2022-2023学年高三上学期9月入学考试数学试题（答案解析）.pdf

雅礼实高2022-2023学年高三上学期9 月入学考试数 学 答 案 解 析总分：1 5 0 分 时量：1 2 0 分钟一、选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1 .已知集合 A=x|y =、2-x ,B=y|y=j2-x,则 4口3=()A.0 B.(-o o,2 C.R D.0,2【分析】先化简集合A 即求函数y =的定义域，再求出集合5即求函数丫 =万 工的值域，根据交集的定义求解.【解析】解：由题意知，根据函数的定义域求出集合A=x|%,2 ,根据函数的值域求出集合8 =y|y.0 ,根据交集的定义求出A n8=x 0 W x l,则2 x +的最小值为(x-1)A.4B.2A/2 C.2 /2+2 D.y/2+2【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.【解析】解：因为xl,所以不 一 1 0,则 2 x +-=2(x-l)+L+2.2 也+2 ,X -1 X 1当且仅当2(*-1)=匚，即x =l+立 时 取 等 号，此时取得最小值2 +2 a.x-1 2故选：C.4.已知Z,月分别为随机事件A ,8的对立事件，P(A)0,P(8)0,则下列说法正确 的 是()A.P(4 A)+P)=P(A).+(6)=1,则 A,B 对立C.若A,5独 立,则 叫6=尸 D.若 儿5互 斥,则 小 可+叫 止1【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可.【解析】解：对于A,P(B|A)+尸(一|A)=(A：尸(A而=及 =,故选项A错误；尸(A)P(A)对于8,+P网=1,则A,B可能对立，故选项8错误；对于 C,若 A,3 独立，贝 iJP(AB)=P(A)P(B),则 P(A|3)=且 些=P(A),故选项 CP(B)正确；对于。，若 A,B互斥，则 P(A B)=0 ,所以 P(B A)=P(A|3)=0 ,即 为 +P(用 A)=0故选项。错误.故选：C.5 .中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为()【分析】先确定所有不同的方法数，再求甲乙两人安排在同一个舱内的方法数,从而求概率.【解析】解：安排甲，乙，丙，丁 4名航天员开展实验，共有C 1 A；=1 2种不同的方案，甲乙两人安排在同一个舱内共有A；=2种不同的方案,7 1故甲乙两人安排在同一个舱内的概率为1 2 6故选：A.6 .与图中曲线对应的函数可能是()A.y=|s in x|B.=s in|x|C.y =-|s in x|D.y =-s in|x|【分析】由图象，根据x =工，x =里的函数值即可判断正确选项.2 2【解析】解：由图象可知当x =时，函数值y =-l 0,故排除选项C.故选：D.7.已知正方形ABCD的对角线长为2,EF是它的内切圆的一条弦，点P为正方形4BCD四条边上的一个动点，当弦所 的 长度最大时，屋 而 不 可 能 为（）1 1 2A.0 B.-C.D.一3 2 3【分析】由平面向量数量积运算，结合数量积的坐标运算即可得解.【解析】解：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A音，一务B吟,当,常，务当，设E(也cos。,立sin。)，由弦所 的长度最大时，弦 斯 为 直 径，即F(-c o s 0,-sin0),2 2 2 2设 P(x,y),贝 ij 屋=GcosM-x,sinO-y),PE=(-cos 0-x,-snd-y),则 而 历=/-cos2e+y1-sirrO=x2+y2-,2 2 2当点P在线段 回 上 移 动时，y=夜-J22,则户后，户 0,1,2 2当点P在线段8C上移动时.，x=_ 争/千，则 陌 而当点P在线段CD上移动时,y=-M2则 户当点尸在线段4）上移动时，x=一 也2,4釉今,则P弓 尸 产综上可知：PEPFe0,故选：D.8.若直角坐标平面内A、8两点满足条件：点A、8都在f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则对称点对（A、8）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、B）与（B、A）可看作一个“兄弟点对”）.