2022-2023学年高二上学期9月入学考试数学试题（答案解析）.pdf

洋湖实高2022-2023学年高二上学期9 月入学考试数 学 答 案 解 析总分：150分 时量：120分钟一、选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1.设集合 A=X|X2-2%,0 ,8=-1,0,1,2,3 ,则()A.-1 B.-1,0)C.0,1 D.0,1,2)【分析】先解一元二次不等式求出A,再利用交集运算求解即可.【解析】解：A=x|x2-2遥a =x|0_x?2,B=1,0,1,2,3,.A n =l，1,2.故选：D.2.如图，在平行四边形ABCD中，E 是 BC的中点，AE=3 A F,则 丽=()3 3 3 3 3 61 .3 .D.-A B-A D3 4【分析】利用三角形法则即可求解.【解析】解：在平行四边形中，由已知可得：DF=A F-A D =-A E-A D =-(A B +-B C)-A D3 3 21_ _.1.1.5-A B+-A D-A D=-A B 一一A D,3 6 3 6故选：C.3.己知(l-2 i =4-3 i,贝 U z=()A.10+/B.2+i C.2-i【分析】根据复数的运算性质求出Z,再求出z 即可.【解析】解：.(l-2i)z=4-3z,_ 4-3z(4-3z)(l+2z)4+5z+6 10+5/n.一 -1-2/-(1-20(1+2/)-1 +4-5-D.2+5;z=2-i,故选：c.4.命 题“对任意实数xw U，3 ,关于x 的 不 等 式 。恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()A.9 B.a.8 C.a.9 D.a.1()【分析】求出命题“对 任 意 实 数,3 ,关于x 的 不 等 式 恒 成 立”为真命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案.【解析】解：命题“对 任 意 实 数,3 ,关于x 的不等式V-a,0 恒成立 o “.9”故命题“对任意实数xe l ,3 ,关于x 的 不 等 式 产-%0 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a.8,故选：B.【解析】解:函 数 f(x)=(4*-4 T)/|x|的定义域为x|xwO,f(-x)=(4-*-4 )/|-x|=一 (4 -4-x)ln x|=-f(x),可得/(x)为奇函数，其图像关于原点对称，可排除选项C、O;/(x)的零点为0，1,/(|)0,可排除选项8.故选：A.6.已知 a =l og 3 2,b=7 0 1 c=l og9 5 x l og5 3,贝()A.c b a B.c a b C.b c a D.a c l,0=组喀啕原a =l og32 l,2 1 g3 lg5 2 5 3 夕所以c a -4 5。的顶点都在球O的球面上，底面A A B C为等边三角形，且其所在圆。的面积为64，设圆。的半径不，则/，=6万，r=瓜,设A A B C的边长为“，则等边A A B C的 高（中线）为 正a ,2.重心分中线之比为2:1 ,a=-瓜,a=3 /2 ,2 2三棱锥D-A B C的体积的最大值为9道，设棱锥的高为 H,-X x 1（3 7 2 ）2X/7=95/3,H =6,3 4外接球的半径为火，可得R 2=（6-R）2+（#）2,解得R =Z.2故选：C.8.分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件M=“至少有2枚正面朝上”，则与事件用相互独立的是（）A.3枚硬币都正面朝上 B.有正面朝上的，也有反面朝上的C.恰好有1枚反面朝上 D.至多有2枚正面朝上【分析】根据相互独立事件的定义判断即可.【解析】解：分别抛掷3枚质地均匀的硬币，可能出现记过的样本空间为：Q =（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）,共8个样本点，事件M=至少有2枚正面朝上”，则M=（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）,共4个样本点，4 I则 P（M）=-=-,8 2设 人=3枚硬币都正面朝上，则A =（正，正，正）,：.P（A）=L P（A M）=-,P（A M）P（A）P（M）,A错误；8 8设8=有正面朝上的，也有反面朝上的，则8 =（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正）=-.尸（8）=9 =3,P（B M）=3,8 2 8 4 8;.P（B M）=P（M）P（B）,事件3与M相互独立，8正确；设。