2021年湖南省娄底市中考数学试卷（含解析）.pdf

2021年湖南省娄底市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共12小题，每小题3 分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1.（3 分）（2 0 2 1 娄底）2 0 2 1 的倒数是（）1A.-2 0 2 1 B.2 0 2 1 C.-20212.（3分）（2 0 2 1 娄底）下列式子正确 的 是（）A.a3-a2a B.（2）3=a6 C.ai,a2c4.（3 分）（2 0 2 1 娄底）一组数据1 7、1 0、5、8、5、1 5 的中位数和众数是（）A.5,5 B.8,5 C.9,5 D.1 0,55.（3分）（2 0 2 1 娄底）如图，点 E、尸在矩形A B C D 的对角线B O 所在的直线上，B E=DF,则四边形A E C F 是（）D 一 册D.（/）3=q 53.（3分）（2 0 2 1 娄底）2 0 2 1 年 5月 1 9 B,第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加.阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚.5 万用科学记数法表示为（）A.0.5 X 1 05 B.5 X 1 04C.5 0 X 1 04 D.5 X 1 056.（3 分）（2 0 2 1 娄底）如图，A B/C D,C.菱形 D.正方形点、E、尸在A C边上，已知NC E=7 0 ,N B F C=1 3 0 ,则N B+/O 的度数为（）A.4 0 B.5 0 C.6 0 D.7 0 7.（3分）（2 0 2 1 娄底）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）8.（3分）（2 0 2 1 娄底）2、5、机是某三角形三边的长，则 3 与+J（z n 7 产等于（）A.2 m-1 0 B.1 0 -2 m C.1 0 D.49.（3分）（2 0 2 1 娄底）如图，直线y=x+匕和y=fc c+4 与 x轴分别相交于点A（-4,0）,点 8 0）,则1 +2 解 集 为（）U x+4 0A.-4 x 2 B.x 2 D.x 21 0.（3分）（2 0 2 1 娄底）如图，直角坐标系中，以 5为半径的动圆的圆心A 沿 x轴移动,当。4与直线/：y=占只有一个公共点时，点 A 的坐标为（）A.（-1 2,0）B.（-1 3,0）C.（1 2,0）D.（1 3,0）1 1.（3分）（2 0 2 1 娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 =岳（。为常数且“0,x 0）的性质表述中，正确 的 是（）y随 x的增大而增大y随 x的增大而减小 0 y V1 O W y W lA.B.C.D.1 2.（3分）（2 0 2 1 娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y=7+2 的图象与反比例函数y=，的图象的交点的横坐标刈所在的范围是（）1 1 1 1 3 3A.O x o -r B.-xo C.-xo-7 D.一 的 内 角 和 加 起 来 即 可 得 的 度 数.【解答】解：/BFC=130,.,.ZBM=50,又,：AB/CD,：.ZA+ZC=180,V ZB+ZA+ZBM+ZD+ZC+ZCD=360,：.ZB+ZD=60,故选：C.【点评】本题主要考查平行线的性质和三角形的内角和，这两个知识点中考基本都是放在一起考的，平行线的性质与判定要熟记于心.7.（3 分）（2021娄底）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）【分析】由四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，再根据概率公式求解即可.【解答】解：.四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，.现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为2 14 2，故选：B.【点评】此题考查了概率公式的应用.注意：概率=所求情况数与总情况数之比.8.(3 分)(2 0 2 1 娄底)2、5、,是某三角形三边的长，则J(7 n -3 4+7 产等于()A.2 m-1 0 B.1 0 -2 m C.1 0 D.4【分析】直接利用三角形三边关系得出7 的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案.【解答】解：.即、5、，是某三角形三动的长，.*.5 -2 V m 5+2,故 3V m 0A.