2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义--空间向量的数量积运算.pdf

1.1.2空间向量的数量积运算目标导航课程标准课标解读1.会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1.理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.享、高频考点2 二 知 识梳理知识点1 空间向量的夹角如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作。A=a,d fe=b,则NAOB叫做向量定义 a,b 的夹角，记 作 a,b拓展提升:范围0 a,b）一 冗向量垂直如 果 a,b)=2，那么向量。，力互相垂直，记作唯以(1)当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0,共线反向时，夹角为兀(2)a,b，(a,b),a,b,一a,b),它们有什么关系？对空间任意两个非零向量a,b有:a,b=瓦。；一a,b)=a,b;一a,b)=a,b.【即学即练1】在正四面体A5。中，瑟与仍的夹角等于()A.30 B.60 C.150 D.120【解析】版,Cb)=180-(Cb,Cb)=180。-60。=120。.故选口知识点2空间向量的数量积运算1.(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a,b,则|a|b|cos(a,b)叫做a,b 的数量积，记 作 a协，即 a+=|a|升cos(a,b).零向量与任意向量的数量积为0,即 0也=必(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(Aa)-b=Ma-b),xFR交换律a*b=b*a分配律a(b+c)=a*b+a*c2.投影向量及直线与平面所成的角(1)如图，在空间，向量a 向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面a内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c,c=|a|cos(a,b)卷，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量.类似地，可以将向量a 向直线/投影(如图).(2)如图，向量a 向平面/?投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点8 作平面/的垂线，垂足分别为A，,B,得到向量K F+,向 量 力 称 为 向 量 a 在平面”上的投影向量.这时，向量“，不/的 夹 角 就 是 向量a所在直线与平面P所成的角.(1)向量a,b 的数量积记为a协，而不能表示为ax或者。瓦向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角的范围决定.当，为锐角时，a协 0;但当a协 0时，不一定为锐角，因为，也可能为0.当。为钝角时，a-b但当a协 0时，。不一定为钝角，因为也可能为兀(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.【即学即练2】在棱长为1的正方体4B C D-A 4C Q 中，设 通=4,ADb,AA；=c,贝!日(+为的值为()A.1 B.0 C.-1 D.-2【解析】a(b+c)=d b+a-c=O,故选民【即学即练3】如图，正方体A B C O-A B C D 的棱长为1,设“=A D=b,A?=c,求:A B A D(2)a(a+b+c).(3)(a +&)-(+c).故(Z?+c)=人+c =0(2)由(1)知,(+b+c)=a-a+0(/?+c)=1(3)由(1)及 A D _ L A 4,知,+b)(b+=a-(b+)+b+b-Z=【即学即练4】如图，在三棱锥P A B C 中，A R A B,AC两两垂直,A P =2,A 8 =A C =1,M为 PC的中点，则 北.3 庙 的 值 为(C.4【解析】由题意 得 的=丽+丽/=丽+!(而+/)=丽+工 丽+,/，故AC B M =A C故选：D.知识点3 空间向量数量积的性质(1)若 0,力为非零向量，则。口 B 仍=0;(2)。=|a F a=ya*a=y；fi*h(3)若 a,5为非零向量，则 co s(a,b)=而而;(4)|a 6|W|M 网(当且仅当a，b共线时等号成立).