=恰 好 有1枚反面朝上“，则C =（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），3 3P(C)=-,P(CM)=-,P(CM)*P(C)P(M),c 错误；8 8设。二“至多有2 枚正面朝上“，则。=(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反),(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反),7 3P(D)=，P(DM)=,P(D M-P (D)P(M),。错误.8 8故选：B.二、选择题(本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分)9.若。、6、c 为实数，则下列命题不正确的是()A.若 a b,5 1 0 ac2 be1 B.若 a 6 0,贝！Ja?。力C.若 a b 0,贝D.若 a 6 0,贝!a b a b【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.【解析】解：对于A,令 c=0,则 4 2=反2,故A 错误，对于 8,-a b 0 ,a b-b2=ba-/?)0,/.a2 ab IT,故 8 正确,对于C,.av b v O,.h-a Of ab。,l _ l=z o(即L ,，故 c 错误，a b ab a b对于。，令 a=2,b=-l,满足a 6 0,但故。错误.a b故选：ACD.1 0.已知平面向量向量5=(1,-2),b=(4,y),则下列说法正确的是()A.若M/6,则 y=-8B.若则M在商+5 方向上的投影向量是(1,0)C.。与1+B 的夹角为锐角，则 y 的取值范围为(-8,|)D.若4,5 的夹角为120。，则 y=3【分析】A：根据向量共线性质代入求出y 即可；根据向量垂直性质代入求出y,再由投影向量的定义即可求出答案；C：表示出夹角表达式，根据锐角所满足条件即可求出y 范围；D：表示出向量夹角，求得y*3,即可判断.【解析】解：A：若,则lx y +2x4=0,解得丁 =一 8,故 A 正确；B：若&上弓,则 1x4 2y=0,解得y=2,所以方=(4,2),则5+5=(5,0),所以之在G+5方向上的投影是由（+/=*=1,则a在 方 向 上 的 投 影 向 量 为（1,0）,a+b|5故B正确;C：设与1 +5的夹角为e,则co s 6 =-）y _ 2）_e（0,i）,解得y 2C错误；D:cos=4/2).=,解得*3,故 )错误.7 5-7 1 6+/2故选：AB.1 1.从甲袋中摸出一个红球的概率是1,3一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为！6C.至少有1个红球的概率为36从乙袋中摸出一个红球的概率是L ,从两袋各摸出2B.2个球中恰有1个红球的概率为工2D.2个球不都是红球的概率为13【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解.【解析】解：2个球都是红球的概率为3 2 6故选项A正确；2个球中恰有1个红球的概率为gx（l-g）+（l-g）x；=g ,故选项3正确；2个球都不是红球的概率为（1-K。-贝7故至少有1个红球的概率为士，3故选项C错误；2个球不都是红球的概率为1-1 =-,6 6故选项。错误；故选：AB.1 2.如图，在棱长为2的正方体A B C。-AS G R中，E,F分别为棱BiG ,8隹的中点,G为面对角线4。上的一个动点，则（)A.三棱锥用-E F G 的体积为定值B.线段A Q 上存在点G,使 AC _L平面“6C.线 段 上 存 在 点 G,使平面EFG平面ACRD.设直线EG与平面AOQA所成角为。，则sin。的 最 大 值 为 华【分析】根据三棱锥的体积公式，线面垂直判定定理，面面平行的性质定理，线面角的定义即可求解.【解析】解：易得平面平面8 C C 4,所以G 到平面8CG耳的距离为定值，又S遇收为定值，所以三棱锥G-片 防 即三棱锥用-E F G 的体积为定值，选项正确；易证A C,平 面 BG。，当 G 为线段A。上靠近。的四等分点时，可证平面。肝 平面BC、D,所以A C，平面及6,二3 选项正确；设 平 面 与 平 面 EFG相交于G N,平面与平面AC。相交于CM,若平面ER G/平面ACR,则 C 0/G/V,则G 必在D4,的延长线上，；.C 选项错误;因为尸到平面AQRA的距离为定值2,所以s i n*三，F G在 AFQ 中，人 尸=石，4。=2&，D F =3,贝 iJcosND4,F=，所以FG的最小值为AFsin/DAF=爰，所以sin0的 最 大 值 为 乎.二。正确.故选：ABD.三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.