2022年北京数学中考二模汇编解答压轴题.pdf

解答压轴题2022年北京数学中考二模汇编1.对于平面直角坐标系x Oy中的点P和 OC,给出如下定义：若 O C 上存在两个点A,B,使得 点P在 射 线B C上，且(0 /.AC B 0)与 x轴，y轴分别交与点E,F,若在线段A B上存在点P与点0是关于线段E F的关联点，直接写出b的取值范围.3 .平面直角坐标系x Oy中，给出如下定义：对于图形G及 图 形G外 一 点P,若 图 形G上存在一 点M,满 足P M =2,且 使 点P绕 点 M 顺时针旋转90。后得到的对应点P,在这个图形G上，则 称 点P为 图 形G的“2旋转点很已知点4(一 1,0)，8(-1,2),C(2,-2),0(0,3),E(2,2),F(3,0).(1)判断：点B _ 线 段A F的 2 旋转点(填 是 或 不是)；点C,D,E中，是线段A F的 2 旋转点”的有_；(2)已知直线l:y =x+b,若直线I上存在线段A F的 2 旋转点，求b的取值范围;(3)Q T是以点T(t,O)为圆心，V2为半径的一个圆，已知在线段A D上存在这个圆的“2旋转点，直接写出t的取值范围.4.对于平面直角坐标系x Oy中的图形M,N,给出如下定义：P为 图 形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的 近距，记作如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M,N的 远距，记作 d 2(M,N).已知点 4(0,3),B(4,3).(1)由(点 0,线段 AB)=_ _ _ _,d2(点 0,线段 4B)=_；(2)一次 函 数y =/e x +5(f c 0)的图象与x轴 交 于 点C,与y轴 交 于 点D,若 由(线段C D,线段 AB)=V 2.求k的值：直接写出d2(线 段C D,线 段A B)=；(3)Q T的圆心为7(t,0),半 径 为1.若M(OT,线 段4B)4,请直接写出d2(。7,线 段A B)的取值范围.5.如图，在平面直角坐标系x Oy中，存在半径为2,圆心为(0,2)的0W,点P为。勿 上的任意一点，线 段PO绕 点P逆时针旋转90。得到线段P O,如果点M在 线 段P O 上，那么称点M为0的 限距点”.(1)在点 4(4,0),8(1,2),C(0,4)中，。W 的 限距点 为_；(2)如果过点N(0,a)且平行于x轴的直线I上始终存在。皿 的“限距点”，画出示意图，并直接写出a的取值范围；(3)G的圆心为(匕,2),半 径 为1,如 果O G上始终存在O W的“限距点”，请直接写出b的取值范围.6.如 图1,点P是平面内任意一点，点4,B是O C上不重合的两个点，连 接P A,PB.当.AP B=60 时，我们称点P为0 C的“关 于A B的关联点”.H(1)如 图 2,当 点 P 在(DC上时，点 P 是 O C 的 关于A B的关联点 时，画出一个满足条件的 U PB,并直接写出L A C B的度数；用2(2)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 有 点 点 M 关 于 y轴的对称点为点N.以 点。为圆心，0 M为 半 径 画。，在 y 轴上存在一点P,使 点P为。0 关于M N的关联点，直接写出点P 的坐标：点D(jn,0)是%轴上一动点，当 的 半 径 为 1时，线 段M N上至少存在一点是Q D的 关于某两个点的关联点，求m的取值范围.7.对于平面直角坐标系x Oy中的点P和图形M,给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与 图 形 M 间的开距离，记 作d(P,M).已知直线y -yx+b(b 0)与x轴交于点4,与 y轴交于点B,Q 0的半径为1.(1)若 b =2,求d(B,O 0)的值；若 点C在直线A B上，求 d(C,O。)的最小值；(2)以 点A为中心，将 线 段A B顺时针旋转1 2 0 得 到A D,点E在 线 段A B,A D组成的图形上，若对于任意点E,总 有 2 4 d(E,O 0)(-2,0),E(2,0),F(0,l).点M为A DEF形内弧所在圆的圆心.求 点M纵坐标yM的取值范围；(3)在平面直角坐标系中，点M(2,2百)，点G为x轴上一点，点P为A OM G最长形内弧所在圆的圆心，求 点P纵坐标yP的取值范围.12.已知：如图，0。的半径为r,在射线0 M 上任取一点P(不与点。重合)，如果射线0 M上的 点P,满 足O P-O P,=r2,则称点P1为 点 P 关 于。