【即学即练5】已知在平行六面体A 5C D-A iaG O i中，A Ai=A B=A D=l,且这三条棱彼此之间的夹角都是60。，则 4 G 的长为（）A.6 B.祈 C.3 D.3【解析】设 初=。，A b=b9 AA=C9则=步|=匕|=1,且 *b）=仇 c）=c,a）=60,因此 ab=b，c=c a=不由 4&i=+b+c,得J=a2+A2+c2+2a o+25 c+2c,a=6.所以.故选 B【即学即练6】已知,其是夹角为60。的两个单位向量，则1 =1 +与n 1-2*的夹角是（）A.60B.120C.30D.90_ _ _ _ _k 1 3【解析】由题意 得 痴=（弓+0 2）（1-2 6 2）力；-4 也 2-2 工；=l-l xl x-2 =-,m l=+C 2)2=J ei +2 I 2 +2 =J l +1 +1 =5/3，b 1=J(ei -2=)2 =je-4 ei,以 +4 2 =x/1 2 +4 =y/3 二.5）=1 2 0。.故选:B.【即学即练7】在空间四边形0 4 3。中，连接AC,OB,04=8,A B=69 AC=4,BC=5,ZOAC=45,NO4B=60。，求向量宓与品所成角的余弦值.U L U U U U UL1U【解析】Q B C =A C-A B 9B.OA-BC=OA-AC OA-AB=|O A|-|A C|-COS|(Z4|-|/A|-cos =8x4xcos 1358x6xcos1200=24-16V2,cos-O A-8 d _2 4-16-3-2 八|网悭8x5故答案为：士工也5N i考点精析考点一空间向数积的概念辨析解题方略:注意空间向量的夹角的定义及熟练掌握数量积的运算律【例 1-1】对于空间任意两个非零向量a,瓦“是“=0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】显 然 a,b)=0=a 儿 但 a。包括向量a,8 同向共线和反向共线两种情况，即当a人时，a,b)=0 或 i t,因此a。冷(a,b)=0.故“ab是(a,b)=0”的必要不充分条件.故选B【例 1-2】如图，在正方体4 8。一“十。中，求 向 量 充 分 别 与 向 量 百 F,初，CD,万的夹角.【解析】连接8。(图略),则在正方体 中，ACA.BD,NBAC=45。，AC=AD=CD,所 以 就，7TF+=A t,Ah)=45,(A t,B =180-U t,A&)=135,A t,=ZDAC=60,(A t,加=180-)=(A t,Bb)=90.【例 1-3】设、B为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：-=同；=4；倒.町=7 方；a-h=a-2a-h+h2.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】对于，2=|2cosO=p|2,正确；对于，向量不能作比值，即:错误，错误;对于，设 入E的夹角为6,则(外 盯=料卡卜。$。)=|u|cos2 =(OA,0C)=O B,0C)=60.(DIM OB=OA OB|cos NA05=1 x 1 xcos 60。=；.(2)(o T+OB)-(CA+CB)=(OA+dB)-(O A-d c+d B-d c)=(OA+OB)(OA+OB-2 OC)=OX 2+2 OA-OB-2 OA-OC+OB 2 2 OB-OC=12+2x 1 x 1 xcos 602x 1 x 1 xcos 600+122x 1 x 1 xcos 60=1 4-1-1+1-1=1.变 式 2：已知正四面体04B C 的棱长为1,若 E,尸分别是04,OC的中点，求值:(D E F-T O；(2)F-4C；(iyEF-CB.解析 瓦 而 二；1?而=|7CIIAC7|C O S=1cos 60。=；.(2)EF-AC AC AC=1|AC p=1.=|TC-CB=1|7c|CB|cos A C,CB)=|cos 120=-1.变式3：已知棱长为1 的正方体A B B-A iB iG U 的上底面AiBiGDi的中心为Q,则M京 的 值 为()A.-1 B.0C.1D.2【解析】和=诵+兀 5 7 =疝+；(彳屈+却/1)=常+(弁+不?)，A C=A B+D,则 而 衣=!(|4|2+|4 0|2)=1,故选 C.【例 2-3】已知空间向量a,A,c 满足a+b+c=0,团=3,网=1,|c|=4,则 a协+b c+c-a的值为.【解析】.。