-4 x 2B.x2D.x2【分析】结合图象，写出两个函数图象在x 轴上方所对应的自变量的范围即可.【解答】解：当-4 时，y=x+60,当 xV2 时，y=fcr+40,.KU）解集为-2,故选：A.【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断.10.（3 分）（2021娄底）如图，直角坐标系中，以 5 为半径的动圆的圆心A 沿 x 轴移动,当GM 与直线/：）=占只有一个公共点时,，点 A 的坐标为（)A.(-12,0)B.(-13,0)C.(12,0)D.(13,0)【分析】由题意可知：直线/与0 4 相切，设切点为B,过点8 作 BE_LOA于点E,利用直线/的解析式设出点B 的坐标，可得线段BE,OB的长，由直角三角形的边角关系可得 tan/A O B=备；解直角三角形A8O可得OB的长，利用勾股定理可求OA的长，点 4坐标可得，同理可求当A 在 x 轴的正半轴上的坐标为(13,0).【解答】解：当O A 与直线/：)，=方只有一个公共点时，直线/与Q A 相切,设切点为B，过点B 作 BELOA于点E,如图，.点B 在直线=上，、5 设B(加,m),12/OE=m,BE 书/1.pp q在 中，tan N A 0 8=记.直线/与0 4 相切，：.ABLBO.A jD r在 RtZiOAB 中，tan/A O B=言.：AB=5,：.OB=2.：.OA=y/AB2+OB2=V52+122=13.(-13,0).同理，在 x 轴的正半轴上存在点(13,0).故选：D.【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，解直角三角形，勾股定理.利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.11.（3 分）（2021娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判 定 下 列 有 关 函 数（a 为常数且40,x 0）的性质表述中，正确 的 是（）y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小 0 y 0,x 0）,1 a+x r 1 a:、-=,即-二一 +1,y x y x根据反比例函数的性质，a.当X增大时，一随X的增大而减小，X/.-+1 也随X的增大而减小，X1即一也随X的增大而减小，y则 y 就随x 的增大而增大，性质正确.又x0,：.a+x0,x-0,即 y0,a+x又.”。+工，x-,即 yV l,a+x/.0 y l,，性质正确.综上所述，性质正确，故选：A.【点评】本题考查了反比例函数图象性质的应用，借助把新的函数形式变形为反比例函数的形式，再运用反比例函数的性质，从而得到新函数的性质，这样的方法也是研究函数的一种普遍方法，是一种把未知转化为已知的数学思想.应熟练掌握反比例函数的图象性质是解决问题的基础.12.（3 分）（2021娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y=/+2 的图象与反比例函数y=|的图象的交点的横坐标出所在的范围是（）1 1 I 1 3 3A.0 A:（）-T B.一 x（）7 7 C.一 x（）+SMBP，依据 SAACP=；ACXPF,S&ABP=%B X P E,代入计算即可得到PE+PF=.【解答】解：如图所示，连接AP，则%ABC=SAACP+SAABP，PE1.AB 于点 E,PF AC 于点 F,SM CP=CX 尸产，S&ABP=夕B X PE,又；SAABC=1，A B=AC=2,1 1A l =1 A C X PF+A B X PE,即 1=X2XPF+X2XPE,：.PE+PF=,故答案为：1.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算.1 6.（3 分）（20 21 娄底）己知及-3/+1=0,则 什：=3 .【分析】根据方程的解的定义得到r w o,根据等式的性质计算，得到答案.【解答】解：.牙-3 叶1=0,等式两边同时除以f,得 3+9=0,1解得：什 1=3,故答案为：3.【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握方程的解的定义、等式的性质是解题的关键.1 7.（3分）（20 21 娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形A 8 C Z）表示一个“鱼骨”，A8平行于车辆前行方向，B ELA B,Z C B E=a,过 B作 AD的垂线，垂足为A （A点的视觉错觉点），若 s i n a=0.0 5,A B=3 0 0 m m,则 A 4 =1 5 mm.D【分析】由平行线的性质和垂线的性质可得NA8C=NA8E=90,可求NA8/T=NC8=a,利用锐角三角函数可求解.