已知函数小）=加；工，则/的“兄弟点对 的个数为（)A.2 B.3 C.4 D.5【分析】设 P(x,y)(x此方程根的个数，即 y=cosx与 y=-/(-x)图象的交点个数，作出两个函数的图象，由图得出即可.【解析】解：设 P(x,y)(xa L b B.a h ,a a ,a/1P=b/J3C.aA-b,a lia,a 110 n b 工 B D.a L a al lb,a U/3 n b，。【分析】根据线面、面面垂直与平行的判定定理及性质定理判定即可.【解析】解：对于A：由a J _ a、a/尸，可得a_L，又b/,所以a _ L b,故 A 正确；对于 8：由 a_L c、a 11P,可得 a _ L/?,又 a,则 4/?或ZJ UQ,故 5 错误；对于C：由/a,a/尸，则 a/夕或a u ,又a_L。，则/或u 或人与相交(不垂 直)或 b_L，故 C 错误；对于。：由a_L a、a/尸，可得a J夕，又a/h,所以匕_L /,故 Z)正确；故选：AD.1 0.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X N(70,100),其 中 6 0 分及以上为及格，9 0 分及以上为优秀.则下列说明正确 的 是()【参考数据】：随机变量 N O，/),则 P(一b g +b)=0.6826,P(-2cr&+2。)=0.9544,P(-3b J 7 0)=0.5,P(6(啜N 8 0)=P(/z-a 7 0)=0.3 4 13 +0.5 =0.8 4 13 8 5%,故 C 正确，0 9544选项。：优秀的概率为：P(X 0)=P(X 7 0)-P(7 喷W 9 0)=0.5 -：=0.0228 ,2不及格的概率为：P(X 6 0)=P(XW)-P(6 0 X?7 0)=0.5-竺 曜=0.15 8 7,两者不同,2故。错误，故选：B C.11.(A.C.定义在R 上的函数f(x)满足：x 为整数时，/(x)=2021；x 不为整数时，f(x)=O,则)/(X)是奇函数VxeR,/(/(X)=2021B.f(x)是偶函数D./(x)的最小正周期为1【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案.【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于 A,对于/(x),有 f(1)=2021,/(-1)=2021,/(-x)=-/(x)不恒成立，则/(%)不是奇函数，A 错误，对于8,对于/(X),若x 为整数，则-x 也是整数，则有f(x)=/(-x)=2021,若 x 不为整数，则-x 也不为整数，则有/(x)=/(-x)=0,综合可得f(x)=f(-x),f(x)是偶函数，3正确，对于C,若 x 为整数，/(x)=2021,x 不为整数时，/(x)=0,总之7(x)是整数，则f(f(x)=2021,C正确，对于。，若x 为整数，则x +1也是整数，若x 不为整数，则x +1也不为整数，总之有/(x +l)=f(x),f(x)的周期为1,若也是f(x)的周期，而x 和x +可能一个为整数，另一个不是整数，则有f(x)N/(x +W),故/(x)的最小正周期为1,O正确，故选：BCD.1 2.已知函数/(x)=s i n(o x +e)(其中，a 0 ,(p),/(-)=0,/(x),|/(包)|恒2 8 8成立，且 f(x)区间(-看,()上单调，则下列说法正确的是()A.存在夕，使得f(x)是偶函数C.。是奇数B-7(0)=若3 4)D.。的最大值为3【分析】首先根据函数的性质的应用求出函数的3和 9,进一步利用正弦型函数性质的应用求出结果.【解析】解：f(x)区间(-,二)上单调，12 24故E/所以0 ,8；工，解得7.7;42由于/（一（）=0,可得s i n（-詈+e）=0,jr解得0=O +匕乃（G Z）；8由于八2）=1,故 B正确；8可得s i n（包 G +夕）=1，可得e =-至 0+2左 24+乙/2 w Z）；8 8 2所以/（-y）=0O陪）=土1O,整 理 得*式可=（卜 家.若 G=I 时，（P=若 6 9 =3,5 时，9 无解，当6 9 =7时，（P,且/（X）区间（）8 8 12 24上不单调，所以 T =-,co=2k+K k&Z）,2k+故选项A 错误.