+方+c=0,；(a+b+c)2=0,；出+c2+2(ab+b*c+c*a)=0,32+12+42。6+c+ca=13.考点三利用空间向的数 积求夹角解题方略:1、求两个向量的夹角有两种方法：结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；ab先求。仍，再利用公式c o sa,b)=厂 而 求 出 c o s(a,b)的值，最 后 确 定(a,b)的值.ab夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角.【例 3-1】如图，在正方体ABCD-AIBIGOI中，求力日与前夹角的大小.【解析】不妨设正方体的棱长为1,则 反 点*=(B C +CCi)-(AB+B C)=(AD+AAi)-(AB+AD)=D A B +AD2+-A B +AAiAD=0+AD2+0+0=AD2=1,又招|=6，AC=yf2,./5C.AC-C 0 S 、.-.7 TV e0,n,：.BCi,AC =亍即 招 与 前 夹 角 的 大 小 为 全变 式 1：已知空间四边形0A 3C 中，OB=OC,Z A O B=Z A O C=,则 c o s(殖,鼠 的值为()A B.乎 C.1 D.0【解析】O BI=oX(d t-o h)=dX o t-o X dh=oX liotlcosZAOC-|OAohcosZAOB4两 波 T两 防 1=0,所 以 加 JL就.所以 cos =0.故选D变式2：在边长及对角线都为1 的空间四边形ABC。中，E,F 分别是8C,AD的中点，则直线AE和 CF夹角的余弦值为（）A.-B.|C.-D.3 3 4 2【解析】如图，连接对角线3C,A D,则可构成棱长均为1 的正四面体A-BCDUUD 1 /Him UUD 1 ._ 由 E,尸分别是BC,AO的中点，.AE=Q（AB+ACj,CF=-（C4+CD）:.A E C F =（AB+AC）（CA+CD）=（ABC A+AC C A+ABC D +AC-CD）=；（_；_+被 _；）=*2+而.）=_ g +；宿 前 又AB C D=A B-A D-A C A B AD-AB AC=-=O,:.AE CF=-,_.I_ AE-CF 彳则 6=阿可叵西=2 X 223所以直线AE和 C F夹角的余弦值为|.故选：B1且两两夹角为60.求:如图，在平行六面体A 8 8-A B C R 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为（1）AG的长;(2)西与抚夹角的余弦值.【解析】记 福=,AD=b,丽=，则问=忖=忖=1 ,=60,.西=+2）2=+用+同+2 0a-b印+b-c+a-c=3+2 x =6,宿 卜，即AG的长为指（2）-：BD=b+c-a 9 AC=a+h.瓯=怀+用+同2 +2(“b c-a b-a c =3-=29国2=用+|邛+2石=3,.|网=0,A C=y/3f又 西./=,+一斗（+可 用2一 仲+/+7 2=1,c o s听*=氤筒=心邛，即岫 与 恁 夹角的余弦值为 器.【例3-2】已知,石是空间两向量，若同=3,向=2,忖-4=疗，则 与B的夹角为【解析】设 与右的夹角为所以根据,一(=同+忸 一 2问.卧8 5。,7=9+42x3x2xcos8,B P cos=,27 TXO0 变 式1：已 知:是 两 个 空 间 单 位 向 量，它们的夹角为60,设向量a=2m+n 9 b=-3m+2n 求:标;向量；与X的夹角.【解析】(1)因为蔡，:是 两个空间单位向量，它们的夹角为60,所以旅”Im cos60=；,所以f。-/?=2m +J-3?+2J=-6眄F +加f T+2卜|二 6+；+2=g；(2)因为-T、22m+nI?T T4 bn+4 nv n+-3 计2H =4+4Xy 4-1=7 9二9-12xg+4=7所以卜 卜 近，卜卜疗,b22T9 H -12n l+4卜 又因为=所以。叫 四一 _Za-b _ 2 _ 1麻 瓜VT N 因 为 功)e0,司，所以(a，。即向量；与了的夹角为爷.【例33】已知空间向量、6满足同=2,忸卜1,但刀二60。，若向量万+篇与府一2加的夹角为钝角,求实数力的取值范围.