的反演点.在平面直角坐标系x Oy中，已 知。的半径为2.(1)已知点4(4,0),求 点A关 于。的反演点A,的坐标；(2)若 点 8 关 于。的反演点f恰好为直线y=V 3x与 直 线x=4的交点，求 点B的坐标；(3)若 点 C 为直线y=V 3 x上一动点，且 点 C 关 于。的反演点C 在。的内部，求点C的横坐标m 的范围：(4)若 点D为直线x=4 上一动点，直接写出点。关于。的反演点D 的横坐标t 的范围.13.过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆.特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆.在平面直角坐标系x Oy中，点 P(0,2).(1)已知点4(0,1),C(2,2),分别以4,B为圆心，1 为半径作。4,QB,以 C 为圆心，2 为半径作Q C,其中是点P 和 x 轴的点线圆的是；(2)记 点 P 和 x轴的点线圆为OD,如 果O D与 直 线 y =V 3x +3 没有公共点，求。的半径r 的取值范围；(3)直接写出点P和直线y =：0)的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围.1 4.对于平面直角坐标系x Oy中的定点P和图形F,给出如下定义：若在图形F上存在一点N,使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是 点P关于图形F的定向对称点.(1)如 图,4(1,0),8(1,1),P(0,2).点P关于点B的定向对称点的坐标是一；在 点 C(0,-2),0(1,-V 3),E(2,-1)中，_ _ _ _ 是 点P关于线段A B的定向对称点.-3-2-1 O 1 2 xT-2-(2)直 线l-.y =-x+b分 别 与 x 轴，y 轴 交 于 点G,H,Q M是 以 点 M(2,0)为圆心，r(r 0)为半径的圆.当 r=l时，若 O M 上存在点K,使得它关于线段G H的定向对称点在线段G H上,求b的取值范围；对 于b 0,当 r=3 时，若 线 段G H上存在点/,使得它关于0 M 的定向对称点在OM 直接写出b的取值范围.1 5.对于平面直角坐标系x Oy中的点P和 图 形G,给出如下定义：若 图 形G上存在两个点A,B,使 得A PA B是边长为2的等边三角形，则称点P是图形G 的一个 和谐点”.已知直线Z:y =V 3x +n(n 0)与 x轴交于点M,与 y轴交于点N,Q O的半径为r.1 -_ 1 I I I 1 I 1 fO 1 X(1)若 n =0,在点 P i(2,0),P2(O,2 V 3),P3(4,l)中，直线 l 的和谐点是_ _ _ _;(2)若 r=2,O。上恰好存在2个直线I的和谐点，求n的取值范围；(3)若 n =3 V 3,线 段M N上存在。的和谐点，直接写出r 的取值范围.1 6.对于平面内的4M A N及其内部的一点P,设 点P到 直 线AM,A N的距离分别为山，d2,称餐和竽这两个数中较大的一个为点P关 于乙 M A N的 偏率在平面直角坐标系x Oy中，(1)点M,N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点.若 点P的坐标为(1,5),则 点P关 于乙 M ON的 偏率 为_ _ _；若第一象限内点Q(a,b)关 于乙 M ON的 偏率 为1,则a,b满足的关系为；(2)已知点4(4,0),B(2,2 网，连 接O B,点C是线段A B上 一 动 点(点C不与点A,B重合).若 点 C关 于 乙40B的 偏率 为2,求 点C的坐标；点E,F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动 点T的坐标为(t,4),是以点T为圆心，半 径 为 1的 圆.若 OT 上的所有点都在第一象限，且 关 于乙 E OF的 偏率都大于V 3,直接写出t的取值范围.1 7.对于平面直角坐标系x Oy中的任意两点M O i，%),/V(x2,y z)给出如下定义：点 M 与 点N的“折线距离 为：d(M,N)=%x2+1%-y2|.例如：若点点N(2,-2),则 点 M 与 点 N 的 折线距离 为：d(M,N)=|-1 一 2|+|1 -(-2)1 =3+3=6.根据以上定义，解决下列问题:已知点P(3,-2).若 点 1(-2,-1),则 d(P,A)=_ _ _ _；若 点 B(b,2),且 d(P,B)=5,则 b =_ _ _ _；己 知 点C(m,n)是直线y =-x上的一个动点，且 d(P,C)3,求m的取值范围.O F 的半径为1,圆 心F的坐标为(0,t),若。