2022年中考数学压轴题含答案解析.pdf

2022年中考数学压轴题1.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如 图1,在N8C中,点尸为边8 c上的任一点，过点P作尸P E V A C,垂足分别为。、E,过点C作 垂 足 为 尸.求 证：PD+PE=CF.小军的证明思路是：如图2,连接/P,由AB尸 与 面 积 之 和 等 于/8C的面积可以证得：PD+PE=CF.小俊的证明思路是：如图2,过点尸作P G L C F,垂足为G,可以证得：P D=G F,PE=C G,则尸。+PE=C尸.【变式探究】如图3,当点尸在8 c延长线上时，其余条件不变，求证：PD-P E=C F；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4,将矩形4 8 8沿E F折叠，使点。落在点5上，点C落在点C处，点尸为折痕跖 上的任一点，过点P 作 P G L B E、P H L B C,垂足分别为G、H,若AD=S,C F=3,求 PG+PH 的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图.在四边形Z8CQ中，E为4 8边上的一点，EDLAD,E C L C B,垂足分别为。、C,S.AD-CEDE-BC,A B=2 限dm,AD=3dm,B D=V37t/m.M、N分别为4E、B E的中点，连接。A/、C N,求 与CEN的周;P D 工AB,PE1AC,CF1AB,第1页 共1 4页且 S&ABC=SA B W SACP，：.ABCF=%BPD+寺ACPE.：AB=AC,:CF=PD+PE.（小 俊 的 方 法）过 点 尸 作 尸G，C凡 垂 足 为G,如 图.；PD_L4B,CF上AB,PGLFC,：.ZCFD=ZFDP=ZFGP=90.四边形尸。PG是矩 形.:DP=FG,NDPG=900.：.ZCGP=90.PE LAC,:/CEP=900.：./P G C=/C E P.:/BDP=NDPG=90.:.PG AB.:NGPC=NB.：4B=AC,：.ZB=ZA C B.：.ZG PC=ZECP.在 PGC和中，Z-PGC=乙 CEP乙GPC=乙ECP、PC=CP:.PGC9XCEP.：.CG=PE.:CF=CG+FG=PE+PD.【变 式 探 究】证 明：连接力P,如 图.第 2 页 共 1 4 页；PDLAB,PE工AC,CFLAB,且 S&AB C=S4ABp-S2ACP，111:T BCF=ABPD-ACPE.2 2 2*：AB=AC,：.CF=PD-PE.【结 论 运 用】过 点E作垂足为。，如 图,四 边 形Z8CQ是 矩 形，:AD=BC,ZC=ZADC=90.:/。=8,CF=3,:.BF=BC-CF=AD-CF=5.由折 叠 可 得：DF=BF,/B E F=/D E F.：.DF=5.V Z C=90 ,：.DC=y/DF2-CF2=r 2-32=4.9：EQVBC,ZC=ZADC=90,A Z 0 C=90=ZC=ZA D C.四 边 形E0CQ是 矩 形.：.EQ=DC=4.,:ADBC,J ZDEF=ZEFB.：NBEF=NDEF,:/B E F=/E F B.：.BE=BF.由 问 题 情 境 中 的 结 论 可 得：PG+PH=EQ.:.PG+PH=4.PG+PH 的值为 4.第3页 共1 4页【迁移拓展】延长4 0、BC交于点F,作垂足为H,如图.；AD*CE=DE*BC,9AD BCDE ECEDLAD,EC-LCBf:./ADE=NBCE=90.，LADEs dBCE.：./A =NCBE.：.FA=FB.由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH.设 DH=xdm,则 4H=力(3+x)dm.:BHUF,:.NBHA=90.：.BH2=BD2-DH2=AB2-AH2.9：AB=2y/13f AD=3,BD=V37,(V37)2-=(2V13)2-(3+元)2.解得：x=.：.BH1=BD1-DH1=37-1=36.：.BH=6dm.:.ED+EC=6.V ZADE=ZBCE=90,且M、N分别为4E、8 E的中点，：.DM=AM=EM=AE,CN=BN=EN=%E.:丛DEM与丛CEN的周长之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC第4页 共1 4页=DE+EC+AB=6+2VTT.DEM与CEN 的周长之和为(6+2V13)dm.、,2.如图，在。的内接 48C中，ZACB=90 ，A C=2 B C,过 C 作 的 垂 线/交。于另一点。，垂足为E.设 尸是衣上异于4 C 的一个动点，射线/P 交/于点凡 连接P C 与 PD,P D 交 4 B 于点、G.(1)求证：丛P A C s 丛P D F；第5页 共1 4页(2)若 N 8=5,AP=B P,求 P。的长；AG(3)在点P运动过程中，设*=x,t a n N/Q u y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)(1)证明：,：Z A C B=9 0,：.AB是直径，又；4BLCD,：AC=AD,尸9=1 8 0 -N Z P A=1 8 0 而 所对的圆周角=1 8 0&所 对 的 圆 周 角=赤所对的圆周角=N N P C.在 a R 4 c 和中，(Z.APC=Z.DPF(.Z.PAC=4PDF:Z A C s P D F.(2)解：如 图1,连接尸O,则 由 酢=，有P O J _/8,且/以8=4 5 ,/XAPO、都为等腰直角三角形.在 R tA S C 中,第6页 共1 4页：AC=2BC,AB2=BC2+A C2=5B&.78=5,：.BC=V5,：.AC=2y/S,BC _ V5CE=AC,sin ZBAC=AC =2近=2,AB 5AC 2V5AE=AC9 cos ZBAC=AC*=2V5e-=4,AB 54 E F 为等腰直角三角形，:.EF=AE=4,：.FD=FC+CD=(EF-CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.APO为等腰直角三角形，AO=A B=I，3 5&AP=-2 :APD FsAPAC,PD _P_A ,FD CA5迎.PD-工 一 砺：.PD=(3)解：如图2,过点G 作 G 4 L/I8,交/C 于，连接4 8,以4 5 为直径作圆，连接CG并延长交。