【解析】因为向量a+肪 与 热-2 6 的夹角为钝角,所以（&+几5）（/1 万 2 5）o,且万+4与力不共线，因为M 石=1,所以k+（公-2）无6-2 步 2 0,解得-I-G 4 =普的=4r=逅所以|AB,|-|BC,|0X6 6-故答案为：逅.6考点四利用空间向的数量积证明垂直解题方略:利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0 来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a,b,c 有关的向量?，垂直的方法：先用向量”，仇 c 表示向量,，”,再求解向量机，的数量积并判断是否为0.【例 4-1】已知空间四边形ABCD中，ABCD,A C 1 B D,求证：ADLBC.【证明】：ABCD,ACrBD,.,.7B*CD=0,=0.:.WBC=CA B+D)-(A C-A B)=8+B DAC-AB2-BBD=BA C-AB2-BBD=A B-(A C-A ii-D)=A B：DC=.：.AD L B C ,从而 ADLBC.变 式 1：如图，四面体。4 8 c 各棱的棱长都是1,D,E 分别是0C,A 3 的中点，记 以 1，办=小 庆 二.(1)用 向 量 表 示 向 量 i)E;(2)求证 DE_LA8.1 1 1 1/【解析】根据题意，=D O+O A+-OC+2AB =2 C+A+2 i=g(o+0%_o2)=*+W _ q.(2)根据题意，W E 1相 互 之 间 的 夹 角 为 且 模 均 为 1,由(1)|/-、f 2 _ 2 T T _ _ DE-AB=I 1-1l=I -a +b-h-c+a-c=|-l +l-lx lx +lx lx|=0,21 2 2)所以D E L A B.变式 2：如图所示,三棱柱 ABC-ABC 中，CA =a，C B b，CC；=c,C4=CB=CQ=1,例率0 =年,(1)用3，b 之表示向量AN;在线段C声上是否存在点，使 A M,入川？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由.【解析】(1)而=不+而=束+；丽=-%+；(而 _ 函=假设存在点M,使 A M _L A N,设 G祈=4 函,(2 e 0/D，显然m=2 砺=加AM=A4,+A +C|A/=c-a +4,因为A M _L A N,所以如 _ 1 4 月=应 4 齐=0,即(c-a+A b)(一+c)=0,一 一 一 7*-2 1 -2 1 -一 一 1.一 1、厂2 -r-八 c 6 7 H c b c H a a b+c a A,c i ,b H AZ?A,b c =()2 2 2 2 2 2因为 CA=CB=CC|=1,=1，=1 一 一 一2 1 -2 1 1 -一 1 一2所以有：3 c a-c+(+A)ci,Z?+Ab=0,即一x 1 x 1 x()1H x p (I A)x 1 x 1 x()H Z,P=0 92 2 2 2 2 2 2解 得2=；,所以当GM=：C 4时，AM L A、N.【例4-2如图所示，在正方体ABCD-A 181Goi中，。为AC与8。的交点，G为CG的中点，求证：AtO 平 面 GBD.证明：设4 8 t=a,AiD t=b,A A=c,则。6=0,c=0,a c=0,|a|=|=|c|.V Ait=AiA+AO=AM+1(AB+AD)=c+1a+1z,BD=AD AB=b-a,OG=OC+CG=|(A P)+|c G1,1.1=2a+2b 2c-.A id-BD=(c+；a+，)(A-a),1,1 2,1,2 1,=c-bc-a-v-ja-b-+b-a=1(ft2a2)=|(|Z|2|a|2)=0.于 是 布 _L而，即4O_LB。.同理可证NZJ_忘，即 AiO_LOG.又 BDQOG=O,于是有40_1_平面GBD.考点五利用空间向的数曜积求距离(即线段长度)解题方略:求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)因 为az=|aF，所以|a|=d，这是利用向量解决距离问题的基本公式.另外，该公式还可以推广为|a=d(a 力)一 =y/a2+2a-b+b2.(4)可用依e|=|a|cos例(e为单位向量，为 a,e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影.【例 5-1】已知空间向量瓦5忑两两夹角均为60,其模均为1,则卜+6-2 =()A.&B.G C.2 D.石 解析 1 a+b-2c=Jm+b-2 仃 2 =+p +4c2+2a-b-4a-c-4b-c=./l+l+4+2 xlxlx-4 x lx lx-4 xlxlx V 2 2 2=/3.故选：B【例 5-2】如图所示，在。