F 上存在点E,使 d(E,O)=2,直接写 出t的取值范围.1 8.对于平面直角坐标系x Oy中的图形P和直线A B,给出如下定义：M为 图 形P上任意一点，N为直线A B上任意一点，如 果 M,N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直 线A B之间的 确定距离，记 作d C P,直 线AB).已知 4(2,0),8(0,2).(1)求d(点。，直 线 4 B)；(2)T 的圆心为T(t,O),半 径 为 1,若 d(OT,直 线AB)0),Q 是 以 r为半径的Q M上任意一点，当 0 W4 W 2 或 时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值.(要求画图位置准确，但不必尺规作图)2 6.在平面直角坐标系x Oy中，将 任意两点P(x i，%)与 Q(X 2，%)之间的直距定义为：DP Q=%_ 亚 1+l y i -y2l-例如:点 M(l,-2),点 N(3,-5),则 DMN=1 1 3 1 +1 2-(-5)|=5.已知点 4(1,0)、点 6(-1,4).2 3 4y654321图-2I-3TIT-6I(1)则 DAO _ DBO=_；如果直线A B上存在点C,使 得Dc o为2,请你求出点C的坐标；如 果O B的半径为3,点E为 上 一 点，请你直接写出DE O的取值范围.27.对某一个函数给出如下定义：若存在实数k,对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点(a,4),(a+l,h2),bbk都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数.例如，函 数y=-x +2,当x取 值a和a+1时，函数值分别为b a+2,历=a+1,故 历一瓦=一1-k,因此函数y x+2是限减函数，它的限减系数为一1.(1)写出函数y=2x 1的限减系数；(2)m 0,已 知y =(-1 x -l,直接写出P点横坐标n的取值范围.28.研究发现，抛 物 线y =x2上的点到点F(0,l)的距离与到直线l:y =-l的距离相等.如图1所示，若 点P是抛物线y=上任意一点，P H 1 1于 点H,则P F=PH.基于上述发现，对于平面直角坐标系x Oy中的点M,记 点M到 点P的距离与点P到 点F的距离之和的最小 值 为d,称d为 点M关于抛物线y=Jx2的关联距离；当2 W d S 4时，称 点M为抛物图1(1)在点 Mi(2,0),M2(l,2),“3(4,5),时4(0,4)中，抛物线 y =x2 的关联点是_ _ _ _；(2)如图 2,在矩形 ABC D 中，点 点 C(t+1,3).若t =4,点M在矩形A B CD上，求 点M关于抛物线y =J x2的关联距离d的取值范围；若矩形A B CD上的所有点都是抛物线y =的关联点，则t的取值范围是.yjk图22 9.对于平面直角坐标系x Oy中的点P和直线m,给出如下定义：若存在一点P,使 得 点P到直线m的距离等于1,则 称P为直线m的平行点.(1)当直线m的表达式为y =x时，在 点P i(1,1),P2(O,V2),P3(-y,y)中，直 线m的平行点是_ _ _:0。的半径为同，点Q在。上，若 点Q为直线m的平行点，求 点Q的坐标.(2)点A的坐标为(n,0),半径等于1,若。4 上存在直线y =g x 的平行点，直接写出 n 的取值范围.3 0.在平面直角坐标系x Oy中，O C 的半径为r,点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：如果点P 为射线CP上一点，满 足C P-C P =r2,那么称点P 为 点 P 关 于 O C 的反演点，图 1为 点 P及其关于O C的反演点P 的示意图.(1)如 图 2,当 0。的半径为1时，分别求出点M(l,0),N(0,2),T(|,0 关 于。的反演点M,N,T 的坐标；图2(2)如 图 3：己知点4(1,4),B(3,0),以A B为直径的0 G 与 y轴交于点C,D(点C位于点D下方)，E为 CD的中点，如 果 点。，E关 于 O G 的反演点分别为。，E,求/.EO G的大小.31.如图，点 P(x,y J与(?0,乃)分别是两个函数图象C i 与C2上 的任一点.