0 于。，:HCLCB,GHA.GB,第7页 共1 4页；.C、G都在以为直径的圆上，NHBG=NACQ,：C、。关 于 对 称，G在上，2、户 关 于 对 称，：.AP=AQ,:.NPCA=NACQ,:.NHBG=NPCA.:XPACsPDF,：.ZPCA-NPFD=ZAFD,：.y=tan ZAFD=tan A PC A=tanZHBG=盟.u：HG=tmZHAG-AG=tmZBAC-AG=靠 4G=4 4G,.1 AG 1-y=2,BG =2x-3.如图，在R t4 4 8 C中，ZACB=90,以斜边力8上的中线CO为直径作。0,与BC交于点，与4 8的另一个交点为,过M作M N L Z B,垂足为M(1)求证：MN是O O的切线;：OC=OM,：.ZOCM=ZOMC,第 8 页 共 1 4 页在RtZ43C中，C是 斜 边 上 的 中 线,:.CD=%B=BD,；.NDCB=NDBC,：.NOMC=ZDBC,：.OM/BD,：MNBD,：.OMMN,河 过。，二MN是。的切线;(2)解：连接 DM,CE,：CD是。的直径,：.ZCED=90,ZDMC90,即 DM1.BC,CEVAB,由(1)知：BD=CD=5,.M为2 c的中点，3*/sinB=引 4 cos8二5,在 中，BM=BD/cosB=4,:BC=2BM=8,在 中，BE=BCcosB=昔,32 7：.ED=BE-BD=昔-5=g.4.已知NMPN的两边分别与。相 切 于 点 出B,。的半径为/(1)如 图1,点。在点4,5之间的优弧上，/MPN=80,求的度数;第9页 共1 4页（2）如图2,点 C 在圆上运动，当 PC 最大时:要使四边形NP8C为菱形，NZ尸 8 的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交。于点。,求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.图1,：P A,尸 8 为 的 切 线，：.ZPAO ZPBO=90a,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB360a,：.ZAPB+ZAOB=SOa,V ZAPB=OQ,.4 0 8=1 0 0 ,A ZACB=50；(2)如图2,当N/P 8=6 0 时，四边形/P 8 C 是菱形,连接CM,OB,图2由(1)可知，NNO8+N4P8=180,第1 0页 共1 4页V Z APB=60,：.ZAO B20,A ZACB=60=NAPB,.点C 运动到PC 距离最大，.尸。经过圆心，：P A,尸 8 为。的切线，:.PA=PB,/4PC=NBPC=3Q,又,：PC=PC,:A A P g A B P C (SAS),.N 4C P=/8C P=30,AC=BC,.N/PC=N 4C P=30,：.AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,.四边形/P 8 C 是菱形：(3):。的半径为r,：.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,V ZAOP=900-/N PO=60,；.力。的 长 度=6*箫-r,loU D，阴影部分的周长=%+尸。+砂=W r+r+*=（V3+1+J）r.5.如图，口 为。的切线，P8C 为。的割线，NO_LOP于点。，/O C 的外接圆与8 c的另一个交点为.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接。/,OB,OC,BD.第 11页 共 14页UOALAP,AD LOP,由射影定理可得：P=PD*PO,AD?=PDO D.-（5分）又由切割线定理可得PA2=PBPC,:PBPC=PD，PO,:.D、B、C、。四点共圆，（1 0分）A ZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,/PBD=/COD,:PBDsXCOD,PD BD、-（1 5 ）:BD*CD=PD*OD=Ab1,.BD AD布=C D,又 NBDA=NBDP+90Q=ZODC+90=ZADCf.BDAsADC,:,NBAD=NACD,：.AB是 4 OC的外接圆的切线,：.ZBAE=ZACB,6.如图，点4为y轴正半轴上一点,48两点关于x轴对称，过点Z任作直线交抛物线y =|%2于P，。两点.(1)求证：ZABP=ZABQ；(2)若点/的 坐 标 为(0,1),且NP 8 Q=6 0 ,试求所有满足条件的直线尸0的函数解析式.第 1 2 页 共 1 4 页【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点”的坐标为（），），则点B 的坐标为（0,-t）.设直线P。的函数解析式为了=履丑，并设尸，。的坐标分别为（X P,yP）,（XQ,yS）.由 y=kx+ty=jx22 7得Q%，kx t=0,3 2于是久p%Q=2tf 即亡=-JXPXQ.BC yp+t|%p2 +t|%p2 一|%p%Q|%p（X p-X Q）X p于 是 右=2 ；-=2 7-2-=2 ：-7 =-HD YQ+C-%QZ+t 2XQZX p XQ XQ（XQ-Xp）XQe I PC Xp“BC PC又因为一,所以一=,QD xQ BD QD因为N B C P=NBDQ=90 ,所以 4 3 0 0 6i Z A B P=Z A B Q；（2）解：设D Q=b,不妨设a 2 b 0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30 ,BC=V 3 a,B D=V 3 b,所以 ZC=百Q-2,AD=2-y3b.因为 P C Q Q,所以 Z CP s 2 4 O0.于是空一些即士.金 Z tD（2 -AD,即8-2 bb所以 a+b=j3ab.由（1）中%p%Q=,3 即一 ab=9，所以ab=，a+b=,于是可求得Q=2 6 =V 3.第 13 页 共 14 页将 力=*代 入 y=/,得到点0的 坐 标（,二）.乙。2 2.再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y=-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y=-苧 x+1或y=x +l.第1 4页 共1 4页