【解答】解：VBAIAD,AD/BC,：.ABBC,：.ZABC=ZABE=90,J ZABA=ZCBE=a,AAr sinNAA4=sina=嗡=0.05,/l D.A4=300X0,05=15（mm）,故答案为：15.【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，求出/A B H=N C B E=a是解题的关键.18.（3 分）（2021 娄底）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1 弧度角，记作已知a=Irad,0=60,则 a 与 0 的大小关系是a B.【分析】判断出a=60,可得结论.【解答】解：由题意，a=60,0=60,.Ct=p,故答案为：=【点评】本题考查角的概念，1弧度角的定义，解题的关键是理解1弧度角的定义，属于中考常考题型.三、解 答 题（本大题共2 小题，每小题6 分，共 12分）1 9.（6 分）（20 21 娄底）计算：+y +(-)-2c os 4 5 0 .2【分析】根据零指数基，分母有理化，负整数指数幕,特殊角的三角函数值计算即可.【解答】解：原式=1 +/21(V 2)2-!2+2-2义孝1+V 2 -1+2-V 2【点评】本题考查了零指数幕，分母有理化，负整数指数幕，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，正确进行分母有理化是解题的关键.20.（6分）（20 21娄底）先化简再求值：三个 一笑9），其 中 是1、2、3中的一个合适的数.【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可.【解答】解：原式=岩32-9-2X+1X2-9x-3(x-1)2x T (x+3)(x-3)由题意得：x WI,x W 3,当x=2时，原式=【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则、分式的分母不为0是解题的关键.四、解 答 题（本大题共2 小题，每小题8 分，共 1 6 分）2 1.（8分）（2 0 2 1 娄底）”读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了 了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、O其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：统计表:频数频率A历史类5 0mB科普类9 00.4 5C生活类n0.2 0。其它2 00.1 0合计【分析】（1）用第。其它类的频数除以它的频率即可得到调查的学生数;（2）根 据（1）,直接利用己知表格中4历史类的频数求出机的值，直接利用已知表格中C生活类的频率求出的值；（3）利 用（1）中所求补全条形统计图即可.【解答】解：（1）2 0 4-0.1 0=2 0 0 （人），故答案为：2 0 0；(2)m=5 0+2 0 0=0.2 5,=2 0 0 X 0.2 0=4 0,故答案为:0.2 5,4 0；【点评】本题考查的是条形统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.2 2.（8 分）（2 0 2 1 娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2 0 2 1 年 5月 2 9 日成功发射，震撼人 心.当天舟二号从地面到达点4处时，在尸处测得A点 的 仰 角/为 3 0 且 A与 P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5 秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角NOP8为 4 5 ,求天舟二号从A 处 到B处的平均速度.（结果精确到lm/s,取V 3 =1.7 3 2,V 2 =1.4 14）【分析】在 R t Z A P。中，根据三角函数的定义求出A。和 PD,在 R t/X A P O 中，根据三角函数的定义求出BD,进而求出求出A B,根据速度公式即可求出天舟二号从A处到B处的平均速度.【解答】解：由题意可得：/A PD=30,N8PO=45,AP=6km,NB。尸=90,pn在 RtZXBPO 中，V ZAPD=30,AP=6km,NAOP=90,cosZAPD=cos30=西，：.AD AP=3km,PO=B4cos30=6x 三=38(km),在 RtAAPD 中，D n,：ZBPD=45,PD=3痘km,NBDP=90,tanZBPD=tan45=第，/.BD=PDtan45=36(km),故 4 8=3。