当a Wx Wb 时，有 一 1 4%-丫 2 1 成立，则称这两个函数在aSx Wb上是 相邻函数，否则称它们在a 4x b上是“非 相 邻 函 数 例 如，点 P(x,y J 与 Q(x,y2)分别是两个函数y=3x+l与y =2 x-1 图象上的任一点，当-3 W x 4-1 时，yi-y2=(3x+1)-(2x-1)=x+2,通过构造函 数 y=x+2 并研究它在一 3 WX 4 1 上的性质，得到该函数值的范围是一 i W y W l,所以-i y i-y2 I x3-X i I中的最大值，称 为 4BC的“横长，记 作Dx；将 1 乃一y z l，I 乃 一 为 I，1 为 一 1中的最大值，称 为 厂。的 纵长，记 作Dy t把 答 叫 做 4B C 纵横比”,记 作 4=暮例如：如 图 1,AABC的三个顶点的坐标分别是4(0,3),B(2,l),C(-l,-2).则 0%=1 2-(-1)1=3,Dy=3 -(-2)|=5,纵横比 A =(.Dx 3 如 图 2,点 A(1,O).点E(-l,2),则 ZMOB的纵横比A1：AOE的纵横比A2；点 在F第四象限，若ANOF的纵横比为1,写出一个符合条件的点F 的坐标；点 M 是双曲线y =；上一个动点，若 4。”的纵横比为1,求 点M的坐标;%5-4-3-2 -5-4-3-2 -1 1 -A1 1 1 1 1 ,X 1 I 1 11 2 3 4 5 X 2-3图2 如 图 3,点 4(1,0),O P 以 P(0,V 3)为圆心，1为半径，点 N 是。P 上一个动点，直接 写 出 A ON的纵横比A的取值范围.4图235.在平面直角坐标系x Oy中，点 P 与 点 Q 不 重 合.以 点 P 为圆心作经过点Q 的圆，则称该圆为 点P,Q的 相关圆.(1)已知点P的坐标为(2,0),若 点 Q 的坐标为(0,1),求 点P,Q的 相关圆”的面积：若 点 Q 的坐标为(3,n),且 点P,Q的 相关圆 的半径为遥，求 n 的值.y 八O .I X(2)已 知4 A B e为等边三角形，点A和 点B的坐标分别为(-V3.0),(遮,0),点 C 在 y 轴正 半 轴 上.若 点P,Q的 相关圆 恰好是4 B C 的内切圆且点Q在 直 线y=2 x ,求点 Q 的坐标.己 知 A 8C 三个顶点的坐标为：4(3,0),B 信 0),C(0,4),点P的坐标为(0,|),点 Q的坐标为(加,|).若 点P,Q的 相关圆 与4 A B e的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围.36.在平面直角坐标系x Oy中，对于半径为r(r 0)的 0。和 点P,给出如下定义：若 rWP0 b时，点P 的坐标为（-a,b）；当aWb时，点P 的坐标为（-b,a）.A二ZV321VZ321。_12345678一一一-5-3-2X212345638T一一一一一一一一-4-3-25备用图3 备用图4(1)点 4(3,1)的变换点4的坐标是_ _ _；点 5(-4,2)的变换点为B1,连 接O B,O B,则乙 BO B=_ _ _ _ 。；(2)已知抛物线y=-(x+2)2+?n 与 x 轴 交 于 点 C,D(点C在 点D的左侧)，顶点为E.点P在抛物线y =-(x+2Y+m上，点P的变换点为P.若 点 P 恰好在抛物线的对称轴上，且四边形EC P D是菱形，求m的值；若点 F 是函数 y =-2 x-6(-4 x 4)上.。上的点M 关 于 y=x 轴对称时，对称点组成的图形是.求b的取值范围；O E的半径为2,点 E(0,t)是 y 轴上的动点，若 O E 上存在点N,使 得 点N,是 点N关 于 y=x 轴，点(2,0)的 轴中对称点，并 且N 在 直 线 y=-x +3 V 3 上，请直接写 出t的取值范围.41.在平面直角坐标系x Oy中，对于点P(x,y)和 Q(%,y),给出如下定义：若 V=巴 0-则称点Q 为 点P的 可控变点例如：点(1,2)的 可控变点”为 点(1,2),点(-1,3)的 可控变点”为 点(-1,-3).(1)点(一5,-2)的 可控变点 坐标为一；若 点P在 函 数y =-x2+1 6 的图象上，其 可控变点 Q 的纵坐标y 是 7,求 可控变点 Q 的横坐标；(3)若 点P在 函 数y =-x2+16(-5 x a)的图象上，其 可控变点 Q 的纵坐标y 的取值范围是-16 S y 4 1 6,求实数a的取值范围.42.在平面直角坐标系x Oy中，已知点M(l,l),经过某点且平行于O M,O N 或 M N 的直线，叫该点关于4 0 M N的“关联线”.例如，如 图 1,点 P(3,0)关 于4 0 M N的 关联线 是：y =x+3,y =-x+3,x=3.