2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）.pdf

2021年高考数学真题试卷（新高考II卷）阅卷人得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共8题；共4 0分）1.（5 分）复 数 片在复平面内对应的点所在的象限为（）1 DlA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【解答】解：昌=信梁薪=兽=*+1，表示的点为G，当，位于第一象限.故答案为：A【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可2.（5 分）设集合 U=1,2,3,4,5,6,4=1,3,6,8=2,3,4,贝 U A C（Q/B）=（）A.3 B.1,6 C.5,6 D.1,3【答案】B【解析】【解答】解：由题设可得QB=1,5,6,故力n（Cy5）=1,6.故答案为：B【分析】根据交集、补集的定义求解即可.3.（5 分）抛物线y2=2px（p 0）的焦点到直线y-x+1的距离为 四，贝 U p=（）A.1 B.2 C.2V2 D.4【答案】B【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为8,0）,则其到直线x-y+l=O的距离为4=蜉=奁，解得p=2或p=-6（舍去），故p=2.故答案为：B【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可4.（5 分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r为6400/cm的球，其上点A 的纬度是指。4 与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2仃2（i-c o s a）（单位：的 川），则 S 占地球表面积的百分比约 为()A.26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：2”2(1-产叽1 _产1-640篦 黑000.42=42%471T2 2 2故答案为：C【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.5.(5 分)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()A.20+1275 B.28&C.竽 D.粤？【答案】D【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图,因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高，下底面面积Si=16,上底面面积S2=4,所以棱台的体积为1/=萩$+店 司+$2)=|x V2x(16+V16 x 4+4)=竽 或故答案为：D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.6.(5 分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,c2),下列结论中不正确的是()A.a 越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.。越小，该物理量在一次测量中大于1()的概率为().5C.G越小，该物理量在一次测量中小于9.9 9与大于1 0.0 1的概率相等D.o越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,1 0.2)与落在(1 0,1 0.3)的概率相等【答案】D【解析】【解答】解：对于A,小为数据的方差，所以。越小，数据在p=1 0附近越集中，所以测量结果落在(9.9,1 0.1)内的概率越大，故A正确；对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于1 0的概率为0.5,故B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于1 0.0 1的概率与小于9.9 9的概率相等，故C正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,1 0.0)的概率与落在(1 0 2 1 0.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,1 0.2)的概率与落在(1 0,1 0.3)的概率不同，故D错误.故选：D.【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.7.(5分)已 知a=l o g52,b=l o g83,c =，则下列判断正确的是()A.c b a B.b a c C.a c b D.a b c【答案】C【解析】【解答】解：a =l o g s 2 l o g s代=/=l o g 8 3 =b,即 a c b.故答案为：C【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.8.(5分)已知函数fix)的定义域为R,f(%+2)为 偶 函 数,f(2x+1)为奇函数，则()A./(-j)=0 B./(-I)=0 C./(2)=0 D./(4)=0【答案】B【解析】【解答】解：因 为f(x +2)为偶函数，则有f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(l-x),又因为 f(2x+1)为奇函数，则有 f(L 2x)=-f(2x-l),可得 f(l-x)=-f(x+l),所以 f(x+3)=-f(x+l)=f(x-l),即 f(x)=f(x+4)故函数f(x)的周期为T=4又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(l)=0故 f(-l)=-f(l)=O故答案为：B【分析】推导出函数f（x）是以4 为周期的周期函数，由已知条件得出f（l）=O,结合已知条件可得出结论.