由于x =加为函数的对称轴，所以/（0）=/（）故选项5正确.8 4由于G=1 +2A,故选项C正确.当/（X）区间（-三，二）上单调递增时，0 丝,，巳，整理得 3；12 24 24 3所以0,3.即最大值为3,故。正确.故选：BCD.三、填 空 题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分）13 .若等比数列 q 的前项和为S.,4=|=|,则公比a=1或.【分析】根据等比数列的前项和建立等式，利用生和9 表示出4与4,然后解关于4的一元二次方程，即可求出所求.【解析】解：里=士,5 3=）9q +%+%=万 则 6 +4=3二 +二=3 化简得 2g 2 q 1 =02q-1q解得4 =1或-g故答案为：1或214 .陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为匕,h2,r,且%=%=/,设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为3和 邑，则 今=_ 曰【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式，求得圆锥和圆柱的侧面积，即可求解.【解析】解：由题意，圆 锥 的 母 线 长 为/=后 方=夜/，则圆锥的侧面积为，=7 irl=血兀户,根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为$2 =2 1泌2 =2 1产,所以9L=9Z.S2 2故答案为：旦.215 .设a eZ,且 Q,。1 3,若5 F0 2+a 能被 13 整除，则”1 .【分析】利用二项式定义将5 进行变形，从而得到-l +a 能 被 13 整除，结合。的范围求即可.【解析】解：5 12 0 2|=(5 2-1严2|=C 0 2 15 22 0 2 1-C；o 2 i 5 2 初 +嚼;5 2-1,因为5 2 能 被 13 整除，所以只需-1+。能 被 13 整除即可，又 Q,a 1),贝 I J 有 a=I n2(s-1)-(5 0 ，令/(s)=/2(s-l)-号(s l),运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到。的范围.【解析】解：y=(x的导数y =2(x-l),y=e 的导数为了=*,设与曲线丫=0相切的切点为(见)，y=(x-l)2 相切的切点为(印)，t-n则有公共切线斜率为2G-1)=d+=s m又，=(s-l)2,n=em+a,即有 2(5-1)=(5一户一齐=U(s l)s-m s-m即为 S -2 =-1 ,2即有m=S；3G i),1)，s+3令 f(s)=/w2(s l)(51)，则 r($)=，当s 3时,r(s)0，/(s)递减,当 l s 0,f(s)递增.即有s=3处/(s)取得极大值，也为最大值，且为2仇2-3,由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的范围是a 21n2-3.故答案为：(9,2/2-3).四、解答题(本大题共6 个小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设 数 列 4 满足&=3,。,出-=2 3(e N*).(1)求数列 ,的通项公式；(2)令6 求数列 ,的前 项和S”.【分析】(1)利用累加法可解决此问题；(2)利用错位相减法可求得5“.【解析】解：(1).向 一/=23,又q=3,=q+(弓4)+(G a、)+，,，+(a”a“_1)=3+2(3+3-+,+3,f 1)3-3=3+2-=3”,1-3当”=1时，q=3满足上式.数列 4 的通项公式为：%=3；(2)bn=n-r,.S,=l3+232+3 33+(-l)3 T+.33S=l-32+2-33+(-1)-3+n-3,+l-得：-2S“=3+3?+33+3 -3，+i32_ 小3川=(_)口向23+(2-1)-3向1 8.（本小题满分12分）在AABC中,A C =1,BC=5.（1）若 A=150,求 cos B；（2）。为 他 边上一点，且3 0 =2 4）=2。，求AABC的面积.【分析】解法一：（1）在AABC中，由正弦定理可求sinB的值，结合范围0。8=CD=x,则8D=2 x.