4 8 c o 中，AO=4,CD=3,ZADC=60,B4_L平面 A8CZ),P A=6,求线段 PC【解析】V 7C =-RT+AD+DC,：.Tc F=(钳 +AD+DC)2=PA|2+AD p+|D C 2+2PA AD+2A D DC+2DCGRT=62+42+32+2|AD DC|cos 120=61-12=49.Al PC|=7,即尸C=7.变式 1：如图，平行六面体ABC。-4 与 。中，AB=AD=AAl=,ZBAD=ZBAAi=120,ND4A=60，则 AG=()B.2C.百 D.V2【解析】.猬=丽+南+丽，2 2 2=AB+A D +A A+2A B A D+2A B A A+2A D A A=l+l+l+2 x l x l x|-|+2 x l x l x(-|+2 x lx lx =2,.-.AC、=五.故选：D变 式 2：如图，已知一个60。的二面角的棱上有两点4,B,AC,8 0 分别是在这两个面内且垂直于A 8 的线 段.又 知 A 5=4,AC=6,B D=S,求。的长.【解析CAAB,BDAB,：.(CX,Bb)=120.：C b=cA+A b+B b,且就盛=0,：.cb=cb cb=(cA+Ah+Bb)(cA+Ah+Bb)=cA1+Ah1+Bb2+2CA Bb+2CA Ah+2Ah Bb=|由 F+|AF+|前F+2|力|筋|cos(cA,Bi)=62+42+82+2x6x8x1=68,：.cb=2y/V7,故 CD 的长为 2，万.变式 3：如图，在平行四边形 A3CZ)中，AZ)=4,CD=3,ZBAD=120,ABCD,且 B l=6.求PC的长.【解析】因 为 前=而+而+配，所以M2._ ,|2 I ,|2 I,|2,.,.=(PA+AD+DC)2=PA+即+|DC+2PAAD+2PADC+2ADDC=62+42+32+2 X 4 X 3XCOS120=49,所 以 园=7.故PC的长为7.变式4：如图，三棱锥O-ABC各棱的棱长都是1,点。是棱4 8 的中点，点 E 在 棱 OC上，且 龙=2 近,记 OA=a OB-b OC=c-用向量，b C表示向量诙;求 1。臼的最小值.【解析】(1)根据题意，连接C D,点。是棱A 3 的中点，点 在 棱 0C 上，如下图:由题意可得,0E-A.OC 12 0A=a OB=b OC=c _ _,_,1 _,_,_ 1 _ 1 _：DE=OE-OD=OC-(OA-vOB)=一万一耳匕.(2)根据题意，点。是棱4 5 的中点，三棱锥。-A5C的各个面是边长为1,巧易得，|0。|=|。0|=上，2在 OOC 中，由余弦定理可得，cos NDOC=cos/DOE=!。上 T T CO=立,2ODOC 3-2 2 3 1 1|DE|2=|OE-OD=OE-2OE.OD+OD=22-2 x lx/lx cosZD O E+-=(A-)2+-,2 4 2 2当 人;时，la产 取得最小值*则I oZ I的最小值为乎.变 式 5：已知正方形ABC。，1的边长均为1,且平面ABQ?_L平面A8E凡 点 M 在 AC上移动,点 N 在 B尸上移动，若|CM|=|5N|=a(0VaV收).(1)求线段M N的长;当 a 为何值时，线段MN最短？【解析】由已知得I就 尸 般,I 1=啦,：.AM=AC,NF：.NM=NF+FA-AM钳+0-宝)AC=(Y)福+/厂 福+(YA=(1-匍就+(一 匍 宿BA+BC)(2)由(1)知当a=孚，即 M,N 分别是4C,8 尸的中点时，的长度最小，最小值为孚.考点六利用空间向的数 积求投影解题方略:向量。在向量力上的投影数量|c o s(a,b)a b而向量在向量力上的投影向量|cos(a,b)A a b网F【例 6-1】如图，在长方体A5CD ABCZ)中，已知|A=1,|A)|=2,|AA=3,分别求向量近7在 荏、A D.打方向上的投影数量.【解析】非零向量 在非零向量B方向上的投影数量为|cos=由空间向量的平行六面体法则可 得 而 十 而+府,在长方体 ABC。A&CD 中，AB M)=AB M =AD M =O,47s.AR(AB+AD+AA!YAB._.因此，向量而 在 瓦 方向上的投影数量为一 =1-阿一=AB=,4?.Tn(AB+AD+AAYAD.一,向量而 在 而 方向上的投影数量为 国=A-呵一=AD=2,+AD+AA AA,.回=M =3.AC.AA!（岫向量而 在 打 方 向 上 的 投 影 数 量 为=AA变 式 1:如图，已知正方体ABC。-A 4 G A 的棱长为1,E 为 B C 的中点.（1）求（函,前），（南,西）的大小;（2）求向量女在向量近方向上的投影的数量.