函 数/(x)=sin(s+e)的 部 分 图 象 如 图 所 示，则/(x)的 单 调 递 增 区 间 为4,5万 4,71 K7T-,左 +3 12 3 4心,攵 Z【分析】由周期求出0,由五点法作图求出9的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论.【解析】解：根据函数/。)=如(5 +9)的部分图象，可得3 7 =上4 125477n,3a)=2令3 X再根据五点法作图，可得2718,_.万/3 兀，一,71Z.K7T-W-X H-2KZ T H-2 2 82,k e Z,3 71/(x)=sin|-x+-2 8解得34,5 乃 4,7Vk兀-x b c,n w N*,且一-+匚 /一 恒 成立，则的最大值为4.a-b b-c a-c【分 析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于a-c=a-b+b-c,凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求出最小值.【解析】解：一匚+L.一恒成立a-b b-c a-c即心幺三十七 恒成立a-b b-c只 要 /伫+最小值a-b b-c)a-c a-c a-b+b-c a-b+b-c-1-=-F-a-b b-c a-b b-cb-ca-b=2 +a-b+-b-c*abcci b 0,h c 0b-c a-b-+-.2a-b b-cb-c a-b-=2a-b b-c/伫+伫 ）最小值为4故答案为4.1 5.根据气象学上的标准，连 续 5天的日平均气温低于1 0 C即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本、,依次计算得到结果如下：平均数元4；平均数元4 且极差小于或等于3；平均数元4 且标准差s,4；众数等于5且极差小于或等于4.则 4组样本中一定符合入冬指标的共有一一.（填序号）【分析】举反例判断；采用反证法判断；利用众数、极差的定义判断.【解析】解：对于，举反例：0,0,0,4,1 1,其平均数元=3 4,但不符合题意，故错误；对于，假设有数据大于或等于1 0,由极差小于或等于3,得到此数据中最小值为1 0-3 =7,此时数据的平均数必然大于7,与元4 矛盾，故假设错误，.此组数据全部小于1 0,符合题意，故正确；对于，举反例：1,1,I,1,1 1,平均数T =3 4,且标准差s =4,但不符合入冬指标，故错误；对于，.众数为5,极差小于等于4,最大数不超过9,故正确.1 6.某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P （如图所示），其中A 3,AC为两条公路，Z B A C =U0,M .N 为公路上的两个景点，测得AM =2 切J,A N =lkm,为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台尸，为了获得最佳观景效果，要 求 P对 M,N 的视角Z M P N =60.现需要从观景台P到 ，N 建造两条观光路线P M,PN ,且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方造价为1 0 0 元，则该景区预算需投入_ 2 6 5 _万元可完成改造.（近 3 2.6 5）【分 析】在 A4MV中，利 用 余 弦 定 理 可 以 求 得 M N 的 值；由,得到APMN=120-a,利用正弦定理求出PM+PW即可，再结合c 范围，即可求出PM+PN 长的最大值，再计算造价即可.【解析】解：在 A/VWN中，由余弦定理得MN-=AM1+AN2-2 AM-cos 120=7,解得MN=5（千米）;设 ZMNP=a,ZMPN=60,ZPMN=2 0-a ,在 APMN中，由正弦定理，得 一 PMPNsin Z.MPN sin a sin(120-a)2A/21 2V21sincr,PN=-!sin AMNP sin 600 3 3 3叩 DM 2721.2后.、2x/21z.75/.PM+PN=-sin a-sin(l 20-a)=-(sin a+3 3 3 2/o i=2币(sin a +cos a)=2币 sin(a+30)2 2sin(120-a),cosc+gsina)又因为 tz e(0,120),所以 sin(a+30)e(-,IJ所以 PM+P N eU i,2币 1，即观光线路PM+P N 长的最大为2币.预算为：277x103 x 5*100 2 6 5 万元四、解 答 题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 7.（本小题满分10分）已知圆柱高为4,母线与侧面展开图的对角线成6 0 角，求该圆柱的体积.【解析】设圆柱高为心底面半径为厂，底面圆的周长/=2万r,展开图的对角线长为，尸+丸2h cos 60。