在A A 5c中，由-A C .余弦定理得7=9 f+l-6 x c o s 4,又在等腰AACD中，有cosA=一，联立解得x的A D 2x值，可求A,利用三角形的面积公式即可求解.解 法 二：（1）同 解 法 一.（2）设AD=x,则CD=x,B D =2x,由余弦定理得Ax二2+4r2-7 =_9三r2 一-1，解得X的值，可求A,根据三角形的面积公式即可求解.4x2 2x2【解析】解法一：（1）在AA8C中，由正弦定理及题设得 =旦,sin B sin A,1 J7故-=-sin B sin 150解得 sin 5=,2V7X 00B _LA C交 AC 于点。，所以A T=1,8=3.因为姑 _L 平面 A B C,E C I I FA,E C =,A C =4,所以 A M s A D C E,所以 ED_LZ)E.又因为B D_LA C,E4_L平面ABC,所以)J _平面,B D L F D,所以尸。，平面瓦)E,所以F D L B E.证明2：如图，以。为原点，分别以D8,D C 为x,y 轴，建立空间直角坐标系,在 A A 8 C 中，Z A B C =90 ,A B=2,A C =4,B C =2 .因为 8 D _ L A C,所以F(0,-l,3),E(0,3,l),8(G,0,0),DF=(O,-1,3),BE=(-G,3,1),所以力户B EMO,所以D FLB E.(2)解：由(I)可知，5C=(-73,3,0),BE=(-,3,1),BF=(/3,1,3).设平面BEF的法向量为n=（x,y,z）,所 以 隹，即卜f x +3 z =。，令x=G y=3,z=2所 以 万=(而 .BF.n=O,-j3 x-y+3z=O.55 5 5设直线BC与平面BE尸所成角为e,则 sin=sin6=I BC.ri IBCnI BC.n I yfw|B C|.|r 202 0.（本小题满分12分）2020年 1 月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决 定.某 地 在 1 月 2 3 日至2 9 日累计确诊人数如表：日期（1月）2 3 日2 4 日2 5 日2 6 日2 7 日2 8 日2 9 日累计确诊人数（人）611213466101196由上述表格得到如图散点图（1月 2 3 日为封城第一天）.（1）根据散点图判断丫=。+灰 与），=c-d（c,d 均为大于0 的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y 与封城后的天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月 2 0 日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测 呈 阴 性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月 2 0 日武汉疾控中心接收了 1 0 0 0 份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7,核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.9 9 （核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求 这 1 0 0 0 份样本中检测呈阳性的份数的期望.参考数据:yG)7力苦/=|7阳r=l1 0。546 2.1 41.5 42 3 5 35 0.1 23.4 7I 7其中叱=/g y.,W =工 吗，参考公式:对于一组数据（4 ,%），他，W2）,（“，得），其回归直线位=&+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6 =Z4 叱 riuw三-9a=w-u./Uj2 -mT2i=【分析】（1）根据散点图选出回归方程类型，然后代入数据，求出回归方程，（2）计算阳性概率,然后求出服从的分布和数学期望.【解析】解：（1）由散点图可选择旷=。