【解析】（I）在正方体ABCO-AAGQ中，因为。R J.8C,所以（西配）=90。,因为 0C|/D C,所以 和，声）=（反,5）=135。；（2）连接EC,因为。C,平面8CCM，所以 C_LCE,又因为AO_LZ）C,所以 衣 在 向 量 反 方向上的投影为 反，因为D C=1 ）所以向量检 在 向 量 配 方 向上的投影的数量为1【例 6-2】已知正方体A B C O-A 4G R 的棱长为1，E 为 棱 上 的 动点.求向量亦在向量正方向上投影的数量的取值范围.【解析】由已知E 为棱8上的动点，设 4 E =/t q G(0 4/l 4 1).ULMI UUU llU U UUU LltlLUl LlLAl ULU1 UULU因为 A E =+gE=A g +/L 5 G =A B +BB1+A B.QUUU IILW UUU UUU IIUUU UlKI U lll UlMI UUU UUIU UUUU UUU所以 A C =(A B+BB+)-A C =A B-A C+B Bt-A C+A C=l x夜 xc os 4 5 +4 xl x夜 xc os 4 5 =l +/l 所以向量检在向量/方 向 上投影的数量为 宏,又0 W/I W1,.-.1 1 +A 2,-i 所以正确；UUU _ _对于，因为A 8 R C,A A，A C,R C 分别为面的对角线，_ _ UUU-所以Z AD,C =6 0。,所以 物 与A,B的夹角为1 2 0。，所以错误故选：B2.四边形 ABC。为矩形，SA_L平面 A8C O,连接 AC,BD,S B,S C,S D,下列各组运算中，不一定为零的是（）A.S C B D B.D A S B C.S D A B D.S A C D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A：若 SC与 8。垂直，又 SA与 BD垂直，则平面SAC与 BO垂直，则 AC与 BO垂直，与 AC与 8。不一定垂直矛盾，所以SC与 8 0 不一定垂直，即向量 宽、而 不一定垂直，则向量 无、丽 的 数量积不一定为 0；对于B：根据题意，有 SA _L平面ABCZ）,则S A 1 A D,又由A D A B,则有4）_L平面S A B,进 而 有 J_ S 3,U li L iu即向量D4、SB一定垂直，则向量SB的数量积一定为（）；对于C：根据题意，有 SA _L平面A8CD,则 SA _L 4?,又 由 _L ,则有45 _L平面SW,进而有AB _L ，即向量 而、荏 一 定 垂直，则向量 而、丽 的 数量积一定为0;对于D：根据题意，有 SAJ-平面ABC。，则 SA_LCD,即向量 文、前 一 定 垂直，则向量 立、前 的数量积一定为0.故选：A.3.已知正三棱锥P-A B C的底面A B C的边长为2,M 是空间中任意一点，则 宓（丽+碇）的最小值为（D.2【解析】设 3C 中点为。，连接MO,设 MO中点为凡则=；6二F=M A -M B+/0C)=AM.(2 M C)=2(M H +H()2(M H +7M A 7/2-7M=MH2-H =(而 2 _ 3)_ _ _ _ 3当M 与 H重合时，MH1取最小值0.此时M A (MB+MC)有最小值-1,故选：A4.棱长为1 的正四面体A8CD中，点 E,尸分别是线段8C,A。上的点，且 满 足 砺=；及，A F =A D,则 荏 函=()A.B.C.；D.-2 4 2 2 1 2【解析】由已 知 福 /=而 标=/而=l xl xc os 6(r=J,B因 为 丽/肥，A F =A D,所 以 荏=通+丽=丽+(而=福+；(衣-通)C F=AF-AC=-AD-ACf2_ _ 2 _ 1 _ _ 1 _ _ _ 1 _ _AE C F =(-A B+-A C)(-A D-A C)=-A B A b-3 3 2 3=(l _ 2+l)xl-l xP=-A.3 3 6 2 3 1 2Jv故选：D./c5.如图，P 为圆锥的顶点，0 是圆锥底面的圆心，是底面圆的内接正三角形.则尸入.尸2=AA=25 AB-AD=4 x 3 x cos900=0 AB-A=4X5XCOS60=10,AD-AA=3x5xcos60=.AC=AB+AD+AA,AC2=AB2+A +AA12+2ABAD+2ABAA;+2ADAAI=16+9+25+2x0+2x10+2 x =85,|XC;|=V85,即AC的长为 盘.故选：A.8.