阅卷人 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2得分 分，有选错的得。分.（共4题；共2 0分）9.（5 分）下列统计量中，能度量样本xl,x2,-,xn的离散程度的是（）A.样 本x1,x2,-,xn的标准差 B.样 本x1,x2,-,xn的中位数C.样 本X1,X2l ,Xn的极差 D.样 本%1，X2,X 的平均数【答案】A,C【解析】【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.【分析】根据标准差，极差，中位数及平均数的定义与意义求解即可.10.（5 分）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，A足M N A.O P的 是（）c可 ,旬4,N 为正方体的顶点.则满J4【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A,如 图（1）所示,M图 连接 A C,则 MN/AC,故NPOC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角.在直角三角形OPC中，0C=V2，C P=1,故tan/POC=-1 -7-2V2 2故MNJ_OP不成立，故A 错误;对于B,如 图（2）所示,取 NT 的中点 Q,连接 PQ,OQ,贝 iOQJ_NT,PQ1MN,由正方体SBCM-NADT可得SNJ_平面ANDT,而OQ u 平面ANDT,故 SN_LOQ,而 SNClMN=N,故 OQ_L平面 SNTM,又M N u 平面 SNTM,则 OQ_LMN,而 OQClPQ=O,所以MNJ_平面O PQ,而。P u 平面O PQ,故 MNJ_OP.故B 正确；对于C,如 图（3）所示，连接B D,则 BD/MN,由B 的判断可得OP_LBD,故 OP_LMN,故 C 正确;对于D,如 图（4）所示,图（4）取 AD 的中点 Q,AB 的中点 K,连接 AC,PQ,OQ,PK,OK,贝 ij AC MN,因为 DP=PC,故 PQ/AC,则 PQ/MN,所以NQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，因为正方体的棱长为 2,故PQ=AC=0Q=y/A02+AQ2=V3,P0=y/PK2+OK2=V5.则有 QO2PQ2+OP2故/Q P O 不可能是直角，故MN,OP不可能垂直故D 错误.故答案为：BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得B C的正误，平移直线M N构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.1 1.(5分)已知直线I：ax+by-r2=0与 圆C：x2+y2=r2，点4(a,b)，则下列说法正确的 是()A.若点A在圆C上，则直线1与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线1与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离D.若点A在直线1上，则直线1与圆C相切【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由题意得圆心C(0,0)到直线1：ax解y-F=0的距离d=1 彳yla2+bzr2对于A,若点A在圆C上，则a2+b2=P,则d=不=g，则直线I与圆C相切，故A正确；r2对于B,若点A在圆C内，则a2+b2P,贝M=0,/)0),离心率e =2,则双曲线C的渐近线方程为.【答案】y =【解析】【解答】解：由e =J i +1)2=2得p =苗,所以该双曲线的渐近线方程为y =，=+V3x故答案为：y =+V 3x【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.14.(5分)写出一个同时具有下列性质的函数/(%):.=f (均)/。2)；当X C(0,+8)时，/(%)0；/(X)是奇函数.【答案】/(%)=x2(x e R)答案不唯一【解析】【解答】解：取f(X)=x 2,则f(X|X 2)=x J x 22=f(X l)f(X 2),满足；当x 0时，f(x)=2x 0,满足;f(x)=2x的定义域为R,且f(-x)=2(-x)=-f(x),故f(x)=2x是奇函数，满足.故答案为：f(x)=x2(X GR)【分析】根据基函数的性质直接求解即可.15.(5 分)己知向量 a +b+c=0,|a|=1,网=|c|=2，b+b-+c-a=-【答案】【解析】【解答】解：由题意得G+y o,即/+力,+2 0工+工+%.=9+2(a-b+a-c+b-c=0,则；-&+a-c+b-c=故答案为：一?【分析 1根据向量的运算法则直接求解即可.16.(5分)已知函数f(x)=ex-l,x1 0,函 数/(%)的图象在点4即7(%1)和点BQ 2 J Q 2)的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 揣(取值范围是【答案】(0,1)【解析】【解答】解:由题意得/=则/(%)=之 或 ，所以点 A(xi-e X ),点 8(x202-1),KAM=-exi,KB N=ex2所以36*2=-1,xi+x2=0,所以 AM：y-l+exi=-exi(x-xi),M(0,eX1x1-eX1+1)所以 14M l=J%/+(e%i%i)2=+?2打氏)同理|B N|=V l+e2x2|%2|所以31=Jl+e 2xi|/l=6勺为 Jl+e2 x2|x2|Jl+e2 x2exi 6(0,1)故答案为：(0,1)阅卷人得分【分析】根据导数的几何意义可得X l+X 2=0,结合直线方程及两点间距离公式求解即可.四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共6题；共7 0分)17.(10分)记Sn是公差不为0的等差数列 a*的前n项和，若a3=S3,a2a4=S4.(1)(5分)求 数 列 时的通项公式an；(2)(5分)求 使Sn an成立的n的最小值.【答案】(1)由等差数列的性质可得：S5 =5 r 3，则：。