-A D=3W 3-5.196-3=2.196(km)=2196，则天舟二号从4 处到B 处的平均速度约为：2196+7.5*293(mis),答：天舟二号从A 处到B 处的平均速度约为293%/s.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求出得出P D 的长是解题关键.五、解答题(本大题共2 小题，每小题9 分，共 18分)23.(9 分)(2021 娄底)为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买1 个甲种纪念品和2 个乙种纪念品共需20元，购买2 个甲种纪念品和5 个乙种纪念品共需45元.(1 )求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；(2)若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值.【分析】(1)设购买一个甲种纪念品需要x 元，购买一个乙种纪念品需要y 元，根据“购买 1 个甲种纪念品和2 个乙种纪念品共需20元，购买2 个甲种纪念品和5 个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x,y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买？个甲种纪念品，则 购 买(1 0 0-/)个乙种纪念品，根据总价=单价X 数量，结合总价不少于766元又不多于800元，即可得出关于，的一元一次不等式组，解之即可得出机的取值范围，结合，为整数即可得出购买方案的个数，设购买总费用为W元，根据总费用=单价x数量，即可得出W关于机的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解：（1）设购买一个甲种纪念品需要x元，购买一个乙种纪念品需要y元，依题意得：卷二5，解得：g：5 -答：购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元.（2）设购买，个甲种纪念品，则 购 买（100-初）个乙种纪念品，依题音得.（16+5（10一6）？7 6 6,”出 付.110m +5（100-m）0,二w随 m的增大而增大，当?=5 4 时，w取得最小值，最小值=5 X 5 4+5 00=7 7 0.答：共有7 种购买方案，所花资金的最小值为7 7 0元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.2 4.（9分）（2 02 1 娄底）如图，点 A在以BC为直径的。上，NABC的角平分线与AC相交于点E,与。相交于点 ,延长C A至 M,连结使得M B=M E,过点A作 3 M的平行线与CD的延长线交于点N.（1）求证：与。相切;（2）试给出AC、AD.CN之间的数量关系，并予以证明.【分析】（1）由圆周角定理可得/8A C=90,由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得/MBE+/EBC=90,可得用B_LBC,可得结论；AC CD（2）通过证明QACS/XACN,可得一=一,可得结论.CN AC【解答】证明：（1）是直径，.N8AC=90,A ZABE+ZAEB=90,平分 NA8C,:ABD=NDBC,:MB=ME,：.NMBE=NMEB,：.ZMBE+ZEBC=90Q,A ZMBC=90,J.MBA.BC,.BM与O O相切;(2)AC2=CN*AD,理由如下：V ZACD=ZABD,ZDBC=ZDAC,：.ZDCA=ZDACf:.AD=DC,3C是直径，:NBDC=9。,；NBCD+/DBC=90,:AN 上 BC,.NN+NC8=90,ZN=/D BC,：.NN=/D B C=ZDCA=ZDACf：./D A C/A C NfAC CD ,CN AC：.AC2=CNAD.【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，证明D 4 c s ZACN是解题的关键.六、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25.(10分)(2021 娄底)如图，E、尸是等腰RCABC的斜边8C 上的两动点，ZEAF=45,C_LBC 且 C=BE.(1)求证：ABE四 ACQ；(2)求证：EF2=BE2+CF2；(3)如图，作 A/7LB C,垂足为，设NE4H=a,Z M H=p,不妨设请利用(2)的结论证明：当 a+B=45时，tan(a+0)=署某喘成立.L-tClTlCC-tClTlpB图图【分析】(1)先判断出进而判断出N8=NAC。