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a,对角线A C 与 8 相交于点O,则 有（）.A.丽 苑=B.AB AC=yj2a2C.=BC DA=a1A；=则 而 =猊 而=|好|近cosZBAC=片，正确;B：AB-AC=|AB|AC|cos ZBAC=a2,错误；C：AB AO=|AB|AOIcosZBAO=-a2,错误；2D：8C7/AD 且 8C=A D,则 而 而=而 派=|而 ll lc o sO r-Z A a A X-,错误.故选：A.9.空间四边形ABC。中若AB_L52COJ_3,AC=2,8=1!|；.=（）A.g B.1 C.x/3 D.0【解析】因 为 北.丽=（而+而）丽=（而+丽+觉）丽=AB BD+BD+DC BD,因为 A B _ L 5 ,O C,所以 A瓦 8万=0,B万=0,所 以 而1 访=0+F+0 =l,故选:B1 0.已知,/；均为空间单位向量，它们的夹角为60。，那么卜+3,等 于（）A.近 B.痴 C.V 1 3 D.4【解析】|4 7 +3 5|=l（a+3 b）2=V a +9 ft2+6 a b=/1 3 .故选：C.H.若 丽、而、正为空间三个单位向量，3U砺，且 反 与 万、丽所成的角均为6 0 ,则 快+而+园=（）A.5 B.V 3 C.正 D.7 6【解析】|双+无+反=次?+而2+前?+2（丽.丽+丽 诙+函历）=3 +2（0 +；+；）=5 ,故佟+通+因=逐，故选：C1 2.已知向量4，22，司是两两垂直的单位向量，且万=3 4+2 a-&,在=4+工 则（6万（）.A.15 B.3 C.-3 D.5【解析】：向量4，。2,号是两两垂直的单位向量，且方=3百+2&-可，b=e+2e3,二.（6 1）g B j=3 a/=3 x（3 4 +2号 司）（4 +2,）=9同2-6|2=3.故选：B1 3.如图所示，在平行六面体A B 8-A?C D中，各棱长均为2,Z B A D =90 ,NR4 A，=ND 4 A =6 0。，则向量方。的长度为（）C.7 3D.26_ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ 1 _ 1 _【解析】D O =D D +D O =D D+D A +A O =D D+D A +-(A D +A B)=-A A -A D+-A B,I I AA AOH AB|=J(AA A)+AB)22 2 2 2=AAA+-AD AB+AA-AD-AA-AB-AD-AB=J4+-X4+-X4+2X2X1-2X2X1-0 =故选:V 4 4 2 V 4 4 2 2A14.如图，在平行六面体ABC。-A AG。中，为 AC与 8。的交点，若|丽1 =1丽1 =1平|=1,4 A A =90,/照 四=/4 A =6(),则|丽 的 值 为()B.上C.D【解析】因为四边形ABCQ为平行四边形，且 ACn3O=M,则 为 8。的中点,啊=踮+丽=晒+;而=庭+!_ 砌=m _;隔+;而，则14M(2不一 A瓦+也)=-J4A7 +A31+AR 4/tj A-AB+4A,A-AtDt 2A1BI-AyDy=/6 4xl2 xcos60 2xl2 xcos60=2 2 2故选：D.题组B能力提升练1 5.如图，空间四边形43CQ的每条边和对角线长都等于1,点 E,P,G 分别是AB,AD,O C 的中点,则 而 丽=()旦41B.一4C.；D.22 2【解析】依题意，瓦 G 分别是A 8,A 2O C 的中点,所以 FG AC,FG=AC,三角形A B C是等边三角形，且边长为1.所 以 而.通,而=3近H 祠-c os 6 0 0 =；.故选：B16.若 非 零 向 量 九5满足口=啊，（2 -6 4 =0 ,贝心与B的夹角为（）A.30 B.60 C.120 D.150【解析】设 与坂的夹角为。，因为（2-分坂=0,所以=所以 即 帆c os。=|邛，因 为 非 零 向 量B满足口=M，所以 c os，=g,T T因为同0,幻，所以6 =三，即6 =6 0。，故选：B17.已知同=4,空间向量。为单位向量，e，4=g,则空间向量不在向量e方向上的投影的数量为（）A.2 B.-2 C.D.y【解析】由题意，同=4,同=1,a,e）=y,则空间向量彳在向量G方向上的投影为:1）_ 2.故选：B.18.