最值，可得答案.【详解】令x)=e i-L L 2 一 3,求导得r(x)=ei-?，当机 0时，令r(H =0,解得x=l n?+l,可列下表:XInw+I(In/7Z+l,+oo)r(x)-0+/(8)z极小值/则/(Hm m =f(l n，+l)=2_?(l n i+l)_ 2n _ 3?O,所以最小正周期7 =,因为“r b c o s H二-+q=c o s(27 r +O)=8 s 3=又0 0 兀，所以=今，即f(x)=c o s(s +J又工=1为f(x)的零点，所以=W +解得3 =3+9攵/e Z,9 9 6 2因为 0,所以当女=0时练加=3 ；故答案为：3可得二 一 1|”一-m 2 2m令g(x)=-fn，-，求导得g，(x)=1 3 _ 3-m2m+2m2 2m21 5.【答案】用【分析】连接3G，得VA8G，以48所在直线为轴，将V/1 3 G所在平面旋转到平面A 8 4 A，设点G的新位连接AU,再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC即可.令g=0,可得用=3,可得下表【详解】连接8G，得VA8G，以A3所在直线为轴，将V A B G所在平面旋转到平面A B 4 A，X(0.3)3(3,+x)g (x)+0-g(x)/极大值/则 g(叽X =g =-n 3-白，则 之 一；l n3 e,故选：A.二、填空题1 3.【答案】9【分析】令+310,解不等式求得”的范围，结合c N可得结论.n【详解】令+3 1 0，即2-1 0 +1 6 0,解得：”8,n又wN 二 从第9项起，各项均大于1 0.故答案为：9.1 4.【答案】3【分析】首先表示出T,根据T)=乎 求 出。，再根据*=5为函数的零点，即可求出”的取值，从而得解:【详解】解：因为/(x)=co s(6yx+0),(0 0g)o,得 p =4,因此，抛物线的方程为V=8*.故答案为：y2=8x.1 7.【答案】&=也=(一1 产p)5x 3W 3 5-6【分析】(1)由题意，列出关于公差 与公比9 的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；(2)由(1)可得霖=3 ,然后分 =2M&WN)和=2 I(WN”)进行讨论，利用分组求和法及等比数列的前项和公式即可求解.(1)由题意，+整理得2 g?-g-3 =0,解得夕=或夕=一1,因为公比夕/7x270.88,|0.88|0.8,)，与，高度相关，即y与f的相关性很强.(2).”)(.一)1 2 6根据题意，得力=-=-=4.5,2 8i=l?S9Jd4.5x4=-18=197 7 关于，的回归直线方程为y=4.5/+19.(3)2023年对应的年份代码，=9,当1=9时，)，=4.5x9+19=59.5，故预测2023年该家庭的教育支出为10 x59.5%=5.95(万元).2 0.【答案】cl,+co)加【分析】(1)/(“在R上单调递增即其导函数在R上大于等于0恒成立；(2)若外 村 图像上存在两条互相垂直的切线即存在“起使/()/(%)=，由此可得结论.(1)由题意知力=0,则/(x)=sinx+以，得/(x)=cosx+cN0恒成立，即cN-cosx恒成立，即有 C C 1,-KO).(2)Eha2+b2=1 a=sine,h=cos。，由 f(x)=asinx+bcosx+cx,得 f(x)=a cos x-bsin x+c=sin，cos x-cos，sin x+c=sin(。-x)+c,所以 c T”(x)Wc+l由题意可知，若/(x)图像上存在两条互相垂直的切线，只需要c-l 0且|c-l|c+l|=p-l|l,B P c2 所以/w o,c=0,a+c=a+=sin+cose=V sin(e+()W 及,所以a+b+c的最大值为应.21.【答案】(1)工+4=1证明见解析【分析】(1)根据垂直平分线的性质，可知尸 尸+PC为定值，可知动点轨迹为椭圆；(2)分别设出。、M、N的坐标，联立方程，解出M、N的坐标，并求出直线MN的方程，利用其经过右:可证得周长为定值.(I)因为点P在8 垂直平分线上，所以有PF=PB,所以：P F +P C=P B+P C =B C =r=4,即 PF+PC为定值 42,所以轨迹七为椭圆，且。=2,。=1,所以从=3,所以轨迹E的方程为：兰+f=1.4 3(2)由题知：4(一2,0)，4(2,0),设。(4,M(A y j,N(X2,y2)则 3,=%=/所 以。4方程为：y=(x+2),。2方程为：y=：(x 2),则圆心A到直线/的距离4=里=43,5所以/与圆A相离，且1PA连接A Q,A P,在R/AAPQ中，|PQ|HPA 一|AQF“2-32=7,所以，|P 0 t J 7,即|尸。|的最小值为a.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题23.【答案】(1)具体见解析；(2)具体见解析.【分析】(1)将左边化为a+b+c=；(a+b)+e +c)+e +c),进而利用基本不等式证明问题;(2)根据条件得到(a+b)+(+c)+(c+a)=6,进而左边化为=1(+彷+(+c)+(c+a)(a+-)+(+c)+(c+a)(。+-)+(人。)+化+。),进_ 步得到6 a+b b+c c+a1 (.h+c a+b c+a a+h c+a b+c=3+-+-+-+-+-+-61 a+b b+c a+b c+a b+c c+a,然后用基本不等式证明问题.当勺州存在，即产工9,即，工 3时，&例=记 至即：丁 =一&+言=一 品(工 一1)，所以直线过定点(1，)，即过椭圆的右焦点a,所以ABW/V的周长为4折8.当%N不存在，即产=9,即=3时，可以计算出玉=占=1，周长也等于8.所以的周长为定值8.(1)因为已知 a,b,c 都是正数，所以，左边=；(a+b)+(b+c)+(a+2 y+2辰+,当且仅当。=0=c时取即 a+0+c 2 ub+bc+fac 成(2)因为已知 a,b,c都是正数，a+c =3,所以(a+)+(+c)+(c+a)=6,则左边(a+b)+(1+c)+(c+。)(a+b)+(+c)+(c+a)(4+)+(1+c)+(c+a)6 a+b b+c c+a1 f _ b+c a+b c+a a+b c+a b+c=-3+-+-+-+-+-+-a+b b+c a+b c+a b+c c+a2 2【答案】(1)3A-4V-17=0,(x+l)2+y2=9-(2)见解析【分析】(1)消去I,得直线/的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C的直角坐标方程；(2)判断，与圆A相离，连接A Q.A P,在R/AAPQ中，|P QF=|P4|2一|AQ N 4 J 3 2=7,即可求解 x=3+4/【详解】(1)将/的参数方程.0(，为参数)消去参数，得3x-今-17=0.y=-2+3tx=pcosO、因为i f3+2 1(E+2E E 1 E+,/E J l6 a+h b+c、a+b c+a b+c c+a)32当且仅当b+c _ a+ba+b b+c上=in =b=c=l 时取“=”.a+b c+ac+a _ b+cb+c c+a_ L+_ L+J _/即 a+b b+c c+a 2 成立.