3=5 口 3，的=0，设等差数列的公差为d,从而有：a 2a 4=（。3-d）（03+d）=,S4=Q +做+4=（03 2d）+（的 d）+Q3+（。3 d）=-2d ,从而：一心=2d,由于公差不为零，故：d =2,数列的通项公式为：an=a3+(n-3)d =2n -6.(2)由数列的通项公式可得：幻=2 6=4,贝 I：Sn =n x(4)+吗 X 2=*6 n，则不等式 Sn an B P：n2-5 n 2n -6,整理可得：(n -l)(n -6)0,解得：n 6,又 n为正整数，故n的最小值为7.【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.18.(12分)在 A B C 中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+l,c=a+2.(1)(6 分)若 2si n C =3si n 力，求 A B C 的面积；(2)(6分)是否存在正整数a,使 得A A BC为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)因为 2si n C 3si n 4,则 2c=2(a +2)=3 a,则 a =4,故 b=5,c=6,cO SC=a 2+f rc 2=，所以，C 为锐角，则 si n C =V l-cos2C =，2ab 8 o因此,SHABC=g a bsi n C =x 4 x 5 x；(2)显 然 c b a ,若 A B C 为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC =a 2+f c=层+甘：)2”)?=弊备 0，2ab 2a(a+1)2a(a+1)解得 一 1 a 3,则 0 a a +2,可 得 a l,aCZ,故 a =2.【解析】【分析】(1)由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出si n B,再利用三角形的面积公式可求得结果;(2)分析可知，角c 为钝角，由cosC =|=3-二面角B-Q D-A的平面角为锐角，故其余弦值为|.【解析】【分析】(1)根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求证即可；(2)利用向量法直接求解即可.20.(12分)已知椭圆C的方程为刍+与=l(a 6 0),右焦点为F(V 2,0),且离心率为Q b行(1)(6 分)求椭圆C的方程；(2)(6 分)设 M,N是椭圆C上的两点，直 线M N与曲线x2+y2=h2(x 0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是四 时=遍.【答案】(1)由题意，椭圆半焦距c=近 且 e=点，所 以 a =百，a 3又 B=a 2-c2=l ,所以椭圆方程为号+y 2=i ；(2)由(1)得，曲线为 x2+y2=l(x 0),当直线M N的斜率不存在时，直 线M N：x=l,不合题意；当直线M N的斜率存在时，设yr),N(%2,7 2)，必要性：若M,N,F三点共线，可设直线M N：y k(x V 2)即kx y V 2k=0,由直线M N与曲线x2+y2=l(x 0)相切可得4 4=1,解 得k=+l,1 k+1(y=(X-V 2)r-联立 I%2+2 _ 可得 4/-6&x +3=0,所以i+%2=-y-，%i -%2=4(3 ，所以 I MN=V 1+1 y(X+久 2)2 4 11,=V 3,所以必要性成立；充分性：设直线 M N：y=kx+b,(kb 0)相切可得T 5=1,所 以 户=d+1,J Y+1y=kx+b联 立 x2 可 得(1+3/)x2 +6kbx+3炉一 3=o,(3 +丫 2=1所以所以6kb 3b2-3+%2=-9，勺 2=-91+3/c 1+3/cMN=V1+/c2 J+%2)2-4%1.久 2=(-6；%)2 4.:3/化简得3(炉一 1)2=0,所 以 k=1,所 以 L t V 2或忆花,所以直线MN：y=x-&或y=x3，所以直线M N 过 点 F(V2,0),M,N,F 三点共线，充分性成立;所以M,N,F 三点共线的充要条件是|M N|=g .【解析】【分析】(1)根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|MN|=唐；充分性：设直线MN：y=kx+b(kb 1 时，p 1;(3)(4 分)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【答案】(1)E(X)=0 x 0.4+1 x 0.3+2 x 0.2+3 x 0.1=1.(2)设/(x)=p3x3+p2x2+(pi-l)x+p0,因为 P3+22+Pl+Po=1，故/(X)=P3X3+p2X2-(p2+Po+P3)X+PO，若 E(X)1,则 Pl+2p2+3p3 l ,故 P2+2P3 w Po./(%)=3P3/+2P2%(p2+Po+P3)，因为/(0)=-(P2+Po+P3)，/(1)=P2+2P3-Po W 0，故/(x)有 两 个 不 同 零 点x2,且 0 o；x e(石，x2)时，/(x)/(x2)=/(I)=0,故1为Po+Pix+?2%2+3%3=X的一个最小正实根，若42 1，因为f(1)=0且 在(0,%2)上为减函数，故1为p0+prx+p2X2+p3X3=X的一个最小正实根，综上，若 E(X)1,贝|J p=1.若 E(X)1,则 Pl+2P2+33 1，故 P2+2P3 Po-此时/(0)=-(P2+Po+P3)0,故/(X)有两个不同零点3,%4，且 3 0%4 o；%e(必，%)时，/(%)o；故/(X)在(一8,X 3)，(%4，+)上为增函数，在(%3，%4)上为减函数，而/(I)=0,故/(%4)0，故/(%)在(0,x4)存在一 零点 P，且 P 1 所 以p为Po+PyX+P2X2+P3X3=X的一个最小正实根，此 时p 1 时，p 1.(3)每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1.则若干代后被灭绝的概率小于1.【解析】【分析】(1)利用公式计算可得E(X).