在平行六面体 A B C D-A BIG A 中，其中 4 B =B C=B B 1 =1,ZA BB=NA BC=NBBC=.,通=2两，则忸闽=（）A.25 B.5 C.14 D.7 1 4【解析】耶=聒+而+通=晒+丽+2例+瓯+而）=3而+西+2而，|UUH|2/UlT UUIT U lfl2 t lir p .UUtTp|IH1|2 ULT UlUT UlUT LUKI ULT Ulll所 以 与 目=l3 BA +BBl+2BC=3?吗 +B g +22p?C+6 BA BBt+4BBt-B C+U BA-BC=32+l2+22+6 x lx lx-+4 x lx lx l+1 2x lx lx-=25,2 2 219.在正方体ABC。-A B C。中，尸为A声上任意一点，则。尸与B Q的 位 置 关 系 是.【解析】由题意，得 并 印=（取+卒）-印=（璃+卒）币=印 乎+卒不=0,所 以 加1.印,即。BC、.故答案为：垂直.20.如图，已知线段AB_L平面a,BC u a,C _L 8C,。尸，平面a,且N）CF=3 0 ,。与A在a的同侧，A B =BC=CD=2,求A,。两点间的距离.因 为 平 面a,。尸J_平面a,所以AB/ZW,ZDCF=3 0 所 以 而 与 丽 的 夹角为120,_、,LILUU UUU HLUl UUU因为 AB=3C=C)=2,AD=AB+BC+CD,所以|而 =(而+就+丽y=|AB|2+1BC|2+1 CD|2+2A B B C +2A B C D +2B C C D=12+2、(2乂2乂8$90+2,所以PA_LC。，所以福.而=0,又 ACJLCO,所 以 而 丽=0,y.A E -(A P+A C),所 以 通.)=5(而+/)丽=丽.丽+4 正 =0,所以CQJ.AE.2 2 2 2(2)设 E4=AB=8C=1,因为 NA8C=60,AB =B C =,所以 AC=1.又 A C L C Z),所以C D A C =(AD-AC)A C =0,得 恁.而=1.因 为 丽.荏=(而 _ 丽)；(而+衣)=；(而 Q+而./_而 2_丽.衣)=1x(0+l-l-0)=0,P D A B =(A D-A P)A B =0,所以 PO_L AE,PO_L A 3,又 AEI AB=A,所以 PE_L平面ASE.题组c培优拔尖练22.如图，已知平行六面体ABC。-A 8 C R 中，底面ABC。是边长为1 的菱形，CC,=2,N C B =N B C D =N C、C D=60.(i)求线段CA的长;(2)求异面直线CAt与 q R 所成角的大小.【解析】设 灰，CB=b C C,=7.-1则。=1,b=,c=2,a =lxlxcos60=-,a c=c =2xlxcos600=P.C A 1 =CA+A A y=CD+CB+CC、=a+b+c，线段CA的长为“T.(2),*C A,=a+b+c BDt=B D =a b ,*C-BD=I a+b+c l-l a-b-2 _2-=a-b+tz c-=l 1 +1-1=0,故异面直线CA与 8 a所成的角为9 0。.2 3.如图，在三棱锥P-A B C 中，平面A B C,C B L A B,A B=B C =a,PA b.CA,1 B i h，确 定 定 在 平 面 A B C 上的投影向量，并 求 无.通;（2）确定正在府上的投影向量，并 求 正 通.【解析】（1）因为P A _ L 平面ABC,所 以 定 在平面A 8 C 上的投影向量为祝,因为P A _ L 平面A B C,AB 面 A8 C,可得以所以方.福=0,因为C B J.A B,所 以 前.福=0，所 以 定.丽=（而+丽+玩）丽=丽 丽+而 而+册 通=0+标+0 =a t,uun.由（1）知：P C A B=a2,|A B|=a,所以 定 在 而 上 的 投影向量为：网cs（地码昌=|阿普普昌=华毕普，巫=瓯I /网 1 1|PC|-|AB|AB AB AB a a由数量积的几何意义可得：PC-A B=A B-A B=a2.2 4.如图，在平行六面体A B C/5-4 8 c A 中，底 面 钻。是边长为2的正方形，侧棱A A,的长度为4,且4 4,4 8=N A A。=1 2 0 .用向量法求:(1)8。的长;(2)直线BD、与 A C 所成角的余弦值.【解析】(1)西=瓯+市+丽,BD；=(BB+8 A +A A)=BB、+隹 A j+A|力 +2BB1,BA,+2BB、AR+2 g.A R=1 6+4+4+2 x 4 x 2 cos6 0 0 +2 x 4 x 2 cosl 2 0+0 =2 4,故|幽=2,所以22的长为2 6;(2)衣.西=(而+册)(西+柄+词)=福 函 +福京+福 丽+册 函+随 市+前.丽=2 x 4 cosl 2 0-4+0+2 x 4 cosl 2 0 O+0+