在以下3 条线中，是 点(4,3)关 于4 0 M N的 关联线(填出所有正确的序号)；x=4；y=-X 5；y x 1.(2)如 图 2,抛 物 线 y=i(x-m)2+n 经 过 点 4(4,4),顶 点B在第一象限，且B点有一条关 于4 0 M N的 关联线 是y=-x +5,求此抛物线的表达式；在(2)的条件下，过 点 4 作 4 C J.X 轴 于 点 C,点 E 是线段A C上 除 点C外的任意一点，连 接0 E,将4 OCE沿 着0 E折叠，点C落 在 点C的位置，当 点 C,在 8 点关于 OM N的平行于M N的“关联线 上时，满 足(2)中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在0E?43.在平面直角坐标系x Oy中，对 于P,Q两点给出如下定义：若 点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则 称P,Q两点为同族点.下图中的P,Q两点即为同族点.(1)已知点A的坐标为(-3,1).在 点R(0,4),5(2,2),7(2,-3)中，为 点4的同族点的是_ _ _ _；若 点B在x轴上，且4,8两点为同族点，则 点B的坐标为一；(2)直 线l:y=x-3,与x轴交于点C,与 y轴交于点D,M为 线 段CD上一点，若在直线x=n上存在点N,使 得M,N两点为同族点，求n的取值范围；M为直线I上的一个动点，若 以(m,0)为圆心，V 2为半径的圆上存在点N,使 得M,N两点为同族点，直接写出m的取值范围.墙6-5-4.3-2.1 ,-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 x-1-2-一3-4.-5.-644.定义：y 是一个关于x的函数，若对于每个实数x,函 数 y 的值为三数x+2,2 x+l,-5x+2 0 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.(1)画出这个最小值函数的图象，并判断点4(1,3)是否为这个最小值函数图象上的点；(2)设这个最小值函数图象的最高点为B,点、4(1,3),动点直接写出A A B M的面积，其面积是_ _ _ _；若 以 M 为圆心的圆经过A,B两点，写出点M的坐标；以 中 的 点M为圆心，以 V 2 为半径作圆.在此圆上找一点P,使PA+当PB的值最小，直接写出此最小值.45.已知四边形A B C D,顶 点 4,B的 坐 标 分 别 为(n,0),当顶点C落在反比例函数的图象上，我们称这样的四边形为轴曲四边形A B CD 顶 点C称为轴曲顶点,小明对此问题非常感兴趣，对反比例函数为y 时进行了相关探究.图1备用图(1)若轴曲四边形A B CD为正方形时，小明发现不论m取何值，符合上述条件的轴曲正方形只有两个，且一个正方形的顶点C在第一象限，另一个正方形的顶点G在第三象限.如 图1所示，点A的坐标为(1,0),图中已画出符合条件的一个轴曲正方形A B C D,易知轴曲顶点C的坐标为(2,1),请你画出另一个轴曲正方形A B 1 C 1 A，并写出轴曲顶点6的坐标为；小 明 通 过 改 变 点A的坐标，对 直 线CCi的 解 析 式y =kx+b进行了探究，可得k=_ _ _ _,b(用 含m的式子表示)=_ _ _ _；(2)若轴曲四边形A B CD为矩形，且两邻边的比为1：2,点A的坐标为(2,0),求出轴曲顶点C的坐标.4 6.如图，P是0。内一点，过 点P作。的任意一条弦A B,我 们 把P A PB的值称为点P关 于。的 幕值y(1)Q O的半径为5,O P=3.如 图1,若 点P恰为弦A B的中点，则 点P关 于。的 塞值 为；判断当弦A B的位置改变时，点P关 于。的 基值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求 点P关 于O。的 基值 的取值范围.(2)若。的半径为r,O P =d,请 参 考(1)的思路，用 含r,d的式子表示点P关 于。0的 塞值 或 塞值 的取值范围：(3)在平面直角坐标系x O y中，。的半径为4,若在直线y =-x+b上存在点P,使得点P关 于。的 暴值”为1 3,请写出b的取值范围.47.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做 等邻边四边形.如图，在四边形A B CD中添加一个条件使得四边形A B CD是 等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.