(2)利用导数讨论函数的单调性，结合f(l)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.22.(12 分)已知函数/(%)=(X-1)靖一。/+/?.(I)(6分)讨 论/(%)的单调性;(2)(6分)从下面两个条件中选一个，证明：/(%)有一个零点 2 a ；。a 1,b 2 a .【答案】(1)由函数的解析式可得:f (x)=x(ex-2 a),当 aWO 时，若 x C (-o o,0),贝1J f(x)0,f(x)单调递增；当 0a 0,/(x)单调递增，若 6 (l n(2 a),0),贝I f(x)0,/(x)单调递增；当a =义 时，f(x)0,/(%)在R上单调递增；当 a 4 时，若 x G (-c o,0),贝IJ/(%)0,/(x)单调递增，若 x G (0,l n(2 a),则 0,/(%)单调递增；(2)若选择条件：由于 a4.，故 1 2 a 1,/(0)=b-l 0，而/(-ft)=(-1 -b)e-b-a b2-b 2 a l n(2 a)1 a l n(2 a)2+2a=2 a l n(2 a)a l n(2 a)2=a l n(2 a)2 l n(2 a),12由于 1 a l 0，结合函数的单调性可知函数在区间（0,+0 0）上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于 0 a 力，故 2 a 1 ,贝 If(0)=b-l 2 a-l 4,4 a 0,而函数在区间(0,+o o)上单调递增，故函数在区间(0,+0 0)上有一个零点.当 b 0 时，构造函数 W(x)=ex-x-1,贝！|H (x)=ex-1，当 x C (-o o,0)时，H(x)0,H(x)单调递增，注意到H(0)=0 ,故W(x)0恒成立，从而有：ex x+l ,此时：f(x)=(x-l)ex-ax2 b (x-l)(x+1)ax2+b =(1 a)%2+(b 1),当 x 呼时，(1 -d)x2+(6 -1)0 ,1 a取“。=晤+1则 八%。)，即：/(0)0，而函数在区间(0,+0 0)上单调递增，故函数在区间(0,+0 0)上有一个零点./(l n(2 a)=2 a l n(2 a)-1 -a l n(2 a)2+b 2 a l n(2 a)1 a l n(2 a)2+2a=2 a l n(2 a)a l n(2 a)2=a l n(2 a)2 l n(2 a),由于 0a4,02al,故 a l n(2 a)2 l n(2 a)0 ,结合函数的单调性可知函数在区间(-c o,0)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可;(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）60.0(40.0%)主观题（占比）90.0(60.0%)题量分布客观题（占比）12(54.5%)主观题（占比）10(45.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分.4(18.2%)20.0(13.3%)选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8(36.4%)40.0(26.7%)解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.6(27.3%)70.0(46.7%)选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分4(18.2%)20.0(13.3%)选对的得2分，有选错的得0分.3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(22.7%)2容易(50.0%)3困难(27.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1函数的周期性5.0(3.3%)82二项式定理的应用5.0(3.3%)123椭圆的简单性质12.0(8.0%)204复数代数形式的混合运算5.0(3.3%)15奇函数5.0(3.3%)86直线与圆的位置关系5.0(3.3%)117等差数列的性质10.0(6.7%)178等差数列的通项公式10.0(6.7%)179平面与平面垂直的判定12.0(8.0%)1910异面直线及其所成的角5.0(3.3%)1011正弦定理的应用12.0(8.0%)1812双曲线的简单性质5.0(3.3%)1313同角三角函数间的基本关系12.0(8.0%)1814子集与交集、并集运算的转换5.0(3.3%)215向量的线性运算性质及几何意义5.0(3.3%)1516导数的几何意义5.0(3.3%)1617点到直线的距离公式10.0(6.7%)3,1118直线的点斜式方程5.0(3.3%)1619棱台的结构特征5.0(3.3%)520正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义5.0(3.3%)621幕函数的性质5.0(3.3%)1422众数、中位数、平均数5.0(3.3%)923等差数列的前n项和10.0(6.7%)1724复数的代数表示法及其几何意义5.0(3.3%)125利用导数研究函数的极值12.0(8.0%)2126棱柱、棱锥、棱台的体积5.0(3.3%)527二面角的平面角及求法12.0(8.0%)1928二次函数在闭区间上的最值10.0(6.7%)1729函数零点的判定定理12.0(8.0%)2230极差、方差与标准差5.0(3.3%)931直线与平面垂直的判定5.0(3.3%)1032平面向量数量积的运算5.0(3.3%)1533抛物线的简单性质5.0(3.3%)334对数函数的单调性与特殊点5.0(3.3%)735利用导数研究函数的单调性24.0(16.0%)21,2236三角形中的几何计算12.0(8.0%)1837偶函数5.0(3.3%)838二项式定理5.0(3.3%)1239余弦定理的应用12.0(8.0%)1840两点间距离公式的应用5.0(3.3%)1641椭圆的标准方程12.0(8.0%)2042球的体积和表面积5.0(3.3%)443用空间向量求平面间的夹角12.0(8.0%)1944离散型随机变量的期望与方差12.0(8.0%)21