=/V/2+/rh,即，=-2+/化简得：32=/2 =4.3x42=4 x 乃 2 义户解得：n5/,1 2,4 8N-n-r -rt=x x4=,n 7t(cm)18.(本小题满分12分)在AABC中，角A,B,C 的对边分别为a,6,c,S.bcosA+a=c.2(1)求 B 的大小；(2)若 c=G，a+b=2,求 AA8c 的面积.【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简己知等式可得且sinA=sinAcos3,结合2sinA w O,可求cosB=X-,结合范围8 e(O,z r),可求3 的值.2(2)由余弦定理可得/从+3=3”，结合4+6=2,解得a=b=l,利用三角形的面积公式即可计算得解.【解析】解：(1),.bcosA+-a =c,2巧由正弦定理可得sin8cosA+sin A=sin C,2又 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos AsinB,V3.sin A=sin Acos B,2 sinAwO,百cos B=f2 8(0,万),6(2)c=&,6由余弦定理可得cos8=g =,整 理 可 得/_ 加+3=3。，2 x a x/3 2又a+8=2,解得a=b=l,=L e s i n B =x l x V3221 V3x =2 41 9.(本小题满分1 2 分)已知函数/(x)=2 s i n X s i nx+c o sx).(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)若/4)=g ,求 s i n 2 a 的值.【分析】(1)由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得/(x)=V2 s i n(2 x-)+l,根4据正弦函数的性质即可求解.(2)由已知可得s i n(a-&)=YZ,进而利用二倍角公式以及诱导公式即可求解.4 4【解析】解:(1)由题意得/(x)=2 s i n x(s i n x +c o s x)=s i n 2 x c o s 2 x +l=V2 s i n(2 x-)+1 ,4可得/(X)的最小正周期为T =夸=,所以当X =版-工(Z)时，/(X)有最小值-&+1 .8(2)由/弓)=g,可 得 亚 s i n(a-?)+l =1 ,可得 s i n(a -)=，4 4所以 c o s(2 a 一 9=1 -2 s i n?(2 -,4 3所以 s i n 2 a=c o s(2 a-)=.2 42 0.(本小题满分1 2 分)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月 2 3 日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 1 0 0 位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.(1)求(2)根据频率分布直方图，估计这1 0 0 位年轻人每天阅读时间的平均数元(单位：分钟);(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 50,60),60,70)和 8 0,9 0)的年轻人中抽取5 人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1 人每天阅读时间位于 8 0，9 0)的概率.【分析】(1)由所有小长方形面积之和=1,列方程求解a ;(2)根据频率分布直方图中平均数计算公式进行运算；(3)列举符合条件的基本事件，用古典概型概率公式进行运算.【解析】解：(1)根据频率分布直方图得:(0.0 0 5+0.0 1 +2 a+0.0 4 5)x 1 0 =1,解得 a =0.0 2 0,(2)根据频率分布直方图得：平均数 x =(55x 0.0 1 +65 x 0.0 2 +75x 0.0 4 5+8 5x 0.0 2+9 5 x 0.0 0 5)x l 0 =74,(3)由于 50 ,60),60,70)和 8 0 ,9 0)的频率之比为：1:2:2,故抽取的5 人中 50 ,60),60 ,70)和 8 0 ,9 0)分别为：1 人，2人，2人，记 50,60)的 1 人为 a,60 ,70)的 2 人为 6,c,8 0,9 0)的 2 人为 A ,B,故随机抽取 2 人共有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(h,A),(b,B),(c,A),(A,3)1 0 种结果，其中至少有1 人每天阅读时间位于 8 0 ,9 0)的包含7 种，7故概率p=.1 02 1.(本小题满分1 2 分)如图，P O是三棱锥PA B C 的高，PA=PB,A B L A C,E为 PB的中点.