问题探究：小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的 等邻边四边形 是正方形.她的猜想正确吗？请说明理由.(3)如图，”等邻边四边形A B C D中，AB=AD,/.BAD+/.BC D=90,AC,B D为对角线，=.试探究线段BC,C D,B D之间的数量关系，并证明你的结论.D48.如图，在平面直角坐标系x Oy中，已知点4(0,1),B(0,-1).点P是平面内任意一点，直线P A,PB与 直 线 x=4 分别交于M,N两 点.若 以M N为直径的圆恰好经过点C(2,0),则称此时的点P 为理想点.(1)请判断Pi(-4,0),P2(3,0)是否为理想点；若直线x=-3 上存在理想点，求理想点的纵坐标；(3)若动直线x=m(m*0)上存在理想点，直接写出m的取值范围.49.己知：x 为实数，幻 表示不超过x 的最大整数，如 3.14=3,=-1.2=-2.请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=65432-5-4-3-2-1(?2 3 4 5%-2-3-4-5-6(1)当 x=2.15 时，求 y=x-x 的值；(2)当0 x 2,求函数y =x-x 的表达式，并画出函数图象；(3)在(2)的条件下，平面直角坐标系x Oy中，以。为圆心，r为半径作圆，且r W 2,该圆与函数y =x-x 恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围.50.对于关于x的一次函数y =kx+b(k 0),我们称函数Kmj=黑黑)为它的m分函 数(其 中m为常数).例如，y =3 x+2 的 4 分函数为：当 x 4 时，y(4=-3 x -2.(1)如 果y =-x+l的2分函数为y，当 x=4 时，y(2=_；当y=3时，x=_ _ _ _.(2)如 果y =x+l的 一1分函数为y-i ,求双曲线y=|与y-i的图象的交点坐标；从下面两问中任选一问作答：设y=-x +2的m分函数为y m,如果抛物线y=/与ym的图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围.如果点4(0/)到y=-x +2的0分函数yt 0 的图象的距离小于1,直接写出t的取值范围.51.如果一条抛 物 线y=ax2 +bx+c(a#0)与x轴的两个交点为A,B(点A在 点B的左侧),顶点为P,连 接P4,P B,那 么 称APAB为这条抛物线的 抛物线三角形”.(1)请写出 抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式(写出一个即可)(2)若抛物线y=-x2+b x b 0)的“抛物线三角形 是等边三角形，求b的值;yn若 PA B是抛物线y =-x2+c的 抛物线三角形，是否存在以点A为对称中心的矩形P B C D,若存在，求出过0,C,D三点的抛物线的表达式;若不存在，说明理由.川16-5-4-3-2-1 -5-4-3-2-1（）1-1 -2-3-4-5-6-备用图2 3 4 5 x52.在平面直角坐标系x Oy中，对 于 点P和。给出如下定义：若。上存在两个点A,B,使 得Z.AP B=6 0 ,则 称P为。的关联点.已知点 N(2,0),E(0,4),F(2V3,0).(1)当。的半径为1 时，在 点 M,N,E,F 中，。的关联点是()；过 点F作 直 线I交y轴正半轴于点G,使 ZGFO=3 0 ,若 直 线I上的点是Q 0的关联点，求m的取值范围；若线段E F上的所有点都是半径为r 的。的关联点，求半径r 的取值范围.53.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p,当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则 称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零.例如，下图中的函数有 0,1 两个不变值，其不变长度q 等 于 1.(1)分别判断函数y =x-l,y=y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；(2)函数 y=2 x2 b x.若其不变长度为零，求b的值；若 1 W 6 W 3,求其不变长度q的取值范围；(3)记 函 数y =x2-2 x(x m)的 图 象 为Gr,将沿x=t n 翻折后得到的函数图象记为G2.