1由y=c-dx两边同时取常用对数得/g y=/g c +/g x,设/g y=w,w=lgc+lgd-x,7计算亍=4,刃=1.5 4,Zx；=1 4 0,1=17Z%叱-I xw3=吟-i=5 0.1 2-7 x4 x1.5 4140-7X427=0.2 5 ,2 8I ge=w-lgd x=1.5 4-0.2 5 x4 =0.5 4 ,/.v v=0.5 4 +0.25x,y 关于x 的回归方程为：y=3.4 7 x 1 00 2 5 v,（2）设 这 1 0 0 0 份样本中检测出呈阳性的份数为X ,则每份检测出阳性的概率P=0.7 x 0.9 9 =0.6 9 3 ,由题意可知 X 3(1 0 0 0,0.6 9 3),.-.E(x)=1 0 0 0 x 0.6 9 3 =6 9 3 (人)，故所求的期望为6 9 3 人.2 1.(本 小 题 满 分 1 2 分)已 知 抛 物 线 C:d =2 py(p 0)的 焦 点 为 尸，抛物线上一点1Q 0)到尸点的距离为一.2 2(1)求抛物线的方程及点A坐标；(2)设斜率为人的直线/过点3(2,0)且与抛物线交于不同的两点M、N,若=且2e g,4),求斜率的取值范围.【分析】(1)由抛物线定义可得上+2=3 ,可得抛物线方程，从而可求A点坐标；2 2 2(2)设 M、N两点的坐标分别为a，),(x,%).联立卜*一 2),求 得%+%=4 k,x=4 y2=8%,由 丽,=2 丽 且;l e d,4),可得工=f e(-2,)|j d,2),可求斜率大的取值范4 x2 22围.【解析】解：(1)由抛物线定义可知：|A F|=+K=3,得 p =2,.抛物线方程为r=4 y,2 2 2将点4利)(利0=1 6/一 3 2 A 0=Z v 0 或左 2.且 芯+=4&，内电=8 4，又=即（石一2,%）=工22,%）.%=2%=义=2，%/x12=4y,x22=4 y2 Z =（）2 G（-,4）=G,x2 4 x2 2 2,2+2+强又（3+）-=2&=3+2 +X n&=%-=_ L（%+刍）+1 ,XyX2 x2 x 2 2 x2 x又:&vO 或 2 2.:.k的取值范围是(；,0)U(2,).2 2.(本小题满分12分)已 知 了(jOusinx+G?-.(1)当4=,时，求证：函数/(X)在 R 上单调递增；6(2)若/(x)只有一个零点，求a 的取值范围.【分析】(1)当。=,时，/(x)=sinx+-x3-x,分别求出 f(x),/(x),f x),结合尸(0)=0,6 6r(o)=o 可判断广(%).广(o)=o 恒成立，即可得证；(2)先判断了(X)为奇函数，/(0)=0,只需/(x)在(0,+oo)上无零点，由(1)知sin x-x -13,6若/(*)3-4)/.0,可知亿 符合题意，再讨论%0,0 a ,利用单调性以及零点6 6 6存在性定理即可求解.【解析】(1)证明：当 a=1 时，/(X)=sinx+x3-x ,f(x)=cosx+x2-1,6 6 2f(x)=x-sin x,/,(x)=l-cosx.O,所以f(x)=x-sin x 在 R 上单调递增，且 f(0)=0,所以当 x0 时，f(x)0 时，fx)0,所以r(x)=cosx+gx2 l在(-oo,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，且(0)=0,所以 f(x).f(0)=0,所以 f(x)=sin x+L 3 x 在 R 上单调递增；6(2)W：/(-x)=-sinx-ax3 4-x=-(sinx+ax3-x)=-/(%),所以/(x)为奇函数，/(0)=0,若/(%)只有一个零点，则只需/(X)在(0,+a)上无零点，由()知，当 x0 时，/(%)/(0)=0,故 sinxx !/,6令则a 时，/(%)无零点，符合题意；6 6当&0 时,/(X)=cosx+3ax2-lBlfcosx-1 0,故/(九)在(0,+oo)上单调递减，则/。)/(0)=0,/)无零点，符合题意；当 0 2 时，/(%)=cosx+3ax2-1,fx)=-sinx+6ar,f,n(x)=-cosx+6a,6所以尸(x)在(0,万)上单调递增，且 尸(0)=6 一 1 0,故存在唯一 X。e(0,开)，使得f(x0)=0,所 以/(x)在(0,x0)上单调递减，在(为，/上单调递增，当xe(0,x)时，尸(x)广(0)=0,可得尸(x)单调递减,所以/,(x)/,(0)=0,可得/(x)在(0,%)上单调递减,所以/(毛)0,1可得x即A且左 eN*时，/(x)0,由零点存在定理，/(x)在(，+8)上至少存在一个零点，不符合题意.综上所述，a的取值范围为(-8,+/)