，即可得出结论;(2)先判断出/ZME=90,进而判断出/E 4 尸=/D 4 凡 利 用 SAS判断出A D F,得出O F=E F,最后用勾股定理，即可得出结论；(3)先求出A”=8 4=C =l,进而得出B E=l-E”,C/:=l-尸”,再由E/2=CF2+C。2,AU 1判断出 1 -在 RtZA”E 中，tana=瓯 =丽，在 RtZAH尸中，tan0=得=急，最 后 代 入 誉 竺 把 吗 化 简，即可得出结论.卜 H FH 1-tanatanp【解答】证明：(1)ABC是等腰直角三角形，：.AB=AC,：.B=ZACB=45,:CDLBC,：.ZBCD=90,A ZACD=ZBCD-ZACB=45=NB,在 ABE和 ACO 中，AC=AC(B=乙ACD,BE=CD：./ABE/ACD(SAS)；(2)由(1)知，A A B E A A C D,：.AE=AD,ZBAE=ZCAD,V ZBAC=90,，NEAD=ZCAE+ZCAD=ZCAE+BAE=ZBAC=90,V ZEAF=45,：.ZDAF=ZDAE-ZEAF=45=NEAF,VAF=AF,./AEF/ADF(SAS),:DF=EF,在RtzOC尸中，根据勾股定理得，DF1=CF2+CD1,：CD=BE,：.EF1=CF1+Cb1-,(3)在 RtZiABC 中，AC=AB=V2,：.BC=6 A B=2,AH IBC,1：.AH=BH=CH=”C=1,:.BE=1-EH,CF=-FH,由(2)知，EF1=CF2+CD2,:EF=EH+FH,：.(EH+FH)2=(1 -F/7)2+(1-EH)2,Al-EHFH=EH+FH,AU 1在 Rt/AHE 中，tana=丽=丽，AU 1在中，团 中=器=向，1-I FH-i-FH.天tana+tanp _ 丽+而 _ -EJTFH _ EH+FH _ E H+F H 一后区=1-tana-tanp=EHFH 1=EHFH-l=EH+FH1 EH FH EH FHV a+p=4 5 ，.左边=t a n (a+p)=t a n 4 5 =1,左边=右边，即当 a+0=4 5 时，t a n (a+0)=t a九 Q+Q 九S1-tana-tan成立.【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，判断出1 -是解本题的关键.2 6.(1 0 分)(2 0 2 1 娄底)如 图，在直角坐标系中，二次函数y=/+b x+c 的图象与x 轴相交于点A (-1,0)和点8 (3,0),与 y 轴交于点C.(1)求匕、c 的值；(2)点 P (.m,)为抛物线上的动点，过尸作x轴的垂线交直线/：y=x 于点。.当0%=*的距离最大时的，的值；利用平行四边形的判定定理”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”结合点坐标求解.【解答】解：(1)由二次函数y=f+b x+c,的图象与x轴相交于点A (-1,0)和点8(3,0),得：fli+c =3 解得.e=2(9 +3 b +c =0 川仔，口=一3A y=x2-2 x -3.(2)点尸Gn,)在抛物线上y=7-2 x-3,:.P(2,川-2 m-3),;过P作无轴的垂线交直线/：y=x于点Q,.,.(2 (m,m).PQ=m-=-杨2+3加+3=-(杨一怖)24-,：当m=-?：=，时，P Q有最大值号Z X (-LJ L 43当P点到直线/：y=x的距离最大时，用的值为了,抛物线与)，轴交于点C,.*.x=0 时，y=-3,：.C(0,-3),：O C/P Q,且以点。、C、P、。为顶点的四边形是菱形，：.PQ=OC,又：O C=3,P Q=|-机2+3?+3 ,3 =|-加2+3?+3 ,解得：wi=O,mi3,m3=-,4=,当 四=0 时，尸。与 0C 重合，菱形不成立，舍去；当 m2=3 时，P（3,0）,Q（3,3）,此时，四边形OCP。是平行四边形，O Q=:32+32=3VLC.O Q O C,平行四边形。CPQ不是菱形，舍去；、匕 3+733 3+V33 3+V33当23=-5-时，Q（，），2 2 2此时，四边形OCQP是平行四边形,CQ=J（巧 生 一 0）2+（3+浮+3）2=V39+6V33,.CQWOC,平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；日 3-闻 g 八 3-V33 3-V333 乙 mZ4=nZ时，Q（-，-），此时，四边形OCQP是平行四边形，C Q=J（）2+=.3 9 6疽,J.C Q O C,平行四边形OCP。不是菱形，舍去；综上所述：不存在加，使得以点。、C、P、。为顶点的四边形是菱形.【点评】本题主要考查二次函数的性质，线段长度的最大值求解，和菱形存在性问题.在求线段的最大值时需要先设出点的坐标，再表达出线段的长度，最后结合二次函数求出最大值；在探究菱形存在性问题时，需要根据菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”进行求解.