函 数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满 足 0WqS3,则m的取值范围为-.5 4.在平面直角坐标系x Oy中，对 图 形W给出如下定义：若图形W上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形A B CD的坐标角度是9 0 .叫D1 7ns1 1 -3-2 -1 O 1 2 3 x(1)已知点 4(0,-3),B(-l,-1),在点 C(2.0),D(-l,0),E(2,2)中，选一点，使得以该点及 点A,B为顶点的三角形的坐标角度为90。，则满足条件的点为_；(2)将 函 数y -ax2(l a 3)的图象在直线y =1下方的部分沿直线y =l向上翻折，求所得图形坐标角度m的取值范围；(3)记某个圆的半径为r,圆心到原点的距离为I,且！=3(r l),若该圆的坐标角度6 0。4m 9 0 .直接写出满足条件的r的取值范围.答案1.【答案】(1)E,F；一|或 t-*或?t|V 2.(2)-4 m 2-2 V2 或 4c m 4或.2.【答案】(1)P 1.0 3(2)点C与 点P是关于线段。4的关联点，点。，A,C,P四边共圆，故 点P在劣弧。4上，当CP是直径时，存 在m的最小值,设圆心为E,C(1,V3),4(2,0),C P 1 O A,C D=V3,O D=AD=1,v A E2=D E2+A D2,A E2=(百一 A E)+l2,A人E口 =2瓜,3 .P D=叵,即m=,3 3 *-V 0.(3)1 b 0)与直线A B 平行，4(2,0),B(0,2),OA=OB,(OFE=Z.OBA=45,4EOF=90。，点 P 与 点。是关于线段E F 的关联点，Z.EPF=90,当 以 E F 为直径的圆与直线A B 相切时有最小值，与 直 线 A B 相交时都可得到乙 EP尸=90。,故 b 2,当 以 E F 为直径的圆与直线A B 相切时，连 接 E F 中 点 N 与 点 P,连 接 PE,PF,乙BPN=90,(FNP=90,v FN=PN,(NFP=乙NPF=45,乙OFP=90,四边形O F P E 是矩形，,OF=OE,四边形O F P E 是正方形，.OF=PF=BF=1,A 1 b 2.3.【答案】(1)是；C(2)如 图 3,过 8 作直线l-.y =x+b,把 8(-1,2)代入得：2=-1 +b,b =3,在%轴上，F左边取一点H,使 FH=2,过”作 H K 1 工轴，使=2,过 K 作KL/1,交 y 轴 于L,K(l,2),设直线K L的解析式为：y =x+br,把 K(l,2)代入得：2=1+瓦，瓦=1,若线段I上存在线段A F的 2 旋转点，则b的取值范围是：1 W b W 3；同理，线 段A F的“2 旋转点，位于两条线段上的端点坐标分别为(1,-2)和(3,-2)时，可得b的取值范围是：-5Wb W-3；故B的取值范围为：一 5 4 b W -3 和 1 b 3.(3)-1-V 1 O t 2,则称点D不是线段A F的 2 旋转点，同理得：点 C(2,-2)且 M(2,0)绕 点 M 顺时针旋转90。后得到对应点。，且。在 线 段AF上，则称点C为线段A F的 2 旋转点，点 E(2,2)绕 点M顺时针旋转9 0 后得到对应点E,但 E 不在线段A F上，所 以 点E不是线 段A F的 2 旋转点：故答案为：C.(3)理由：O T的 2 旋转点”，位于半径为V 1 0 的同心圆上,如图，当 点T位于点A右侧，且 2旋转点 所在圆与A D相切时，切点为M,cosZ-DAODO _ MT _ 3 A AT y/161V10 _ _3_*7 F =而 .AT=,3t=-,3当 点T位于点A左侧，且2旋转点”所在圆经过点A时，t=-1-,-1 -t 0)与y轴交点为D(0,5),与x轴交点C在X轴负半轴,.AD=0D-0A=2,Z,ADE=4 5 ,0C=0D=5,点C的坐标为(-5,0),f c =1.3 VT5.(3)V T 5+1 W 弓2(0 7,线段 A B)W 旧+1.5 .【答案】(1)4(4,0),C(0,4)(2)2-2V 2a 2+2或.(3)3 a 3 2 V2 或 1 W a W 3 +2 V2.6.【答案】(1)如图所示；120。.(2)P(0,2 g)或(0,0)；2 m/3,OB=2.Z.OAB=30.OC=V3.d(C,O。)的最小值为V3+1.(2)也 b -也 或 逗W b也.,7 3 3 78.【答案】(1)2；4V2；V6(2)如图，过点P作P M L x轴于点M,PN l y轴于点N.v 乙PMO=乙PNO=乙MON=90,四边形PMON是矩形.OP=MN.1 Q点坐标为(75,1),OQ 2.v PQ-OQ OP PQ+OQ,/.3-2 OP 3+2.A 1 h 5.