(1)证明：O E/平面R 4 C；(2)若 N A B O =N C B O =3 0。，P O =3 ,PA=5,求二面角 的正弦值.【分析】(1)连接。4,OB,可证得。4 =03,延长BO交 AC于点F,可证得O E/P F,由此得证；(2)建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面A C E 及平面A 3 E 的法向量，利用向量的夹角公式得解.【解析】解：(1)证明：连接0 4,OB,依题意，O P _ L 平面A B C,又。4 u 平面 A B C,0 8 u 平面 MC,则 O P Y O B,:.ZPOA=ZPOB=90,又 PA=PB,O P=O P,则馍。！三 0 3,:.OA=OB,延长8 0交A C于点F,又A B _ L A C,则在RtAABF中，O为M中点，连接PF,在APB尸中，O,E分别为BF,8 P的中点，则O E/P E,rOEct 平面 PAC,P F u 平面 P4C,.O E/平面 R4C；(2)过点A作A M/O P,以A 3,AC,A M分别为x轴，)，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 PO=3,PA=5,由(1)知 04=03=4,又 ZA8O=NC8O=30。，则 48=4后，P(26,2,3),8(4G,0,0),A(0,0,0),E(3G,1,|),又 AC=ABlan600=1 2,即 C(0,12,0),设平面AEB的一个法向量为ri=(x,y,z)，又 区 月=(46,0,0),A后=(3,1,1),则n-AB=4/3x=0 一 广 3 则可取”=(0,3,-2),h-AE=3j3x+y+z=0设平面 AEC 的一个法向量为用=(。也 c),X AC=(0,12,0),AE=(373,1,-),2m-AC=12b=0m AE=3Z3tz+/?+c=02，则可取取=(-G,O,6),设锐二面角 C AEB 的平面角为。，则 cos。H cos=q-1=,|制利 13sin0yl-cos20=,即二面角 C AE8正弦值为U.13 132 2.(本小题满分12分)已知定义在R上的偶函数/(x)和奇函数g(x),且f(x)+g(x)=e.(1)求函数f(x),g(x)的解析式；g(x )(2)设函数尸(x)=-3 +1，记”()=尸(1)+尸(2)+尸()+.+F(仁3(n e N*,A x-；).2).探 究 是 否 存 在 正 整 数 使 得 对 任 意 的 xe(O,1,不等式g(2x)H仔)g(x)恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数 的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据已知中定义在R 上的偶函数/(X)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e,根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于“X)、g(x)的另一个方程：f(-x)+g(-x)=eT,解方程组即可得到f(x),g(x)的解析式.,1、g(x)1(2)先判断出函数尸(x)=-+1的图象关于点0，1)成中心对称，即对任意xeR,F(l-x)+F(x)=2 成 立，即可求出,则 对 任 意 的 xe(O,1,不等式g(2x)，(”).g(x)恒成立，转化为/+e-*+1 恒成立，根据函数单调性即可求出n的取值范围，结合.2,即可求出机的值.【解析】解：(1)/.(X)为定义在R 上的偶函数/(-X)=/(X)又g a)为定义在R上的奇函数g(_x)=_g(x)由 /(x)+g(x)=e*，f(x)+g(-x)=/(x)-g(x)=ex,g(x)=；(e*-ex),/(x)=；(e+ex),(2)易知幽为奇函数，其函数图象关于(0,0)成中心对称,JM/1、pi x )函数F(x)=-J +1的图象关于点(1,1)成中心对称，Y)2即对任意x e R,尸(l-x)+尸(x)=2成立，()=F(-)+F(-)+F(-)+.+,n n n n：.()=尸(匕)+尸()+尸()+.+F(-),n n n n两式相加可得H 一|2 n 2 ti 1 I2()=lF(-)+b()+lF(-)+F()J +F L()+F(-)=2(/7-1)n n n n n nH(n)=/?-1,g(2x)H(*g(，即 e2x-e-2x(n-Y)(ex-e x)，(e*-e-*)(e*+e-x)-(M-l)0 ,/X G (0 ,1 ,.ex-e-xQ,ex+ex+n 恒成立，令，=,/G(1 ,e,则y=!+；+l在(1,e 上单调递增,y l +l +l =3,:.几,3,又已知几.2,.n=2,3.