(3)如图，设直线/与x轴，y轴的交点分别为A,B,过 点。作O M J.直线于点M,以0 A为半径作O。，交直线I于点N.Z.BAO=60,AO=2V3,AM=V3.过点M,N分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D,则AC=苧，即0C=当.A O N是等边三角形,OD=1 7 1 0 =V3.t=-等 或一b t /2,hc=后.9.【答案】(1)弧 G2,弧 G3(2),弧G为 0AB的内切弧，且 弧 G 与 边 AB,0 B 相切，弧 G 所在圆的圆心在.OBA的角平分线B 1 上.易知若弧G 的半径最大，则 弧 G 所在圆的圆心/在 4 0 A B 的 边。4上.设 弧 G 与 边4 B,0 B 相切分别切于点0,H.：.IH 1AB.,1 4(8,0),8(0,6),BO=6,AO=8,AB=-JAO2+BO2=1 0./.IOB=AIHB=90 ,01=IH,BI=BI,IOB q IHB.BH=BO=6.AH AB-BH=4,Al AO-01=8-01,01=HI.在 R t A I H 中,AI2=AH2+HI2,即(8 -O/)2=42+O/2.解 得 01=3.(3)O A M 的完美内切弧半径的最大值为 线 段 D F 长度的取值范围是|4 O F W 3且。产力蓑.1 0 .【答案】(1)2 2,P3 ；4(1,0),AB=2也线 段 A B 的中点C(VI+L O),.点 A,B 的直角点”在以点C 为圆心，V 2的长为半径的O C上,当直线y =-x+b与。相切于点D,与两坐标轴相交于点M,N时,v ZM=45,C D=V2,C M=2,OM=OC+CM=V2+1+2=V2+3,O N =O M =y/2 +3,即 b=V2+3,同理：当直线y =-x+b与 O C 相切于点E 时，C H=2,O H=O C-C H =2-l,即 b=V2 1,综上所述，V 2-1 d V2+3.(2)2 r V29.1 1.【答案】(1)如图所示.T t(2)当圆心在x 轴下方时，此时最长形内弧与线段DF,E F相切，D O F s DO M1,O F-0 Mr=O D2.OMi=4.VM W -4；当圆心在X 轴上方时，此时最长形内弧与X 轴相切，EGM2s HEG,HG-H M2=H E2.、5 ,yM 2-综上所述，y”4 一 4 或 y”之|.(3)当 凡 4 一 4 时，此时最长形内弧与x 轴相切，GO P s GHO,GP i=4V3.yP 1 4V3；当一4 见 0 时，此时最长形内弧与线段0 M 相切,解得 yP 2 4V3；当 0 几 4 时，此时最长形内弧与线段M G相切，解 得 yP32雷；当XG24时，此时最长形内弧与线段M G相切，解 得y p4 或 y p W-【解析】(1)如图所示.当。8 =2时，R t ABC的形内弧最长，此时弧长=n.12.【答案】(1)依题意得：。4 =4,v 0A-0A=22=4,0A=1,则 4(1,0).(2)所恰好为直线y =gx与直线x =4的交点，y =gx与 x轴夹角为6 0 ,二B,点坐标为(4,4 7 5).O B=8.O B-O B=22=4,.O B=2BM).点c为直线y=V 3 x上一动点，且 点C关 于。的反演点C，在。的内部,点C在 O。的外部，直 线y =y/3 x与。的两个交点坐标的横坐标为1,m的取值范围是m 1或-1.(4)t的取值范围是0 j3 r.O M =D2Q=V3r-V3.根据勾股定理可以得到：D2 P 2 =D?Q 2 +P Q 2,o即丁2 _ (旧厂V3)4-(r 2)2.解 得6 =1(舍)，万=(1 r 0,当直线I与 以 点（2,0）为圆心，1 为半径的圆相切时，8=?；当直线I经 过 点（一 1,0）时，b=苧.芝W b 逅.3 3若 b V 0,当直线I经 过 点（1,0）时，b =-当直线I与以点（0,0）为圆心，3 为半径的圆相切时，b =-2V3.-2V3 b-y.综上，b的取值范围是 b 或 b 0,当直线I位 于 匕 时，。上只有1 个 点C是直线I的和谐点；当直线I位 于，2 时，。上 有 3 个 点C,C2,C3都是直线I的和谐点，满足条件的直线I应位于直线。和12之间.设过点C 且 与。相切的直线为I ,直线l2,r分别与x 轴，y 轴交于点Ml，Ni，M2,N2,M,N.连 接 O C,则 0c 1。，O C=2.取 4 8 中 点D,连 接C D,则C D=且0,C,D三点共线